资源简介

2024-2025学年下学期小学数学人教新版五年级---染色问题
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 垦利区期末）一个6个面都涂着红色的正方体木块，棱长为3分米。如果把它切成棱长1分米的正方体小木块，3个面涂着红色的正方体小木块有（　　）个。
A．1 B．4 C．6 D．8
2．（2024秋 庐江县期末）如图所示，把一个正方体表面涂色，每条棱平均分成4份，再切成同样大小的小正方体，没有涂色的小正方体有（　　）个。
A．24 B．12 C．8
3．（2024春 琼海期中）将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积为1cm3的小正方体，其中两面涂色的有36块，原来正方体的体积是（　　）cm3。
A．64 B．125 C．216 D．8
4．（2024春 龙里县校级期中）用棱长为1cm的小正方体拼成棱长为6cm的大正方体后，把大正方体的表面涂上颜色。两面涂色的小正方体有（　　）个。
A．48 B．8 C．6 D．64
5．（2024秋 睢宁县期中）用64个小正方体拼成一个较大的正方体，在这个大正方体表面涂上红色，那么没有涂红色的小正方体有（　　）个。
A．6 B．8 C．12 D．24
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 修文县期末）一个表面涂色的正方体，把它的每条棱平均分成3份，再切成同样大小的小正方体，1面涂色的小正方体有 　 　个，2面涂色的小正方体有 　 　个，3面涂色的小正方体有 　 　个。
7．（2024秋 金水区期末）一个正方体六个面都涂上红色，把每条棱都平均分成4份，切开，两面涂色的小正方体有 　 　个，一面涂色的小正方体有 　 　个。
8．（2024秋 江宁区期中）把一个棱长为5厘米且表面涂色的正方体，分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的小正方体有 　 　个，三面涂色的有 　 　个。
9．（2024 镇安县）亮亮给一个正方体纸盒涂颜色，他只有红色和蓝色两种颜料，如果每面只涂一种颜色，这个正方体纸盒至少有 　 　个面会涂上相同的颜色。
10．（2024春 南湖区期末）如图，一个由7个小正方体搭成的立体图形，如果表面都涂上红色，三面为红色的小正方体有 　 　个。
三．判断题（共5小题）
11．（2024秋 晋源区期末）一个表面涂色的正方体，先把棱平均分成5份，再切成同样大的小正方体，两面涂色的小正方体有24个。 　 　
12．（2023秋 贵阳期末）用棱长是1厘米的小正方体拼成棱长是5厘米的大正方体后，再把它们的表面分别涂上颜色，一面涂色的小正方体有54块。 　 　
13．（2022秋 钦州期末）将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的有48块，原来正方体的体积216立方厘米。 　 　
14．（2023春 云南期末）用27个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中三面涂色的小正方体有8个。 　 　
15．（2023 淮滨县开学）一个由若干小正方体组成的大正方体，如果把它的表面涂色，最多有8个小正方体是3面涂色的。 　 　
四．操作题（共2小题）
16．（2021秋 盐城期中）乐乐把若干个白色小正方体木块拼成如图所示的大的正方体，然后在它的表面涂上颜色．
（1）2个面被涂色的小正方体木块有　 　个．
（2）1个面被涂色的小正方体木块有　 　个．
（3）没有被涂色的小正方体木块有　 　个．
17．（2019 无棣县）一个长方体有六个面，下面是其中的四个面，请认真观察。
请在下面的格子图中画出这个长方体的另外2个面，并涂上阴影。
五．应用题（共5小题）
18．（2023 靖江市）一个长方体木块长7厘米，宽6厘米，高5厘米。把它的表面涂成红色，再切割成棱长1厘米的小正方体且没有剩余。切割成的小正方体中两面红色的有多少个？
19．（2023春 宁乡市期中）一个大正方体六面都涂上颜色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有36个，那么原来大正方体的体积是多少立方厘米？
20．（2022 沙坪坝区校级模拟）有一个横2000格，竖1000格的矩形方格纸。现从它的左上角开始向右沿着边框逐格涂色到右边框，再从上到下逐格涂色到底边框，再沿底边框从右到左逐格涂色到左边框，再从下到上逐格涂色到上面涂色过的方格，如此一直螺旋式地涂下去……，直到将所有的方格都涂满，那么最后被涂的那格是从上到下的第 　 　行，从左到右的第 　 　列。
21．（2021春 下城区期末）整个图形的面积表示600平方厘米，涂色的3个方格表示75平方厘米。空白部分含有多少个这样的小方格？
22．一个正方体，先在它的每个面上都涂色，再把它切成若干个棱长是1cm的小正方体。已知两面涂色的小正方体有84个。
（1）这个正方体的体积是多少立方厘米？
（2）一面涂色的小正方体有多少个？
六．解答题（共3小题）
23．（2022春 师宗县期中）如图所示，要在这个正方体的表面涂一层颜色，一面涂色的有 　 　块，两面涂色的有 　 　块，三面涂色的有 　 　块，没有涂色的有 　 　块。
24．（2021春 京山市期中）如图，由30个棱长为1米的正方体在地面上摆成一个塔形（注意：每层之间的竖棱不一定对齐，即层与层之间摆的不正），然后喷红色油漆。（当然地面和被盖住的地方喷不上）之后把它们拆散，这样有的小正方体只有一部分不规则的红色，有的一个面是红色，有的完全没有喷上红色，试求这些红色面积的总和。
25．（2023春 威信县期末）如图某超市有一排储物柜后面和底面没涂色。则有3个面涂色的储物柜有 　 　个。有2个面涂色的储物柜有 　 　个。
2024-2025学年下学期小学数学人教新版五年级---染色问题
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5
答案 D C B A B
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 垦利区期末）一个6个面都涂着红色的正方体木块，棱长为3分米。如果把它切成棱长1分米的正方体小木块，3个面涂着红色的正方体小木块有（　　）个。
A．1 B．4 C．6 D．8
【考点】染色问题．
【专题】应用意识．
【答案】D
【分析】三面涂色和顶点有关，8个顶点，即8个小正方体木块3面涂色。
【解答】解：3个面涂着红色的正方体小木块有8个。
故选：D。
【点评】本题考查了染色问题的应用。
2．（2024秋 庐江县期末）如图所示，把一个正方体表面涂色，每条棱平均分成4份，再切成同样大小的小正方体，没有涂色的小正方体有（　　）个。
A．24 B．12 C．8
【考点】染色问题．
【专题】应用意识．
【答案】C
【分析】把一面染色、两面染色和三面染色的计算出，用一共的小正方体减去一面染色、两面染色和三面染色的数量之和即可解答。
【解答】解：一面染色：（4﹣2）×（4﹣2）×6＝24（个）
两面染色：（4﹣2）××12＝24（个）
三面染色：8个；
4×4×4﹣（24+24+8）
＝64﹣56
＝8（个）
答：没有涂色的小正方体有8个。
故选：C。
【点评】本题考查了染色问题的应用。
3．（2024春 琼海期中）将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积为1cm3的小正方体，其中两面涂色的有36块，原来正方体的体积是（　　）cm3。
A．64 B．125 C．216 D．8
【考点】染色问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】B
【分析】体积为1立方厘米的小正方体的棱长是1厘米，两面涂色的小正方体在大正方体的棱长上，只有8个顶点上的小正方体是三面涂色，其余的小正方体都是两面涂色，所以两面涂色的小正方体有36块，那么每条棱长上除顶点外，都有36÷12＝3（个）小正方体两面涂色，则一条棱长上共有3+2＝5（个）小正方体，则大正方体的棱长就是5厘米，由此求得原来正方体的体积。
【解答】解：每条棱长上除顶点外，都有36÷12＝3（个）小正方体两面涂色，
则一条棱长上共有3+2＝5（个）小正方体，
则大正方体的棱长就是5厘米。
5×5×5＝125（立方厘米）答：原来正方体的体积是125立方厘米。
故选：B。
【点评】本题关键是理解两面涂色的小正方体所处的位置，从而求得大正方体的棱长。
4．（2024春 龙里县校级期中）用棱长为1cm的小正方体拼成棱长为6cm的大正方体后，把大正方体的表面涂上颜色。两面涂色的小正方体有（　　）个。
A．48 B．8 C．6 D．64
【考点】染色问题．
【专题】推理能力．
【答案】A
【分析】如图，两面涂色的在每条棱的中间，正方体有12条棱，每条棱有（6﹣2）个小正方体两面涂色，每条棱两面涂色的小正方体个数×12即可。
【解答】解：（6﹣2）×12
＝4×12
＝48（个）
两面涂色的有48个。
故选：A。
【点评】关键是熟悉正方体特征，根据正方体特征进行分析。
5．（2024秋 睢宁县期中）用64个小正方体拼成一个较大的正方体，在这个大正方体表面涂上红色，那么没有涂红色的小正方体有（　　）个。
A．6 B．8 C．12 D．24
【考点】染色问题．
【专题】综合题；数据分析观念．
【答案】B
【分析】依据题意可知，64＝4×4×4，这个大正方体由4层组成，每层有（4×4）个小正方体，涂色的小正方体都在大正方体的表面，没有涂红色的小正方体个数＝小正方体总个数﹣涂色的小正方体总个数，由此解答本题。
【解答】解：64＝4×4×4，这个大正方体由4层组成，每层有小正方体：4×4＝16（个），
涂色小正方体个数：16+16+8+8+4+4＝56（个）
64﹣56＝8（个）
答：没有涂红色的小正方体有8个。
故选：B。
【点评】本题考查的是染色问题的应用。
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 修文县期末）一个表面涂色的正方体，把它的每条棱平均分成3份，再切成同样大小的小正方体，1面涂色的小正方体有 　6　个，2面涂色的小正方体有 　12　个，3面涂色的小正方体有 　8　个。
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】6；12；8。
【分析】
把大正方体的每条棱平均分成3份，则每条棱上有3个小正方体；根据只有一面涂色的小正方体在每个大正方体的面的中间，只有2面涂色的小正方体在大正方体的棱上（不包括8个顶点处的小正方体），3面涂色的小正方体都在顶点处，没有涂色的在内部，据此即可解答问题。
【解答】解：1面涂色：（3﹣2）×（3﹣2）×6
＝1×1×6
＝6（个）
2面涂色：（3﹣2）×12
＝1×12
＝12（个）
3面涂色：8个。
答：1面涂色的小正方体有6个，2面涂色的小正方体有12个，3面涂色的小正方体有8个。
故答案为：6；12；8。
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上（除去顶点处的），3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。
7．（2024秋 金水区期末）一个正方体六个面都涂上红色，把每条棱都平均分成4份，切开，两面涂色的小正方体有 　24　个，一面涂色的小正方体有 　24　个。
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成4份，那么每条棱都有4个小正方体，两个面涂色的小正方体处在12条棱的中间，在大正方体每个面的中间部分的小正方体有一面涂色；据此解答即可。
【解答】解：（4﹣2）×12
＝2×12
＝24（个）
（4﹣2）×（4﹣2）×6
＝2×2×6
＝24（个）
答：两面涂色的小正方体有24个；一面涂色的小正方体有24个。
故答案为：24；24。
【点评】此题考查了立方体的切拼问题中涂色问题，这里抓住三面涂色在顶点；两面涂色的在棱上（顶点处的除外），一面涂色的在表面中，没涂色的在内部。
8．（2024秋 江宁区期中）把一个棱长为5厘米且表面涂色的正方体，分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的小正方体有 　36　个，三面涂色的有 　8　个。
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】36；8。
【分析】根据题意可发现顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面涂色，位于表面中心的一面涂色，而处于正中心的则没涂色，据此解答即可。
【解答】解：5÷1＝5（个）
两面涂色：
（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（个）
三面涂色：顶点处的小正方体三面涂色，共8个。
答：其中两面涂色的小正方体有36个，三面涂色的有8个。
故答案为：36；8。
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上（除顶点外），3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。
9．（2024 镇安县）亮亮给一个正方体纸盒涂颜色，他只有红色和蓝色两种颜料，如果每面只涂一种颜色，这个正方体纸盒至少有 　3　个面会涂上相同的颜色。
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；空间观念．
【答案】3。
【分析】把红色和蓝色两种颜色看作2个抽屉，6个面看作6个元素，利用抽屉原理最差情况：要使涂的颜色相同的面数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答。
【解答】解：6÷2＝3（个）
答：这个正方体纸盒至少有3个面会涂上相同的颜色。
故答案为：3。
【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
10．（2024春 南湖区期末）如图，一个由7个小正方体搭成的立体图形，如果表面都涂上红色，三面为红色的小正方体有 　4　个。
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】4。
【分析】如果是长方体或者正方体，顶点处的小正方体三面涂色，而这个立体图形少了一个小正方体，则除去打“×”的3个正方体外，其余4个三面均为红色据此解答即可。
【解答】解：
7﹣3＝4（个）
所以除去打“×”的3个正方体外，其余4个小正方体三面为红色。
答：三面为红色的小正方体有4个。
故答案为：4。
【点评】本题考查了染色问题和组合体露在外面的面的知识的灵活运用。
三．判断题（共5小题）
11．（2024秋 晋源区期末）一个表面涂色的正方体，先把棱平均分成5份，再切成同样大的小正方体，两面涂色的小正方体有24个。 　×　
【考点】染色问题．
【专题】几何直观；推理能力．
【答案】×
【分析】一个表面涂色的正方体，先把棱平均分成5份，切成同样大的小正方体，共切成了53个，即125个。位于每条棱非两端的都两面涂色，一个正方体有12条棱，每条棱上有（5﹣2）个小正方体，据此解答即可。
【解答】解：如图
（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（个）
所以两面涂色的小正方体有36个；故原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是弄清位于什么位置的小正方体两面涂色。
12．（2023秋 贵阳期末）用棱长是1厘米的小正方体拼成棱长是5厘米的大正方体后，再把它们的表面分别涂上颜色，一面涂色的小正方体有54块。 　√　
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】√
【分析】
如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，每条大正方体的棱上有5块小正方体，大正方体每个面中间部分的小正方体一面涂色，据此解答即可。
【解答】解：一面涂色的小正方体块数：
（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝9×6
＝54（块）
即一面涂色的小正方体有54块，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】根据大正方体的面、棱、顶点分析每个小正方体的涂色情况是解答题目的关键。
13．（2022秋 钦州期末）将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的有48块，原来正方体的体积216立方厘米。 　√　
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】√。
【分析】根据题意可发现顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面涂色，已知两面涂色的有48块，48÷12＝4（块），即每条棱长上除了顶点外，都有4块小正方体两面涂色，所以每条棱长上共有6块小正方体，则大正方体共有6×6×6＝216（块）小正方体，进而得出原来正方体的体积。
【解答】解：48÷12+2
＝4+2
＝6（块）
6×6×6＝216（块）
1×1×1×216＝216（立方厘米）
即原来正方体的体积216立方厘米，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】抓住正方体切割小正方体的特点，以及表面除顶点外位于棱上的小方块两面涂色的特点即可解决问题。
14．（2023春 云南期末）用27个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体，表面涂上红色，其中三面涂色的小正方体有8个。 　√　
【考点】染色问题．
【专题】空间与图形；应用意识．
【答案】√
【分析】因为有27小正方体，27＝3×3×3，所以每条棱上有3个小正方体，三面涂色的小正方体只能在大正方体8个顶点上，据此解答即可。
【解答】解：由分析可知：27＝3×3×3，即大正方体的每条棱上有3个小正方体，三面涂色的小正方体只能在大正方体的顶点上，正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个。
故答案为：√。
【点评】本题考查组合图形的涂色问题，熟练掌握正方体的特征是关键。
15．（2023 淮滨县开学）一个由若干小正方体组成的大正方体，如果把它的表面涂色，最多有8个小正方体是3面涂色的。 　√　
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；空间观念．
【答案】√
【分析】根据立体图形的知识可知：三个面涂色的是各顶点处的小正方体，在各棱处，除去顶点处的小正方体有两面涂色，一面涂色的小正方体在每个面的中间；根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：3面涂色的小正方体在8个顶点处，所以“一个由若干小正方体组成的大正方体，如果把它的表面涂色，最多有8个小正方体是3面涂色的”说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题考查了立方体的涂色问题；注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
四．操作题（共2小题）
16．（2021秋 盐城期中）乐乐把若干个白色小正方体木块拼成如图所示的大的正方体，然后在它的表面涂上颜色．
（1）2个面被涂色的小正方体木块有　24　个．
（2）1个面被涂色的小正方体木块有　24　个．
（3）没有被涂色的小正方体木块有　8　个．
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；立体图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为大正方体每条棱长上面都有4个，所以小正方体有4×4×4＝64个；根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：（1）没有涂色的都在内部；（2）一面涂色的都在每个面上（除去棱上的小正方体）；（3）两面涂色的在每条棱上（除去顶点处的小正方体）；（4）三面涂色的在每个顶点处；据此即可求得答案．
【解答】解：
（1）一面涂色的都在每个面上（除去棱上的小正方体）有：
4×6＝24（个）；
（2）两面涂色的在每条棱上（除去顶点处的小正方体）有：
（4﹣2）×12
＝2×12
＝24（个）；
（3）没有涂色的都在内部：（4﹣2）×（4﹣2）×（4﹣2）
＝2×2×2
＝8（个）；
答：（1）2个面被涂色的小正方体木块有 24个．
（2）1个面被涂色的小正方体木块有 24个．
（3）没有被涂色的小正方体木块有 8个．
故答案为：（1）24；（2）24；（3）8．
【点评】解决此类问题的关键是抓住：三面涂色的在顶点处；两面涂色的在每条棱长的中间上；一面涂色的在每个面的中心上；没有涂色的在内部．
17．（2019 无棣县）一个长方体有六个面，下面是其中的四个面，请认真观察。
请在下面的格子图中画出这个长方体的另外2个面，并涂上阴影。
【考点】染色问题．
【专题】综合题；几何直观．
【答案】
【分析】根据已知图示所示的4个面，可知这个长方体另外的2个面的长是4个方格宽是3个方格，依此画出这个长方体另外的2个面。
【解答】解：如图所示：
【点评】本题是考查长方体的展开图，意在培养学生的观察、分析和空间想象能力。
五．应用题（共5小题）
18．（2023 靖江市）一个长方体木块长7厘米，宽6厘米，高5厘米。把它的表面涂成红色，再切割成棱长1厘米的小正方体且没有剩余。切割成的小正方体中两面红色的有多少个？
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】48个。
【分析】根据长方体切割正方体的特点可知，2个面都是红色的应该是在每条棱长上的小正方体（除去顶点外），由此即可求出只有2个面是红色的小正方体的总个数。
【解答】解：7÷1＝7（个）
6÷1＝6（个）
5÷1＝5（个）
（5﹣2）×4+（6﹣2）×4+（7﹣2）×4
＝12+16+20
＝48（个）
答：切割成的小正方体中两面红色的有48个。
【点评】此题考查了立方体的切拼问题中涂色问题，这里抓住三面涂色在顶点；两面涂色的在棱上，一面涂色的在表面中，没涂色的在内部。
19．（2023春 宁乡市期中）一个大正方体六面都涂上颜色，再把它切成棱长是1厘米的小正方体。已知两面涂色的小正方体有36个，那么原来大正方体的体积是多少立方厘米？
【考点】染色问题．
【专题】空间观念．
【答案】125立方厘米。
【分析】根据正方体表面涂色的特点可知，两面涂色的小正方体在大正方体的12条棱上（8个顶点除外）；已知两面涂色的小正方体有36个，那么大正方体每条棱上有小正方体（36÷12+2）个，再乘每个小正方体的棱长，即可求出大正方体的棱长，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出原来大正方体的体积。
【解答】解：36÷12+2
＝3+2
＝5（个）
1×5＝5（厘米）
5×5×5
＝25×5
＝125（立方厘米）
答：原来大正方体的体积是125立方厘米。
【点评】本题考查正方体的体积公式的运用，结合正方体表面涂色的特点，求出大正方体的棱长是解题的关键。
20．（2022 沙坪坝区校级模拟）有一个横2000格，竖1000格的矩形方格纸。现从它的左上角开始向右沿着边框逐格涂色到右边框，再从上到下逐格涂色到底边框，再沿底边框从右到左逐格涂色到左边框，再从下到上逐格涂色到上面涂色过的方格，如此一直螺旋式地涂下去……，直到将所有的方格都涂满，那么最后被涂的那格是从上到下的第 　501　行，从左到右的第 　500　列。
【考点】染色问题．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】501，500。
【分析】第1圈涂完，止于2行1列，即（2，1 ）；第2圈涂完，止于3行2列，即（3，2）；……第k圈涂完，止于k+1行k列，即（ k+1，k）。横2000格，竖1000格，需要1000：2＝500（圈），涂完。所以，止于501行500列。
【解答】解：顺时针涂完第1圈后，有两行两列被涂了色，下一个要涂色的是第2行第2列的方格。涂完第499圈后，有998行998列被涂了色，剩下2行1002列未被涂色。最后一圈从500行500列开始，到501行500列结束.那么最后被涂色的就是第501行，第500列。
故答案为：501，500。
【点评】一圈涂上下两行，所以最后涂色的方格位于第501行。当涂到这一行时，左边已经涂完499列，所以最后涂色的方格位于第500列。
21．（2021春 下城区期末）整个图形的面积表示600平方厘米，涂色的3个方格表示75平方厘米。空白部分含有多少个这样的小方格？
【考点】染色问题；长方形、正方形的面积．
【专题】应用意识．
【答案】21个。
【分析】先求出每个方格的面积，用整个图形的面积除以一个方格的面积，然后减去3个方格即可求解。
【解答】解：600÷（75÷3）﹣3
＝600÷25﹣3
＝24﹣3
＝21（个）
答：空白部分含有21个这样的小方格。
【点评】解题的关键是明确长方形的面积除以一个正方形的面积可得长方形中所有的正方形个数。
22．一个正方体，先在它的每个面上都涂色，再把它切成若干个棱长是1cm的小正方体。已知两面涂色的小正方体有84个。
（1）这个正方体的体积是多少立方厘米？
（2）一面涂色的小正方体有多少个？
【考点】染色问题；长方体和正方体的体积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】（1）729立方厘米；（2）294个。
【分析】（1）由于两面涂色的小正方体处在12条棱的中间，所以每条棱的中间有小正方体：84÷12＝7（个），那么每条棱上有小正方体：7+2＝9（个），所以大正方体的棱长是：1×9＝9（厘米），然后根据正方体的体积公式解答即可。
（2）一面涂色的小正方体处在每个面的中间，计算一面涂色的个数的方法：（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×6；据此解题即可。
【解答】解：（1）84÷12＝7（个）
7+2＝9（个）
1×9＝9（厘米）
9×9×9＝729（立方厘米）
答：这个正方体的体积是729立方厘米。
（2）（9﹣2）×（9﹣2）×6
＝7×7×6
＝294（个）
答：一面涂色的小正方体有294个。
【点评】本题考查了正方体表面涂色问题，解答本题的关键是掌握正方体表面涂色的公式。
六．解答题（共3小题）
23．（2022春 师宗县期中）如图所示，要在这个正方体的表面涂一层颜色，一面涂色的有 　6　块，两面涂色的有 　12　块，三面涂色的有 　8　块，没有涂色的有 　1　块。
【考点】染色问题．
【专题】推理能力．
【答案】6；12；8；1。
【分析】因为有27块正方体，27＝3×3×3，所以每条棱上有3个小正方体，因为三面涂色的小立方体只能在8个顶点上，所以三面涂色的小正方体有8块；两面涂色的处在12条棱的中间上，并且每条棱上有一个，所以共有12块；一面涂色的处在每个面的中间，6个面共有（1×6）个一面涂色的小正方体；剩下的就是没有涂到颜色的小正方体；据此解答。
【解答】解：因为有27正方体，27＝3×3×3，所以每条棱上有3个小正方体，
一面涂色的小正方体有6块；
两面涂色的小正方体有12块；
三面涂色的小正方体8块；
没有涂到颜色的小正方体有27﹣8﹣12﹣6＝1（块）。
故答案为：6；12；8；1。
【点评】本题关键要明确：三面有色的处在8个顶点上，两面有色的处在12条棱上（顶点外），一面有色的处在每个面的中间，无色的处在中心。
24．（2021春 京山市期中）如图，由30个棱长为1米的正方体在地面上摆成一个塔形（注意：每层之间的竖棱不一定对齐，即层与层之间摆的不正），然后喷红色油漆。（当然地面和被盖住的地方喷不上）之后把它们拆散，这样有的小正方体只有一部分不规则的红色，有的一个面是红色，有的完全没有喷上红色，试求这些红色面积的总和。
【考点】染色问题．
【专题】几何直观．
【答案】56m2。
【分析】通过观察看出，塔形的每一上层都盖住了它的下层的一部分，可以这样想，把塔从顶端层层压进去，最后会成为一个最低层的形状的长方体，塔的上面涂色部分就是形成的这个长方体的上面面积，再加上塔层周围面积，就是总的涂色面积。
【解答】解：4×4＝16（m2）
1×1×（4×4+3×4+2×4+1×4）
＝1×40
＝40（m2）
16+40＝56（m2）
答：涂色面积总和是56m2。
【点评】本题考查了学生的观察能力，及转化思想。
25．（2023春 威信县期末）如图某超市有一排储物柜后面和底面没涂色。则有3个面涂色的储物柜有 　2　个。有2个面涂色的储物柜有 　7　个。
【考点】染色问题．
【专题】综合填空题；空间观念．
【答案】2，7。
【分析】储物柜后面和底面没有涂色，则左上角和右上角的柜子是3面涂色；有2个面涂色的储物柜有最上层中间的柜子、左边和右边中层和下层的柜子。
【解答】解：有3个面涂色的储物柜有2个；有2个面涂色的储物柜有7个。
故答案为：2，7。
【点评】解答此题的关键在于理解不同位置的储物柜漏在外面的面有多少个。
考点卡片
1．长方形、正方形的面积
【知识点归纳】
长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab
正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的面积是多少？
分析：由于长方形的周长＝（长+宽）×2，所以用48除以2先求出长加宽的和，再根据长和宽的比是7：5，把长看作7份，宽看作5份，长和宽共7+5份，由此求出一份，进而求出长和宽分别是多少，最后根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形的面积即可．
解：一份是：48÷2÷（7+5），
＝24÷12，
＝2（厘米），
长是：2×7＝14（厘米），
宽是：2×5＝10（厘米），
长方形的面积：14×10＝140（平方厘米），
点评：本题考查了按比例分配的应用，同时也考查了长方形的周长公式与面积公式的灵活运用．
答：这个长方形的面积是140平方厘米．
例2：小区前面有一块60米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32米、宽28米的长方形花圃，其余的植上草皮．（如图）
①花圃的面积是多少平方米？
②草皮的面积是多少平方米？
分析：（1）长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解；
（2）草皮的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积，利用正方形和长方形的面积公式即可求解．
解：（1）32×28＝896（平方米）；
（2）60×60﹣896，
＝3600﹣896，
＝2704（平方米）；
答：花圃的面积是896平方米，草皮的面积是2704平方米．
点评：此题主要考查正方形和长方形的面积的计算方法．
【解题思路点拨】
（1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢．
（2）其他求法可通过分割补，灵活性高．
2．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（　　）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33＝27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
3．染色问题
【知识点归纳】
这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法．
染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点．
两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长﹣2）×12
一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×6
0面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×（棱长﹣2）
长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算．

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