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2025年新高考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共40分)
1．（5分）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）若复数是纯虚数，则实数（　　）
A．1 B． C． D．0
3．（5分）已知是等差数列的前项和，且，则（　　）
A．30 B．60 C．90 D．180
4．（5分）已知是单位向量，满足，则在方向上的投影为（　　）
A． B． C． D．1
5．（5分）已知圆，直线，则下列说法正确的是（　　）
A．直线过定点
B．直线与圆一定相交
C．若直线平分圆的周长，则
D．直线被圆截得的最短弦的长度为
6．（5分）将20个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为（　　）
A．1615 B．1716 C．286 D．364
7．（5分）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
9．（6分）下列说法正确的是（　　）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数等于中位数
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21
D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差为变小
10．（6分）已知，且，则（　　）
A． B．
C． D．
11．（6分）在三棱锥中，平面，平面内动点的轨迹是集合.已知且在棱所在直线上，，则（　　）
A．动点的轨迹是圆
B．平面平面
C．三棱锥体积的最大值为3
D．三棱锥外接球的半径不是定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共16分)
12．（5分）已知，则　 　.
13．（6分）在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为　 　，内切球表面积为　 　.
14．（5分）已知椭圆C：的离心率为，则椭圆的短轴长为　 　.
四、解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.(共5题；共76分)
15．（15分）记的内角的对边分别为，已知.
（1）（7分）求角；
（2）（8分）若，求面积的最大值.
16．（16分）如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为，延长直径到点，使得，分别过点、作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点．
（1）（8分）证明：平面平面；
（2）（8分）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求该圆锥的体积．
17．（15分）猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲 乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为，乙同学猜对每个灯谜的概率为.假设甲 乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：
（1）（5分）甲 乙任选1个独立竞猜，求甲 乙恰有一人猜对的概率；
（2）（5分）活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是；没有都猜对则在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是，求甲同学抽中新春大礼包的概率；
（3）（5分）甲 乙各任选2个独立竞猜，设甲 乙猜对灯谜的个数之和为，求的分布列与数学期望.
18．（15分）已知定点，动点到点F的距离比它到y轴的距离大1．
（1）（7分）求动点P的轨迹方程；
（2）（8分）过的直线，分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线，的斜率分别为，，若，求证：直线MN的斜率为定值．
19．（15分）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
（1）（7分）求的值；
（2）（8分）求函数的极值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
3．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差中项
4．【答案】D
【知识点】平面向量的投影向量
5．【答案】B
【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
6．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
7．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
8．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
9．【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；基本不等式
11．【答案】A,B,C
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体；平面与平面垂直的判定
12．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
13．【答案】；
【知识点】简单组合体的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
14．【答案】2
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
15．【答案】（1）解：由正弦定理，得，
又，所以，
即.
又，所以.
（2）解：由余弦定理，得，
所以.
由基本不等式知，
于是.
当且仅当时等号成立.
所以的面积，
当且仅当时，面积取得最大值.
【知识点】基本不等式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
16．【答案】（1）证明：圆锥的高为，则平面，平面，则，
因为点是切线与圆的切点，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：在中，因为，，所以，，
因为是圆的切线，所以，
在中，，，则，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：
如图所示：
则，，，，，
故，，易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，所以，
取，则，，所以，
因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，
所以，解得，
所以，
故该圆锥的体积为.
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
17．【答案】（1）解：设“甲猜对一个灯谜”，“乙消对一个灯谜”，
则
因为甲 乙恰有一人猜对的事件为，
所以
所以，甲 乙恰有一人猜对的概率为.
（2）解：设“甲猜对两道题”，“甲中奖”，
则
所以，甲同学抽中新春大礼包的概率.
（3）解：由（1）知.
易知甲 乙猜对灯谜的个数之和的可能取值为.
则
所以的分布列为
0 1 2 3 4
因此，的数学期望

【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
18．【答案】（1）解：由题设，，则，又，
∴，故动点P的轨迹方程为.
（2）解：由题设，令为，为，
联立抛物线，可得：，若，，
∴，则，同理可得，则，
∴，为定值.
【知识点】直线的斜率；轨迹方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
19．【答案】（1）解：函数定义域为，，
因为曲线在点处的切线平行于直线，
所以，解得；
（2）解：由（1）可得，
令，解得或，令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
3
+ 0 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
故时函数取极大值，极大值为，时函数取极小值，极小值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
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