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2025 年 江 苏 省 无 锡 市 中 考 一 模 猜 题 卷
数 学
注意事项：
1.本试卷共28小题，满分150分，考试时间120分钟
2.答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；
3.答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦牙净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的置上，不在答题区域内的答案无效，不得用其他笔答题；
4.考生答题必须答在答题卡律，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。）
1．如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（　　）
A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．平方
2．式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A．x ＞ 2 B． C． D．
3．分式方程的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣2 C． D．x＝2
4．某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（　　）
A．平均数是9.5 B．中位数是9.5 C．众数是9 D．方差是1
5．下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的全面积为(　　)
A． B． C． D．
7．我国古代数学名著《算法统宗》中，有一道“群羊逐草”的问题，大意是：牧童甲在草原上放羊，乙牵着一只羊来，并问甲：“你的羊群有100只吗？”甲答：“如果在这群羊里加上同样的一群羊，再加上一群的一半，一群的四分之一，再加上你的一只，就是100只.”问牧童甲赶着多少只羊？若设这群羊有只，则下列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，绕点顺时针旋转一定角度后得到，点刚好在的延长线上．若，则旋转角的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，菱形和菱形的边长分别为2和3，，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
10．已知和均是以为自变量的函数，为实数.当时，函数值分别为和，若存在实数，使得.则称和为友好函数，以下和不一定是友好函数的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．分解因式：2ab2﹣2a＝　 　．
12．把1092000精确到万位，用科学记数法表示为　 　．
13．如图为一个正边形的一部分，和延长后相交于点．若，则　 　．
14．命题“若，则”是　 　命题．（填“真”或“假”）
15．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是　 　（用“>”连接）．
16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 　 　．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，将△AOB向右平移到△CDE位置，点A，O分别与点C，D对应，函数的图象经过点C和CE的中点F，则k的值为　 　．
18．数学家菲尔贝提出借助图形代替演算的观点，这类图形称为“诺模图”．如图是关于x，y，z三者关系的诺模图，它是由点O出发的三条射线a，b，c组成，每条射线上都有相同的刻度，且射线端点刻度为0，其中a和c，b和c都相交成角．在射线a和b上分别取点A和B，对应的刻度值是x和y．用直尺连结交射线c于点C，点C的刻度值就是z的值．
（1）若，，则z的值是　 　；
（2）若，则　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等）
19．计算：
（1）.
（2）（﹣2x2）3+x2 x4+（﹣3x3）2．
20．解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来．
21．如图，已知：B，D，E，C在同一直线上，AB=AC，BD=CE求证：AD=AE.
22．从数中任取两个，其和的绝对值为（是自然数）的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为4的概率）．
（1）求的所有取值；
（2）求；
（3）能否找到概率，使？若能找到，请举例说明，若不能找到，请说明理由．
23．垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染、美化家园，甚至能够变废为宝、节约资源．为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，赤峰市某中学组织全校1565名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”（满分为100分）．该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，采用简单随机抽样的方法（即每名学生的竞赛分数被抽到的可能性相等的抽样方法）抽取部分学生的竞赛分数进行调查分析．
（1）以下三种抽样调查方案中，抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是　 　（填“方案一”“方案二”或“方案三”）
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定部分学生的竞赛分数作为样本；
方案二：从七年级、八年级中随机抽取部分男生的竞赛分数以及在九年级中随机抽取部分女生的竞赛分数作为样本；
方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本．
（2）该校数学兴趣小组根据简单随机抽样方法获得的样本，绘制出如下统计表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为x分）
分数段 50≤x＜60 60≤x＜70 8 50≤x＜90 90≤x≤100
频数 5 7 18 30 40
结合上述信息解答下列问题：
①样本数据的中位数所在分数段为 ▲ ；
②估计全校学生中竞赛分数达到“优秀”的学生有多少人．
（3）样本数据中，九（1）班的竞赛分数为“优秀”的学生有4人，其中3名男生、1名女生，现要从这4名学生中随机抽取2人给全校学生进行垃圾分类知识宣讲，请用画树状图或列表的方法，求抽到的2名学生为一男一女的概率．
24．
（1）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数.
（2）已知：和点M，N.
求作：点，使点到的两边距离相等，且到M，N两点的距离也相等.要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.
（温馨提示：为便于扫描，请将作图痕迹加粗加黑）
25．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进2个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要200元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要180元．
（1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格；
（2）该航天模型销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为60元，每个“天宫”模型的售价为45元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？
26．如图 ， 内接于半径为 5 的 ， 连结 并延长， 交 于点 ， 交 于点 ， 过点 作 ， 交 的延长线于点 ．
（1）求证： ．
（2） 当 时， 求 的长．
（3） 当 时， 设 的面积为 的面积为 ， 求 的值 （用含 的代数式表示）．
27．
（1）【问题提出】如图①，在正方形中，点分别在边上，．请判断与的数量关系，并说明理由．
（2）【类比探究】如图②，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形交于点，连接交于点．则与之间的数量关系为　 　．
（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，则的长为　 　．
28．如图，抛物线经过点，点，点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出直线的解析式；
（2）如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点E的坐标和面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．D
2．D
3．A
解：∵ ，
∴方程两边同时乘x（x+1），得x+1=2x，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x（x+1）≠0，
∴分式方程的解是x=1，
故答案为：A.
根据解分式方程的解法进行求解即可.
4．D
5．C
6．B
7．B
解：设这群羊有x只，由题意得
故答案为：B.
根据“ 在这群羊里加上同样的一群羊，再加上一群的一半，一群的四分之一，再加上你的一只，就是100只 ”列出方程即可.
8．C
9．C
解：如图，设BF、CE相交于点M，
∵四边形ABCD和四边形ECGF都是菱形，
∴CM∥GF，
∴△BCM∽△BGF，
∴＝，
即＝，
解得CM＝1.2，
∴DM＝2﹣1.2＝0.8，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°＝2×＝，
菱形ECGF边CE上的高为3sin60°＝3×＝，
∴阴影部分面积＝S△BDM+S△DFM＝×0.8×+×0.8×＝．
故答案为：C．
设BF、CE相交于点M，由菱形的对应平行得CE∥FG，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△BCM∽△BGF，根据相似三角形对应边成比例列式求出CM的长度，从而得到DM的长度，再根据正弦函数定义及特殊锐角三角函数值求出菱形ABCD边CD上的高与菱形ECGF边CE上的高，然后根据阴影部分的面积＝S△BDM+S△DFM，列式计算即可得解．
10．B
解：A、当 =，则 ，整理x2-x-1=0，
△=（-1）2-4×1×（-1）=5＞0，
∴存在 实数，使得.则称和为友好函数 ，故不符合题意；
B、当 =，则 ，整理x2+ax+-=0，
△=a2-3a+2，
当1＜a＜2时，△＜0， =无解，
∴不一定存在实数m，故符合题意；
C、当 =，则 ，整理x2-3x+2=0，
△=9-8=1＞0，
∴存在实数m，故不符合题意；
D、当 =，则 ， 整理x2+ax-a-2=0，
△=a2+4a+8=（a+2）2+4＞0，
∴存在实数m，故不符合题意；
故答案为：B.
根据 友好函数的定义，直接令=，建立关于x的方程，若方程无解即得结论.
11．2a(b+1)(b-1)
解：2ab2﹣2a=2a（b2-1）=2a(b+1)(b-1)。
故答案为：2a(b+1)(b-1).
观察此多项式的特点：含有公因式2a，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.
12．1.09×106
13．12
解：，∠BPC=120°
∴∠PAC=∠PCA=（180°-120°）÷2=30°
即正n边形的一个外角为，
，
故答案为：12．
正多边形的每个内角都相等，所以每个外角也都相等，据此可以得到∠PAC=∠PCA，再根据题目给出的，利用三角形内角和可求出这个正多边形的一个外角，最后根据多边形外角和为直接求出正多边形的边数.
14．假
15．
16．
解：如图，连接、，
令，则，
故点，
∵，
∴，
设圆的半径为，则，
∵点Q、O分别为、的中点，
∴是的中位线，
∴，
当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，
则此时最大，
此时，
故答案为：．
连接、，根据x轴上点的坐标特征可得，再根据勾股定理可得BC=5，设圆的半径为，则，根据三角形中位线定理可得，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，即可求出答案.
17．6
解：由平移可得，，
∵函数的图象经过点C
故C
则
∴E
∵F是CE的中点，
∴F
又∵点F在的图象上
∴
∴
故答案为：6．
根据题意可知，，，可表示出点C和点E的坐标，及CE的中点F 的坐标，利用函数的图象经过点F，代入列出关于k的方程，进行求解即可．
18．；
19．（1）
（2）解：原式＝﹣8x6+x6+9x6
＝2x6．
20．解：
由①，得：；
由②，得：，
∴不等式组的解集为：，
数轴表示解集如图：
先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式的解集，进而在数轴上表示出解集即可．
21．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中
∵
∴△ABD≌△ACE ()
∴AD＝AE
利用"SAS"证明即可.
22．（1）解：列表如下：
-2 -1 1 2 3
-2 　 3 1 0 1
-1 3 　 0 1 2
1 1 0 　 3 4
2 0 1 3 　 5
3 1 2 4 5 　
由表可知一共有20种情况，的所有取值有6种，分别为：0，1，2，3，4，5
（2）解：由表可知一共有20种等可能结果，其中和的绝对值为3的有4种
（3）解：能找到．由表可知
．
（1）利用列表法，即可表示出所有k的取值情况；
（2）由（1）中的表得到一共有20种等可能结果，其中和的绝对值为3的有4种，进而根据概率的计算公式即可求解；
（3）由（1）中的表得到，，，进而即可求解.
23．（1）方案三
（2）①80≤x＜90；
②由题意得，1565×=626（人），
答：估计全校学生中竞赛分数达到“优秀”的学生有626人；
（3）解：画树状图：
共有12种等可能的结果数，其中抽到的2名学生为一男一女的结果数为6，
所以抽到的2名学生为一男一女的概率为=．
解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，方案三：从全校1565名学生的竞赛分数中随机抽取部分学生的竞赛分数作为样本进行调查分析，是最符合题意的．
故答案为：方案三；
（2）①样本总数为：5+7+18+30+40=100（人），
成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在80≤x＜90，因此中位数在80≤x＜90组中；
故答案为：①80≤x＜90；
（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三符合题意；
（2）①根据中位数的定义，估计总体中位数所在的范围；
②用总人数乘以“优秀”的学生所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可。
24．（1）解：设这个多边形是n边形，由题意得：
（n﹣2）×180°＝360°×3
解得：n＝8，
答：这个多边形的边数是8．
（2）解：如图，点P即为所求．
（1）根据多边形内角和公式：（n-2）×180°，和多边形的外角和是360°列出方程，求解即可；
（2）由题意点P应该在∠AOB与线段MN的垂直平分线上，故用尺规先作∠AOB的角平分线，再作MN的垂直平分线，交点P即为所求.
25．（1）解：设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元．
由题意得，
解得．
答：每个“神舟”模型的进货价格为40元，每个“天宫”模型的进货价格为30元．
（2）解：设购进m个“神舟”模型， 个“天宫”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元．
由题意得，．
，
解得，，
∵，
∴w随m的增大而增大．由题意知，m取整数．
∴当时，w取得最大值，为（元）．
∴当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为1665元．
（1）设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进m个“神舟”模型， 个“天宫”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元．由题意得，，，解不等式可得m取值范围，再结合一次函数定义即可求出答案.
26．（1）证明：∵，
∴∠C=∠B，∠BAM=∠BDC，
∵AE∥BD，
∴∠E=∠BDC，
∴∠E=∠BAM，
∴△ABM∽△ECA
（2）解：∵△ABM∽△ECA，
∴∠ABM=∠C，∠AMB=∠E，
∵AB=AM，
∴∠B=∠AMB，
∴∠C=∠E，
∴AC=AE，
∵CM=4OM，
设OM=x，则CM=4x，
∴CO=CM+OM=x+4x=5x，
解之：x=1，
∴CM=4，
AM=5+1=6，
∵AE∥BD，
∴△CDM∽△CEA，
∴，
设DM=2m，则AE=AC=5m，
易证CD=DM=3m
∵AC时直径，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
∴，
∵AD2+CD2=AC2即16m2+4m2=102，
解之：，
∴.
（3）解：设△MCD的面积为x，
∵CM=kOM，
∴，
∴
∴
∴△ACD的面积为
∵DM∥AE，
∴，
∴△ADE的面积为
∴
（1）利用圆周角定理可证得∠C=∠B，∠BAM=∠BDC，利用平行线的性质可推出∠E=∠BDC，可得到∠E=∠BAM，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用相似三角形的性质可推出∠C=∠E，利用等角对等边可知AC=AE，利用已知设OM=x，则CM=4x，利用圆的半径长可求出x的值，可得到CM，AM的长，再利用相似三角形的判定和性质可求出DM与AE的比值，设DM=2m，则AE=AC=5m，易证CD=DM=3m，利用圆周角定理可证得∠ADC=∠ADE=90°，利用勾股定理可表示出AD的长，根据AD2+CD2=AC2，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到AD的长.
（3）设△MCD的面积为x，利用CM=kOM，可表示出OM，CM，AM的长，可求出AC与CM的比值，从而可表示出△ACD的面积，利用DM∥AE，可证得，可表示出△ADE的面积，然后求出 的值.
27．（1）解：与的数量关系为，理由如下：
如下图，过点作，交于点，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴；
（2）；
（3）2
解：（2）过点作于点，如下图，
则，
∵四边形为矩形，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
由折叠的性质，可得垂直平分，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
（3）∵，，
∴，
∵在中，，
∴，
设，则，
∴，
由折叠性质可得，
∴，
∴在中，由勾股定理可得，
即，解得，（不合题意，舍去），
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
（1）过作，交于点，根据正方形的性质及同角的余角相等得∠EBQ=∠EAB，由ASA证，得AE=BH，再证明四边形为平行四边形，得GF=BH，从而即可说明与的数量关系 ；
（2）过点作于点，易知四边形为矩形，可得，证明，由相似三角形的性质，即可获得答案；
（3）首先由（2）的结论可以求得，然后利用三角函数及勾股定理表示出：，，由勾股定理可得，结合折叠的性质得出，在中，由勾股定理可得，即可解出，，再由线段之间的数量关系，即可计算出答案.
28．（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为；
（2）点的坐标是时，的面积最大，最大面积是3；
（3）点的坐标是，或．

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