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(共16张PPT)
综合与实践
综合与实践
初中阶段综合与实践领域，以问题解决为导向，发展学生解决问题的能力.运用频率估计概率求不规则图形的面积，在社会生活的真实情境中，结合统计与概率等内容，经历现实情境数学化，探索数学关系、性质与规律的过程.
运用频率估计概率求不规则图形的面积
例 【综合与实践】
如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ABC，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案：
①在此封闭图形内画出一个半径为 1 m 的圆；
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：
综合与实践
综合与实践
综合与实践
综合与实践
【数学发现】
（1）若以小石子所落的有效区域为总数（即 m+n），则表格中的数据 x=________；随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 ________ 附近（结果精确到 0.1）；
【结论应用】
（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留 π）
综合与实践
［答案］解：（1）0.305 0.3
（2）因为圆的面积=π×12=π（m2），所以估计整个封闭图形的面积=π÷0.3= π（m2）.
综合与实践
［点拨］ 解决此类型的题目时，可以先用频率估计出规则图形相对应的概率，然后求出规则图形的面积，最后再计算不规则图形的面积.
专项突破———概率初步
专项突破———概率初步
求某事件发生的概率时 ，首先应列出所有可能发生的结果，并确定每种结果发生的可能性都相等 ；然后确定所有可能发生的结果种数 n 和其中出现所求事件的结果种数 m；最后计算所求事件发生的概率 P（所求事件）= .
■专项 概率的计算
典例 1 四张扑克牌的点数分别是 2，3，4，8，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．从中随机抽取一张牌，这张牌的点数是偶数的概率是 _______.
专项突破———概率初步
［答案］
专项突破———概率初步
［解析］ 四张扑克牌的点数分别是 2，3，4，8，其中点数是偶数的有 3 张，所以从中随机抽取一张牌，点数是偶数的概率是 .
典例 2 如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，把转盘 A，B 分别分为 4 等份、3 等份，在每一份内标上数字，并设置游戏规则：转动两个转盘各一次，转盘停止后，若指针所指的两个数字之和大于 8，则甲获胜；若两个数字之和小于 8，则乙获胜.
（1）求甲、乙两人获胜的概率；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你修改规则，使游戏对双方公平．
专项突破———概率初步
专项突破———概率初步
［答案］解：（1）转动两个转盘各一次共有 12 种等可能的结果，分别为 1+5=6，1+6=7，1+7=8，2+5=7，2+6=8，2+7=9，3+5=8，3+6=9，3+7=10，4+5=9，4+6=10，4+7=11，其中两数之和大于 8 的有 6 种，两数之和小于 8 的有 3 种，所以 P（甲获胜）= = ，P（乙获胜）= = ；
（2）因为 ＞ ，所以 P（甲获胜）＞P（乙获胜），所以游戏对双方不公平.修改规则为转动两个转盘各一次，转盘停止后，若指针所指的两个数字之和大于 8，则甲获胜；若两个数字之和小于或等于 8，则乙获胜.（修改规则不唯一）
专项突破———概率初步
［点拨］ 本题考查了游戏的公平性，判断游戏的公平性需要先计算每个事件发生的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平.
专项突破———概率初步(共33张PPT)
3.3 等可能事件的概率
第一课时 等可能事件发生的概率
● 考点清单解读
● 重难题型突破
第一课时 等可能事件发生的概率
■考点 等可能事件发生的概率
等可能 事件 设一个试验的所有可能的结果有 n 种，每次试验有且只有其中的一种结果出现.如果每种结果出现的可能性相同，那么我们就称这个试验的结果是等可能的
等可能 事件发 生的概 率公式 一般地，如果一个试验有 n 种等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为 P（A）=
第一课时 等可能事件发生的概率
续表
等可能 事件发 生的概 率的计 算步骤 （1）列出所有可能发生的结果，并确定每种结果发生的可能性都相等
（2）确定所有可能发生的结果种数 n 和其中出现所求事件的结果种数 m
（3）计算所求事件发生的概率：P（所求事件）=
第一课时 等可能事件发生的概率
归纳总结 试验需要满足下面两个特点才能使用概率公式.①有限性：每一次试验中，可能出现的结果只有有限个；②等可能性：每一次试验中，各种结果出现的可能性相等.
第一课时 等可能事件发生的概率
典例 在一个不透明的口袋中装有 6 个完全相同的小球，把它们分别标号为 0，1，2，3，4，5 ，从中随机摸出一个小球，其标号大于 3 的概率为 （ ）
A． B．
C． D．
对点典例剖析
第一课时 等可能事件发生的概率
［解析］根据题意可得，共有 6 个球，标号大于 3 的球有 2 个，故随机摸出一个小球，其标号大于 3的概率是 = ．
［答案］ A
第一课时 等可能事件发生的概率
■题型 求随机事件的概率
例 笔筒中有 10 支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上 1～10 的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是 3 的倍数的概率是 （ ）
A． B．
C． D．
第一课时 等可能事件发生的概率
［答案］ C
［解析］因为共有 10 种等可能的结果，其中是 3 的倍数的有 3，6，9，共 3 种结果，所以抽到编号是 3 的倍数的概率是 .
第一课时 等可能事件发生的概率
变式衍生 文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”．已知一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 20 s，绿灯亮 30 s，黄灯亮 10 s，则当圆圆经过这个路口时，信号灯恰好是绿灯的概率为 _____.
第一课时 等可能事件发生的概率
第二课时 游戏的公平性
● 考点清单解读
● 重难题型突破
第二课时 游戏的公平性
■考点 游戏的公平性
游戏的 公平性 判断游戏的公平性就是要计算每个事件的概率，如果概率相等，那么游戏就公平；如果概率不相等，那么游戏就不公平
按要求设计游 戏 设计游戏是根据要求定好的规则解决具体问题，实际就是计算概率的逆向应用
（1）必须保证游戏中出现的各类事件是等可能的；
（2）设计公平游戏时，要使随机事件发生的概率相同
第二课时 游戏的公平性
第二课时 游戏的公平性
归纳总结 游戏对双方公平并不是说每一方获胜的概率都是 ，只要游戏双方获胜的概率相等即可.
第二课时 游戏的公平性
典例 用 14 个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏．
（1）使得摸到红球的概率是 ，摸到白球的概率也是 ；
（2）使得摸到红球的概率是 ，摸到白球和黄球的概率都是 ．
对点典例剖析
第二课时 游戏的公平性
［答案］解：（1）摸球游戏：有 7 个红球，7 个白球；
（2）摸球游戏：有 6 个红球，4 个白球和 4 个黄球．
■题型 根据概率判断游戏的公平性
例 小明和小亮玩这样一个游戏，将三张写有数字 0，1，2 的小卡片放入一个小盒子中，这三张卡片除写有的数字外都相同，随机摸出一张卡片，若是偶数，则小明获胜；若是奇数，则小亮获胜，这个游戏是否公平？若不公平，谁获胜的机会大？请你帮他们设计一个公平的游戏规则.
第二课时 游戏的公平性
第二课时 游戏的公平性
［答案］ 解：不公平，P（小明胜）= ，P（小亮胜）= ，因为 ＞ ，所以游戏不公平，小明获胜的机会大.设计公平的游戏规则为：若小于 1，则小明获胜；若大于 1，则小亮获胜.（游戏规则不唯一）
第三课时 转盘问题中的概率
● 考点清单解读
● 重难题型突破
第三课时 转盘问题中的概率
■考点一 转盘问题中的概率
概念 转盘问题中指针停留在某扇形内的概率等于该扇
形的面积除以圆的面积，也等于该扇形所占的份
数除以总份数，也等于该扇形的圆心角的度数除以 360 °， 即 P（指针停留在某扇形内）= =
=
注意 当转盘不是由规则的图形组成时，概率问题不能根据某个区域的面积与总面积的比值求解，要根据该区域所占的圆心角的度数与 360°的比值求出概率
第三课时 转盘问题中的概率
第三课时 转盘问题中的概率
典例 1 如图，甲转盘被均匀地分成四等份；乙转盘被均匀地分成两等份，转动转盘时指针停在红色区域的概率哪个大？
对点典例剖析
第三课时 转盘问题中的概率
［答案］解： P甲（指针停在红色区域）= = ，P乙（指针停在红色区域）= ，故两个转盘指针停在红色区域的概率一样大.
■考点二 几何图形中的概率（拓展）
概念 在与图形有关的概率问题中，概率的大小往
往与面积有关，这种类型的概率称为几何概率
注意 在几何事件中，某一事件发生的概率等于这一
事件所有可能结果组成的图形的面积（或长度
或体积）除以所有可能结果组成的图形的面积
（或长度或体积）
第三课时 转盘问题中的概率
第三课时 转盘问题中的概率
典例 2 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色不同外其他完全相同，那么小球最终停留在蓝色方砖上的概率是 ______.
对点典例剖析
第三课时 转盘问题中的概率
［答案］
［解析］ 小球最终停在蓝色方砖上的概率= 蓝色方砖面积整个地板的面积 = .
■题型一 利用转盘游戏解决实际问题
例 1 如图，超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满 300元者即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形转盘，被分成 16 等份，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分别获得一、二、三等奖，奖金依次为 60 元 、50 元、40 元．
（1）分别计算获一、二、三等奖的概率；
（2）李阿姨一次性购物满 300 元，
摇奖一次，获奖的概率是多少？
第三课时 转盘问题中的概率
第三课时 转盘问题中的概率
［答案］解：（1）因为整个圆被分成了 16 等份，红色部分占 1 份，黄色部分占 2 份，蓝色部分占 4 份，所以获得一等奖的概率为 ，获得二等奖的概率为 = ，获得三等奖的概率为 = ；
（2）因为整个圆被分成了 16 等份，其中有奖的有 1+2+4=7（份），所以 P（获奖）= .
第三课时 转盘问题中的概率
变式衍生 某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动 1 次转盘，则其中奖的概率为 _____．
■题型二 利用几何图形中的概率解决实际问题
例 2 如图是一张长方形纸板，顺次连接各边中点得到一个四边形．将一个飞镖随机投掷到大长方形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是 （ ）
A． B．
C． D．
第三课时 转盘问题中的概率
第三课时 转盘问题中的概率
［答案］ A
［解析］ 由图形可知，阴影部分的面积是大长方形面积的 ，所以飞镖落在阴影区域的概率是 .
第三课时 转盘问题中的概率
思路点拨 根据“飞镖落在阴影部分的概率=”可得答案.
解题通法 求几何概率时，计算长度比、面积比、体积比等是解题的关键．(共19张PPT)
3.1 感受可能性
● 考点清单解读
● 重难题型突破
● 易错易混分析
3.1 感受可能性
■考点一 确定性事件与随机事件
类别 定义 举例
确 定 性 事 件 必然 事件 在一定条件下进行 可重复试验时，有些事件一定会发生，这样的事件称为必然事件 在一个只装有红球的袋中，摸出一个球是红球
不可能 事件 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定不会发生，这样的事件称为不可能事件 在一个只装有红球的袋中，摸出一个球是白球
3.1 感受可能性
续表
类别 定义 举例
随机事件 在一定条件下进行可重复试验时，有些事件可能发生也可能不发生，这样的事件称为随机事件 在一个装有红球和白球的袋中，摸出一个球是红球
归纳 3.1 感受可能性
3.1 感受可能性
归纳总结
（1）确定性事件发生前是可以预知结果的，而随机事件发生前是不能预知结果的；
（2）一般地，判断事件的类型是在一定条件下进行的，不同的条件可能会导致不同的事件归类，如标准大气压下，水加热到 100 ℃沸腾是必然事件，但当气压高于标准大气压时，水的沸点提高，水加热到 100 ℃沸腾就不是必然事件了.
3.1 感受可能性
典例1 下列事件是必然事件的是（ ）
A． 两直线平行，同位角相等
B． 校园排球比赛，九（1）班获得冠军
C． 掷一枚硬币，正面朝上
D． 打开电视，正在播放新闻联播
对点典例剖析
3.1 感受可能性
［解题思路］
［答案］ A
■考点二 事件发生的可能性大小
必然事件 一定会发生 发生的可能性是 100%
不可能事件 一定不会发生 发生的可能性是 0
随机事件 发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同 发生的可能性都在 0～100%之间（不包括 0 和 100%）
3.1 感受可能性
1.判断事件发生的可能性大小，首先要确定这个事件是什么事件，不同事件的可能性大小不同.一般有如下结论：
2. 比较随机事件发生的可能性大小的方法：
比较随机事件发生的可能性大小时，可在相同的条件和总数一定的情况下，通过可能出现的结果数进行比较，结果数越多，则这个事件发生的可能性越大.
3.1 感受可能性
3.1 感受可能性
归纳总结 （1）随机事件发生的可能性有大小之分，可以用“可能性极小”“不太可能”“可能”“很可能”“可能性极大”等来描述；
（2）不太可能发生的事件是指事件发生的可能性很小，但还是有可能发生，因此它是随机事件；不可能事件是可以预知、确定一定不会发生的事件；
（3）巧记事件分类：事件发生情况要分明，必然事件百分百，不可能事件必为 0，随机事件不确定.
3.1 感受可能性
典例2 排队时，小亮和 2 位同学站成一横排，其中小亮“站在中间”的可能性 _____ 小亮“站在两边”的可能性（选填“＞”“＜”或“＝”）．
对点典例剖析
3.1 感受可能性
［解题思路］3 个人站成一排，小亮站在哪个位置都有可能，“小亮站在正中间”的情况有 1 种，“小亮站在两边”的情况有 2 种，故小亮“站在中间”的可能性＜小亮“站在两边”的可能性.
［答案］ ＜
■题型 根据可能性的大小设置随机事件
例 在不透明的箱子中放有 4 张红色卡片和 7 张黄色卡片，每张卡片除颜色不同外其他都相同.
（1）从中任意抽出一张卡片，若使抽到黄色卡片的可能性小，则应该至少再往箱子中放几张红色卡片？
（2）如果另外拿 5 张卡片放入箱子中，你认为怎样放才能使抽到红色卡片和黄色卡片的可能性相同？
3.1 感受可能性
3.1 感受可能性
［答案］ 解：（1）至少再往箱子中放 7+1-4=4（张）红色卡片 ；
（2）设往箱子中放入 x 张红色卡片，则由题意，得 4+x=7+5-x，解得 x=4，则 5-x=1，所以应该往箱子中放入 4 张红色卡片，1 张黄色卡片，才能使抽到红色卡片和黄色卡片的可能性相同．
3.1 感受可能性
解题通法 在同一试验中，数量越多，摸到或选中的可能性越大；数量越少，摸到或选中的可能性越小；数量相等，摸到或选中的可能性相同.
■误认为可能性很大的事件必然发生
例 一个不透明的袋子中装有 20 个红球、2 个黑球、1 个白球，它们除颜色不同外其他都相同 ，若从中任意摸出 1 个球，则 （ ）
A． 摸出黑球的可能性最小
B． 不可能摸出白球
C． 一定能摸出红球
D． 摸出红球的可能性最大
3.1 感受可能性
3.1 感受可能性
［解析］因为不透明的袋子中红球个数最多、白球个数最少，所以摸到红球的可能性最大，摸到白球的可能性最小.
3.1 感受可能性
［答案］ D
［易错］ B 或 C
［错因］ 误认为可能性很小的事件一定不会发生，可能性很大的事件一定会发生.
3.1 感受可能性
易错警示 容易认为可能性很小的事情就一定不会发生，可能性很大的事情就一定会发生.
领悟提能 必然事件在一定条件下一定会发生，不可能事件在一定条件下一定不会发生，可能性很小的事件也可能会发生，可能性很大的事件也可能不会发生.(共23张PPT)
3.2 频率的稳定性
● 考点清单解读
● 重难题型突破
● 方法技巧点拨
3.2 频率的稳定性
■考点一 频 率
频率的定义 在 n 次重复试验中，事件 A 发生了 m 次，则比值 称为事件 A 发生的频
事件发生频率与可能性的关系 事件发生的频率，在某种程度上反映了
事件发生的可能性大小
3.2 频率的稳定性
1. 垂线
3.2 频率的稳定性
归纳总结 求解频率时，应用公式频率= ，找到相关数据代入计算即可.
3.2 频率的稳定性
典例1 嘉嘉与淇淇两位同学做抛骰子（均匀正方体形状）试验，他们共抛了 54 次，向上点数出现的次数如下表：
请计算出现向上点数为 3 的频率及出现向上点数为 5 的频率.
对点典例剖析
3.2 频率的稳定性
［答案］解：向上点数为 3 的频率为 ；向上点数为5的频率为 = .
■考点二 频率的稳定性及用频率估计概率
频率 的稳 定性 一般地，在大量重复的试验中，一个随机事
件发生的频率会在某一个常数附近摆动，这个
性质称为频率的稳定性
概率的 定义 我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数
值，称为这个事件的概率，我们常用大写字母
A，B，C 等表示事件，用 P（A）表示事件 A 发生的概率
3.2 频率的稳定性
1. 垂线段的性质
续表
用频率估计概率 一般地，在大量重复的试验中，我们可以用事
件 A 发生的频率来估计事件 A 发生的概率
各类型事 件发生的 概率 必然事件发生的概率是 1
不可能事件发生的概率是 0
随机事件 A 发生的概率 P（A）是 0 与 1 之间的一个常数
3.2 频率的稳定性
3.2 频率的稳定性
归纳总结
（1）用频率估计概率的大小时，试验一定要在相同的条件下进行，试验的次数越多，得到的频率就越稳定，这个频率稳定值可以用来估计事件发生的概率；（2）当试验的所有可能结果不是有限个，或结果的个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过频率来估计概率..
3.2 频率的稳定性
典例2 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约是 _____（结果精确到 0.1）．
对点典例剖析
3.2 频率的稳定性
［答案］ 0.9
［解题思路］根据统计图可以发现，频率在 0.9 附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率约是 0.9.
■题型一 根据频率确定试验对象的个数
例 1 一个口袋中有红球、黄球共 10 个，这些球除颜色外其余均相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸一个球，记下它的颜色之后再放回口袋．不断重复这一过程，共摸了 100 次球，发现有 59 次都是摸到红球，则这个口袋中大约有 _____ 个红球．
3.2 频率的稳定性
3.2 频率的稳定性
［答案］ 6
［解析］因为共摸了 100 次球，发现有 59 次都是摸到红球，所以摸到红球的概率约为 ≈ = ，所以这个口袋中红球大约有 10× ＝6（个）.
3.2 频率的稳定性
变式衍生 1 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获 50 条鱼，在每一条鱼身上作好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次试验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在 5% 左右，则鱼塘中估计有鱼 _________ 条.
1 000
■题型二 用频率估计概率解决实际问题
例 2 一粒木质中国象棋棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从一定高度抛掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表：
3.2 频率的稳定性
3.2 频率的稳定性
（1）求出上表中数据 a 和 b 的值；
（2）根据表格，请你估计将棋子从一定高度抛掷，落地反弹后“帅”字面朝上的概率是多少？（保留两位小数）
3.2 频率的稳定性
［答案］ 解：（1）由题意知，a=20×0.7=14，b= =0.55；
（2）根据表格数据，估计落地反弹后“帅”字面朝上的概率是 0.55．
［解析］（1）根据公式频率= 即可求出 a 和 b 的值；（2）在大量重复试验中，可以用事件的频率来估计其概率.
3.2 频率的稳定性
变式衍生 2 某校七年级一名学生进行定点投篮训练，其成绩如下表，则这名学生定点投篮一次，投中的概率约为 _____（精确到 0.1）．
0.6
3.2 频率的稳定性
思路点拨
■不能正确理解频率与概率的关系
3.2 频率的稳定性
例 掷一枚质地均匀的硬币，前 6 次都是正面朝上，则掷第 7 次时正面朝上的概率是 （ ）
A． 1 B．
C． D． 0
3.2 频率的稳定性
［解析］因为掷一枚质地均匀的硬币时，每次正面朝上和朝下的概率相同，所以再次掷出这枚硬币，正面朝上的概率是 ．
3.2 频率的稳定性
［答案］ C
［易错］ A
［错因］ 误认为前 6 次都是正面朝上，则掷第 7 次时也是正面朝上.
3.2 频率的稳定性
易错警示 容易混淆频率与概率的概念，认为频率就是概率.
领悟提能 用频率估计概率，试验次数必须足够多.

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