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【50道常考综合题专练】浙教七年级下册第2章 二元一次方程组
1．周末，明明帮妈妈去超市买菜，回家后与妈妈有一段对话：
根据上面的信息，请你列方程组求明明买了牛肉和鸡蛋各多少斤？
2．塘栖枇杷是余杭的特色产品，肉质细嫩、汁多味鲜，塘栖枇杷有着非常悠久的历史，据相关文献记载，塘栖枇杷的种植距今已经有 1400多年的历史．某销售商将塘栖枇杷分成型、型两种礼盒进行销售，①型每盒，每盒售价元；②型每盒，每盒售价比型价格的2倍少50元．某位顾客买了一盒型，两盒型，一共花费340 元．
（1）请问型、型售价分别是多少元？
（2）假设用这两种包装方式恰好包装完所有的枇杷．销售总收入为9820元．
①若这批塘栖枇杷全部售完，请问型、型分别有多少盒？
②若该销售商留下盒型礼盒送人，剩余礼盒全部售出，求出的值．
3．3月12日植树节，为贯彻“绿水青山就是金山银山”的生态理念，学校组织植树活动．已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人．现调人去支援，使在甲处植树的人数比乙处植树人数的倍多人，求应调往甲处的人数．
4．某校举办运动会，计划购买奖章颁发给获奖者．已知甲种奖章每个20元，乙种奖章每个35元，若购买甲种奖章x个，乙种奖章y个，需要花费380元．
（1）试列出关于x，y的二元一次方程：__________________．
（2）当甲种奖章有12个时，求乙种奖章的个数．
（3）当乙种奖章有8个时，求甲种奖章的个数．
5．某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图2），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图1）．（注：图1中向上的一面无盖）
（1）如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片 张，正方形纸片 张；
（2）现将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？
6．2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”．某健身器材店，为配合全市“全民健身日”活动，决定八折出售甲、乙两种型号的健身器材，已知一台甲种型号健身器材的原价比一台乙种型号健身器材的原价少50元，优惠后购买3台甲种型号健身器材和2台乙种型号健身器材共需费用480元，求两种型号健身器材的原价分别为多少元？
7．某一天，蔬菜经营户花元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共千克，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示：
品名 黄瓜 茄子
批发价（元千克）
零售价（元千克）
（1）蔬菜经营户批发了黄瓜和茄子各多少千克？
（2）当天上午在卖两种蔬菜各一半后，为尽快售完，再进新菜，决定对剩下的蔬菜降价出售，黄瓜和茄子均打九折销售，蔬菜经营户卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？
8．某单位在疫情期间购买甲、乙两种防疫品共三次，只有一次甲、乙同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买甲、乙的数量和费用如下表：
　 购买甲的数量（个) 购买乙的数量（个） 购买总费用（元）
第一次购物 60 50 1140
第二次购物 30 70 1110
第三次购物 90 80 1062
（1）该单位在第　 　次购物时享受了打折优惠；
（2）求出防疫品甲、乙的标价.
9．解下列方程组
（1） （用代入法）
（2） （用加减法）
10．已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程 的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足 ，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程 总有一个公共解，请直接写出这个公共解．
11．已知：用3辆型车和2辆型车载满货物一次可运货17吨；用2辆型车和3辆型车载满货物一次可运货18吨．某物流公司现有35吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货多少吨
（2）该物流公司有哪几种租车方案
（3）若型车每辆需租金200元/次；型车每辆需租金250元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
12．某加工厂生产大、小两种型号的书包.5个大书包和6个小书包成本需320元，4个大书包和3个小书包成本需220元．该工厂每日生产1000个书包，并按照大书包每个75元，小书包每个40元的价格出售，每日可获利润26000元．
（1）该工厂生产的两种书包每个成本各是多少元？
（2）为提高工厂效益，现增加生产线，每日可多生产650个书包，全部卖出后，此时大、小书包利润相同．求额外增加的生产线，每天生产大小书包各多少个？
13．古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．
根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
甲：乙：
（1）根据甲同学所列的方程组，请你指出未知数x、y表示的意义
甲：x表示　 　，y表示　 　；
请你补全乙同学所列的方程组：
乙：①　 　，②　 　；
（2）求A、B两工程队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程）
14．放学后，小君和小颖分别带有30元钱，到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本.这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元；一次购买的卡通笔记本达到5本及以上，可以享受9折优惠.小君要买4支笔芯，3本笔记本，共需花30元；小颖要买6支笔芯，2本笔记本，也需30元.
（1）如果单独购买，一支笔芯的价格和一本笔记本的价格各是多少元
（2）小君和小颖都还想再买一件单价为3.5元的小工艺品，他们要怎样做才能在现有钱的条件下，既买到各自需要买的文具，又能买到小工艺品呢 请通过计算说明.
15．某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．
（1）求大、小两种垃圾桶的单价；
（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？
16．“无夜景，不重庆”，以“祖国万岁”为主题的庆祝中华人民共和国成立70周年灯光秀，9月21日至10月10日在“山水之城，美丽之地”重庆上演.据了解，此次以重庆大剧院灯光“领舞”，临近的12栋楼宇灯光联动变化的“梦幻江北嘴”灯光秀共使用LED照明灯和LED投射灯共50万个，共花费860万元.已知LED照明灯的售价为每个8元，LED投射灯的售价为每个100元.请用方程或方程组的相关知识解决下列问题：
（1）本次“梦幻江北嘴”灯光秀使用LED照明灯和LED投射灯各多少个？
（2）某栋楼宇计划安装LED照明灯18000，LED投射灯500个因楼宇本身的设计原因，实际安装时LED投射灯比计划多安装了20%，LED照明灯的数量不变，商家为祖国70华诞而让利把LED照明灯和LED投射灯售价分别降低了m%、 m%，实际上这栋楼宇LED照明灯和LED投射灯的总价为159000元，请求出m的值.
17．科技改变世界，随着科技的发展，自动化程度越来越高，机器人市场越来越火，某商场购进一批A，B两种品牌的编程机器人，进价分别为每台3000元、4000元，市场调查发现：销售3个A品牌机器人和2个B品牌机器人，可获利润6000元；销售2个A品牌机器人和3个B品牌机器人，可获利润6500元。
（1）此商场A，B两种品牌的编程机器人销售价格分别是多少元？
（2）若商场准备用不多于65000元的资金购进A，B两种品牌的编程机器人共20个，则至少需要购进A品牌的编程机器人多少个？
（3）不考虑其它因素，商场打算B品牌编程机器人数量不多于A品牌编程机器人数量的 ，现打算购进A，B两种品牌编程机器人共40个，怎样进货才能获得最大的利润？
18．古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．伴着三月的春风，哼着欢快的曲调，七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话：
王老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．”
小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．”
小萱：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”．
根据以上对话，解答下列问题：
（1）参加此次活动的七年级师生共有 人；
（2）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（3）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有哪几种租车方案？
19．已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值；
（3）无论实数m取何值时，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，求出这个解.
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值.
20．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆）
汽车运费（元/辆）
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费 元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知他们的总辆数为 辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元？
21．阅读材料并回答下列问题：
当 都是实数， 且满足 ， 就称点 为"友好点". 例如： 点 ，令 ， 得 ， 所以 不是"友好点"， 点 ， 令 .
得 ， 所以 是"友好点".
（1） 请判断点 是否为"友好点"， 并说明理由.
（2）以关于 的方程组 的解为坐标的点 是 "友好点"， 求t 的值.
22．养牛场的李大叔分三次购进若干头大牛和小牛．其中有一次购买大牛和小牛的价格同时打折，其余两次均按原价购买，三次购买的数量和总价如下表：
（1）李大叔以折扣价购买大牛和小牛是第　 　次；是打　 　折.
（2）用解方程（组）的方法求大牛和小牛的原价.
　 大牛（头） 小牛（头） 总价（元）
第一次 4 3 9900
第二次 2 6 9000
第三次 6 9 13230
23．已知关于x、y的方程组 ．
（1）当a满足22a+3﹣22a+1=96时，求方程组的解；
（2）当程组的解满足x+y=16时，求a的值；
（3）试说明：不论a取什么实数，x的值始终为正数．
24．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，某校欲购置规格分别为300mL和500mL的甲、乙两种免洗手消毒液共400瓶，其中甲消毒液15元/瓶，乙消毒液20元/瓶.
（1）如果购买这两种消毒液共7500元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶
（2）在（1）的条件下，若该校在校师生共1800人，平均每人每天都需使用10mL的免洗手消毒液，则这批消毒液可使用多少天
25．我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
（1）求甲、乙两人各带的钱数；
（2）若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？
26．根据题意列出方程组
（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？
（2）将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼中放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼中放5只，则有一个笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
27．解方程组
（1）
（2）
28．某中学组织一批学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满.已知45座客车租金为每辆300元，60座客车租金为每辆400元，问：
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？
29．解方程组：
（1）
（2） ．
30．丝路之旅，让中国荔枝名满天下，丝路之约，让车厘子的甘甜绽放中国舌尖．在“一带一路”政策的帮扶下，更多的中国荔枝走出国门，更多的进口车厘子走入中国市场．一天小雪跟妈妈路过水果市场．小雪跟妈妈说：“我买一斤车厘子的钱可以买三斤荔枝了．”妈妈说：“我用126元买了两斤车厘子和一斤荔枝．”请根据小雪跟妈妈的对话，求出车厘子和荔枝的单价．
31．解决以下问题:
（1）已知方程组 和方程组 有相同的解,求 的值；
（2）已知甲、乙两人解关于 的方程组 甲正确解出 而乙把 抄错,结果解得 求 的值.
32．学校的教育教学质量与教师的团队建设质量有很大的关系，同时学校的硬件设施好也能对提高教育教学质量起到促进作用．某校长为提高本校办学条件，计划用元购置一批电脑（这批款项恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台元，台式电脑每台元，笔记本电脑每台元．
（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共台，请你帮学校设计购买方案；
（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于台，请你帮学校设计购买方案．
33．已知二元一次方程 （ 、 均为常数，且 ）
（1）当 时，用x的代数式表示y；
（2）若 是该二元一次方程的一个解；
①探索 关系，并说明理由；
②若该方程有一个解与 的取值无关，请求出这个解.
34．对于一个三位数 ，如果 满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于8，那么称这个数 为“快乐数”.例如： ， ， 是“快乐数”； ， ， 不是“快乐数”.
（1）判断844，735是否为“快乐数”？并说明理由；
（2）若将一个“快乐数” 的个位数的3倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数 （例如：若 ，则 ），若 也是一个“快乐数”，求满足条件的所有 的值.
35．下表是某工厂设计玩具的裁剪方案．
课题 设计裁剪方案
素材1 如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具．
素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗）
我是裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整．方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料；方案二：裁剪8张豌豆的布料和______张豌豆荚的布料；方案三：裁剪______张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料．
任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？
36．已知关于 的方程组 ，
（1）若用代入法求解，可由①得： =　 　③，把③代入②解得 =　 　，将其代入③解得 =　 　，∴原方程组的解为　 　；
（2）若此方程组的解 互为相反数，求这个方程组的解及 的值．
37． 母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根据如图中的信息.
（1）求每束鲜花和一个礼盒的价格；
（2）小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了多少钱？
38．解方程组
（1）
（2） ．
39．某工厂现有甲种原料10吨，乙种原料15吨，计划用这两种原料生产A、B两种产品，两种原料都恰好全部用完．生产一件A、一件B产品与所需原料情况如下表所示：
　 甲种原料（吨） 乙种原料（吨）
A产品（件） 1 3
B产品（件） 2 1
（1）求该厂生产A、B两种产品各有多少件；
（2）如果购买这批原料共花费5万元，A、B产品的销售单价分别为2万元/件和3万元/件，求全部销售这批产品获得的利润是多少万元．
40．列方程解应用题：7月，某水果店用370元购进葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的2倍还多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的进价分别为5元、2元，售价分别为8元、5元．
（1）求购进两种水果各多少千克？
（2）8月，水果店以7月的进价又购进葡萄、西瓜两种水果，其中葡萄、西瓜的重量都不变，葡萄降价y元销售，西瓜按原价销售，8月份两种水果售完后的总利润是315元，求y的值．
41．为了防治“新型流感”，某班级准备用元购买医用口罩和消毒液发放给同学．若医用口罩买个，消毒液买瓶，则钱还剩余元；若医用口罩买个，消毒液买瓶，则钱恰好用完．
（1）求医用口罩和消毒液的单价；
（2）小杰到药店购买同款医用口罩和消毒液，两种商品共花了元．请写出所有的购买方案．
42．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
43．为了响应市委和市政府“绿色环保，节能减排”的号召，幸福商场用3300元购进甲、乙两种节能灯共计100只，很快售完.这两种节能灯的进价、售价如表所示：
进价（元/只） 售价（元/只）
甲种节能灯 30 40
乙种节能灯 35 50
（1）求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只
（2）全部售完100只节能灯后，商场共计获利多少元
44．小明手中有块长方形的硬纸片如图所示，其中长比宽多，长方形的周长是．
（1）求长方形的面积；
（2）小明想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为，面积为的新纸片作为它用，试判断小明能否成功，并说明理由．
45．已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物—次可运货10吨；用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨．某物流公司现有货物35吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金130元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
46．规定：形如关于x，y的方程x+ky=b与kx+y=b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1.由这两个方程组成的方程组 叫做共轭方程组.
（1）方程3x+y=5的共轭二元一次方程是　 　；
（2）若关于x，y的方程组 为共轭方程组，则a=　 　，b=　 　.
（3）若方程x+ky=b中x，y的值满足下列表格：
x -1 0
y 0 2
则这个方程的共轭二元一次方程是　 　.
47．某校共有5个大餐厅和2个小餐厅.经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.
48．某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
49．蛋糕点厂生产大小两种月饼，下表是 型、 型、 型三种月饼礼盒中装有大小两种月饼数量和需要消耗的面粉总重量的统计表.
（1）直接写出制作1个大月饼要用　 　 面粉，制作1个小月饼要用　 　 面粉；
（2）直接写出 　 　， 　 　；
（3）经市场调研，该糕点厂要制作一批 型月饼礼盒，现共有面粉63000 ，问制作大小两种月饼各用多少面粉，才能生产最多的 型月饼礼盒？
50．对，定义一种新运算：．
例如：当，时，．
（1）若，，求和的值；
（2）若是非负数，，求的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【50道常考综合题专练】浙教七年级下册第2章 二元一次方程组
1．周末，明明帮妈妈去超市买菜，回家后与妈妈有一段对话：
根据上面的信息，请你列方程组求明明买了牛肉和鸡蛋各多少斤？
【答案】明明买了牛肉2斤，鸡蛋4斤
2．塘栖枇杷是余杭的特色产品，肉质细嫩、汁多味鲜，塘栖枇杷有着非常悠久的历史，据相关文献记载，塘栖枇杷的种植距今已经有 1400多年的历史．某销售商将塘栖枇杷分成型、型两种礼盒进行销售，①型每盒，每盒售价元；②型每盒，每盒售价比型价格的2倍少50元．某位顾客买了一盒型，两盒型，一共花费340 元．
（1）请问型、型售价分别是多少元？
（2）假设用这两种包装方式恰好包装完所有的枇杷．销售总收入为9820元．
①若这批塘栖枇杷全部售完，请问型、型分别有多少盒？
②若该销售商留下盒型礼盒送人，剩余礼盒全部售出，求出的值．
【答案】（1）型售价88元、型售价126元；
（2）①型礼盒装40盒，型礼盒50盒；②
3．3月12日植树节，为贯彻“绿水青山就是金山银山”的生态理念，学校组织植树活动．已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人．现调人去支援，使在甲处植树的人数比乙处植树人数的倍多人，求应调往甲处的人数．
【答案】应调往甲处人
4．某校举办运动会，计划购买奖章颁发给获奖者．已知甲种奖章每个20元，乙种奖章每个35元，若购买甲种奖章x个，乙种奖章y个，需要花费380元．
（1）试列出关于x，y的二元一次方程：__________________．
（2）当甲种奖章有12个时，求乙种奖章的个数．
（3）当乙种奖章有8个时，求甲种奖章的个数．
【答案】（1）
（2）4个
（3）5个
5．某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图2），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图1）．（注：图1中向上的一面无盖）
（1）如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片 张，正方形纸片 张；
（2）现将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？
【答案】（1）7；3
（2）可以做成甲乙两种小盒各40个，80个
6．2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”．某健身器材店，为配合全市“全民健身日”活动，决定八折出售甲、乙两种型号的健身器材，已知一台甲种型号健身器材的原价比一台乙种型号健身器材的原价少50元，优惠后购买3台甲种型号健身器材和2台乙种型号健身器材共需费用480元，求两种型号健身器材的原价分别为多少元？
【答案】甲、乙两种型号健身器材的原价分别为100元、150元
7．某一天，蔬菜经营户花元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共千克，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示：
品名 黄瓜 茄子
批发价（元千克）
零售价（元千克）
（1）蔬菜经营户批发了黄瓜和茄子各多少千克？
（2）当天上午在卖两种蔬菜各一半后，为尽快售完，再进新菜，决定对剩下的蔬菜降价出售，黄瓜和茄子均打九折销售，蔬菜经营户卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？
【答案】（1）解：设他批发了黄瓜千克，茄子千克，
根据题意，得，
解得：，
答：他批发了黄瓜和茄子分别是千克，千克.
（2）解：由题意得：（元），
（元），
∴（元），
答：卖完这些黄瓜和茄子共赚了元．
【解析】【分析】（1）设他批发了黄瓜千克，茄子千克，再结合“ 蔬菜经营户花元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共千克 ”列出方程组，再求解即可；
（2）先分别求出黄瓜和茄子的利润，再相加即可.
（1）解：设他批发了黄瓜千克，茄子千克，
根据题意，得，
解得：，
答：他批发了黄瓜和茄子分别是千克，千克；
（2）解：由题意得：（元），
（元），
∴（元），
答：卖完这些黄瓜和茄子共赚了元．
8．某单位在疫情期间购买甲、乙两种防疫品共三次，只有一次甲、乙同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买甲、乙的数量和费用如下表：
　 购买甲的数量（个) 购买乙的数量（个） 购买总费用（元）
第一次购物 60 50 1140
第二次购物 30 70 1110
第三次购物 90 80 1062
（1）该单位在第　 　次购物时享受了打折优惠；
（2）求出防疫品甲、乙的标价.
【答案】（1）三
（2）解：设甲的标价是x元，乙的标价是y元，
由题意可得：
解得 .
答：甲的标价是9元，乙的标价是12元.
【解析】【解答】 (1)∵第三次购买防疫品的总数量＞第二次购买防疫品的总数量
第三次购买防疫品的总费用＜第二次购买防疫品的总费用
∴ 该单位在第三次购物时享受了打折优惠
故答案为：三
【分析】 (1) 根据第三次购买防疫品的总数量＞第二次购买防疫品的总数量，第三次购买防疫品的总费用＜第二次购买防疫品的总费用得到该单位在第三次购物时享受了打折优惠；
(2) 根据题意设未知数，再根据标价×数量=购买费用列方程组，再解方程组即可得到答案.
9．解下列方程组
（1） （用代入法）
（2） （用加减法）
【答案】（1）解：
由（1），可得y=3x﹣7（3），
把（3）代入（2），可得5x+4（3x﹣7）=23，
解得x=3，
把x=3代入（3），可得y=2，
∴原方程组的解是
（2）解：
⑴×3+（2）×2，可得23x=46，
解得x=2，
把x=2代入（1），可得y=1，
∴原方程组的解是
【解析】【分析】（1）应用代入法，求出二元一次方程组的解是多少即可．（2）应用加减法，求出二元一次方程组的解是多少即可．
10．已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程 的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足 ，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程 总有一个公共解，请直接写出这个公共解．
【答案】（1）
（2）解: 联立得： ，
解得： ，
代入得： ，
解得： ；
（3）
【解析】【解答】解：（1）方程 ，
解得： ，
当 时， ； ， ；
∴方程组的正整数解为：
（3）由题意得，方程组的解和m无关，所以m的系数为0，即 ，
代入方程得： ，即 ，
∴其公共解为 ．
【分析】（1）把y看作已知数表示出x，进而确定出方程的正整数解即可；
（2）将x+y=0与x+2y=5联立方程组，求出x、y的值，然后将其代入x-2y+mx+9=0中，即可求出m的值；
（3）将方程变形为（m+1）x-2y+9=0，由题意可得x=0，将x代入方程求出y值即可.
11．已知：用3辆型车和2辆型车载满货物一次可运货17吨；用2辆型车和3辆型车载满货物一次可运货18吨．某物流公司现有35吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货多少吨
（2）该物流公司有哪几种租车方案
（3）若型车每辆需租金200元/次；型车每辆需租金250元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1）1辆型车和1辆型车都载满货物一次分别可运货3吨、4吨
（2）该物流公司有三种租车方案：型车1辆、型车8辆或型车5辆、型车5辆或型车9辆、型车2辆；
（3）租型车1辆、型车8辆最省钱，最少租车费为2200元
12．某加工厂生产大、小两种型号的书包.5个大书包和6个小书包成本需320元，4个大书包和3个小书包成本需220元．该工厂每日生产1000个书包，并按照大书包每个75元，小书包每个40元的价格出售，每日可获利润26000元．
（1）该工厂生产的两种书包每个成本各是多少元？
（2）为提高工厂效益，现增加生产线，每日可多生产650个书包，全部卖出后，此时大、小书包利润相同．求额外增加的生产线，每天生产大小书包各多少个？
【答案】（1）该工生产的大书包和小书包的每个成本各是40元，20元
（2）额外增加的生产线，每天生产大小书包各200个，450个
13．古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．
根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
甲：乙：
（1）根据甲同学所列的方程组，请你指出未知数x、y表示的意义
甲：x表示　 　，y表示　 　；
请你补全乙同学所列的方程组：
乙：①　 　，②　 　；
（2）求A、B两工程队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程）
【答案】（1）A工程队工作的天数；B工程队工作的天数；180；20
（2）解：选甲同学所列方程组解答如下：
设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，
则；
②-①×8得4x=20， 解得x=5，
把x=5代入①得y=15，
所以方程组的解为，
A工程队整治河道的米数为：12x=60， B工程队整治河道的米数为：8y=120；
答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米．
【解析】【解答】解：（1）甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，
由此列出的方程组为；
乙同学：A工程队整治河道的米数为x米，B工程队整治河道的米数为y米，
由此列出的方程组为 ；
故答案为： A工程队工作的天数，B工程队工作的天数，180，20；
【分析】（1）甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，根据共用时20天可得x+y=20；根据总长为180米可得12x+8y=180，联立可得方程组；
乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，根据总长为180米可得x+y=180，根据共用时20天可得+=20，联立可得方程组；
（2）设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，根据甲同学列出的方程组求出x、y的值，进而可得A、B工程队整治河道的米数.
14．放学后，小君和小颖分别带有30元钱，到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本.这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元；一次购买的卡通笔记本达到5本及以上，可以享受9折优惠.小君要买4支笔芯，3本笔记本，共需花30元；小颖要买6支笔芯，2本笔记本，也需30元.
（1）如果单独购买，一支笔芯的价格和一本笔记本的价格各是多少元
（2）小君和小颖都还想再买一件单价为3.5元的小工艺品，他们要怎样做才能在现有钱的条件下，既买到各自需要买的文具，又能买到小工艺品呢 请通过计算说明.
【答案】（1）若单独购买，设一支笔芯x元，一本笔记本y元，根据题意，可得
，解得 ，
所以，一支笔芯3元，一本笔记本6元；
（2）为能买到工艺品，两人可合起来买，享受优惠，
两人合起来，需要支付的总价钱为：
（元），
小君买笔芯和笔记本需要付的钱为：
（元），剩余的钱为3.8元；
小颖买笔芯和笔记本需要付的钱为：
（元），剩余的钱为4.2元；
所以，小君和小颖合起来买后，两人即可以买到笔芯和笔记本，也可以分别买到一件3.5元的工艺品.
【解析】【分析】（1）设一支笔芯x元，一本笔记本y元，根据“买4支笔芯，3本笔记本，共需花30元；小颖要买6支笔芯，2本笔记本，也需30元”可列方程组，求解即可；
（2）为能买到工艺品，两人可合起来买，享受优惠， 根据优惠方案可得结果.
15．某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．
（1）求大、小两种垃圾桶的单价；
（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？
【答案】（1）解：设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，
由题意列方程得 ，
解得 ，
答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元．
（2）解： ．
答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2880元．
【解析】【分析】（1）先求出
，再求出
，最后求解即可；
（2）求出
即可作答。
16．“无夜景，不重庆”，以“祖国万岁”为主题的庆祝中华人民共和国成立70周年灯光秀，9月21日至10月10日在“山水之城，美丽之地”重庆上演.据了解，此次以重庆大剧院灯光“领舞”，临近的12栋楼宇灯光联动变化的“梦幻江北嘴”灯光秀共使用LED照明灯和LED投射灯共50万个，共花费860万元.已知LED照明灯的售价为每个8元，LED投射灯的售价为每个100元.请用方程或方程组的相关知识解决下列问题：
（1）本次“梦幻江北嘴”灯光秀使用LED照明灯和LED投射灯各多少个？
（2）某栋楼宇计划安装LED照明灯18000，LED投射灯500个因楼宇本身的设计原因，实际安装时LED投射灯比计划多安装了20%，LED照明灯的数量不变，商家为祖国70华诞而让利把LED照明灯和LED投射灯售价分别降低了m%、 m%，实际上这栋楼宇LED照明灯和LED投射灯的总价为159000元，请求出m的值.
【答案】（1）解：设本次“梦幻江北嘴”灯光秀使用LED照明灯x个，使用LED投射灯y个，
依题意，得： ，
解得： .
答：本次“梦幻江北嘴”灯光秀使用LED照明灯450000个，使用LED投射灯50000个.
（2）解：依题意，得：8×（1﹣m%）×18000+100×（1﹣ m%）×500×（1+20%）＝159000，
解得：m＝25.
答：m的值为25.
【解析】【分析】（1）设本次“梦幻江北嘴”灯光秀使用LED照明灯x个，使用LED投射灯y个，根据“临近的12栋楼宇灯光联动变化的“梦幻江北嘴”灯光秀共使用LED照明灯和LED投射灯共50万个，共花费860万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总价=单价×数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论.
17．科技改变世界，随着科技的发展，自动化程度越来越高，机器人市场越来越火，某商场购进一批A，B两种品牌的编程机器人，进价分别为每台3000元、4000元，市场调查发现：销售3个A品牌机器人和2个B品牌机器人，可获利润6000元；销售2个A品牌机器人和3个B品牌机器人，可获利润6500元。
（1）此商场A，B两种品牌的编程机器人销售价格分别是多少元？
（2）若商场准备用不多于65000元的资金购进A，B两种品牌的编程机器人共20个，则至少需要购进A品牌的编程机器人多少个？
（3）不考虑其它因素，商场打算B品牌编程机器人数量不多于A品牌编程机器人数量的 ，现打算购进A，B两种品牌编程机器人共40个，怎样进货才能获得最大的利润？
【答案】（1）解：设商场A、B两种品牌的编程机器人销售价格分别是x元、y元.
根据题意列方程组得：
解得：
答：商场A的编程机器人售价为4000元，B编程机器人售价为5500元
（2）解：设需要购进A品牌的编程机器人a个.
根据题意得:
解得：
∵a为编程机器人的个数
∴a为 的整数
∴至少为15个
答：至少需要购进A品牌的编程机器人15个。
（3）解：设需要购进B品牌的编程机器人b个.利润为w元.
根据题意得:
根据题意得:
解得：
∵k=500>0，∴w随b的增大而增大
∴当b最大时w最大，∴ 的最大整数
∴
则40-b=27
答：购进A品牌编程机器人27个，B品牌编程机器人13个能获得最大的利润。
【解析】【分析】（1）设两种机器人的价格为x和y，根据两种利润为6000和6500，即可得到二元一次方程组，求出答案即可；
（2）根据费用不多于65000列出不等式，即可得到答案；
（3）根据利润公式，列出函数解析式，根据b的范围求出答案即可。
18．古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．伴着三月的春风，哼着欢快的曲调，七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话：
王老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．”
小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．”
小萱：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”．
根据以上对话，解答下列问题：
（1）参加此次活动的七年级师生共有 人；
（2）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（3）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有哪几种租车方案？
【答案】（1）420
（2）客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元；
（3）共有3种租车方案，方案1：租用60座客车7辆；方案2：租用60座客车4辆，45座客车4辆；方案3：租用60座客车1辆，45座客车8辆．
19．已知关于x，y的方程组
（1）请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值；
（3）无论实数m取何值时，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，求出这个解.
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值.
【答案】（1），
（2）解：，解得
把代入，解得m=
（3）解：∵方程x-2y+mx+5=0总有一个固定的解，
∴x=0，
把x=0代入x-2y+mx+5=0中得：y=2.5，
∴
（4）解：
①+②得：
解得，
∵x恰为整数，m也为整数，
∴2+m=1或2+m=-1，
解得
【解析】【解答】解：（1）x+2y-6=0，
∴x+2y=6，
∴x=6-2y，
当y=1时，x=4，
当y=2时，x=2，
∴方程x+2y-6=0的所有正整数解为：，；
【分析】（1）由x+2y-6=0可得x=2(3-y)，则x为偶数，据此可得方程的正整数解；
（2）联立x+y=0、x+2y-6=0，利用加减消元法可得x、y的值，然后代入x-2y+mx+5=0中进行计算就可求出m的值；
（3）根据x-2y+mx+5=0可得x(m+1)-2y+5=0，令x=0，求出y的值，据此可得方程的固定解；
（4）将方程组中的两个方程相加并化简可得x，根据方程的解为整数可得2+m=±1，求解可得m的值.
20．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆）
汽车运费（元/辆）
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费 元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知他们的总辆数为 辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元？
【答案】（1）设需要甲车 辆，乙车 辆
由题意可得：
解得：
需要甲车8辆，乙车10辆
（2）设甲车有 辆，乙车有 辆，丙车有 辆
由题意可得：
消去 可得：
由于 是非负整数，且不大于16，得：
由 是非负整数，解得
有三种运送方案：
①甲车型8辆，丙车型8辆；
②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；
（3）三种方案得运费分别是：
① ；
② ；
③ .
甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆时，最少运费是7800元.
【解析】【分析】（1）设需要甲车 辆，乙车 辆，根据运费 元，总吨数120吨，列出方程组求解即可；
（2）设甲车有 辆，乙车有 辆，丙车有 辆，根据总辆数为 辆，总吨数120吨， 列出方程组，再根据 均为正整数，求出 的值，即可求解；
（3）根据三种方案求出运费，再比大小即可求解.
21．阅读材料并回答下列问题：
当 都是实数， 且满足 ， 就称点 为"友好点". 例如： 点 ，令 ， 得 ， 所以 不是"友好点"， 点 ， 令 .
得 ， 所以 是"友好点".
（1） 请判断点 是否为"友好点"， 并说明理由.
（2）以关于 的方程组 的解为坐标的点 是 "友好点"， 求t 的值.
【答案】（1）解：点，令，
得，
，
不是“友好点”，
点，令，
得，
，
是“友好点”；
（2）解：方程组的解为，
点，是“友好点”，
，
，
，
，
解得
的值为10
【解析】【分析】（1）根据题意代入点A和点B，进而即可求出m和n，从而根据“友好点”的定义即可求解；
（2）先根据题意解二元一次方程组得到方程组的解为，进而根据“友好点”的定义表示出，再根据解一元一次方程即可求解.
22．养牛场的李大叔分三次购进若干头大牛和小牛．其中有一次购买大牛和小牛的价格同时打折，其余两次均按原价购买，三次购买的数量和总价如下表：
（1）李大叔以折扣价购买大牛和小牛是第　 　次；是打　 　折.
（2）用解方程（组）的方法求大牛和小牛的原价.
　 大牛（头） 小牛（头） 总价（元）
第一次 4 3 9900
第二次 2 6 9000
第三次 6 9 13230
【答案】（1）三；七
（2）解：根据题意可知，第一、第二次的总价都是100的倍数，而第三次的总价不是100的倍数，因此打折的是第三次；设大牛原价为x元，小牛原价为y元，则：
，
解得： ，
则大牛的原价为1800元，小牛的原价是900元.
【解析】【解答】解：根据题意可知，第一、第二次的总价都是100的倍数，而第三次的总价不是100的倍数，因此打折的是第三次；设大牛原价为x元，小牛原价为y元，则：
，
解得： ，
∴第三次购买的总价是： 元，
∴ ，
∴第三次购买是打七折；
李大叔以折扣价购买大牛和小牛是第三次；是打七折；
故答案为：三，七；
【分析】（1）分析表格可知，第一、二次购买是按照原价，第三次购买时打折，通过计算得到打七折；（2）联合表格的数据，组成方程组，即可求出答案.
23．已知关于x、y的方程组 ．
（1）当a满足22a+3﹣22a+1=96时，求方程组的解；
（2）当程组的解满足x+y=16时，求a的值；
（3）试说明：不论a取什么实数，x的值始终为正数．
【答案】（1）解：由22a+3﹣22a+1=96得
22a+1（4﹣1）=96，
∴22a+1=32，
∴a=2，
当a=2时，方程组为 ，
解得
（2）解：由题可得方程组 ，
解得 ，
把 代入2x﹣4y=﹣a2+6a+6，可得
2（a+9）﹣4（﹣a+7）=﹣a2+6a+6，
解得a=±4
（3）解：把 消去y，可得
x= a2+a+1，
由配方得x= （a+1）2+ ，
∵不论a取什么实数， （a+1）2都为非负数，
∴不论a取什么实数， （a+1）2+ 都为正数
【解析】【分析】（1）先由22a+3﹣22a+1=96得a=2，再解方程组 ，即可得出方程组的解；（2）先根据方程组 ，解得 ，再代入2x﹣4y=﹣a2+6a+6，可得2（a+9）﹣4（﹣a+7）=﹣a2+6a+6，进而得出a的值；（3）先把 消去y，可得x= a2+a+1，再进行配方，即可得出不论a取什么实数，x的值始终为正数．
24．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，某校欲购置规格分别为300mL和500mL的甲、乙两种免洗手消毒液共400瓶，其中甲消毒液15元/瓶，乙消毒液20元/瓶.
（1）如果购买这两种消毒液共7500元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶
（2）在（1）的条件下，若该校在校师生共1800人，平均每人每天都需使用10mL的免洗手消毒液，则这批消毒液可使用多少天
【答案】（1）解： 设甲种消毒液购买了x瓶，乙购买了y瓶 ，
由题意得
解得：，
答：甲种消毒液购买了100瓶，乙购买了300瓶 ；
（2）解： （300×100+500×300）÷（10×1800）=10（天）
答： 这批消毒液可使用10天 .
【解析】【分析】 （1）设甲种消毒液购买了x瓶，乙购买了y瓶 ， 根据购买甲、乙两种免洗手消毒液共400瓶 共花费7500元，列出方程组，求解即可；
（2）根据购买消毒液的总容量÷在校师生共1800人每天的使用量=使用的时间，即可求解.
25．我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
（1）求甲、乙两人各带的钱数；
（2）若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？
【答案】（1）解：设甲带钱x，乙持钱y，
根据题意得：
，
解得：，
答：甲带钱，乙持钱；
（2）解：分开买：（本）；
合起来买：（本），
即：（本），
即：他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本．
【解析】【分析】（1）设甲带钱x，乙持钱y，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）分别求出分开买和合起来买的费用，再求解即可。
26．根据题意列出方程组
（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？
（2）将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼中放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼中放5只，则有一个笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
【答案】（1）解：设0.8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意，得 ，
（2）解：设有x只鸡，y只笼，
则，
解得，
答： 有25只鸡，6个笼.
【解析】【分析】(1)根据“两种邮票的数量为13枚和总费用为20元”，建立关于x、y的二元一次方程组即可；
(2)设有x只鸡，y只笼，根据“ 若每个笼中放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼中放5只，则有一个笼无鸡可放”，建立方程组求解即可.
27．解方程组
（1）
（2）
【答案】（1）解：①＋② 得： x ＝－1.
把x ＝－1代入①得：y＝2.
∴原方程组的解为
（2）解： .
由（1）得 （3.
由（2）得 （4）.
得：
将
所以该方程组的解为：
【解析】【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可，
（2）先去分母再将( 4 ) × 2 + ( 3 ) 得x值，再将x值代入求出y值.
28．某中学组织一批学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满.已知45座客车租金为每辆300元，60座客车租金为每辆400元，问：
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？
【答案】（1）解：设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，
根据题意得：，
解得：，
答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆．
（2）解：∵要使每位学生都有座位，
∴租45座客车需要5+1=6辆，租60座客车需要5-1=4辆．
300×6=1800（元），400×4=1600（元），
∵1800＞1600，
∴若租用同一种客车，租4辆60座客车划算．
【解析】【分析】（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）分别求出租45座客车和租60座客车的费用，再比较大小即可。
29．解方程组：
（1）
（2） ．
【答案】（1）解： ，
②﹣①得：3y=6，即y=2，
把y=2代入①得：x=0，
则方程组的解为
（2）解：方程组整理得： ，
①×4﹣②得：5y=30，即y=6，
把y=6代入①得：x=3，
则方程组的解为
【解析】【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
30．丝路之旅，让中国荔枝名满天下，丝路之约，让车厘子的甘甜绽放中国舌尖．在“一带一路”政策的帮扶下，更多的中国荔枝走出国门，更多的进口车厘子走入中国市场．一天小雪跟妈妈路过水果市场．小雪跟妈妈说：“我买一斤车厘子的钱可以买三斤荔枝了．”妈妈说：“我用126元买了两斤车厘子和一斤荔枝．”请根据小雪跟妈妈的对话，求出车厘子和荔枝的单价．
【答案】车厘子每斤54元，荔枝每斤18元
31．解决以下问题:
（1）已知方程组 和方程组 有相同的解,求 的值；
（2）已知甲、乙两人解关于 的方程组 甲正确解出 而乙把 抄错,结果解得 求 的值.
【答案】（1）解：根据题意，方程组重新组合得，
①+②得，5x=15，
解得x=3，
把x=3代入①得，2×3-y=7，
解得y=-1，
∴方程组的解是
代入另两个方程得，
③代入④得，3-（3a-1）=a，
解得a=1，
把a=1代入③得，b=3×1-1=2，
∴a、b的值分别是1，2.
故答案为：a=1，b=2
（2）解：甲的计算结果正确，可将 代入 中，
乙仅抄错了c，故可将 代入 中，
联立三个方程组可得
解得
a+b+c=4+5-2=7
故答案为7
【解析】【分析】（1）由题意知，2x-y=7，ax+y=b，x+by=a，3x+y=8这四个方程的解相同，先由2x-y=7和3x+y=8组成方程组，求出x、y的值，再把x、y的值代入含a、b的两个方程组成的方程组中，解方程组即可求出a、b的值.（2）由题意知 是方程组 的解， 是方程ax+by=2的解，根据方程的解的定义即可求出 的值.
32．学校的教育教学质量与教师的团队建设质量有很大的关系，同时学校的硬件设施好也能对提高教育教学质量起到促进作用．某校长为提高本校办学条件，计划用元购置一批电脑（这批款项恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台元，台式电脑每台元，笔记本电脑每台元．
（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共台，请你帮学校设计购买方案；
（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于台，请你帮学校设计购买方案．
【答案】（1）①购买平板电脑台，台式电脑台；②购买平板电脑台，笔记本电脑台
（2）①购买平板电脑台，台式电脑台，笔记本电脑台；②购买平板电脑台，台式电脑台，笔记本电脑台
33．已知二元一次方程 （ 、 均为常数，且 ）
（1）当 时，用x的代数式表示y；
（2）若 是该二元一次方程的一个解；
①探索 关系，并说明理由；
②若该方程有一个解与 的取值无关，请求出这个解.
【答案】（1）解：当 时，原方程为： ，
；
（2）解：① 关系是a+b=0，理由：
把 代入二元一次方程 得
，
，
,
；
②由①知道 ,
,
∴原方程可化为： ，
∴
∵该方程组的解与 与 的取值无关，.
∴ .
【解析】【分析】（1）直接将 代入二元一次方程中解关于y的方程即可；（2）①将方程的解x，y代入原方程中整理可得 ；②把b=-a代入，由取值无关可得a的系数为0，由此即可解题.
34．对于一个三位数 ，如果 满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于8，那么称这个数 为“快乐数”.例如： ， ， 是“快乐数”； ， ， 不是“快乐数”.
（1）判断844，735是否为“快乐数”？并说明理由；
（2）若将一个“快乐数” 的个位数的3倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数 （例如：若 ，则 ），若 也是一个“快乐数”，求满足条件的所有 的值.
【答案】（1）解：884是“快乐数”，735不是“快乐数”；
理由如下：
，
是“快乐数”；
，
不是“快乐数”.
（2）解：设这个“快乐数” ，则 （ ， ， ，且 ， ， 为整数）
根据题意得： ，
化简得：
，且 为整数，
或 或
满足条件的所有 的值为：721，642，563.
【解析】【分析】（1）利用快乐数的定义：一个三位数它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于8，分别对844，735进行判断即可.
（2） 设这个“快乐数” ，则 （ ， ， ，且 ， ， 为整数） 可得到关于a，b，c的三元一次方程组，可将方程组转化为a=-c+8，b=2c，利用a，b，c的取值范围，可得到符合题意的数m.
35．下表是某工厂设计玩具的裁剪方案．
课题 设计裁剪方案
素材1 如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具．
素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗）
我是裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整．方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料；方案二：裁剪8张豌豆的布料和______张豌豆荚的布料；方案三：裁剪______张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料．
任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？
【答案】任务一：12；36；任务二：还需从仓库拿100张布料；
36．已知关于 的方程组 ，
（1）若用代入法求解，可由①得： =　 　③，把③代入②解得 =　 　，将其代入③解得 =　 　，∴原方程组的解为　 　；
（2）若此方程组的解 互为相反数，求这个方程组的解及 的值．
【答案】（1）1-2y；；；
（2）解：∵方程组的解 互为相反数，∴ ，将③代入①得 ，∴ ，∴ ，∴方程组的解是 ，
【解析】【分析】利用加减消元法先消去y求出x的值，再求y的值，最后求m即可．
37． 母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根据如图中的信息.
（1）求每束鲜花和一个礼盒的价格；
（2）小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了多少钱？
【答案】（1）解：设买1束鲜花x元，买1个礼盒花y元，由题意得
，
解得：，
答：买1束鲜花33元，买1个礼盒花55元；
（2）解：由题意得：3×33+4×55=319（元），
答：小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了319元.
【解析】【分析】（1）1×1束鲜花的价格+2×1个礼盒的价格=143；2×1束鲜花的价格+1×1个礼盒的价=121；设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.
（2）用3×1束鲜花的价格+4×1个礼盒的价格，列式计算可求出结果.
38．解方程组
（1）
（2） ．
【答案】（1）解： ，
把②代入①得：﹣4y+6+3y=7，
解得：y=﹣1，
把y=﹣1代入②得：x=5，
则方程组的解为
（2）解： ，
①﹣②得：4y=4﹣4a，即y=1﹣a，
把y=1﹣a代入②得：x=2a+1，
则方程组的解为
【解析】【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
39．某工厂现有甲种原料10吨，乙种原料15吨，计划用这两种原料生产A、B两种产品，两种原料都恰好全部用完．生产一件A、一件B产品与所需原料情况如下表所示：
　 甲种原料（吨） 乙种原料（吨）
A产品（件） 1 3
B产品（件） 2 1
（1）求该厂生产A、B两种产品各有多少件；
（2）如果购买这批原料共花费5万元，A、B产品的销售单价分别为2万元/件和3万元/件，求全部销售这批产品获得的利润是多少万元．
【答案】（1）解：设 、 两种产品各有 件和 件，
根据题意得， ，
①②得，
，
把 代入①，得
，
经检验，符合题意，
答：该厂生产A种产品4件， 种产品3件．
（2）解： 万元，
答：全部销售这批产品获得的利润是12万元．
【解析】【分析】（1）设 A 、 B 两种产品各有 x 件和 y 件，根据题意列二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可；
（2）根据利润=售价-进价解题即可。
40．列方程解应用题：7月，某水果店用370元购进葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的2倍还多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的进价分别为5元、2元，售价分别为8元、5元．
（1）求购进两种水果各多少千克？
（2）8月，水果店以7月的进价又购进葡萄、西瓜两种水果，其中葡萄、西瓜的重量都不变，葡萄降价y元销售，西瓜按原价销售，8月份两种水果售完后的总利润是315元，求y的值．
【答案】（1）购进40千克葡萄，85千克西瓜
（2）
41．为了防治“新型流感”，某班级准备用元购买医用口罩和消毒液发放给同学．若医用口罩买个，消毒液买瓶，则钱还剩余元；若医用口罩买个，消毒液买瓶，则钱恰好用完．
（1）求医用口罩和消毒液的单价；
（2）小杰到药店购买同款医用口罩和消毒液，两种商品共花了元．请写出所有的购买方案．
【答案】（1）医用口罩的单价为元，消毒液的单价为元；
（2）共有两种购买方案：购买了医用口罩个，消毒液瓶；购买了医用口罩个，消毒液瓶．
42．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
【答案】（1）解：设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意得： ，解得： ．
答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元
（2）解：80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640（元）．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元
【解析】【分析】（1）解决此题关键的已知条件是：打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元，设未知数列方程组，解方程组，就可解答。
（2）先求出购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒打折前和打折后的价格，再求差就可得出结果。
43．为了响应市委和市政府“绿色环保，节能减排”的号召，幸福商场用3300元购进甲、乙两种节能灯共计100只，很快售完.这两种节能灯的进价、售价如表所示：
进价（元/只） 售价（元/只）
甲种节能灯 30 40
乙种节能灯 35 50
（1）求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只
（2）全部售完100只节能灯后，商场共计获利多少元
【答案】（1）解：设商场购进甲种节能灯x只，购进乙种节能灯y只，
根据题意得：，
解得：，
答：商场购进甲种节能灯40只，购进乙种节能灯60只；
（2）解：40×(40-30)+60×(50-35)=1300(元)，
答：商场共计获利1300元．
【解析】【分析】（1）设商场购进甲种节能灯x只，购进乙种节能灯y只，根据题意列出方程，再求出x、y的值即可；
（2）根据题意列出算式40×(40-30)+60×(50-35)求解即可。
44．小明手中有块长方形的硬纸片如图所示，其中长比宽多，长方形的周长是．
（1）求长方形的面积；
（2）小明想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为，面积为的新纸片作为它用，试判断小明能否成功，并说明理由．
【答案】（1）解：设长方形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
∴长方形面积为：，
答：长方形的面积为；
（2）解：不能成功，理由如下：
设长方形纸片的长为，则宽为，
根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，，
∵，
即纸片的宽大于原来硬纸片的宽，
∴小明不能成功．
【解析】【分析】（1）设长方形的长为，宽为， 根据“ 长方形的周长是 ， 长比宽多 ”列出方程组并解之即可；
（2） 不能成功，理由：设长方形纸片的长为，则宽为，由矩形的面积可得方程
，解出a值，即得4a的值，再与原矩形的宽比较即可判断.
45．已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物—次可运货10吨；用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨．某物流公司现有货物35吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金130元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1）解：设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
根据题意，得，
解得，经检验，方程组的解符合题意．
答：1辆A型车载满货物一次可运3吨，1辆B型车载满货物一次可运4吨．
（2）解：由（1），得，∴，∵a，b都是正整数，∴，或，或，
∴有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车2辆；
方案二：A型车5辆，B型车5辆；
方案三：A型车1辆，B型车8辆．
（3）解：∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金130元/次，∴方案一需租金：（元）；
方案二需租金：（元）；
方案三需租金：（元）．
∵
∴最省钱的租车方案是方案三
答：租A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为1140元．
【解析】【分析】（1）设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货x吨、y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物—次可运货10吨；用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨” ，列出方程求解，即可得到答案；
（2）根据（1）所求，得到，求得，结合a，b都是正整数，求出次方程的整数解，即可得到答案；
（3）根据（2）所求，结合A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金130元/次，分别计算出三种方案的运费，即可得到答案．
（1）解：设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
根据题意，得，
解得，经检验，方程组的解符合题意．
答：1辆A型车载满货物一次可运3吨，1辆B型车载满货物一次可运4吨．
（2）由（1），得，
∴，∵a，b都是正整数，∴，或，或，
∴有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车2辆；
方案二：A型车5辆，B型车5辆；
方案三：A型车1辆，B型车8辆．
（3）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金130元/次，
∴方案一需租金：（元）；
方案二需租金：（元）；
方案三需租金：（元）．
∵
∴最省钱的租车方案是方案三
答：租A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为1140元．
46．规定：形如关于x，y的方程x+ky=b与kx+y=b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1.由这两个方程组成的方程组 叫做共轭方程组.
（1）方程3x+y=5的共轭二元一次方程是　 　；
（2）若关于x，y的方程组 为共轭方程组，则a=　 　，b=　 　.
（3）若方程x+ky=b中x，y的值满足下列表格：
x -1 0
y 0 2
则这个方程的共轭二元一次方程是　 　.
【答案】（1）x+3y=5
（2）1；1
（3） x+y=-1
【解析】【解答】（1）方程3x+y=5的共轭二元一次方程是x+3y=5，
故答案为x+3y=5.
（2）由题意得， 且1-a≠1，2a-2≠1
解得a=1，b=1，
故答案为1，1.
（3）方程x+ky=b中，当x=-1时，y=0；当x=0时，y=2.
∴ ，解得
这个方程的共轭二元一次方程是- x+y=-1
故答案为- x+y=-1.
【分析】(1)根据共轭二元一次方程的定义作答即可；
(2)根据共轭二元一次方程定义建立关于a、b的二元一次方程组求解，结合各项系数不等于1，即可解答；
(3)根据列表，利用待定系数法求出k、b值，再根据共轭二元一次方程的定义作答即可.
47．某校共有5个大餐厅和2个小餐厅.经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；
（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.
【答案】（1）解：设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐
根据题意，得
解得：
答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐
（2）解：因为960×5+360×2=5520＞5300
所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐
【解析】【分析】（1）抓住题中关键的已知条件：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.；就是两个相等关系，再设未知数，列方程组求解即可。
（2）求出7个餐厅就餐的学生总人数，再与5300比较大小，即可作出判断。
48．某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【答案】（1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动车，新工人每月分别安装y辆电动汽车，
根据题意得 ，
解之得 ．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动车，新工人每月分别安装2辆电动汽车
（2）解：设调熟练工m人，
由题意得，12（4m+2n）=240，
整理得，n=10﹣2m，
∵0＜n＜10，
∴当m=1，2，3，4时，n=8，6，4，2，
即：①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工人4人；④调熟练工4人，新工人2人
【解析】【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动车，新工人每月分别安装y辆电动汽车，根据安装8辆电动汽车和安装14辆电动汽车两个等量关系列出方程组，然后求解即可；（2）设调熟练工m人，根据一年的安装任务列出方程整理用m表示出n，然后根据人数m是整数讨论求解即可．
49．蛋糕点厂生产大小两种月饼，下表是 型、 型、 型三种月饼礼盒中装有大小两种月饼数量和需要消耗的面粉总重量的统计表.
（1）直接写出制作1个大月饼要用　 　 面粉，制作1个小月饼要用　 　 面粉；
（2）直接写出 　 　， 　 　；
（3）经市场调研，该糕点厂要制作一批 型月饼礼盒，现共有面粉63000 ，问制作大小两种月饼各用多少面粉，才能生产最多的 型月饼礼盒？
【答案】（1）50；30
（2）6；4
（3）设能够生产 盒 型礼盒
∴用 制作大月饼， 制作小月饼.
【解析】【解答】（1）解：设制作1个大月饼x 面粉，制作1个小月饼要用y 面粉，得：
解得：
故答案为：50，30
（ 2 ）根据题意得：50a+30b=420
得：5a+3b=42
∵a、b为正整数
∴a=6，b=4
故答案为：6，4
【分析】（1）设制作1个大月饼x 面粉，制作1个小月饼要用y 面粉，根据表格中面粉的总量，这样列出方程组，解出即可.（2）由（1）中得出的x、y的值和C型月饼礼盒所需的面粉的总重量列出方程50a+30b=420，求其整数解即可（3）设能够生产 盒 型礼盒，根据制作一批 型月饼礼盒，现共有面粉63000 ，列出方程即可解决问题
50．对，定义一种新运算：．
例如：当，时，．
（1）若，，求和的值；
（2）若是非负数，，求的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意得：，
，
解得：，；
（2）解：根据，
得，
，
是非负数，
，
∴．
【解析】【分析】（1）将数值分别代入新运算中可得一个关于a与b的二元一次方程组，解出二元一次方程组即可；
（2）将数值代入新运算中可得一个关于a与b的二元一次方程，把a看做已知数解出b，根据b是非负数可得一个关于a的不等式，解出不等式即可。
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