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【50道常考综合题专练】人教版九年级下册第二十七章 相似
1．如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO．
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC=8，⊙O的半径OA=6，求CE的长．
2．如图，甲楼高18米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（结果保留根号）
3．已知： 为 直径，点 为 上一点，弦 ，垂足为 ，点 为 上一点，连接 、 、 ， .
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过点 作 ，垂足为 ，连接 交 于 ，连接 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，若 ， ，求 的面积.
4．如图，已知路灯离地面的高度为，身高为的小明站在D处的影长为，那么此时小明离路灯的距离为多少米？
5．小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时测得高的标杆在地面的影长为，求的长度．（结果保留根号）
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，P、Q分别是AB、BC边上的点，且AP=BQ=a （其中0＜a＜8）．
（1）若PQ⊥BC，求a的值；
（2）若PQ=BQ，把线段CQ绕着点Q旋转180°，试判别点C的对应点C’是否落在线段QB上？请说明理由．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于点D.
（1）求证：
（2）若AC＝4，求BC的长.
8．如图， 中， .以AB为直径作 ，与AC相交于点D，连接BD.点E为 上一点，且 ，连接EO并延长交CB的延长线于点F.
（1）求证： ；
（2）求证：CE是 的切线；
（3）若 ，求AC的长.
9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，且对角线BD⊥DC，试问：
（1）△ABD与△DCB相似吗？请说明理由．
（2）若AD＝2，BC＝8，请求出BD的长．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．
11．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出△OB'C′；
（2）B点的对应点B'的坐标是　 　；C点的对应点C′的坐标是　 　 ．
12．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3.
（1）如果AB=4，BC=8，EF=12，求DE的长.
（2）如果DE：EF=2：3，AB=6，求AC的长.
13．如图，AB是⊙O的直径，点P是射线AB上的一动点(不与点A，B重合)，过点P作⊙O的割线交⊙O于点C，D，BH⊥CD于H，连接BC，BD．
（1）①在图1的情形下，证明：BC·BD=AB·BH ；
②当点P处于图2中的位置时，①中的结论 ▲ (填“仍成立”或“不再成立”)；
（2）若⊙O的半径为3，当∠APC=30°且BC·BD=6时，求AP的长．
14．如图，已知是以AB为直径的圆，C为上一点，D为OC延长线上一点，BC的延长线交AD于E，．
（1）求证：直线AD为的切线；
（2）求证：．
15．如图，点A在以 为直径的⊙ 上， 的角平分线与 相交于点E，与⊙ 相交于点D，延长 至M，连结 ，使得 ，过点A作 的平行线与 的延长线交于点N.
（1）求证： 与⊙ 相切；
（2）试给出 之间的数量关系，并予以证明.
16．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是 的中点，延长AD至点E，使得AB＝BE.
（1）求证：△ACF∽△EBF；
（2）若BE＝10，tanE＝ ，求CF的长.
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°．
（1）求证：△ADE∽△BEC．
（2）若AD=1，BC=3，AE=2，求AB的长．
18．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F.P是ED延长线上一点且PC=PF.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使 ，为什么
（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长.
19．
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；
（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC的长．
21．如图，AC为的直径，B为AC延长线上一点，D为上一点，且，连接DO并延长交于点E，连接BE交于点M．
（1）求证：直线BD是的切线；
（2）若，①求的半径长；②求弦ME的长．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，
（1）求证：△ABC∽△DCA.
（2）若BC=1，AC=2，求AD的长.
23．已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为t（s）（0＜t＜4）．连接PQ、MQ、MC．
（1）当t为何值时，PQ∥AB？
（2）当t=3时，求△QMC的面积；
（3）是否存在t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
24．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O的直线DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．
（1）求证：DE=BD+CE；
（2）若AD=3，BD=CE=2，求BC的值．
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点，连接OC，点F、E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO＝∠EFM．
（1）求证：CF＝EF；
（2）求证： ．
26．已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段BD、CE交于点M．
（1）如图1，若AB=AC，AD=AE
①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠BMC的大小（用α表示）；
（2）如图2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，则线段BD与CE的数量关系为　 　，∠BMC=　 　（用α表示）；
（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接EC并延长交BD于点M．则∠BMC=　 　（用α表示）．
27．如图，在 中， ， 为 边上的中线， 于点E.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求线段 的长.
28．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，AB=5，点D在反比例函数 （k>0）的图象上， ，点P在y轴负半轴上，OP=7.
（1）求点B的坐标和线段PB的长；
（2）当 时，求反比例函数的解析式．
29．如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点D，E分别在AC，BC上，CD=4 x，CE=3x，其中0＜x＜3.
（1）求证：DE∥AB；
（2）当x=1时 ，求点E到AB的距离；
（3）将△DCE绕点E逆时针方向旋转，使得点D落在AB边上的D′处. 在旋转的过程中，若点D′的位置有且只有一个，求x的取值范围.
30．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，∠BAE=∠CBD=∠DAC．
（1）求证：DE AB=BC AE；
（2）求证：∠AED+∠ADC=180°．
31．如图，在 中，点 为 边上一点， 经过 ， 两点，与 边交于点 ，点 为 下方半圆弧上一点， ，垂足为 ， ．
（1）求证： 为 切线．
（2）求证： ．
（3）若 ， ，求 半径长．
32．如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．
（1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；
（2）求∠BAC的度数．
33．如图，D，E两点是线段AC上的点，且AD=DE=EC．
（1）分别过D，E画出BC的平行线，分别交AB于F，G两点；
（2）量一量线段AF，FG，GB的长度，你能得出什么结论？
34．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝3，AB＝4，求AC的长．
35．如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，且∠ACD=∠ABC．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD=6，AB=10，求AC的长．
36．如图，已知菱形，点E是上的点，连接，将沿翻折，点C恰好落在边上的F点上，连接，延长，交 延长线于点G．
（1）求证：；
（2）若菱形的边长为5，，求的长．
37．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，∠C＝∠DEA.
（1）求证：△ADE∽△DEC；
（2）若CE＝2，DE＝4，求EB的长.
38．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC.
（1）求证ΔADE∽ΔABC；
（2）若AD=3，AB=5，求 的值.
39．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E．
（1）求证：△ABC
∽ △AED．
（2）求 DE 的长．
40．如图，已知，与相交于点E，点F在线段上，，．
（1）求证：；
（2）求．
41．榆林市新闻大厦设计融合了陕北窑洞和民间剪纸艺术，“H”型的双塔建筑隐寓榆林开诚、开放、开明、开创的城市精神，大厦双塔建筑既独立又统一的建筑艺术美，是西部地区文化传媒类项目中的精品.某实践小组欲测量新闻大厦的高度，如图为新闻大厦的大致结构示意图（其底部B处可以到达，顶部A处不易到达，且垂直于地面），请你根据下列条件，帮该实践小组设计一种测量方案：
条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行；
条件二：测量者只备有①一根标杆、②一面平面镜、③一卷足够长的皮卷尺三种工具.
（1）你所选用的测量工具是　 　；（填序号）
（2）请在图中画出测量示意图并写出测量数据（不要求写出测量过程）；（线段长度用a，b，c……表示）
（3）根据你的测量数据，计算该新闻大厦的高度.（用含a、b、c……的式子表示）
42．如图，直线PAB交 于A、B两点，AC是 的直径， 的平分线交 于点D，过点D作 于点D．
（1）求证：DE为 的切线；
（2）若 ， 的直径为10，求AB的长度．
43．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB AE，求证：AG=DF.
44．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．
求证：
（1）FC=FG；
（2）AB2=BC BG．
45．如图，经过的顶点A、C，并与边相交于点D，过点D作，交于点E，交于点F，连接，点C为弧的中点.
（1）求证：为的切线：
（2）若的半径为3，，求的值.
46．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3cm，过点A作∠EAF＝60°，分别交DC，BC的延长线于点E，F，连接EF.
（1）如图1，当CE＝CF时，判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）若△AEF是直角三角形，求CE，CF的长度；
（3）当CE，CF的长度发生变化时，△CEF的面积是否会发生变化，请说明理由.
47．已知，如图，在中，，，，过作，点在射线上、连接，交边于点．
（1）当时，求的长；
（2）当时，求的长；
（3）当为等腰三角形时，求的长．
48．如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA＝5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若PC＝2 ，求⊙O的半径及线段PB的长．
49．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（-1，0），B（3，0），C（0，-4）三点，点P（m，n）是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）动点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，求出此时P点坐标及△PBC面积的最大值；
（3）在y轴上是否存在点Q，使以O，B，Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
50．如图， 为 的直径， 是 的弦， 是弧 的中点，弦 于点 ，交 于点 ，过点 作 的切线，交 延长线于点 ，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
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【50道常考综合题专练】人教版九年级下册第二十七章 相似
1．如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO．
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC=8，⊙O的半径OA=6，求CE的长．
【答案】（1）证明：∵BE∥CO，∴∠OCB=∠CBE，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠CBE=∠CBO，∴BC平分∠ABE．
（2）解：在Rt△CDO中，∵DC=8，OC=0A=6，∴OD= =10，∵OC∥BE，∴ ，∴ ，∴EC=4.8．
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得出∠OCB=∠CBE，根据等边对等角及等量代换得出∠CBE=∠CBO，从而得出结论；（2）在Rt△CDO中，由勾股定理得出OD的长，根据平行线分线段成比例定理得出DC∶CE＝DO∶OB，借助比例式，即可得出CE的长。
2．如图，甲楼高18米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（结果保留根号）
【答案】甲楼的影子落在乙楼上有米
3．已知： 为 直径，点 为 上一点，弦 ，垂足为 ，点 为 上一点，连接 、 、 ， .
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过点 作 ，垂足为 ，连接 交 于 ，连接 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，若 ， ，求 的面积.
【答案】（1）证明：∵ 为直径， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
则∠AHM=∠ACM，
∴∠AHM=∠ABE，
∴MH∥BE
（3）解：连接 、 、 ，过 作 ，
则 ，AE=AE，
∴ （AAS），
∴ ，EF=EM，
∵ 为直径， ，
∴ ，
∴ ，
∴ (HL) ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
所以 ， ，
，
∴ ，
∴ ，
相似比 ，
∴设 ， ， ，
过点 作 于 ，
∵ ，
作 ，
则 ，
， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
，
，
，
，
∴ 半径为 .
【解析】【分析】（1）由AB为直径，CD⊥AB，得 ，从而∠CEB=∠BED=∠CDB，即可得到∠CED=2∠CDB，结合∠CDE=2∠CDB，即可求解；（2）由 可得∠ACE=∠ABE，由AM⊥CE，CH⊥AB，可得∠AHC=∠AMC，则∠AHM=∠ACM，故∠AHM=∠ABE，即可求解；（3）证明△AEF≌△AEM（AAS）、△AFD≌△AMC（AAS）、△CGB∽△ECB，即可求解．
4．如图，已知路灯离地面的高度为，身高为的小明站在D处的影长为，那么此时小明离路灯的距离为多少米？
【答案】4米．
5．小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时测得高的标杆在地面的影长为，求的长度．（结果保留根号）
【答案】
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，P、Q分别是AB、BC边上的点，且AP=BQ=a （其中0＜a＜8）．
（1）若PQ⊥BC，求a的值；
（2）若PQ=BQ，把线段CQ绕着点Q旋转180°，试判别点C的对应点C’是否落在线段QB上？请说明理由．
【答案】（1）解： ∵∠B=∠B，∠PQB=∠C=90°
∴△BQP∽△BCA，
∴ ， ，
解得：a=
（2）解： 点C′不落在线段QB上，
作QH⊥AB于H，
∵PQ=BQ，
∴BH=HP，
∵∠B=∠B，∠BHQ=∠C，
∴△BQH∽△BAC，
∴BH：BC=BQ：AB可得： （10﹣a）：a=8：10，
解得a= ，
CQ=（8﹣a）= ，
∴BQ＜QC，
∴点C′不落在线段QB上.
【解析】【分析】（1）若PQ⊥BC，用有两对角对应相等的两个三角形相似可得△BQP∽△BCA，可得相应的比例式，将已知条件代入比例式即可求解；
（2）要判别点C的对应点C’是否落在线段QB上，只须判断BQ和CQ的大小关系即可。
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于点D.
（1）求证：
（2）若AC＝4，求BC的长.
【答案】（1）证明：，
，
，
，
BD平分，
，
∴∠A=∠DBC，
∵∠ACB=∠BCD，
∴；
（2）解：，
，，
，
，
，
，
设BC=x，
∴CD=AC-AD=4-x，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验都是原方程的根，当不合题意舍去，
∴BC的长为.
【解析】【分析】（1）利用等边对等角可证得∠ABC=∠ACB=72°，从而可求出∠A的度数，再利用角平分线的定义可求出∠CBD的度数，即可证得∠A=∠DBC，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论；
（2）利用三角形的外角的性质可求出∠BDC的度数，同时可证得AD=BD；再证明BC=BD，可推出AD=BC=BD，设BC=x，可表示出CD的长；再由相似三角形的对应边成比例可建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BC的长.
8．如图， 中， .以AB为直径作 ，与AC相交于点D，连接BD.点E为 上一点，且 ，连接EO并延长交CB的延长线于点F.
（1）求证： ；
（2）求证：CE是 的切线；
（3）若 ，求AC的长.
【答案】（1）证明：∵AB为 的直径，
，
，
，
又 ，
（2）证明：在 和 中，
，
，
，
，
∴CE是 的切线
（3）解： ，
，
，
，
，
，
，
设 ，
在 中， ，
，
，
，
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得出 ，根据相似三角形的判定方法可得出结论；（2）证明 ，由全等三角形的性质得出 ，则可得出结论；（3）由相似三角形的性质得出 ，求出 ，由勾股定理求出OF的长，求出 ，则可得出答案.
9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，且对角线BD⊥DC，试问：
（1）△ABD与△DCB相似吗？请说明理由．
（2）若AD＝2，BC＝8，请求出BD的长．
【答案】（1）解：相似．理由：∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°，而∠BAD＝90°，
∴∠BDC＝∠BAD.又∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴△ABD∽△DCB.
（2）解：∵△ABD∽△DCB，∴ ＝ ，而AD＝2，BC＝8，∴ ＝ ，
∴DB2＝16，∴BD＝4
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADB＝∠CBD，再根据直角都相等可得∠BDC＝∠BAD，用有两个角相等的两个三角形相似可得△ABD∽△DCB；
（2）由（1）中的相似三角形可得比例式，将已知线段代入计算即可求解。
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．
【答案】（1）解：如图，连接BD．∵∠BAD=90°，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．
∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．
∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．
∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵DE∥AC．∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF= AC．
∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD．
∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE， ，∴CD=4．在Rt△BCD中，BD=
同理：△CFD∽△BCD，∴ ，∴CF= ，∴AC=2AF= ．
【解析】【分析】（1）如图，连接BD．由∠BAD=90°，根据圆的内角四边形的对角互补得出∠BCD=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠DEC+∠CDE=90°．又∠DEC=∠BAC，故∠BAC+∠CDE=90°．根据同弧所对的圆周角相等得∠BAC=∠BDC，∠BDC+∠CDE=90°，∠BDE=90°，即：BD⊥DE．故DE是⊙O的切线；
（2）根据二直线平行，同位角相等得出∠BFC=90°，根据垂径定理得出CB=AB=8，AF=CF=AC．根据同角的余角相等得出∠CDE=∠CBD．然后判断出△BCD∽△DCE，根据相似三角形对应边成比例得出，由比例式得出CD的长，在Rt△BCD中，由勾股定理算出BD的长，同理：△CFD∽△BCD根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式算出CF，从而得出答案。
11．如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出△OB'C′；
（2）B点的对应点B'的坐标是　 　；C点的对应点C′的坐标是　 　 ．
【答案】（1）解：如图所示：△OB'C′，即为所求；
（2）（﹣6，2）；（﹣4，﹣2）
【解析】【解答】解：（2）B点的对应点B'的坐标是（﹣6，2）；
C点的对应点C′的坐标是（﹣4，﹣2）．
【分析】（1）延长BO到B′，使OB′=2OB，则B′就是B的对应点，同样可以作出C的对称点，则对应的三角形即可得到；
（2）根据（1）的作图即可得到B′、C′的坐标．
12．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3.
（1）如果AB=4，BC=8，EF=12，求DE的长.
（2）如果DE：EF=2：3，AB=6，求AC的长.
【答案】（1）解：∵l1∥l2∥l3.
∴ ，
∴DE= EF=6
（2）解：∵l1∥l2∥l3.
∴ ，
∴BC= AB= ×6=9，
∴AC=AB+BC=6+9=15
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理可得比例式求解；
（2）根据平行线分线段成比例定理可得比例式可求得BC的值，再由线段的构成得AC=AB+BC可求解.
13．如图，AB是⊙O的直径，点P是射线AB上的一动点(不与点A，B重合)，过点P作⊙O的割线交⊙O于点C，D，BH⊥CD于H，连接BC，BD．
（1）①在图1的情形下，证明：BC·BD=AB·BH ；
②当点P处于图2中的位置时，①中的结论 ▲ (填“仍成立”或“不再成立”)；
（2）若⊙O的半径为3，当∠APC=30°且BC·BD=6时，求AP的长．
【答案】（1）解：①证明：如下图，连接AC．
∵AB是⊙O的直径，且BH⊥PC，
∴∠ACB=90°=∠BHD．
∵四边形ABDC是O⊙的内接四边形，
∴∠CAB=∠HDB，
∴△ABC∽△DBH
∴
∴BC·BD=AB·BH；
②仍成立
（2）解：∵⊙O的半径为3，
∴AB=6，
由(1)知，BC·BD=AB·BH，
∵BC·BD=6，
∴AB·BH = 6，
∴BH=1
在Rt△BHP中，∠APC=30°
∴BP=2BH=2
∴AP=AB±BP，
∴AP=8或4
【解析】【分析】（1）①连接AC，由圆周角定理以及垂直的概念可得∠ACB=90°=∠BHD，由圆内接四边形的性质可得∠CAB=∠HDB，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△DBH，然后由相似三角形的性质进行证明；
②同①进行解答；
（2）由半径为3可得AB=6，结合①的结论可求出BH的值，由含30°角的直角三角形的性质可得BP=2BH=2，然后根据AP=AB±BP进行计算.
14．如图，已知是以AB为直径的圆，C为上一点，D为OC延长线上一点，BC的延长线交AD于E，．
（1）求证：直线AD为的切线；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∵∠DAC=∠DCE，∠DCE=∠BCO，
∴∠DAC=∠BCO，
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO，
∴∠DAC=∠B，
∴∠CAB+∠DAC=90°，
∴AD⊥AB，
∵OA是⊙O半径，
∴AD为⊙O的切线；
（2）证明：∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，
∴△CED∽△ACD，
∴，
∴DC2=ED DA．
【解析】【分析】（1）先证明出∠CAB+∠DAC=90°，即AD⊥AB，再结合OA是⊙O半径，即可得到AD为⊙O的切线；
（2）先证明△CED∽△ACD，可得，再化简可得DC2=ED DA。
15．如图，点A在以 为直径的⊙ 上， 的角平分线与 相交于点E，与⊙ 相交于点D，延长 至M，连结 ，使得 ，过点A作 的平行线与 的延长线交于点N.
（1）求证： 与⊙ 相切；
（2）试给出 之间的数量关系，并予以证明.
【答案】（1）证明：如图所示，
∵ ， 是 的角平分线，
∴ ， ，
又∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 与⊙ 相切.
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，且由（1）可得 ， ，
∴ ，
即 ，
∴ 为等腰三角形，
在 和 中，
，
∴ ∽ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
故： .
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义及等腰三角形的性质，得出，，由BC为直径得出∠BAC=90°，利用直角三角形两锐角互余可得 ，从而可得，根据切线的判定定理即证；
（2） 由 可得 从而求出 ，继而可求出、△NAC为等腰三角形，证明 ∽ ，可得，从而求出 ，继而得出结论.
16．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是 的中点，延长AD至点E，使得AB＝BE.
（1）求证：△ACF∽△EBF；
（2）若BE＝10，tanE＝ ，求CF的长.
【答案】（1）证明：∵点D是 的中点，
∴∠CAD＝∠BAE.
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠E，
∴∠CAF＝∠E.
又∵∠AFC＝∠EFB，
∴△ACF∽△EBF
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵△ACF∽△EBF，
∴∠EBF＝∠ACF＝90°.
∵BE＝10，tanE＝ ，
∴BF＝BE tanE＝ .
∵∠CAF＝∠E，
∴AC＝3CF.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝BE＝10，AC＝3CF，BC＝CF+ ，
∴AB2＝AC2+BC2，即102＝9CF2+（CF+ ）2，
解得：CF＝ 或CF＝﹣ （舍去）.
∴CF的长为
【解析】【分析】（1）由圆周角定理及等腰三角形的性质可得出∠CAF=∠E，结合对顶角相等（∠AFC=∠EFB）可证出△ACF∽△EBF；（2）由AB为直径可得出∠ACB=90°，利用相似三角形的性质可得出∠EBF=90°，由BE=10，tanE= 结合相似三角形的性质可得出BF= ，AC=3CF，在Rt△ABC中利用勾股定理可得出关于CF长度的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°．
（1）求证：△ADE∽△BEC．
（2）若AD=1，BC=3，AE=2，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥．BC，
∴AB⊥AD，∠A=∠B=90°，
∴∠ADE+∠AED==90°．
∵∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC，
∴△ADE∽△BEC．
（2）解：∵△ADE∽△BEC，．
∴
即
∴BE=
∴AB=AE+BE=
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠B=90°，再根据同角的余角相等得出∠ADE=∠BEC，即可得出△ADE∽△BEC；
（2）根据相似三角形的性质得出
，从而求出BE的长，利用AB=AE+BE即可求出AB的长.
18．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F.P是ED延长线上一点且PC=PF.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使 ，为什么
（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长.
【答案】（1）证明：连结OC
∵PC=PF，OA=OC
∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC
∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB
∴∠AHF=90°
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°
∴PC是⊙O的切线.
（2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使 ，理由如下：
连结AE
∵点D在劣弧AC中点位置
∴∠DAF=∠DEA
∵∠ADE=∠ADE
∴△DAF∽△DEA
∴AD∶DE=DF∶AD
∴
（3）解：连结OD交AC于G
∵OH=1，AH=2
∴OA=3
即OD=3
∴DH=
∵点D在劣弧AC中点位置
∴AC⊥DO
∴∠OGA=∠OHD=90°
在△OGA和△OHD中，
∴△OGA≌△OHD（AAS）
∴AG=DH
∴AC=4 .
【解析】【分析】（1）连结OC，证明∠OCP=90°即可；（2）乘积的形式可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出；（3）可以先根据勾股定理得出DH，再通过证明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长.
19．
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；
（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C，AB=BC．
∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，
∵∠ABM+∠CBF=90°，
∴∠BAM=∠CBF．
在△ABE和△BCF中，∵∠BAE=∠CBF，AB=CB，∠ABE=∠BCF，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF；
（2）解：AE= BF．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C，
∵AE⊥BF，
∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，
∵∠ABM+∠CBF=90°，
∴∠BAM=∠CBF，
∴△ABE∽△BCF，
∴ = ，
∴AE= BF．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC=∠C，AB=BC．根据两直线垂直，可得∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABE=∠BCF，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；
（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论。
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC的长．
【答案】（1）解：如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD，
∵∠BOD=2∠BAD，
∴∠BOD=∠BAC=90°，
∵DP∥BC，
∴∠ODP=∠BOD=90°，
∴PD⊥OD，
∵OD是⊙O半径，
∴PD是⊙O的切线
（2）解：∵PD∥BC，∴∠ACB=∠P，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠P，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，
∴∠DCP=∠ABD，
∴△ABD∽△DCP
（3）解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠BAC=90°，在Rt△ABC中，BC= =13cm，∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BOD=∠COD，∴BD=CD，在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，
∴BD=CD= BC= ，
∵△ABD∽△DCP，∴ ，∴ ，
∴CP=16.9cm
【解析】【分析】（1）连接OD，由BC是⊙O的直径，得出∠BAC=90°，根据角平分线的定义及圆周角定理，可得出∠BOD是直角，再由DP∥BC，可证出PD⊥OD，就可证得结论。
（2）根据平行线的性质及同弧所对的圆周角相等，可证得∠ADB=∠P，再根据圆内接四边形的性质，可得出∠DCP=∠ABD，就可证得结论。
（3）先利用圆周角定理和勾股定理求出BC的长，再证明BD=CD，利用勾股定理求出BD、CD的长，然后利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，就可求出CP的长。
21．如图，AC为的直径，B为AC延长线上一点，D为上一点，且，连接DO并延长交于点E，连接BE交于点M．
（1）求证：直线BD是的切线；
（2）若，①求的半径长；②求弦ME的长．
【答案】（1）证明：∵OA=OD，∠BAD=∠ABD=30°，
∴∠BAD=∠ADO=30°，
∴∠DOB=∠BAD+∠ADO=60°，
∴∠ODB=90°，
∵OD为的半径，
∴直线BD是的切线；
（2）解：①
∵∠ODB=90°，∠ABD=30°，
∴BO=2DO，
∵AO=DO，
∴AB=3DO，
∵AB=3，
∴DO=AO=1．
②如图，连接DM，
∵OD=1，
∴DE=2，，
∴，
∵DE为的直径，
∴∠DME=90°，
∴∠DME=∠BDE，又∵∠DEM=∠BED，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠ADO=30°，结合外角的性质可得∠DOB=∠BAD+∠ADO=60°，则∠ODB=90°，据此证明；
（2）①根据含30°角的直角三角形的性质可得BO=2DO，结合AO=DO可得AB=3DO，据此求解；
②连接DM，利用勾股定理可得BE的值，根据圆周角定理可得∠DME=90°，由图形可得∠DEM=∠BED，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△DEM∽△BED，然后根据相似三角形的性质进行计算.
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，
（1）求证：△ABC∽△DCA.
（2）若BC=1，AC=2，求AD的长.
【答案】（1）证明：∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
又∵∠B=∠ACD=90°
∴△ABC∽△DCA
（2）解：∵△ABC∽△DCA
∴ 即
∴AD=4
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DAC=∠ACB，再根据∠B=∠ACD=90°，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，然后代入数值进行计算，可求出AD的长.
23．已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为t（s）（0＜t＜4）．连接PQ、MQ、MC．
（1）当t为何值时，PQ∥AB？
（2）当t=3时，求△QMC的面积；
（3）是否存在t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图所示，
AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，
∴Rt△ABC中，AC=4，
若PQ∥AB，则有 = ，
∵CQ=PA=t，CP=4﹣t，QB=5﹣t，
∴ = ，
即20﹣9t+t2=t2，
解得t= ，
当t= 时，PQ∥AB
（2）解：如图所示，过点P作PD⊥BC于点D，
∴∠PDC=∠A=90°，
∵∠PCD=∠BCA
∴△CPD∽△CBA，
∴ = ，
当t=3时，CP=4﹣3=1，
∵BA=3，BC=5，
∴ = ，
∴PD= ，
又∵CQ=3，PM∥BC，
∴S△QMC= ×3× = ；
（3）解：存在时刻t= ，使PQ⊥MQ，
理由如下：如图所示，过点M作ME⊥BC的延长线于点E，
∵△CPD∽△CBA，
∴ = = ，
∵BA=3，CP=4﹣t，BC=5，CA=4，
∴ = = ，
∴PD= （4﹣t），CD= （4﹣t）．
∵PQ⊥MQ，
∴∠PDQ=∠QEM=90°，∠PQD=∠QME，
∴△PDQ∽△QEM，
∴ = ，即PD EM=QE DQ．
∵EM=PD= （4﹣t）= ﹣ t，
DQ=CD﹣CQ= （4﹣t）﹣t= ﹣ t，
QE=DE﹣DQ=5﹣[ （4﹣t）﹣t]= + t，
∴（ ﹣ t）2=（ ﹣ t）（ + t），
即2t2﹣3t=0，
∴t= 或t=0（舍去），
∴当t= 时，PQ⊥MQ．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出AC，根据PQ∥AB，得出关于t的比例式，求解即可；（2）过点P作PD⊥BC于D，根据△CPD∽△CBA，列出关于t的比例式，表示出PD的长，再根据S△QMC= QC PD，进行计算即可；（3）过点M作ME⊥BC的延长线于点E，根据△CPD∽△CBA，得出PD= （4﹣t），CD= （4﹣t），再根据△PDQ∽△QEM，得到 = ，即PD EM=QE DQ，进而得到方程（ ﹣ t）2=（ ﹣ t）（ + t），求得t= 或t=0（舍去），即可得出当t= 时，PQ⊥MQ．
24．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O的直线DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．
（1）求证：DE=BD+CE；
（2）若AD=3，BD=CE=2，求BC的值．
【答案】（1）证明：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，
∴DB=DO，OE=EC，
∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC；
（2）解：∵BD=CE=2，
∴由（1）可知，DE=BD+EC=4，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴．
【解析】【分析】（1）先证明∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，可得DB=DO，OE=EC，再利用线段的和差及等量代换可得答案；
（2）先证明△ADE∽△ABC，可得，即，再求出即可。
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点，连接OC，点F、E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO＝∠EFM．
（1）求证：CF＝EF；
（2）求证： ．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵O是AB的中点，
∴CO⊥AB，
∴∠OCB＝∠B＝45°，
∵∠EFM＝∠FCO，
∵∠FEC＝∠EFM+∠B，∠FCE＝∠FCO+∠OCB，
∴∠FEC＝∠FCE，
∴CF＝EF；
（2）证明：由（1）得：∠FEC＝∠FCE，∠OCB＝∠B＝45°，
∴△BFC∽△CNE，
∴ ，
∵CF＝EF，
∴
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质可证得CO⊥AB，可得到∠OCB＝∠B＝45°，利用三角形的外角的性质及∠EFM＝∠FCO，可证得∠FEC＝∠FCE，利用等角对等边，可证得结论.
（2）利用有两组对应角分别相等的三角形相似，可证得△BFC∽△CNE，利用全等三角形的性质及CF=EF，可证得结论.
26．已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段BD、CE交于点M．
（1）如图1，若AB=AC，AD=AE
①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；
②求∠BMC的大小（用α表示）；
（2）如图2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，则线段BD与CE的数量关系为　 　，∠BMC=　 　（用α表示）；
（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接EC并延长交BD于点M．则∠BMC=　 　（用α表示）．
【答案】（1）解：如图1．
①BD=CE，理由如下：
∵AD=AE，∠ADE=α，
∴∠AED=∠ADE=α，
∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=180°﹣2α，
同理可得：∠BAC=180°﹣2α，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，
即：∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
∵ ，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠BDA=∠CEA，
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°﹣2α
（2）BD=kCE；90°﹣ α
（3）90°+ 1 2 α
【解析】【解答】（2）如图2．
∵AD=ED，∠ADE=α，
∴∠DAE= =90°﹣ α，同理可得：∠BAC=90°﹣ α，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，
即：∠BAD=∠CAE．
∵AB=kAC，AD=kAE，
∴AB：AC=AD：AE=k．
在△ABD与△ACE中，
∵AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，
∴△ABD∽△ACE，
∴BD：CE=AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，
∴BD=kCE；
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90°﹣ α．故答案为：BD=kCE，90°﹣ α；
（3）如右图．
∵AD=ED，∠ADE=α，
∴∠DAE=∠AED= =90°﹣ α，同理可得：∠BAC=90°﹣ α，
∴∠DAE=∠BAC，即∠BAD=∠CAE．
∵AB=kAC，AD=kAE，
∴AB：AC=AD：AE=k．
在△ABD与△ACE中，
∵AB：AC=AD：AE=k，∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠BDA=∠CEA，
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α，
∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=90°﹣ α+α=90°+ α．故答案为：90°+ α．
【分析】（1）①先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC，则∠BAD=∠CAE，再根据SAS证明△ABD≌△ACE，从而得出BD=CE；
②先由全等三角形的对应角相等得出∠BDA=∠CEA，再根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=∠DAE=180°﹣2α；（2）先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC=90°﹣ α，则∠BAD=∠CAE，再由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，则根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似证出△ABD∽△ACE，得出BD=kCE，∠BDA=∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=∠DAE=90°﹣ α；（3）先在备用图中利用SSS作出旋转后的图形，再根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC=90°﹣ α，由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，从而证出△ABD∽△ACE，得出∠BDA=∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=90°+ α．
27．如图，在 中， ， 为 边上的中线， 于点E.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求线段 的长.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
又∵ 为 边上的中线，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）解：∵ ，∴ .
在 中，根据勾股定理，得 .
由（1）得 ，∴ ，
即 ，
∴
【解析】【分析】对于（1），由已知条件可以得到∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质易得AD⊥BC，∠ADC=90°；接下来不难得到∠ADC=∠BED，至此问题不难证明；对于（2），利用勾股定理求出AD，利用相似比，即可求出DE.
28．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，AB=5，点D在反比例函数 （k>0）的图象上， ，点P在y轴负半轴上，OP=7.
（1）求点B的坐标和线段PB的长；
（2）当 时，求反比例函数的解析式．
【答案】（1）解：∵AB=5，OA=4，∠AOB=90°， ∴由勾股定理得：OB=3，即点B的坐标是（0，3） ∵OP=7，
∴线段PB＝OB＋OP＝3＋7=10
（2）解：过点D作DM⊥y轴于M， ∵∠PDB＝90°， ∴∠BDP＝∠DMB＝∠DMP＝90° ∴∠DBM＋∠BDM＝90°，∠BDM＋∠MDP＝90°
∴∠DBM＝∠MDP
∴△DBM∽△PDM
∴
∵OA＝4，DM⊥y轴，设D点的坐标为（4，y）(y＞0)
∴ 解得y=1(y=-5舍去)，
即点D的坐标为（4，1）
把点D的坐标代入 ，得k=4，即反比例函数的解析式是 ．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出OB，即可得出答案；（2）设D的坐标是（4，y），证△BDM∽△DPM，得出比例式，代入即可求出y，把D的坐标代入求出即可．
29．如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点D，E分别在AC，BC上，CD=4 x，CE=3x，其中0＜x＜3.
（1）求证：DE∥AB；
（2）当x=1时 ，求点E到AB的距离；
（3）将△DCE绕点E逆时针方向旋转，使得点D落在AB边上的D′处. 在旋转的过程中，若点D′的位置有且只有一个，求x的取值范围.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ ∥ .
（2）解：过点E作EH⊥AB于点H.
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
（3）解：当 ⊥AB于点 ，
，
∴ .
∴ .
当 与点B重合时， .
∴ ，
∴ .
∴ .
综上： 或 .
【解析】【分析】(1)根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出△CDE和△CAB相似，根据相似三角形的对应角相等得出∠CED=∠CBA，从而根据同位角相等，两直线平行得出平行；
(2)过点E作EH⊥AB于点H，然后得出△BEH和△BAC相似得出EH的长度；
(3)本题分 ⊥AB于点 和 与点B重合时两种情况分别求出x的值.
30．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，∠BAE=∠CBD=∠DAC．
（1）求证：DE AB=BC AE；
（2）求证：∠AED+∠ADC=180°．
【答案】（1）证明：∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，
即∠BAC=∠EAD，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBD，
∠AED=∠ABE+∠BAE，
∵∠CBD=∠BAE，
∴∠ABC=∠AED，
∴△ABC∽△AED，
∴ ，
∴DE AB=BC AE
（2）证明：∵△ABC∽△AED，
∴ ，即 ，
∵∠BAE=∠DAC
∴△ABE∽△ACD，
∴∠AEB=∠ADC，
∵∠AED+∠AEB=180°，
∴∠AED+∠ADC=180°
【解析】【分析】（1）根据已知条件得到∠BAC=∠EAD，根据三角形额外角的性质得到∠ABC=∠AED，推出△ABC∽△AED，根据三角形的外角的性质得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到 ，推出△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质得到∠AEB=∠ADC，等量代换即可得到结论．
31．如图，在 中，点 为 边上一点， 经过 ， 两点，与 边交于点 ，点 为 下方半圆弧上一点， ，垂足为 ， ．
（1）求证： 为 切线．
（2）求证： ．
（3）若 ， ，求 半径长．
【答案】（1）证明：连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为 切线
（2）证明：连接 ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵
∴ ，
∴
（3）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 半径
【解析】【分析】（1）连接OA，根据已知条件，根据平行线的性质得到，即可得到结论；
（2） 连接 ，设 ，则 ， 得到，得到，求得，根据全等三角形的性质得到=5，由勾股定；
（3）由 是 的直径， 即得，，由，得，，，即可得出 半径 。
32．如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．
（1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；
（2）求∠BAC的度数．
【答案】（1）解：△PBA与△ABC相似．理由如下： ∵AB= ，BC=5，BP=1，∴ ．∵∠PBA=∠ABC，∴△PBA∽△ABC
（2）解：∵△PBA∽△ABC，∴∠BAC=∠BPA．∵∠BPA=90°+45°=135°，∴∠BAC=135°
【解析】【分析】（1）利用网格纸的特点，根据勾股定理算出AB的长，然后发现 ，又 ∠PBA=∠ABC ，根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出 △PBA与△ABC相似 ；
（2）根据相似三角形的对应角相等得出 ∠BAC=∠BPA ，利用网格纸的特点，判断出 ∠BPA=90°+45°=135°，从而得出答案∠BAC=135° 。
33．如图，D，E两点是线段AC上的点，且AD=DE=EC．
（1）分别过D，E画出BC的平行线，分别交AB于F，G两点；
（2）量一量线段AF，FG，GB的长度，你能得出什么结论？
【答案】（1）解： 如图
（2）解：AF=FG=GB．
∵DF∥EG∥BC，
∴ = ， = ，
又∵AD=DE=EC，
∴AF=FG=GB．
【解析】【分析】（1）按要求画出图形即可。
（2）先量出线段AF，FG，GB的长度，根据平行线分线段成比例的性质解答。
34．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝3，AB＝4，求AC的长．
【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴AC2＝AD AB＝3×4＝12，
∴AC＝2．
【解析】【分析】 (1)、 连接OC，根据切线的性质求出∠OCD＝90°，因为∠ACD+∠ACO＝90°和∠ACD+∠DAC＝90°，得出∠ACO＝∠DAC，再利用等量代换求出∠DAC＝∠OAC，即可证明.
(2)、 因为AB是⊙O的直径，所以圆周角∠ACB＝90°，根据三角形相似判定Rt△ADC∽Rt△ACB，利用相似比求出AC.
35．如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，且∠ACD=∠ABC．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD=6，AB=10，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴ = ，
∴AC2=AD×AB，
∵AD=6，AB=10，
∴AC=2
【解析】【分析】（1）利用两对应角相等来证明三角形相似；
（2）由（1）△ACD∽△ABC可得AC2=AD×AB，然后代入计算可求出答案.
36．如图，已知菱形，点E是上的点，连接，将沿翻折，点C恰好落在边上的F点上，连接，延长，交 延长线于点G．
（1）求证：；
（2）若菱形的边长为5，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
由翻折知，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵菱形的边长为5，
由翻折知：，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先证出，再结合，即可证出；
（2）先证出，再求出，可得，结合，求出即可。
37．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，∠C＝∠DEA.
（1）求证：△ADE∽△DEC；
（2）若CE＝2，DE＝4，求EB的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AD BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
又∵∠DEA＝∠C，
∴△ADE∽△DEC；
（2）解：∵△ADE∽△DEC，
∴ ，
∵CE＝2，DE＝4，
∴ ，
∴AD＝8=BC.
∴EB=BC-CE=8-2=6.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形以及平行线的性质可得∠ADE＝∠DEC，然后利用相似三角形的判定定理进行证明；
（2）根据相似三角形的性质可得AD，由平行四边形的性质可得AD=BC，然后根据EB=BC-CE进行计算.
38．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC.
（1）求证ΔADE∽ΔABC；
（2）若AD=3，AB=5，求 的值.
【答案】（1）证明：在ΔABC中，
∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F
∴∠AFE=∠AGC=90°
∵∠EAF=∠GAC
∴∠AED=∠C
在ΔADE和ΔABC中，
∵∠AED=∠C，∠EAD=∠CAB
∴ΔADE∽ΔABC
（2）解：在ΔAEF和ΔACG中，
∵∠AFE=∠AGC，∠EAF=∠GAC
∴ΔAEF∽ΔAGC
由（1）知ΔADE∽ΔABC
∴
又ΔAEF∽ΔAGC
∴
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出 ∠AFE=∠AGC=90° ，根据三角形的内角和得出 ∠AED=∠C ，从而利用有两个角对应相等的三角形相似得出 ΔADE∽ΔABC ；
（2）由（1）知 ΔADE∽ΔABC ，根据相似三角形对应边成比例得出 ，然后判断出 ΔAEF∽ΔAGC ，根据相似三角形对应边成比例得出 .
39．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E．
（1）求证：△ABC
∽ △AED．
（2）求 DE 的长．
【答案】（1）证明： 垂直 ，
．
，又 ，
，
（2）解：∵
∴ ，
在 中， ， ， ．
根据勾股定理得： ，
是 的垂直平分线，
；
∴ ，
解得， ．
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；（2）利用 ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
40．如图，已知，与相交于点E，点F在线段上，，．
（1）求证：；
（2）求．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例可得到，结合可得， 利用平行线分线段可证结论；
（2）由平行线分线段成比例可得，，继而得解.
41．榆林市新闻大厦设计融合了陕北窑洞和民间剪纸艺术，“H”型的双塔建筑隐寓榆林开诚、开放、开明、开创的城市精神，大厦双塔建筑既独立又统一的建筑艺术美，是西部地区文化传媒类项目中的精品.某实践小组欲测量新闻大厦的高度，如图为新闻大厦的大致结构示意图（其底部B处可以到达，顶部A处不易到达，且垂直于地面），请你根据下列条件，帮该实践小组设计一种测量方案：
条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行；
条件二：测量者只备有①一根标杆、②一面平面镜、③一卷足够长的皮卷尺三种工具.
（1）你所选用的测量工具是　 　；（填序号）
（2）请在图中画出测量示意图并写出测量数据（不要求写出测量过程）；（线段长度用a，b，c……表示）
（3）根据你的测量数据，计算该新闻大厦的高度.（用含a、b、c……的式子表示）
【答案】（1）①③
（2）解：测量示意图如图所示.测得.
（3）解：∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴该新闻大厦的高度为.
【解析】【解答】解：（1）根据题意得∶ 选用的测量工具是①③；
故答案为∶ ①③；
【分析】（1）选用的测量工具是①③；
（2） 测得 ；
（3）证明，可得，据此求出AB即可.
42．如图，直线PAB交 于A、B两点，AC是 的直径， 的平分线交 于点D，过点D作 于点D．
（1）求证：DE为 的切线；
（2）若 ， 的直径为10，求AB的长度．
【答案】（1）如图1，连接OD
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵DA平分∠CAP，
∴∠DAE=∠OAD=∠ODA
∵DE⊥PB，
∴∠DEA=90°
∴∠ADE+∠DAE=90°
∴∠ADE+∠ODA=90°
∴∠ODE=90°
∴OD⊥DE，
∴DE是O的切线．
（2）如图2中，连接CD
设AE=x，则DE=6 x，AD=
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°
∵∠ADC=∠DEA=90°，∠DAC=∠DAE，
∴△DAE∽△CAD，
∴
∴AD2=AC AE，
∴x2+(6 x)2=10x
x=2(或9不合题意舍弃)
∴AE=2，ED=4，
∵DE是切线，
∴DE2=EA EB，
∴16=2(2+AB)，
∴AB=6
故答案为：6
【解析】【分析】（1）连接OD，由∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE=∠DAO=∠ODA，即可证明∠ODE=90°．（2）先证明△DAE∽△CAD得到AD2=AC AE求出AE，再根据切线的性质定理DE2=EA EB解决问题．
43．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2=AB AE，求证：AG=DF.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB.
∵DF=BE，
∴△CDF≌△CBE(SAS)，
∴∠DCF=∠BCE.
∵CDBH，
∴∠H=∠DCF，
∴∠BCE=∠H.且∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH.
（2）证明：∵BE2=AB AE，
∴=，
∵AGBC，
∴=，
∴=，
∵DF=BE，BC=AB，
∴BE=AG=DF，
即AG=DF.
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得CD=CB，∠D=∠B，CD∥AB，结合DF=BE可证明△CDF≌△CBE，得到∠DCF=∠BCE，由平行线的性质可得∠H=∠DCF，则∠BCE=∠H，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
（2）由已知条件可得，由平行线分线段成比例的性质可得，则，结合DF=BE，BC=AB可得BE=AG=DF，据此证明.
44．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．
求证：
（1）FC=FG；
（2）AB2=BC BG．
【答案】（1）证明（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，
∴EF⊥AD，
∵E是AD的中点，
∴FA=FD，
∴∠FAD=∠D，
∵GB⊥AB，
∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠G，
∵∠DCB=∠GCF，
∴∠GCF=∠G
∴FC=FG；
（2）证明： 连接AC，如图所示：
∵AB⊥BG，
∴AC是⊙O的直径，
∵FD是⊙O的切线，切点为C，
∴∠DCB=∠CAB，
∵∠DCB=∠G，
∴∠CAB=∠G，
∵∠CBA=∠GBA=90°，
∴△ABC∽△GBA，
∴ ，
∴AB2=BC BG．
【解析】【分析】（1）由平行线的性质得出EF⊥AD，由线段垂直平分线的性质得出FA=FD，由等腰三角形的性质得出∠FAD=∠D，证出∠DCB=∠G，由对顶角相等得出∠GCF=∠G，即可得出结论；（2）连接AC，由圆周角定理证出AC是⊙O的直径，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，证出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，证明△ABC∽△GBA，得出对应边成比例，即可得出结论．
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．
45．如图，经过的顶点A、C，并与边相交于点D，过点D作，交于点E，交于点F，连接，点C为弧的中点.
（1）求证：为的切线：
（2）若的半径为3，，求的值.
【答案】（1）证明：连接交于M，如图所示：
∵C为弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴为的切线；
（2）解：连接交于M，连接，，如图所示：
∵C为弧的中点，
∴，
∴
∵的半径为3，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）连接OC交DF于M，根据垂径定理的推论得OC⊥DF，得出∠OMD＝90°，根据平行线的性质，得出∠BCO＝∠DMO＝90°，则OC⊥BC，由切线的判定可得出结论；
（2）连接OC交DF于M，连接OD，AF，根据垂径定理可得DM的长， 由勾股定理求出DC2＝12，证明△DCE∽△ACD，由相似三角形的性质得出 ，证出CD2＝CE CA，则可得答案.
46．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3cm，过点A作∠EAF＝60°，分别交DC，BC的延长线于点E，F，连接EF.
（1）如图1，当CE＝CF时，判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）若△AEF是直角三角形，求CE，CF的长度；
（3）当CE，CF的长度发生变化时，△CEF的面积是否会发生变化，请说明理由.
【答案】（1）解：△AEF是等边三角形，理由如下：
连接BE、DF，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝DC＝AD，∠ABC＝∠ADC，
在△BCE和△DCF中， ，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠BE＝DF，CBE＝∠CDF，
∴∠ABC+∠CBE＝∠ADC+∠CDF，
即∠ABE＝∠ADF，
在△ABE和△ADF中， ，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形；
（2）解：分两种情况：
①∠AFE＝90°时，连接AC、MN，如图2所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝3，∠D＝∠B＝60°，AD∥BC，AB∥CD，
∴△ABC和△ADC是等边三角形，
∴AC＝AD，∠ACM＝∠D＝∠CAD＝60°＝∠EAF，
∴∠MAC＝∠NAD，
在△MAC和△NAD中， ，
∴△MAC≌△NAD（ASA），
∴AM＝AN，CM＝DN，
∵∠EAF＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝MN＝AN，
设AM＝AN＝MN＝m，DN＝CM＝b，BM＝CN＝a，
∵CF∥AD，
∴△CFN∽△DAN，
∴ ，
∴FN＝ ，
∴AF＝m+ ，
同理：AE＝m+ ，
在Rt△AEF中，∵∠EAF＝60°，
∴∠AEF＝30°，
∴AE＝2AF，
∴m+ ＝2（m+ ），
整理得：b2﹣ab﹣2a2＝0，
（b﹣2a）（b+a）＝0，
∵b+a≠0，
∴b﹣2a＝0，
∴b＝2a，
∴ ＝ ，
∴CF＝ AD＝ ，
同理：CE＝2AB＝6；
②∠AEF＝90°时，连接AC、MN，如图3所示：
同①得：CE＝ AD＝ ，CF＝2AB＝6；
（3）解：当CE，CF的长度发生变化时，△CEF的面积不发生变化；理由如下：
作FH⊥CD于H，如图4所示：
由（2）得：BM＝CN＝a，CM＝DN＝b，
∵AD∥CF，
∴△ADN∽△FCN，
∴ ，
∵CE∥AB，
∴∠FCH＝∠B＝60°，△CEM∽△BAM，
∴ ，
∴ ，
∴CF×CE＝AD×AB＝3×3＝9，
∵CH＝CF×sin∠FCH＝CF×sin60°＝ CF，
△CEF的面积＝ CE×FH＝ CE× CF＝ ×9× ＝ ，∴△CEF的面积是定值，不发生变化.
【解析】【分析】（1）证明△BCE≌△DCF（SAS），得出∠BE＝DF，CBE＝∠CDF，证明△ABE≌△ADF（SAS），得出AE＝AF，即可得出结论；（2）分两种情况：①∠AFE＝90°时，连接AC、MN，证明△MAC≌△NAD（ASA），得出AM＝AN，CM＝DN，证出△AMN是等边三角形，得出AM＝MN＝AN，设AM＝AN＝MN＝m，DN＝CM＝b，BM＝CN＝a，证明△CFN∽△DAN，得出 ，得出FN＝ ，AF＝m+ ，同理AE＝m+ ，在Rt△AEF中，由直角三角形的性质得出AE＝2AF，得出m+ ＝2（m+ ），得出b＝2a，因此 ，得出CF＝ AD＝ ，同理CE＝2AB＝6；②∠AEF＝90°时，同①得出CE＝ AD＝ ，CF＝2AB＝6；（3）作FH⊥CD于H，如图4所示：由（2）得BM＝CN＝a，CM＝DN＝b，证明△ADN∽△FCN，得出 ，由平行线得出∠FCH＝∠B＝60°，△CEM∽△BAM，得出 ，得出 ，求出CF×CE＝AD×AB＝3×3＝9，由三角函数得出CH＝CF×sin∠FCH＝CF×sin60°＝ CF，即可得出结论.
47．已知，如图，在中，，，，过作，点在射线上、连接，交边于点．
（1）当时，求的长；
（2）当时，求的长；
（3）当为等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
（2）解：∵， ，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①当时，过点B作于点F，交于点G，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
②当时，过点B作于点Q，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴在中，根据勾股定理可得：，
即，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴．
由于，所以不存在的情形；
综上：或．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC=5，再求出 ， 最后利用相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（3）利用等腰三角形的性质，分类讨论，结合图形，利用相似三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
48．如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA＝5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若PC＝2 ，求⊙O的半径及线段PB的长．
【答案】（1）证明：如图1，连接OB．
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA＝∠OAC＝90°，
∴∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠APC＝90°，
∵OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，
∵∠OPB＝∠APC，
∴∠ACP＝∠ABC，
∴AB＝AC；
（2）解：如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD，
设圆半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝5﹣r，
则AB2＝OA2﹣OB2＝52﹣r2，
AC2＝PC2﹣PA2＝（2 ）2﹣（5﹣r）2，
∴52﹣r2＝（2 ）2﹣（5﹣r）2，
解得：r＝3，
∴AB＝AC＝4，
∵PD是直径，
∴∠PBD＝90°＝∠PAC，
又∵∠DPB＝∠CPA，
∴△DPB∽△CPA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：PB＝ ．
∴⊙O的半径为3，线段PB的长为 ．
【解析】【分析】（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA＝∠OAC＝90°，推出∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠CPA＝90°，求出∠ACP＝∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝5﹣r，在Rt△OAB中根据勾股定理求出r，再证△DPB∽△CPA，得出 ＝ ，代入求出即可．
49．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（-1，0），B（3，0），C（0，-4）三点，点P（m，n）是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）动点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，求出此时P点坐标及△PBC面积的最大值；
（3）在y轴上是否存在点Q，使以O，B，Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过C（0，-4）
∴可设二次函数的解析式为，
将A，B两点坐标代入解析式可得，解之得
所以二次函数的解析式为
（2）解：设直线BC的解析式为，将B，C两点的坐标代入解析式，解得
∴BC的解析式为
过P作PD∥y轴，交BC于点D，
设直线BC下方抛物线上的点P坐标为（t，），则，
点D与点P横坐标相同，且点D在直线BC上 ，
∴D点坐标为
∴PD=（）-（）=
===
∵
∴当时，△PBC面积最大为 ，此时P点的纵坐标为=-5
∴P
故答案为P，△PBC面积最大为．
（3）解：存在这样的点Q，由题意可得，在△AOC中，，OB=3，
∵点Q在y轴上，
∴∠BOQ=∠AOC=90°，
若以O，B，Q为顶点的三角形与△AOC相似，
则分两种情况进行讨论：
①当△AOC∽△QOB时，
则 ，解得OQ=，
∴点Q的坐标为（0，）或（0，-）
②当△AOC∽△BOQ时，
则 ，解得OQ=12，
∴点Q的坐标为（0，12）或（0，-12）
综上所述，存在y轴上的点Q，使以O，B，Q为顶点的三角形与△AOC相似，这样的点有4个：（0，）或（0，-）或（0，12）或（0，-12）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2） 先求出BC的解析式为 ， 过P作PD∥y轴，交BC于点D，设直线BC下方抛物线上的点P坐标为（t，），则， 可得 D点坐标为 ，从而求出PD= ，继而求出=，根据二次函数的性质即可求解；
（3）由题意知∠BOQ=∠AOC=90°，所以分两种情况：①当△AOC∽△QOB时，②当△AOC∽△BOQ时，根据相似三角形的性质分别求出OQ即可.
50．如图， 为 的直径， 是 的弦， 是弧 的中点，弦 于点 ，交 于点 ，过点 作 的切线，交 延长线于点 ，连接 .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：连接 ，如图，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∵ 是弧 的中点，
∴ ，
∴
（2）解：设 与 交于点 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ， ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：12.
【解析】【分析】（1）连接OC，如图，先利用切线的性质得OC⊥PC，再利用垂径定理得到OC⊥AE，所以PC∥AE；
（2）设OC与AE交于点H，如图，利用垂径定理得到 ，根据圆周角定理得 ，则AF=CF=5，在 中利用三角函数的定义可计算出 ， ，进而证明 ，得到AH=CD=8，所以AE=2AH=16，然后证明 ，于是利用相似比可计算出BE.
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