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【50道综合题·专项集训】北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线
1．如图，直线AB、CD交于点O，
（1）若∠AOC=90°，则AB　 　CD．
（2）若AB⊥CD，则∠AOC=　 　=　 　=　 　=　 　度．
2．如图：
（1）如果∠1=∠D，那么　 　∥　 　；
（2）如果∠1=∠B，那么　 　∥　 　；
（3）如果∠A+∠B=180 ，那么　 　∥　 　；
（4）如果∠A+∠D=180 ，那么　 　∥　 　；
3．已知：如图，．
（1）如图1，，判断直线和的位置关系，并给予证明；
（2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明．
4．如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°，
（1）求证；BF∥DE．
（2）如果DE垂直于AC，∠2＝150°，求∠AFG的度数．
5．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．
（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是　 　．
（2）在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是　 　．
6．如图，已知AB//CD，点在直线与直线之间，，.
（1）试判断与之间的位置关系，并说明理由；
（2）若平分，，求的度数.
7．如图，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，BE、CE交于点E，∠ABC=∠ACE。
（1）求证：AB∥CE；
（2）若∠A=40°，求∠E的度数。
8．已知：∠DAC＋∠ACB＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ACF＝24°，∠DAC＝4∠5，求证：
（1）CE平分∠BCF
（2）则∠5＝　 　°（直接写出答案即可）
9．如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，，.
（1）求证： ；
（2）若DG是角的平分线，，且，请说明AB和CD怎样的位置关系？
10．如图，平移线段AB，使点A移动到点A1．
（1）画出平移后的线段A1B1，分别连接AA1，BB1．
（2）分别画出AC⊥A1B1于点C，AD⊥BB1于点D．
（3）AA1与BB1之间的距离，就是线段　 　的长度．
（4）线段AB平移的距离，就是线段　 　的长度．
（5）线段BD的长度，是点B到直线　 　的距离．
11．如图，直线 与 交于点O， 垂足为O， 平分 ．
（1）若 ，求 和 的度数；
（2）若 ，则 　 　．（用含 的代数式表示）
12．如图，∠1+∠2=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF.
（1）AE与FC会平行吗 说明理由.
（2）AD与BC的位置关系如何 为什么
（3）求证：BC平分∠DBE．
13．如图，0°<∠AOB<180°，射线OC，射线OD，OE，OF均在∠AOB内部，∠AOC=∠BOD=∠EOF，∠COE=∠DOF，∠COD=2∠EOF．
（1）若∠COE=20°，求∠EOF的度数．
（2）若∠EOF与∠COD互余，找出图中所有互补的角，并说明理由．
（3）若∠EOF的其中一边与OA构成直角，求∠AOB的度数．
14．如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90度．
（1）请你数一数，图中有多少个角；
（2）求出∠BOD的度数；
（3）请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
15．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分 ， ，
（1）图中 的余角是　 　 把符合条件的角都填出来 ；
（2）如果 ，那么根据　 　可得 　 　度；
（3）如果 ，求 和 的度数.
16．已知：直线 ，点 、 分别在直线 ， 上，点 为平面内一点．
（1）如图， ， ， 的数量关系是　 　．
（2）利用（ ）的结论解决问题：如图，已知 ， 平分 ， 平分 ， ，求 得度数．
（3）如图，点 为 上一点， ， ， 交 于点 ，直接写出 ， ， 之间的数量关系．（用含 的式子表示）
17．如图，点 ， ， 分别是三角形 的边 ， ， 上的点， ， .（此题每步须批注理由）
（1）如果 ，分别求 与 的度数；
（2）求证 .
18．如图，已知
，现将一直角三角形
放入图中，其中
，
交
于点
，
交
于点
（1）当
所放位置如图①所示时，则
与
的数量关系为　 　；请说明理由　 　．
（2）当
所放位置如图②所示时，
与
的数量关系为　 　；
（3）在（2）的条件下，若
与
交于点O，且
，
，求
的度数．
19．已知：两直线l1，l2满足l1∥l2
，点C，点D在直线l1上，点A，点B在直线l2上，点P是平面内一动点，连接CP，BP，
（1）如图 1，若点P在 l1，l2外部，则∠DCP、∠CPB、∠ABP之间满足什么数量关系？请你证明的这个结论；
（2）如图 2，若点P在l1，l2外部，连接AC，则∠CAB、∠ACP、∠CPB、∠ABP之间满足什么数量关系？请你证明这个结论；（不能用三角形内角和为 180°）
（3）若点P在 l1，l2内部，且在AC的右侧，则∠ACP﹑∠ABP﹑∠CAB﹑∠CPB之间满足什么数量关系？（不需证明）
20．如图1，直线EF与AB、CD交于点G、H，∠1＝∠3．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，若GM⊥GE，∠BGM＝20°，HN平分∠CHE，求∠NHD的度数．
21．已知，直线可变形为：，则点到直线的距离d可用公式计算.例如求点到直线的距离.
解：∵直线可变形为，
∴点到直线的距离为.
根据以上材料求：
（1）点到直线的距离；
（2）已知为直线上的点，且到直线的距离为.求的坐标；
（3）已知线段上的点到直线的最小距离为，求k的值.
22．如图，已知AB∥DE，∠B=60°，AE⊥BC，垂足为点E．
（1）求∠AED的度数；
（2）当∠EDC满足什么条件时，AE∥DC证明你的结论．
23．如图，已知∠AOB=155°，∠AOC=∠BOD=90°．
（1）写出与∠COD互余的角；
（2）求∠COD的度数；
（3）图中是否有互补的角？若有，请写出来．
24．已知AB∥CD.
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连结BE，DE，得到∠BED.求证：∠BED = ∠B+∠D。
（2）如图，连结AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F.
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC = 50°，∠ADC = 60°，求∠BFD的度数：
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC= ，∠ADC = β，请你求出∠BFD的度数（用含有 ，β的式子表示）.
25．
（1）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：
如图 ， ，求证： ．
证明：过点 引一条直线 ，
，（ ▲ ）．
，
，（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行）．
▲ ，（ ▲ ）．
即： ．
（2）如图 ， ，请写出 的推理过程．
（3）如图 ， ，请直接写出结果： 　 　．
26．如图，现有以下3个论断：①ABCD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F.请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题.
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）请选择其中一个真命题加以证明.
27．探究问题：已知，画一个角，使//，//，且DE交BC于点P．与有怎样的数量关系？
（1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中与数量关系为 ▲ ；图2中与数量关系为 ▲ ；选择图1的情况，说明理由．
②由①得出一个真命题，请用文字叙述该命题．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，求出这两个角的度数．
28．如图，点O在直线AB上，，与互余．
（1）求证：；
（2）OF平分交DE于点F，若，补全图形，并求的度数．
29．如图，AD平分∠BAC并与直线CD交于点D，∠1＝∠2.
（1）求证：AB∥CD
（2）若AC⊥BC，∠BCD＝32°，求∠2的度数.
30．看图填空：
（1）直线AD与直线CD相交于点　 　；
（2）　 　⊥AD，垂足为点　 　；AC⊥　 　，垂足为点　 　．
31．如图，点O是直线AB上任一点，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）与∠AOE互补的角是　 　
（2）若∠AOD=36°，求∠DOE的度数
（3）当∠AOD=x°时，请直接写出∠DOE的度数．
32．如图，AC，BC分别平分∠MAB和∠ABN，∠ACB=90°．
（1）AM和BN存在怎样的位置关系？并写出理由；
（2）过点C作一条直线，分别交AM，BN于点D，E．则AB，AD，BE三者间具有怎样的数量关系？并写出理由．
33．如图，已知AB∥CD，连接BC．点E，F是直线AB上不重合的两点，G是CD上一点，连接ED交BC于点N，连接FG交BC于点M．若∠ENC+∠CMG＝180°．
（1）求证：∠2＝∠3；
（2）若∠A＝∠1+60°，∠ACB＝50°，求∠B的度数．
34．如图，直线、相交于点，．
（1）写出的所有余角．
（2）若，求的度数．
35．如图，．
（1）试判断AF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
36．如图，，，DA平分.
（1）求证：；
（2）BC平分吗？为什么？
37．如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线CD上有一点P．
（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？
38．如图，一块大的三角板ABC，D是AB上一点，现要求过点D割出一块小的三角板ADE，使∠ADE=∠ABC，
（1）尺规作出∠ADE．（不写作法，保留作图痕迹，要写结论）
（2）判断BC与DE是否平行，如果是，请证明．
39．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系．
（1）如图1，，，∠1与∠2的关系是　 　；
证明：
（2）如图2，，，则∠1与∠2的关系是　 　；
证明：
（3）经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是　 　．
40．已知 ，点E、F分别在 、 上，点G为平面内一点，连接 、 .
（1）如图，当点G在 、 之间时，请直接写出 、 与 之间的数量关系　 　.
（2）如图，当点G在 上方时，且 ， 求证： ；
（3）如图，在（2）的条件下，过点E作直线 交直线 于K， FT平分 交 于点T，延长 、 交于点R，若 ，请你判断 与 的位置关系，并证明. （不可以直接用三角形内角和180°）
41．已知：锐角∠AOB．
（1）若∠AOB=65°，则∠AOB的余角的度数为　 　度．
（2）若∠AOB=53°17 ，则∠AOB的补角的度数为　 　．
（3）若∠AOB=31°12 ，计算：∠AOB=　 　．
（4）若∠AOB=20°21 ，计算：3∠AOB．
42．已知如图，已知，.
（1）判断与是否平行，并说明理由；
（2）说明的理由.
43．综合题
（1）如图（1），将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
①填空：∠ACE　 　∠BCD（选填“＜”或“＞”或“＝”）；
②若∠DCE=25°，求∠ACB的度数；　 　
③猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由.　 　
（2）若改变（1）中一个三角板的位置，如图（2）所示，则上述第③题的结论是否仍然成立？（不需要说明理由）
44．如图，直线，且直线被直线所截．
（1）求证：；
（2）若，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
45．如图，EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，点G在AC边上，且∠1=∠2=50°．
（1）求证：EF∥CD；
（2）若∠AGD=65°，试求∠DCG的度数．
46．已知E，F分别是AB、CD上的动点，P也为一动点.
（1）如图1，若AB∥CD，求证：∠P＝∠BEP＋∠PFD；
（2）如图2，若∠P＝∠PFD－∠BEP，求证：AB∥CD；
（3）如图3，AB∥CD，移动E，F使得∠EPF＝90°，作∠PEG＝∠BEP，求 的值.
47．阅读第（1）题解答过程填理由，并解答第（2）题
（1）已知：如图1，AB∥CD，P为AB，CD之间一点，求∠B+∠C+∠BPC的大小．
解：过点P作PM∥AB
∵AB∥CD（已知）
∴PM∥CD　 　，
∴∠B+∠1＝180°，　 　．
∴∠C+∠2＝180°
∵∠BPC＝∠1+∠2
∴∠B+∠C+∠BPC＝360°
（2）我们生活中经常接触小刀，如图2小刀刀柄外形是一个直角梯形挖去一个小半圈，其中AF∥EG，∠AEG＝90°，刀片上、下是平行的（AB∥CD），转动刀片时会形成∠1和∠2，那么∠1+∠2的大小是否会随刀片的转动面改变，如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．
48．如图，点C在射线BE上，点F在线段AD上，CD平分∠FCE，.
（1）当时，求∠DCE：
（2）点N是线段FD上一点，点P是线段CD上一点，连接AC，FP.若CA为∠BCF的角平分线，，，探究直线CD上是否存在一点Q，使得.
49．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；
（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求 值．
50．
（1）如图1，∠1＝∠3，∠E＝∠2，求证：CD∥AB.
（2）如图2，已知CD∥AB，∠MFN＝120°，直线HI交∠CMF、∠FNB的角平分线分别于点H、I，求∠H﹣∠I的值.
（3）如图3，已知CD∥AB，∠MFN＝α°，∠4＝ ∠CMF，∠5＝ ∠BNF，直接写出∠H﹣∠I的值为　 　（用α表示）.
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【50道综合题·专项集训】北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线
1．如图，直线AB、CD交于点O，
（1）若∠AOC=90°，则AB　 　CD．
（2）若AB⊥CD，则∠AOC=　 　=　 　=　 　=　 　度．
【答案】（1）⊥
（2）∠COB；∠BOD；∠AOD；90
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC=90°，
∴AB⊥CD；
2）∵AB⊥CD，
∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°，
故答案为：⊥；∠COB；∠BOD；∠AOD；90．
【分析】（1）根据垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直可直接得到AB⊥CD；（2）根据垂直的定义可得∠AOC=∠COB=∠BOD=∠AOD=90°．
2．如图：
（1）如果∠1=∠D，那么　 　∥　 　；
（2）如果∠1=∠B，那么　 　∥　 　；
（3）如果∠A+∠B=180 ，那么　 　∥　 　；
（4）如果∠A+∠D=180 ，那么　 　∥　 　；
【答案】（1）AD；BC
（2）AB；CD
（3）AD；BC
（4）AB；DC
【解析】【解答】（1）两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，因此∠1和∠D是一对内错角，根据内错角相等，被截的两条直线平行可得AD∥BC.
（2）两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，因此∠1和∠B是一对同位角，根据同位角相等，被截的两条直线平行可得AB∥CD。
（3）（4）两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，因此∠A和∠B、∠A和∠D是两对同旁内角，根据同旁内角互补，被截的两条直线平行可知AD∥BC，AB∥DC。
【分析】（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么被截的两条直线平行 ；
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么被截的两条直线平行 ；
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么被截的两条直线平行 ；
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么被截的两条直线平行 。
3．已知：如图，．
（1）如图1，，判断直线和的位置关系，并给予证明；
（2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：
证明如下：
，，
，
，
延长EF交CD于，如图，
，
，
，
，
．
（2）解：，
证明：由（1）得，作，，如图，
，，
，
，
∵，，
，
，，
，
，，
，，
，即．
【解析】【分析】（1）延长EF交CD于F1，先证明AB∥CD，进而根据平行线的性质即可得证；
（2）作QR∥AB，PL∥AB，可得AB∥CD∥PL，根据平行线的性质即可求解．
4．如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°，
（1）求证；BF∥DE．
（2）如果DE垂直于AC，∠2＝150°，求∠AFG的度数．
【答案】（1）证明：BF∥DE，理由如下： ∵∠AGF=∠ABC，∴GF∥BC，∴∠1=∠3，
∵∠1+∠2=180°，∴∠3+∠2=180°，∴BF∥DE
（2）解：∵BF∥DE，BF⊥AC，∴DE⊥AC，
∵∠1+∠2=180°，∠2=150°，∴∠1=30°，∴∠AFG=90°﹣30°=60°
【解析】【分析】 由
∠AGF＝∠ABC 根据同位角相等两直线平行得到GF∥BC，从而根据两直线平行内错角相等得到∠1=∠FBC，从而∠2+∠FBC=180°，根据同旁内角互补两直线平行得到BF∥DE；
（2）根据 ∠1+∠2＝180° 得到∠1，根据两直线平行同位角相等得到∠BFA=90°，从而得到∠AFG=∠BFA-∠1。
5．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．
（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是　 　．
（2）在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是　 　．
【答案】（1）垂线段最短
（2）两点之间，线段最短
【解析】【解答】(1)过A作AC⊥MN，根据垂线段最短，
故答案为：垂线段最短；
(2)连接AB交MN于D，根据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
【分析】（1）根据直线外一点与直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，故过A作AC⊥MN，带你C就是所求的点；
（2）根据连接两点的所有线中，线段最短，故)连接AB交MN于D，点D就是所求的点。
6．如图，已知AB//CD，点在直线与直线之间，，.
（1）试判断与之间的位置关系，并说明理由；
（2）若平分，，求的度数.
【答案】（1）解：，理由如下：
，，
，
，
（同位角相等，两直线平行）.
（2）解：过点作，如图所示：
则，，
，
平分，
，
，
，，
，
.
【解析】【分析】（1）AC∥BP，理由：由平行线的性质可得∠CAB=110°，即得∠EBP=∠CAB，根据平行线的判定即证；
（2）过点作，则PF∥CD∥AB，利用平行线的性质可得，， 利用角的和差求出∠BPN=80°，由角平分线的定义求出∠MPN=80°，再利用角的和差求出∠FPM=50°，根据平行线的性质可得.
7．如图，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，BE、CE交于点E，∠ABC=∠ACE。
（1）求证：AB∥CE；
（2）若∠A=40°，求∠E的度数。
【答案】（1） ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠ECD， ∵ ∠ABC=∠ACE， ∴∵ ∠ABC=∠ECD， ∴AB∥CE.
（2）∵AB∥CE，
∴∠A=∠ACE，
∵∠A=40°，
∴∠ACE=∠ECD=∠ABC=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=20°，
∵AB∥CE，
∴∠E=20°.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ACE=∠ECD，结合已知进行等量代换，不难证明结论；
（2）根据平行线的性质可得∠A=∠ACE，则不难计算出∠ABC的度数，根据角平分线的定义可得∠ABE的度数，最后根据平行线的性质求解.
8．已知：∠DAC＋∠ACB＝180°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ACF＝24°，∠DAC＝4∠5，求证：
（1）CE平分∠BCF
（2）则∠5＝　 　°（直接写出答案即可）
【答案】（1）解：∵∠DAC＋∠ACB＝180°，
∴DA∥BC，
又∵∠1＝∠2，
∴DA∥EF，
∴DA∥BC∥EF，
∴∠3＝∠5，
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠5，
∴CE平分∠BCF．
（2）26
【解析】【解答】（2）∵∠DAC＋∠ACB＝180°，∠DAC＝4∠5，
∴4∠5+∠5+∠5+24°=180°，
解得：∠5=26°．
【分析】（1）先证明DA//BC//EF，可得∠3=∠5，再根据∠3=∠4可得∠4=∠5，从而得证；
（2）根据∠DAC＋∠ACB＝180°，∠DAC＝4∠5，可得4∠5+∠5+∠5+24°=180°，再求出∠5即可。
9．如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，，.
（1）求证： ；
（2）若DG是角的平分线，，且，请说明AB和CD怎样的位置关系？
【答案】（1）证明
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵DG是的平分线，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠2=∠DCB，可推出∠1=∠DCB，然后根据内错角相等，两直线平行，可证得结论.
（2）利用平行线的性质可求出∠BCG的度数，结合已知求出∠DCE的度数；利用平行线的性质可求出∠CDG的度数，利用角平分线的定义求出∠ADC的度数，然后利用垂直的定义，可证得结论.
10．如图，平移线段AB，使点A移动到点A1．
（1）画出平移后的线段A1B1，分别连接AA1，BB1．
（2）分别画出AC⊥A1B1于点C，AD⊥BB1于点D．
（3）AA1与BB1之间的距离，就是线段　 　的长度．
（4）线段AB平移的距离，就是线段　 　的长度．
（5）线段BD的长度，是点B到直线　 　的距离．
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；
（3）AD
（4）AA1
（5）AD
【解析】【解答】（3）AA1与BB1之间的距离，就是线段AD的长度．
故答案为：AD
；（4）线段AB平移的距离，就是线段AA1的长度．
故答案为：AA1
；（5）线段BD的长度，是点B到直线AD的距离．
故答案为：AD．
【分析】（1）根据平移的性质将线段AB进行平移即可。
（2）根据题意，画出线段AC和线段AD。
（3）根据平行线之间的距离，就是线段的长度。
（4）线段AB平移的距离，即为线段AC的长度。
（5）线段BD的长度，即为点B到AD的距离。
11．如图，直线 与 交于点O， 垂足为O， 平分 ．
（1）若 ，求 和 的度数；
（2）若 ，则 　 　．（用含 的代数式表示）
【答案】（1）解：∵ 与 是对顶角
∴ （对顶角相等）
∵
∴
∴
∵ 平分
∴
∴
（2）
【解析】【解答】解：（2）由题意可得：
∵
∴
∴
∵ 平分
∴
∴
故答案为： ．
【分析】（1）由对顶角相等可得∠BOD的度数，结合OF⊥AB可得∠FOD的度数，于是根据角平分线的定义即可求出∠FOE的大小，然后利用余角的性质即可把∠EOB的度数求出；
（2）根据（1）的方法，把70°换成α即可把∠EOB表示出来.
12．如图，∠1+∠2=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF.
（1）AE与FC会平行吗 说明理由.
（2）AD与BC的位置关系如何 为什么
（3）求证：BC平分∠DBE．
【答案】（1）平行，理由如下：
∵∠2+∠CDB=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠CDB=∠1，
∴AE∥FC．
（2）平行，理由如下：
∵AE∥FC，
∴∠CDA+∠DAE=180°，
∵∠DAE=∠BCF
∴∠CDA+∠BCF=180°，
∴AD∥BC．
（3）平分，理由如下：
∵AE∥FC，
∴∠EBC=∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠BCF=∠FDA，∠DBC=∠BDA，
又∵DA平分∠BDF，即∠FDA=∠BDA，
∴∠EBC=∠DBC，
∴BC平分∠DBE
【解析】【分析】（1）证明∠1=∠CDB，利用同位角相等，两直线平行即可证得；（2）平行，根据平行线的性质可以证得∠A=∠CBE，然后利用平行线的判定方法即可证得；（3）∠EBC=∠CBD，根据平行线的性质即可证得．
13．如图，0°<∠AOB<180°，射线OC，射线OD，OE，OF均在∠AOB内部，∠AOC=∠BOD=∠EOF，∠COE=∠DOF，∠COD=2∠EOF．
（1）若∠COE=20°，求∠EOF的度数．
（2）若∠EOF与∠COD互余，找出图中所有互补的角，并说明理由．
（3）若∠EOF的其中一边与OA构成直角，求∠AOB的度数．
【答案】（1）解：∵∠COE=20°，
∴∠DOF=20°．
∵∠COD=2∠EOF，即∠COE+∠DOF+∠EOF=2∠EOF，
∴∠EOF=∠COE+∠DOF=20°+20°=40°
（2）解：设∠COE=∠DOF=x°．
∵∠COD=2∠EOF，
∴∠COE+∠DOF+∠EOF=2∠EOF，
∴∠EOF=∠COE+∠DOF=2x°，
∴∠AOC=∠BOD=∠EOF=2x°．
∵∠EOF与∠COD互余，
∴∠EOF+∠COD=90°，即2x°+4x°=90°，
∴x=15，
∴∠COE=∠DOF=15°，∠AOC=∠BOD=∠EOF=30°，
∴∠COD=60°，∠AOB=120°，
∴∠AOB+∠COD=120°+60°=180°，
∴∠COB=90°，∠AOD=90°，
∴∠COB+∠AOD=180°，
∴互补的角为∠AOB与∠COD，∠COB与∠AOD
（3）解：设∠COE=∠DOF=x°.若∠AOF=90°，则∠AOF=∠AOC+∠COE+∠EOF=90°，
∴2x°+x°+2x°=90°，
∴x=18，
∴∠AOB=8x°=144°．
若∠AOE=90°，则∠AOE=∠AOC+∠COE=90°，
∴2x°+x°=90°，
∴x=30，
∴∠AOB=8x°=240°．
∵0°<∠AOB<180°，
∴这种情况应舍去．
综上所述，∠AOB=144°
【解析】【分析】(1)根据角的和差进行计算便可；
(2)根据互余角列出方程解答；
(3)分两种情况讨论：OF与OA垂直和OB与OA垂直，进行解答.
14．如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90度．
（1）请你数一数，图中有多少个角；
（2）求出∠BOD的度数；
（3）请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
【答案】（1）解：图中有9个小于平角的角
（2）解：因为OD平分∠AOC，∠AOC=50°
所以∠AOD= =25°，所以∠BOD=180°﹣25°=155°
（3）解：因为∠BOE=180°﹣∠DOE﹣∠AOD=180°﹣90°﹣25°=65°
∠COE=90°﹣25°=65°
所以∠BOE=∠COE．即OE平分∠BOC
【解析】【分析】（1）按照顺序数，以OA为边顺时针数有3个角，以OD为边的有3个角，以OC为边的有2个角，以OE为边的有1个角，一共由9个角。
（2）观察图形及已知条件∠BOD=180°-∠AOD，只需求出∠AOD的度数，根据角平分线的定义易求出。
（3）根据题意分别求出∠BOE和∠COE的度数即可判断。
15．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分 ， ，
（1）图中 的余角是　 　 把符合条件的角都填出来 ；
（2）如果 ，那么根据　 　可得 　 　度；
（3）如果 ，求 和 的度数.
【答案】（1）∠BOC、∠AOD
（2）对顶角相等；160
（3）解：∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠1=64°，
∴∠2=∠AOD=64°，∠3=90°﹣64°=26°.
【解析】【解答】解：（1）图中∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD（把符合条件的角都填出来）；
（ 2 ）如果∠AOC=160°，那么根据对顶角相等可得∠BOD=160度；
【分析】（1）根据互余两角和为90°，结合图形找出即可；（2）从图形中可知∠AOC和∠DOB为对顶角，直接可求解；（3）根据角平分线可求∠AOD的度数，然后根据对顶角和邻补角可求解.
16．已知：直线 ，点 、 分别在直线 ， 上，点 为平面内一点．
（1）如图， ， ， 的数量关系是　 　．
（2）利用（ ）的结论解决问题：如图，已知 ， 平分 ， 平分 ， ，求 得度数．
（3）如图，点 为 上一点， ， ， 交 于点 ，直接写出 ， ， 之间的数量关系．（用含 的式子表示）
【答案】（1）
（2）解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，由（ ）结论可知，
∴
，
∴
．
∵ ，
∴ ，
又∵
，
∴ ，
∴ ．
（3）解： ， ， 之间的数量关系是 ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【解答】解：（ ）过 作 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
，
即： ．
【分析】本题运用平行线的性质，两直线平行内错角相等，可得出结论，从第一题到第三题逐步增加难度，但是一直运用的都是平行线的性质，所以，题看着比较复杂，实则不难.
17．如图，点 ， ， 分别是三角形 的边 ， ， 上的点， ， .（此题每步须批注理由）
（1）如果 ，分别求 与 的度数；
（2）求证 .
【答案】（1）解： （已知）
（两直线平行，同旁内角互补）
，
，
（已知）
（两直线平行，同旁内角互补）
∴ .
（2）证明： （已知）
（两直线平行，同旁内角互补）
（已知）
（两直线平行，同旁内角互补）
（同角的补角相等）
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可求出∠FDE的度数；再利用平行线的性质求出∠A的度数.
（2）利用两直线平行，同旁内角互补，可证得∠AFD+∠FDE=180°，∠AFD+∠A=180°；再利用补角的性质可证得结论.
18．如图，已知
，现将一直角三角形
放入图中，其中
，
交
于点
，
交
于点
（1）当
所放位置如图①所示时，则
与
的数量关系为　 　；请说明理由　 　．
（2）当
所放位置如图②所示时，
与
的数量关系为　 　；
（3）在（2）的条件下，若
与
交于点O，且
，
，求
的度数．
【答案】（1）；如下图，作 ∵， ∴， ， ， ；
（2）
（3）解：由（2）得， ，
【解析】【解答】解：（2）关系：
如下图，作MG∥AB交PN于点G
同上，∠PMN=∠AEM+∠MOC
∵∠PFC=∠FON+∠FNO
∴∠PFC=∠MOC+∠FNO
∴∠AEM+∠PFD=∠AEM+∠MOC+∠PNO=∠PMN+∠PNO
∵∠P=90°
∴∠AEM+∠PFC=∠PMN+∠PNO=90°
∠PFC=180°－∠PFD代入得：∠AEM+180°－∠PFD=90°
化简得：∠PFD－∠AEM=90°
【分析】（1）由平行线的性质得出
，即可得出结果；
（2）由平行线的性质得出∠PMN=∠AEM+∠MOC，再由互余的关系即可得出结果；
（3）由（2）得，，再由三角形的外角性质即可得出结论。
19．已知：两直线l1，l2满足l1∥l2
，点C，点D在直线l1上，点A，点B在直线l2上，点P是平面内一动点，连接CP，BP，
（1）如图 1，若点P在 l1，l2外部，则∠DCP、∠CPB、∠ABP之间满足什么数量关系？请你证明的这个结论；
（2）如图 2，若点P在l1，l2外部，连接AC，则∠CAB、∠ACP、∠CPB、∠ABP之间满足什么数量关系？请你证明这个结论；（不能用三角形内角和为 180°）
（3）若点P在 l1，l2内部，且在AC的右侧，则∠ACP﹑∠ABP﹑∠CAB﹑∠CPB之间满足什么数量关系？（不需证明）
【答案】（1）解：如图1，
数量关系为： ，
理由：过点 作 ，
，
，
， ，
；
（2）解：如图2，
数量关系为： ，
理由：过点 作 ，过点 作 ，
，
， ， ，
，
，
；
（3）解：数量关系为：
或 ，
如图3，过点 作 ，
∴ ，
， ， ，
∴ ，
即 ；
如图4，过点 作 ，
∴ ，
， ， ，
∴ ，
即 .
【解析】【分析】（1）过点 作 ，由平行线的传递性知 ，根据两直线平行，内错角相等得出 ， ，进而得证；（2）过点 作 ，过点 作 ，根据两直线平行，内错角相等得出 ， ， ，进而得证；（3）分两种情况进行讨论，证明方法与（1）类似.
20．如图1，直线EF与AB、CD交于点G、H，∠1＝∠3．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，若GM⊥GE，∠BGM＝20°，HN平分∠CHE，求∠NHD的度数．
【答案】（1）证明：∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB∥CD；
（2）解：∵GM⊥GE，
∴∠EGM＝90°，
∵∠BGM＝20°，
∴∠BGE＝∠EGM-∠BGM＝90°-20°＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠EHD＝∠EGB＝70°，
∵∠EHC+∠EHD＝180°，
∴∠EHC＝110°，
∵HN平分∠CHE，
∠EHN＝∠EHC＝55°，
∴∠NHD＝∠EHD+∠EHN＝125°．
【解析】【分析】（1）利用∠1＝∠2，∠1＝∠3，证出∠2＝∠3，即可得到AB//CD；
（2）利用平行线的性质求出∠EHC＝110°，根据角平分线的定义求出∠EHN＝∠EHC＝55°，再利用角的运算求出∠NHD＝∠EHD+∠EHN＝125°即可。
21．已知，直线可变形为：，则点到直线的距离d可用公式计算.例如求点到直线的距离.
解：∵直线可变形为，
∴点到直线的距离为.
根据以上材料求：
（1）点到直线的距离；
（2）已知为直线上的点，且到直线的距离为.求的坐标；
（3）已知线段上的点到直线的最小距离为，求k的值.
【答案】（1）解：∵直线化为：，其中
点到直线的距离为，
（2）解：设，直线化为：，其中，故M到直线的距离为：
，
∴，
∴或 ，
∴或，
（3）解：设上到直线距离为的点为（）或（），
直线化为，其中，
把（）代入，
，，
故，
∵直线与的交点横坐标为，则舍去，
∴，
同理，将（）代入距离公式，得，
，，
解：或，
∵直线与的交点横坐标为，则 （舍去），
∴，
综上所述，.
【解析】【分析】（1）将直线解析式化为2x-y-1=0，其中k=2，b=-1，然后代入计算即可；
（2）设M（x0，x0+2），直线y=2x-1化为2x-y-1=0，其中k=2，b=-1，根据点到直线的距离公式表示出d，结合d=可求出x0的值，据此可得点M的坐标；
（3）设y=kx+4（-1≤x≤2）上的点到直线y=x+2距离为的点为（-1，-k+4）或（2，2k+4），将直线解析式化为x-y+2=0，其中k=1，b=2，将（-1，-k+4）代入公式中可求出k的值；同理将（2，2k+4）代入求出k的值.
22．如图，已知AB∥DE，∠B=60°，AE⊥BC，垂足为点E．
（1）求∠AED的度数；
（2）当∠EDC满足什么条件时，AE∥DC证明你的结论．
【答案】（1）解：∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∵∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
又∵AB∥DE，
∴∠AED=∠BAE=30°
（2）解：当∠EDC=30°时，则AE∥DC，理由如下：∵∠AED=30°，
∴∠AED=∠EDC，
∴AE∥DC（内错角相等，两线平行）
【解析】【分析】由AE⊥BC，∠B=60°，得到∠BAE=30°，由平行线AB∥DE的性质，得到∠AED=∠BAE=30°；如果∠AED=∠EDC=30°时，则AE∥DC.
23．如图，已知∠AOB=155°，∠AOC=∠BOD=90°．
（1）写出与∠COD互余的角；
（2）求∠COD的度数；
（3）图中是否有互补的角？若有，请写出来．
【答案】（1）解：∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠COD+∠AOD=90°，∠COD+∠BOC=90°，
∴与∠COD互余的角是∠AOD和∠BOC
（2）解：∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=65°，
∴∠COD=∠BOD﹣∠BOC=25°
（3）解：∠COD与∠AOB、∠AOC与∠BOD互补
【解析】【分析】（1）根据和为90°的两个角叫做互为余角，根据 ∠COD+∠AOD= ∠AOC =90°，∠COD+∠BOC= ∠BOD =90°， 即可得出答案；
（2）根据角的和差，由 ∠BOC=∠AOB﹣∠AOC ， ∠COD=∠BOD﹣∠BOC 即可算出答案；
（3）由于和为180°的两个角叫做互为补角，根据定义即可得出 ∠COD与∠AOB、∠AOC与∠BOD互补 。
24．已知AB∥CD.
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连结BE，DE，得到∠BED.求证：∠BED = ∠B+∠D。
（2）如图，连结AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F.
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC = 50°，∠ADC = 60°，求∠BFD的度数：
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC= ，∠ADC = β，请你求出∠BFD的度数（用含有 ，β的式子表示）.
【答案】（1）证明：如图，过点E作EF∥AB，
则EF∥AB∥CD，
∴∠BEF=∠B，∠DEF=∠D，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D；
（2）解：①如图，过点F作MF∥AB，
则MF∥AB∥CD，
∴∠ABF=∠BFM，∠CDF=∠DFM，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABF=∠ABC=25°，∠CDF=∠ADC=30°，
∴∠BFD=∠BFM+∠DFM=∠ABF+∠CDF=55°；
②如图，过点F作NF∥AB，
则NF∥AB∥CD，
∴∠ABF+∠BFN=180°，∠CDF=∠DFN，
∴∠BFN=180°-∠ABF，
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABF=∠ABC=，∠CDF=∠ADC=，
∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=180°-∠ABF+∠CDF=180°--.
【解析】【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行公理得出EF∥AB∥CD，从而得出∠BEF=∠B，∠DEF=∠D，利用∠BED=∠BEF+∠DEF即可得出答案；
（2）①过点F作MF∥AB，根据平行公理得出MF∥AB∥CD，得出∠ABF=∠BFM，∠CDF=∠DFM，再根据角平分线的定义得出∠ABF=∠ABC=25°，∠CDF=∠ADC=30°，利用∠BFD=∠BFM+∠DFM=∠ABF+∠CDF，即可得出答案；
②过点F作NF∥AB，根据平行公理得出NF∥AB∥CD，得出BFN=180°-∠ABF，∠CDF=∠DFN，再根据角平分线的定义得出∠ABF=∠ABC=，∠CDF=∠ADC=，利用BFD=∠BFN+∠DFN=180°-∠ABF+∠CDF，即可得出答案.
25．
（1）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明：
如图 ， ，求证： ．
证明：过点 引一条直线 ，
，（ ▲ ）．
，
，（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行）．
▲ ，（ ▲ ）．
即： ．
（2）如图 ， ，请写出 的推理过程．
（3）如图 ， ，请直接写出结果： 　 　．
【答案】（1）解：过点E引一条直线EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠B=∠BEF（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠D=∠FED（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠FED；两直线平行，内错角相等．
（2）解：如图2，过点E引一条直线EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠B+∠BEF=180°．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠FED+∠D=180°，
∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=180°+180°=360°，
即∠B+∠BED+∠D=360°；
（3）540°
【解析】【解答】解：（3）如图3，分别过点EF作EG∥AB，HF∥CD，
∵EG∥AB，
∴∠B+∠BEG=180°．
∵HF∥CD，
∴∠D+∠HFD=180°．
∵AB∥CD，EG∥AB，HF∥CD，
∴EG∥HF，
∴∠GEF+∠HFE=180°，
∴∠B+∠BEF+∠EFD+∠D=540°．
故答案为：540°．
【分析】（1）利用平行线的性质与判定求解即可；
（2）先求出 ∠B+∠BEF=180° ，再求出 ∠FED+∠D=180°， 最后证明求解即可；
（3）先求出∠B+∠BEG=180°，再求出∠GEF+∠HFE=180°，最后证明求解即可。
26．如图，现有以下3个论断：①ABCD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F.请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题.
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）请选择其中一个真命题加以证明.
【答案】（1）解：由①②得③；由①③得②；由②③得①.
（2）解：由①②得③；
∵ABCD；
∴∠EAB＝∠C
又∵∠B＝∠C；
∴∠EAB＝∠B
∴CEBF；
∴∠E＝∠F.
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定与性质可得命题：由①②得③；由①③得②；由②③得①；
（2）选择由①②得③，根据平行线的性质可得∠EAB＝∠C，结合∠B＝∠C可得∠EAB＝∠B，推出CE∥BF，然后根据平行线的性质可得结论.
27．探究问题：已知，画一个角，使//，//，且DE交BC于点P．与有怎样的数量关系？
（1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中与数量关系为 ▲ ；图2中与数量关系为 ▲ ；选择图1的情况，说明理由．
②由①得出一个真命题，请用文字叙述该命题．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，求出这两个角的度数．
【答案】（1）解：①如图1中，（互补）；如图2中，（相等），理由：如图1中，∵，∴．∵，∴，∴；②真命题：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；
（2）解：设两个角分别为x和由题意或解得或∴这两个角的度数是30°，30°或60°，120°．
【解析】【分析】（1）①图1结论：理由：由平行线的性质可得，，利用等量代换即得结论；图2结论：理由：由平行线的性质可得∠B=∠DPC，∠E=∠DPC，利用等量代换即得结论；
② 如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；
（2）设两个角分别为x和，根据（1）结论列出方程并求解即可.
28．如图，点O在直线AB上，，与互余．
（1）求证：；
（2）OF平分交DE于点F，若，补全图形，并求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
与互余，
，
，
．
（2）解：
∵，，
，
平分，
∴，
∵，
∴，
．
【解析】【分析】（1）由已知证得∠BOD与∠1互余，根据同角的余角相等可得∠BOD=∠EDO，进而得出结论；
（2）由平行线的性质可得∠AOF=∠OFD=65°，由角平分线的定义可得∠DOF=∠AOF=65°，进而得出结论。
29．如图，AD平分∠BAC并与直线CD交于点D，∠1＝∠2.
（1）求证：AB∥CD
（2）若AC⊥BC，∠BCD＝32°，求∠2的度数.
【答案】（1）证明：如图
∵AD平分BAC
∴∠1＝∠3
∵∠1＝∠2
∴∠2＝∠3
∴AB∥CD
（2）解：∵AB∥CD，AC⊥BC，
∴∠BAC＝180°－∠ACD＝180°－∠ACB－∠BCD，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝180°－90°－32°＝58°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠BAC＝29°，
∴∠2＝29°
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠1＝∠3，结合∠1＝∠2可得∠2＝∠3，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）根据平行线的性质可得∠ACD+∠BAC=180°，则∠BAC＝180°-∠ACB-∠BCD＝58°，由角平分线的概念可得∠1＝∠BAC，据此解答.
30．看图填空：
（1）直线AD与直线CD相交于点　 　；
（2）　 　⊥AD，垂足为点　 　；AC⊥　 　，垂足为点　 　．
【答案】（1）C
（2）BE；E；CD；C
【解析】【解答】解：（1）直线AD与直线CD相交于点C；
2）BE⊥AD，垂足为点E；AC⊥CD，垂足为点C．
故答案为：（1）C；（2）BE，E，CD，C．
【分析】（1）根据相交线的定义解答；（2）根据垂线的定义分别填空即可．
31．如图，点O是直线AB上任一点，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）与∠AOE互补的角是　 　
（2）若∠AOD=36°，求∠DOE的度数
（3）当∠AOD=x°时，请直接写出∠DOE的度数．
【答案】（1）∠BOE、∠COE
（2）解：∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠COD=∠AOD=36°，∠COE=∠BOE=∠BOC，
∴∠AOC=2×36°=72°，
∴∠BOC=180°﹣72°=108°，
∴∠COE=∠BOC=54°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°；
（3）解：当∠AOD=x°时，∠DOE=90°．
【解析】【分析】（1）先求出∠BOE=∠COE，再由∠AOE+∠BOE=180°，即可得出结论；
（2）先求出∠COD、∠COE，即可得出∠DOE=90°；
（3）先求出∠AOC、COD，再求出∠BOC、∠COE，即可得出∠DOE=90°．
32．如图，AC，BC分别平分∠MAB和∠ABN，∠ACB=90°．
（1）AM和BN存在怎样的位置关系？并写出理由；
（2）过点C作一条直线，分别交AM，BN于点D，E．则AB，AD，BE三者间具有怎样的数量关系？并写出理由．
【答案】（1）解：AM∥BN，理由如下：
∵∠ACB=90°，AC，BC分别为∠MAB、∠NBA的平分线，
∴∠ABC+∠CAB= （∠MAB+∠ABN）=90°，
∴∠MAB+∠ABN=180°，
∴AM∥BN
（2）解：过C点作辅助线CF使其平行于AM，
∵AM∥BN，CF∥BC，
∴CF∥AD∥BC，
∴∠ACF=∠DAC，∠BCF=∠CBE，
∵∠FAC=∠DAC，∠FBC=∠CBE，
∴∠ACF=∠FAC，∠BCF=∠FBC，
∴AF=FC=FB，
∴F为AB的中点，
又∵EF∥AD∥BC，
∴E为DC中点，
∴DC=EC，
∵CF为梯形ABED中位线，
∴AD+BE=2CF，
∵AF=FE=FB，
∴AD+BE=AB．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质得出∠MAB+∠ABN=180°，根据平行线的判定定理即可得出结论；（2）过C点作辅助线CF使其平行于AM，由平行线的性质可得出各角之间的关系，进一步求出边之间的关系．
33．如图，已知AB∥CD，连接BC．点E，F是直线AB上不重合的两点，G是CD上一点，连接ED交BC于点N，连接FG交BC于点M．若∠ENC+∠CMG＝180°．
（1）求证：∠2＝∠3；
（2）若∠A＝∠1+60°，∠ACB＝50°，求∠B的度数．
【答案】（1）证明：∵∠CMG=∠FMN
又∵∠ENC+∠CMG＝180°
∴∠ENC+∠FMN＝180°
∵ED∥FG
∴ ∠2＝∠D（两直线平行，同位角相等）
又∵AB∥CD（已知）
∴∠3＝∠D（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠2＝∠3 （等量代换）
（2）解：∵AB∥CD
∴∠A+∠ACD=180°， ∠B＝∠1
即∠1+∠ACB+∠A=180°，
又∵∠A＝∠1+60°且∠ACB＝50°
∴∠1+60°+∠1+50°=180°
∴∠1＝35°
∴∠B＝∠1＝35°
【解析】【分析】（1）由∠ENC+∠FMN=∠ENC+∠CMG＝180°，可得ED∥FG ，利用平行的性质可得∠2＝∠D
由AB∥CD可得∠3＝∠D ，利用等量代换即得结论；
（2）由平行线的性质可得∠1+∠ACB+∠A=180°，∠B＝∠1 ，结合已知可求出∠1的度数，即得结论.
34．如图，直线、相交于点，．
（1）写出的所有余角．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵∠AOE=90°，
∴∠EOB=90°，
∴∠DOE与∠DOB互余．
∵∠AOC=∠DOB，
∴∠AOC与∠EOD互余．
∵∠COF=90°，
∴∠DOF=90°，
∴∠DOE与∠EOF余角．
（2）解：∵，，
∴∠AOC=21°．
∵
∴∠COE=∠AOC+∠AOE=21°+90°=111°．
答：的度数是111°．
【解析】【分析】（1）利用余角的定义求解即可；
（2）先求出∠AOC=21°，再利用角的运算求出∠COE=∠AOC+∠AOE=21°+90°=111°即可。
35．如图，．
（1）试判断AF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：AF与DE的位置关系为平行．理由如下：
，
，
．
，
，
．
（2）解：由（1）知，
．
，
，
．
，，
，
．
【解析】【分析】（1）先证出，可得，再利用角的运算和等量代换可得，即可得到AF//DE；
（2）先求出，再结合，，求出，最后利用角的运算求出即可。
36．如图，，，DA平分.
（1）求证：；
（2）BC平分吗？为什么？
【答案】（1）证明：∵∠1+∠2=180°，∠2+∠CDB=180°，
∴∠BDC=∠1，
∴AE∥CF，
∵DA平分∠BDF，
∴∠FDA=∠ADB，
∵AE∥CF，
∴∠A=∠FDA，∠FDB=∠EBD，
∵∠A=∠C，
∴∠FDA=∠C，
∴AD∥BC；
（2）解：BC平分∠DBE.理由如下，
∵AD∥CB，
∴∠ADB=∠CBD，∠C=∠CBE，
又∵∠FDA=∠C，∠FDA=∠ADB
∴∠CBD=∠CBE，
即BC平分∠DBE.
【解析】【分析】（1）由同角的补角相等可得∠BDC=∠1，根据同位角相等两直线平行可得AE∥CF，由两直线平行内错角相等可得∠A=∠FDA，∠FDB=∠EBD，由角平分线定义可得∠ADB=∠FDA，结合已知可得∠FDA=∠C，根据同位角相等两直线平行可得AD∥BC；
（2）由（1）得AD∥BC，由两直线平行内错角相等可得∠ADB=∠CBD，∠C=∠CBE，结合（1）得结论可得∠CBD=∠CBE，再由角平分线定义可得BC平分∠DBE.
37．如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线CD上有一点P．
（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？
【答案】（1）解：当点P在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．理由如下：
过点P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2∥l1，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
（2）解：ⅰ）当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．理由如下： 过点P作PE∥l1∴∠EPA=∠PAC，∵l1∥l2，PE∥l1∴PE∥l2
∴∠EPB=∠PBD，
∵∠EPB=∠EPA＋∠APB =∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
ⅱ）当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．理由如下：
过点P作PE∥l2；∴∠DBP=∠BPE；∵l1∥l2，PE∥l2；∴PE∥l1
∴∠EPA=∠PAC，
∵∠EPA=∠EPB＋∠BPA=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．
【解析】【分析】(1)当点P在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．理由如下： 过点P作PE∥l1，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出PE∥l2∥l1，根据二直线平行内错角相等得出∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，根据角的和差及等量代换得出∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；
（2）①当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．理由如下： 过点P作PE∥l1根据二直线平行，内错角相等得出 ∠EPA=∠PAC， 根据平行于同一条直线的两条直线互相平行得出 PE∥l2，根据二直线平行内错角相等得出∠EPB=∠PBD， ，根据角的和差，及等量代换得出 ∠EPB=∠EPA＋∠APB =∠PAC+∠APB， 从而得出结论∠PBD=∠PAC+∠APB；②当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．理由如下： 过点P作PE∥l2； 根据二直线平行，内错角相等得出∠DBP=∠BPE；根据平行于同一条直线的两条直线互相平行得出PE∥l1，根据二直线平行内错角相等得出∠EPA=∠PAC，根据角的和差，及等量代换得出∠EPA=∠EPB＋∠BPA=∠PBD+∠APB，从而得出结论∠PAC=∠PBD+∠APB．
38．如图，一块大的三角板ABC，D是AB上一点，现要求过点D割出一块小的三角板ADE，使∠ADE=∠ABC，
（1）尺规作出∠ADE．（不写作法，保留作图痕迹，要写结论）
（2）判断BC与DE是否平行，如果是，请证明．
【答案】（1）解：如图，∠ADE为所作；
（2）解：BC∥DE．理由如下：
∵∠ADE=∠ABC，
∴BC∥DE
【解析】【分析】（1）利用基本作图作∠ADE=∠ABC，交AC于点E；（2）根据平行线的判断方法进行判断．
39．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系．
（1）如图1，，，∠1与∠2的关系是　 　；
证明：
（2）如图2，，，则∠1与∠2的关系是　 　；
证明：
（3）经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是　 　．
【答案】（1）解：∠1=∠2，证明：如图1：∵，∴∠1=∠3，∵，∴∠3=∠2，∴∠1=∠2；故答案为：∠1=∠2；
（2）解：∠2+∠1=180°，证明：如图2：∵，∴∠1=∠4，∵，∴∠2+∠4=180°，∴∠2+∠1=180°；故答案为：∠2+∠1=180°；
（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
【解析】【解答】（3）由（1）（2）可得：
一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补．
故答案为：一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补．
【分析】利用平行线的判定方法和性质求解即可。
40．已知 ，点E、F分别在 、 上，点G为平面内一点，连接 、 .
（1）如图，当点G在 、 之间时，请直接写出 、 与 之间的数量关系　 　.
（2）如图，当点G在 上方时，且 ， 求证： ；
（3）如图，在（2）的条件下，过点E作直线 交直线 于K， FT平分 交 于点T，延长 、 交于点R，若 ，请你判断 与 的位置关系，并证明. （不可以直接用三角形内角和180°）
【答案】（1）
（2）解：如图，过点 作 ，
，
，
，
，
，
，
.
（3）解： 与 的位置关系为垂直.理由如下：
平分 交 于点 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即 .
∴ 与 的位置关系是垂直.
【解析】【解答】解：（1）如图：过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
、 与 之间的数量关系为 .
故答案为： .
【分析】（1）过点G作GH∥AB，由平行线的性质可得∠AEG=∠EGH，∠CFG=∠FGH，然后结合角的和差关系进行解答；
（2）过点G作GP∥AB，由平行线的性质可得∠BEG+∠EGP=180°，∠EHG+∠HGP=180°，结合已知条件可得∠EHG+∠EGP=90°，由AB∥CD可得∠DFG=∠EHG，据此证明；
（3）由角平分线的概念可得∠GFT=∠KFT，进而推出∠KFT+∠TEB=90°，由平行线的性质可得∠FKT=∠TEB，得到∠FTK=90°，据此证明.
41．已知：锐角∠AOB．
（1）若∠AOB=65°，则∠AOB的余角的度数为　 　度．
（2）若∠AOB=53°17 ，则∠AOB的补角的度数为　 　．
（3）若∠AOB=31°12 ，计算：∠AOB=　 　．
（4）若∠AOB=20°21 ，计算：3∠AOB．
【答案】（1）25
（2）126°43
（3）15°36
（4）解：3∠AOB=3×20°21 =60°63 =61°3
【解析】【解答】解：（1）∠AOB的余角的度数为
（2） ；
（3） ；
【分析】（1）根据余角的性质，再利用角的运算法则计算即可；
（2）根据补角的性质，再利用角的运算法则计算即可；
（3）利用角的运算法则计算即可；
（4）利用角的运算法则计算即可。
42．已知如图，已知，.
（1）判断与是否平行，并说明理由；
（2）说明的理由.
【答案】（1）解：BD∥CE，理由如下：
∵∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴BD∥CE；
（2）解：理由如下：∵BD∥CE，
∴∠C=∠4.
∵∠C=∠D，
∴∠D=∠4，
∴AC∥DF，
∴∠A=∠F.
【解析】【分析】（1）对图形进行角标注，根据对顶角的性质可得∠2=∠3，由已知条件可得∠1=∠2，则∠1=∠3，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）根据平行线的性质可得∠C=∠4，由已知条件可知∠C=∠D，则∠D=∠4，推出AC∥DF，然后根据平行线的性质进行解答.
43．综合题
（1）如图（1），将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
①填空：∠ACE　 　∠BCD（选填“＜”或“＞”或“＝”）；
②若∠DCE=25°，求∠ACB的度数；　 　
③猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由.　 　
（2）若改变（1）中一个三角板的位置，如图（2）所示，则上述第③题的结论是否仍然成立？（不需要说明理由）
【答案】（1）=；若∠DCE=25°，∠ACD=90°，所以∠ACE=∠ACD-∠DCE=90°-25°=65°，因为∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ACB=90°+65°=155°；；猜想∠ACB+∠DCE=180°．理由如下：因为∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°，所以∠ECD+∠ACB=360°-(∠ACD+∠ECB)=360°-180°=180°
（2）解：成立
【解析】【解答】（1）解：∠ACB+∠ECD=180，理由如下：
因为∠ACD=∠BCE=90°，
∠ACB+∠ECD=360-∠ACD-∠BCE=180
所以；∠ACB+∠ECD=180.
【分析】（1）①根据同角的余角相等即可得出结论；②由∠ACE=∠ACD-∠DCE算出∠ACE的度数，由∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE算出∠ACB的度数；③猜想∠ACB+∠DCE=180° ，理由如下：由∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°，及∠ECD+∠ACB=360°-(∠ACD+∠ECB)得出结论；
（2）根据∠ACD=∠BCE=90°及∠ACB+∠ECD=360-∠ACD-∠BCE就可以得出结论。
44．如图，直线，且直线被直线所截．
（1）求证：；
（2）若，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
【答案】（1），
（两直线平行，同位角相等）
；
（2）结论：直线
理由：
（同位角相等，两直线平行）
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠1=∠4，由对顶角的性质可得∠2=∠4，据此证明；
（2）由已知条件可知∠1+∠3=180°，根据邻补角的性质可得∠3+∠5=180°，则∠1=∠5，结合∠1=∠2可得∠2=∠5，然后根据平行线的判定定理进行证明.
45．如图，EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，点G在AC边上，且∠1=∠2=50°．
（1）求证：EF∥CD；
（2）若∠AGD=65°，试求∠DCG的度数．
【答案】（1）证明：∵EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，
∴∠BFE=∠BDC=90°，
∴EF∥CD
（2）解：∵EF∥CD，
∴∠2=∠DCE，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠DCE，
∴DG∥BC，
∴∠AGD=∠ACB=65°，
∵EF∥CD，∠2=50°，
∴∠DCB=∠2=50°，
∴∠DCG=65°﹣50°=15°
【解析】【分析】根据平行线的判定和平行线的性质可求出答案.
46．已知E，F分别是AB、CD上的动点，P也为一动点.
（1）如图1，若AB∥CD，求证：∠P＝∠BEP＋∠PFD；
（2）如图2，若∠P＝∠PFD－∠BEP，求证：AB∥CD；
（3）如图3，AB∥CD，移动E，F使得∠EPF＝90°，作∠PEG＝∠BEP，求 的值.
【答案】（1）解：过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠BEP=∠1，∠2=∠PFD，
∵∠EPF=∠1+∠2，
∴∠EPF=∠BEP+∠PFD；
（2）解：如图，
∵∠BGP是△PEG的外角，
∴∠P=∠BGP-∠BEP.
∵∠P=∠PGB-∠BEP，
∴∠PFD=∠PGB，
∴AB∥CD；
（3）解：由（1）的结论∠EPF=∠BEP+∠PFD=90°，
设∠PFD=x，则∠BEP=90°-x，
∵∠PEG=∠BEP=90°-x，
∴∠AEG=180°-2（90°-x）=2x，则 .
【解析】【分析】（1）过P作PQ平行于AB，由AB与CD平行，得到PQ与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由∠EPF=∠1+∠2，等量代换就可得证；（2）先根据三角形外角的性质得出∠P=∠BGP-∠BEP，再由∠P=∠PGB-∠BEP可知，∠PFD=∠PGB，由此可得出结论；（3）由（1）中的结论∠EPF=∠BEP+∠PFD，设设∠PFD=x，则∠BEP=90°-x，根据∠PEG=∠BEP=90°-x，利用平角定义表示出∠AEG，即可求出所求比值.
47．阅读第（1）题解答过程填理由，并解答第（2）题
（1）已知：如图1，AB∥CD，P为AB，CD之间一点，求∠B+∠C+∠BPC的大小．
解：过点P作PM∥AB
∵AB∥CD（已知）
∴PM∥CD　 　，
∴∠B+∠1＝180°，　 　．
∴∠C+∠2＝180°
∵∠BPC＝∠1+∠2
∴∠B+∠C+∠BPC＝360°
（2）我们生活中经常接触小刀，如图2小刀刀柄外形是一个直角梯形挖去一个小半圈，其中AF∥EG，∠AEG＝90°，刀片上、下是平行的（AB∥CD），转动刀片时会形成∠1和∠2，那么∠1+∠2的大小是否会随刀片的转动面改变，如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．
【答案】（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补
（2）解：不会变，∠1+∠2＝90°．
理由：如图2，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠3＝∠1，∠4＝∠2，
∵∠AEC＝90°，即∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
【解析】【解答】解：（1）过点P作PM∥AB
∵AB∥CD（已知）
∴PM∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠B+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BPC＝∠1+∠2，
∴∠B+∠C+∠BPC＝360°．
故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补．
【分析】（1）利用平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得；
（2）先过E作EF//AB，根据两直线平行，内错角相等，即可得出答案。
48．如图，点C在射线BE上，点F在线段AD上，CD平分∠FCE，.
（1）当时，求∠DCE：
（2）点N是线段FD上一点，点P是线段CD上一点，连接AC，FP.若CA为∠BCF的角平分线，，，探究直线CD上是否存在一点Q，使得.
【答案】（1）解：∵CD平分∠FCE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴；
（2）解：∵CA为∠BCF的角平分线，
∴，
∵，
∵，
∴
∴，
设，，
∵，
∴，
∵，
∴①，
∵②，
∴由①②消去y得，
∴，
∴，
∴，
∵垂线段最短
∴直线CD上不存在一点Q，使得.
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠DCF=∠DCE，由已知条件可知∠FDC=∠FCD，则∠FDC=∠DCE，推出AD∥BE，由平行线的性质可得∠AFC=∠FCE=∠FCD+∠DCE，据此计算；
（2）由角平分线的概念可得∠BCA=∠ACF，结合平角的概念可得∠ACF+∠DCF=90°，则AC⊥CD，设∠NCD=x，∠FCN=y，则∠ACF=∠BCA=3x，根据3∠BCN-2∠CFP=270°可得18x+3y-2∠CFP=270°，根据∠ACF+∠DCF=90°可得4x+y=90°，联立可得∠CFP=3x，则∠CFP=∠CAF，推出FP∥AC，则FP⊥CD，然后根据垂线段最短的性质进行解答.
49．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；
（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求 值．
【答案】（1）∠C＝∠1+∠2．
理由：如图，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴PQ∥CD∥MN，
∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．
（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠MEC＝30°，
由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，
∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°；
（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，
由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，
∴∠BDF＝90°﹣x，
∴ ＝ ＝2．
【解析】【分析】（1）过C作CD∥PQ，依据平行线的性质，即可得出∠C＝∠1＋∠2；（2）根据（1）中的结论可得，∠C＝∠MEC＋∠PDC＝90°，再根据对顶角相等即可得出结论；（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，得到∠GEN＝180° 2x，再根据（1）中的结论可得∠CDP＝90° ∠CEM＝90° x，再根据对顶角相等即可得出∠BDF＝90° x，据此可得 的值．
50．
（1）如图1，∠1＝∠3，∠E＝∠2，求证：CD∥AB.
（2）如图2，已知CD∥AB，∠MFN＝120°，直线HI交∠CMF、∠FNB的角平分线分别于点H、I，求∠H﹣∠I的值.
（3）如图3，已知CD∥AB，∠MFN＝α°，∠4＝ ∠CMF，∠5＝ ∠BNF，直接写出∠H﹣∠I的值为　 　（用α表示）.
【答案】（1）证明：∵∠E＝∠2，
∴EM∥PN，
∴∠1＝∠DPN，
∵∠1＝∠3，
∴∠DPN＝∠3，
∴CD∥AB；
（2）解：过H作HE∥CD，过F作FG∥CD，过I作IK∥CD，如图4：
∵CD∥AB，
∴CD∥HE∥FG∥IK∥AB，
∵MH平分∠CMF，NI平分∠BNF，
设∠CMH＝∠FMH＝m°，∠FNI＝∠BNI＝n°，
∴∠DMF＝∠MFG＝180°﹣2m°，∠BNF＝∠GFN＝2n°，
∴∠MFN＝∠MFG+∠GFN＝180°﹣2m°﹣2n°，
∵∠MFN＝120°，
∴180°﹣2m°+2n°＝120°，
∴m°﹣n°＝30°，
又CD∥HE∥FG∥IK∥AB，
∴∠EHI＝∠HIK，
∴∠MHI﹣∠HIN＝∠MHE﹣∠KIN＝∠CMH﹣∠INB＝m°﹣n°＝30°；
（3）60°﹣ α°
【解析】【解答】解：（3）过H作HG∥CD，过F作FG∥CD，过I作IK∥CD，如图5：
∵CD∥AB，
∴CD∥EF∥HG∥IK∥AB，
∴∠4＝∠MHG，∠5＝∠KIN，
∵∠H＝∠MHG+∠GHI，∠I＝∠HIK+∠KIN，
∴∠H﹣∠I＝∠MHG+∠GHI﹣（∠HIK+∠KIN）
＝∠4﹣∠5
＝ ∠CMF﹣ ∠BNF
＝ （∠CMF﹣∠BNF），
又∵∠CMF+∠MFE＝180°，∠BNF＝∠EFN，∠MFN＝∠MFE+∠EFN＝α°，
∴ （∠CMF﹣∠BNF）＝ （180°﹣α°）＝60°﹣ α°.
故答案为：60°﹣ α°.
【分析】（1）由∠E＝∠2可得EM∥PN，则∠1＝∠DPN，结合∠1＝∠3可得∠DPN＝∠3，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）过H、F、I作HE∥CD，FG∥CD，IK∥CD，则CD∥HE∥FG∥IK∥AB，设∠CMH＝∠FMH＝m°，∠FNI＝∠BNI＝n°，则∠DMF＝∠MFG＝180°﹣2m°，∠BNF＝∠GFN＝2n°，然后表示出∠MFN，根据∠MFN＝120°可得m°﹣n°＝30°，由平行线的性质可得∠EHI＝∠HIK，据此解答；
（3）过H作HG∥CD，过F作FG∥CD，过I作IK∥CD，则CD∥EF∥HG∥IK∥AB，由平行线的性质可得∠4＝∠MHG，∠5＝∠KIN，然后表示出∠H-∠I＝(∠CMF﹣∠BNF)，由平行线的性质可得∠CMF+∠MFE＝180°，∠BNF＝∠EFN，据此解答.
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