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【50道单选题·专项集训】
北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系
1．以下是某数学兴趣小组开展的课外探究活动，探究目的：测量小河两岸的距离，探究过程：在河两岸选取相对的两点P、A，在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．在直角三角形Rt ABC中， C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，，用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，为了测量河两岸 、 两点的距离，在与 垂直的方向点 处测得 ， ，那么 等于（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在三角形纸片中，，，，沿折叠纸片，使点A落在边上的点E处，则的长是（　　）
A． B． C． D．
6．正方形ABCD中，AC=4，则正方形ABCD面积为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
7．如图所示，在△ABC中，CA=CB=4，cos C=，则sin B的值为（　　）
A． B． C． D．
8．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则tan∠ECF=（　　）
A． B． C． D．
11．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A，B，求∠A的余弦值（　　）
A． B． C． D．
12．用计算器验证，下列等式中正确的是（　　）
A．sin18°24′+sin35°26′=sin54°
B．sin65°54′﹣sin35°54′=sin30°
C．2sin15°30′=sin31°
D．sin70°18′﹣sin12°18′=sin47°42′
13．图1是一款平板电脑文架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当∠ABC＝130°，∠BCD＝70°时，则托板顶点A到底座CD所在平面的距离为（ ）（结果精确到1mm）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）．
A．246 mm B．247mm C．248mm D．249mm
14．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上一点，连结BE，将沿BE折叠得，点F恰好在边CD上，过点A作分别交BC，BF，BE于点G，P，Q．已知BC＝3，当BG＝2时，则折痕BE的长为（　　）
A． B．4 C． D．6
15．sin245°﹣3tan230°+4cos260°的值是（　　）
A．0 B． C．2 D．3
16．如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是（　　）
A．2 B． C．4 D．
17．如图，一个小球沿倾斜角为 的斜坡向下滚动，经过5秒时，测得小球的平均速度为 米 秒.已知 ，则小球下降的高度是（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
18．下列各式中，运算结果是分数的是（　　）
A． B． C． D．
19．如图，某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（ ）
A．40海里 B．60海里 C．海里 D．海里
20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，BD=8，tan∠ABD= ，则线段AB的长为（　　）.
A． B．2 C．5 D．10
21．如图，在 中， ， ， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ，使得点 落在 上，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
22．将点A（4，0）绕着原点O顺时针方向旋转60°角得到对应点A'，则点A'的坐标是（　　）
A．(4，－2) B．(2， )
C．(2， ) D．（ ，－2）
23．在△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，用计算器求∠A约等于（　　）
A．14°38′ B．65°22′ C．67°23′ D．22°37′
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝4，cos∠ABC＝ ，则BD的长为（　　）
A．2 B．4 C．2 D．4
25．在中，，如果，，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
26．如果Rt△ABC中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A的三角比的值（　　）
A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的一半
C．没有变化 D．不能确定
27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则cosB的值（　　）
A． B． C． D．
28．按如图所示的运算程序，能使输出的y值为 的是（　　）
A．α=60°，β=45° B．α=30°，β=45°
C．α=30°，β=30° D．α=45°，β=30°
29．3tan60°的值为（　　）
A． B． C． D．3
30．在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，则cosB的值是（　　）
A．3 B． C．3 D．2
31．设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B和∠C的对边，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
32．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是（　　）
A． cm B． cm C． cm D． cm
33．如图，从A点出发的光线，经C点反射后垂直地射到B点，然后按原路返回A点.若∠AOC＝33°，OC＝1，则光线所走的总路线约为（　　）
A．3.8 B．2.4 C．1.9 D．1.2
34．已知∠A为锐角，且cosA=0.6，那么（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
35．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算时，如图．在中，，延长CB使，连接AD，得，所以．类比这种方法，计算的值为（　　）
A． B． C． D．
36．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1∶ ，坝高BC=10 m，则坡面AB的长度是（　　）
A．15 m B．20 m C．10 m D．20 m
37．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积比为，，则（　　）
A．4 B．1 C．2 D．3
38．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
39．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为(　　)
A． B． C． D．
40．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（ ）．
A．米 B．米 C．米 D．米
41．如图，明年舟山将再添一个最高颜值城市新地标，新城长峙岛上将矗立起一座摩天轮，其直径为90m，旋转1周用时15min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光，摩天轮转动1周，小明在离地面68m以上的空中有多长时间？（　　）
A．3min B．5min C．6min D．10min
42．如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为6米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
43．在数学活动课上，老师出示两张等腰三角形纸片，如图所示．图1的三角形边长分别为4，4，2；图2的三角形的腰长也为4，底角等于图1中三角形的顶角；某学习小组将这两张纸片在同一平面内拼成如图3的四边形OABC，连结AC．该学习小组经探究得到以下四个结论，其中错误的是（　　）
A．∠OCB=2∠ACB B．∠OAB+∠OAC=90°
C．AC=2 D．BC=4
44．如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度的斜坡的D点测得塔顶A的仰角为，斜坡长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（　　）米．（结果精确到米，参考数据：，，）
A．10.5米 B．16.1米 C．20.7米 D．32.2米
45．如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
46．如图，△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（　　）
A． -1 B． C． D．2
47．如图，中，，，，以斜边的中点D为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为（　　）
A．6 B．9 C． D．
48．如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
49．如图，在矩形ABCD中，AB＝2 ，BC＝10，E、F分别在边BC，AD上，BE＝DF.将△ABE，△CDF分别沿着AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF.若AG、CH分别平分∠EAD，∠FCB，则GH长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
50．由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（　　）
A． B． C． D．
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【50道单选题·专项集训】
北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系
1．以下是某数学兴趣小组开展的课外探究活动，探究目的：测量小河两岸的距离，探究过程：在河两岸选取相对的两点P、A，在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得，
∵米，
∴PA=米，
故答案为：C.
【分析】根据解直角三角形的知识即可直接求解。
2．在直角三角形Rt ABC中， C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：在△ABC中，
∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC===4，
∴tanA==；
故答案为A。
【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度，然后利用锐角三角函数定义进行解答即可。
3．如图，在中，，，，用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
4．如图，为了测量河两岸 、 两点的距离，在与 垂直的方向点 处测得 ， ，那么 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意，在Rt△ABC中，有AC=a，∠ACB= ，且 ，
所以AB=AC· = .
故答案为：B.
【分析】根据正切函数的概念可得tanα=，据此计算.
5．如图，在三角形纸片中，，，，沿折叠纸片，使点A落在边上的点E处，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
6．正方形ABCD中，AC=4，则正方形ABCD面积为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】【解答】解：如图
∵正方形ABCD
∴AB=BC，∠B=90°，∠ACB=45°
∴AB=ACsin45°=4×=2
∴正方形ABCD面积为：AB2=（2）2=8
故答案为：B
【分析】根据正方形的性质及锐角三角形函数的定义，求出正方形的边长，再根据正方形的面积公式计算即可。
7．如图所示，在△ABC中，CA=CB=4，cos C=，则sin B的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ACD中，∵cosC=，
∴
解得CD=1.
∵AC=CB=1，
∴AD=，BD=BC-CD=3.
在Rt△ABD中，AB=
∴sinB=
故答案为：D.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，先利用cosC=，求出CD，再利用勾股定理求出AD，AB，最后求出sinB.
8．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图， ， ， ，
∴ ，
则 .
故答案为：C.
【分析】将 转换成 去计算正弦值.
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：在中，，，，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再根据正弦的定义求解即可。
10．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则tan∠ECF=（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵BC=12，点E是BC的中点，
∴EC=BE=6，
由翻折变换的性质可知，BE=FE，∠BEA=∠FEA，
∴EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠BEA+∠FEA=∠EFC+∠ECF，
∴∠BEA=∠ECF，
∵tan∠BEA= = ，
∴tan∠ECF= ，
故答案为：B．
【分析】由翻折变换的性质可知，BE=FE，∠BEA=∠FEA，由三角形的外角的性质∠BEA+∠FEA=∠EFC+∠ECF，∠BEA=∠ECF，根据正切的概念解答即可。
11．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A，B，求∠A的余弦值（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：点C如图所示：
AO＝＝2，
cos∠A＝＝＝，
故答案为：C.
【分析】过点O作OC⊥AB的延长线于点C，利用勾股定理求出AO，然后根据余弦函数的概念进行计算.
12．用计算器验证，下列等式中正确的是（　　）
A．sin18°24′+sin35°26′=sin54°
B．sin65°54′﹣sin35°54′=sin30°
C．2sin15°30′=sin31°
D．sin70°18′﹣sin12°18′=sin47°42′
【答案】D
【解析】【解答】解：利用计算器分别计算出各个三角函数的数值，进行分别检验．正确的是sin70°18′﹣sin12°18′=sin47°42′．
故选D．
【分析】本题考查三角函数的加减法运算．
13．图1是一款平板电脑文架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当∠ABC＝130°，∠BCD＝70°时，则托板顶点A到底座CD所在平面的距离为（ ）（结果精确到1mm）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）．
A．246 mm B．247mm C．248mm D．249mm
【答案】C
14．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上一点，连结BE，将沿BE折叠得，点F恰好在边CD上，过点A作分别交BC，BF，BE于点G，P，Q．已知BC＝3，当BG＝2时，则折痕BE的长为（　　）
A． B．4 C． D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：连接FG，
在矩形ABCD中，∠DAB=∠C=90°，
由折叠可得：∠EFB=∠DAB=90°，∠EBA=∠FBE，
∵EF∥AG，
∴∠FPG=∠EFB=90°，则∠FPG=∠C=90°，
∴Rt△FCG≌Rt△FPG（HL）
∴PG=CG=1，
在Rt△GPB中，PG=1，BG=2，
∴∠GPB=30°，∠PGB=60°，
∴AB=BG=，∠EBA=30°，
∴BE=AB=4.
故答案为：B.
【分析】连接FG，由折叠的性质、矩形的性质及平行线的性质可得∠FPG=∠EFB=90°，则∠FPG=∠C=90°，可证Rt△FCG≌Rt△FPG（HL）可得PG=CG=1，从而求出∠GPB=30°，∠PGB=60°，利用解直角三角形求出AB，继而求出BE即可.
15．sin245°﹣3tan230°+4cos260°的值是（　　）
A．0 B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：原式= ，
= -1+1= ．
故答案为：B．
【分析】先代入特殊角的三角函数值，再进行计算可得出答案。
16．如图，在中，，，，为的角平分线，点为上一动点，点为的中点，连接，则的最小值是（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
17．如图，一个小球沿倾斜角为 的斜坡向下滚动，经过5秒时，测得小球的平均速度为 米 秒.已知 ，则小球下降的高度是（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
【答案】B
【解析】【解答】解： 经过5秒时，测得小球的平均速度为0.5米 秒.
米.
在 中， ，
，
解得， ，
由勾股定理得， （米 .
故答案为：B.
【分析】如图，根据余弦的定义求出 ，根据勾股定理计算即可得出答案.
18．下列各式中，运算结果是分数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A. = ，是分数，故该选项符合题意；
B. =1，是整数，故该选项不符合题意；
C. =2，是整数，故该选项不符合题意；
D. = ，是无理数，故该选项不符合题意．
【分析】先化简，再根据分数的定义逐项判断即可。
19．如图，某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（ ）
A．40海里 B．60海里 C．海里 D．海里
【答案】C
20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，BD=8，tan∠ABD= ，则线段AB的长为（　　）.
A． B．2 C．5 D．10
【答案】C
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，BD=8
∴AC⊥BD，
在Rt△ABO中，
∴AO=3
∴
故答案为：C
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得出AC⊥BD，求出BO的长，再根据锐角三角函数的定义，求出AO的长，然后根据勾股定理就可求出结果。
21．如图，在 中， ， ， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ，使得点 落在 上，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝ ＝13，
根据旋转性质可得AD＝5，DE＝12，
∴CD＝13－5＝8，
在Rt△CED中，tan∠ECD＝ ＝ ，
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13，根据旋转性质可得AD＝5，DE＝12，所以CD＝8，在Rt△CED中根据tan∠ECD＝ 计算结果．
22．将点A（4，0）绕着原点O顺时针方向旋转60°角得到对应点A'，则点A'的坐标是（　　）
A．(4，－2) B．(2， )
C．(2， ) D．（ ，－2）
【答案】B
【解析】【解答】如图，连接OA′，过点A′作A′B⊥x轴于点B，
∵点A(4，0)，
∴OA=4，
∵点A(4，0)绕着原点O顺时针方向旋转60°角到对应点A′，
∴OA′=OA=4，∠A′OB=60°，
∴OB=OA′cos60°=4× =2，
A′B=OA′sin60°= ，
所以，点A′的坐标是(2， ).
故答案为：B.
【分析】连接OA′，过点A′作A′B⊥x轴于点B，由旋转的性质可得OA′=OA，∠A′OB=60°，根据cos60°=可求得OB的值，再根据sin60°=可求解.
23．在△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，用计算器求∠A约等于（　　）
A．14°38′ B．65°22′ C．67°23′ D．22°37′
【答案】D
【解析】【解答】解：sinA=≈0.385，
A=sin﹣10.385=22.64°=22°37′，
故选：D．
【分析】根据锐角三角函数，可得sinA的值，根据计算器，可得A的值．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝4，cos∠ABC＝ ，则BD的长为（　　）
A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵cos∠ABC＝ ，
∴∠ABC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，∠ABD＝∠CBD＝30°，AC⊥BD，
∴OC＝ BC＝2，BO＝ OC＝2 ，
∴BD＝2BO＝4 ，
故答案为：D．
【分析】由锐角三角函数可求∠ABC＝60°，由菱形的性质可得AB＝BC＝4，∠ABD＝∠CBD＝30°，AC⊥BD，由直角三角形的性质可求BO＝ OC＝2 ，即可求解．
25．在中，，如果，，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意，画图如下：
则，
故答案为：A．
【分析】根据正弦的定义求解即可。
26．如果Rt△ABC中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A的三角比的值（　　）
A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的一半
C．没有变化 D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵各边的长度都扩大两倍，
∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，
∴锐角A的各三角函数值都不变．
故选C．
【分析】根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则cosB的值（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得BC=
则cosB=.
故答案为：B.
【分析】先由勾股定理求得BC的长，再由锐角三角函数的定义求出cosB即可.
28．按如图所示的运算程序，能使输出的y值为 的是（　　）
A．α=60°，β=45° B．α=30°，β=45°
C．α=30°，β=30° D．α=45°，β=30°
【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵α=60°，β=45° ，
∴α＞β，
∴，故A不符合题意；
B、∵α=30°，β=45°
α＜β，故B不符合题意；
C、α=30°，β=30°，
∴α=β，
∴，故C符合题意；
D、∵α=45°，β=30° ，
∴α＞β，
∴，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据已知α≥β，可以排除选项B；再利用特殊角的三角函数值可得答案。
29．3tan60°的值为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：3tan60°=3×=3．
故选D．
【分析】把tan60的数值代入即可求解．
30．在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，则cosB的值是（　　）
A．3 B． C．3 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过A作BC上的高AD，
∵AB=AC=3，
∴BD=BC=1，
在Rt△ABD中，
∴cosB=
故答案为：B。
【分析】∠B所在的三角形中没有直角三角形，则需要构造，可过A作BC上的高AD，根据等腰三角形的“三线合一”定理可得BD=BC=1，则可求出cosB。
31．设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B和∠C的对边，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点A作b边上的高AD，
则Rt△ACD中，
AD=AC sinC=bsinC，
△ABC的面积等于 absinC．
故选：C．
【分析】如图过点A作b边上的高AD，则在直角三角形ACD中，AD=AC sinC=bsinC，所以△ABC的面积等于 absinC．
32．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是（　　）
A． cm B． cm C． cm D． cm
【答案】B
【解析】【解答】解：以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，则OA=OD，△AOD是等腰直角三角形．
易证△ABO≌△OCD，则OB=CD=4cm．
在直角△ABO中，根据勾股定理得到OA2=20；
在等腰直角△OAD中，过圆心O作弦AD的垂线OP．
则OP=OA sin45°= cm．
故答案为：B．
【分析】先证明△ABO≌△OCD，再利用勾股定理求出OA2=20，最后利用锐角三角函数进行求解即可。
33．如图，从A点出发的光线，经C点反射后垂直地射到B点，然后按原路返回A点.若∠AOC＝33°，OC＝1，则光线所走的总路线约为（　　）
A．3.8 B．2.4 C．1.9 D．1.2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠AOC＝33°，∠OBC＝90°，OC＝1，
∴BC＞ OC＞ ，∠OCB＝90°﹣33°＝57°
∵从A点出发的光线，经C点反射后垂直地射到B点，
∴∠ACB＝180°﹣57°﹣57°＝66°，
∴∠BAC＝24°，
∴由三角函数得BC≈0.5，AC≈1.4，
∴光线所走的总路线约为：（0.5+1.4）×2＝3.8.
故答案为：A。
【分析】根据三角形的内角和算出∠BCO的度数，根据反射角等于入射角及平角的定义即可算出∠ACB的度数，进而根据锐角三角函数的定义分别算出BC、AC的长即可算出答案。
34．已知∠A为锐角，且cosA=0.6，那么（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵cos30°= ≈0.9，cos45°= ≈0.7，cos60°= =0.5，
∴45°＜∠A＜60°．
故选C．
【分析】先求出cos30°，cos45°及cos60°的近似值，再由余弦函数值随角增大而减小即可得出结论．
35．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算时，如图．在中，，延长CB使，连接AD，得，所以．类比这种方法，计算的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，
设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故答案为：B
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，构造两个直角三角形和一个等腰三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
36．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1∶ ，坝高BC=10 m，则坡面AB的长度是（　　）
A．15 m B．20 m C．10 m D．20 m
【答案】D
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，因为坡比BC：AC=1：，BC=10 m
所以AC=10m
则AB=m
故答案为：D。
【分析】考查坡比的概念，坡比是坡角的正切值。
37．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，，若正方形与正方形的面积比为，，则（　　）
A．4 B．1 C．2 D．3
【答案】D
38．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，，
∴设AC＝4a，AB＝5a，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理先求出，再利用锐角三角函数计算求解即可。
39．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
40．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（ ）．
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【解析】【解答】解：设点到直线距离为米，
在中，，
在中，，
由题意得，，
解得，（米，
故选：．
【分析】设点到直线距离为米，根据正切的定义用表示出、，根据列出方程：，解此方程即可．
41．如图，明年舟山将再添一个最高颜值城市新地标，新城长峙岛上将矗立起一座摩天轮，其直径为90m，旋转1周用时15min．小明从摩天轮的底部（与地面相距0.5m）出发开始观光，摩天轮转动1周，小明在离地面68m以上的空中有多长时间？（　　）
A．3min B．5min C．6min D．10min
【答案】B
【解析】【解答】解：延长交圆上点，过的中点作，连接、．如图所示：
，，．
上的点都距离地面，
弧上的点都大于68．
在中，
，，
．
．
同理．
．
摩天轮旋转1周用时，
摩天轮旋转用时：．
即摩天轮转动1周，小明有在离地面以上的空中．
故答案为：B．
【分析】延长交圆上点，过的中点作，连接、，先求出∠POQ的度数，再结合“摩天轮旋转1周用时”列出算式，从而可得摩天轮转动1周，小明有在离地面以上的空中．
42．如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为6米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【解析】【解答】过点A'作A'C⊥AB于点C（如图），
∵，
∴A'C=A'Osin，
由题意可得： A'O=AO=6，
∴A'C=，
故答案为：A.
【分析】过点A'作A'C⊥AB于点C，再利用解直角三角形的方法求出A'C=即可。
43．在数学活动课上，老师出示两张等腰三角形纸片，如图所示．图1的三角形边长分别为4，4，2；图2的三角形的腰长也为4，底角等于图1中三角形的顶角；某学习小组将这两张纸片在同一平面内拼成如图3的四边形OABC，连结AC．该学习小组经探究得到以下四个结论，其中错误的是（　　）
A．∠OCB=2∠ACB B．∠OAB+∠OAC=90°
C．AC=2 D．BC=4
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵∠OBC=∠AOB，
∴OA∥BC，
∴∠OAC=∠ACB．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA=∠ACB，
∴∠OCB=2∠ACB，结论A正确；
B、∵OA=OB，
∴∠OAB+∠AOB+∠OBA=180°．
∵∠OAC= ∠OCB= ∠AOB，∠OAB=∠OBA，
∴∠OAB+ ∠AOB=90°，即∠OAB+∠OAC=90°，结论B正确；
C、过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，如图4所示．
∵OA=OB，
∴∠AOE= ∠AOB=∠OAE．
在△AOE和△OAE中， ，
∴△AOE≌△OAE（AAS），
∴AF=OE= = ，
∴AC=2AF=2 ，结论C正确；
D、过点B作BM⊥OA于点M，过点O作ON⊥BC于点N，如图5所示．
∵∠OAB+∠AOE=90°，∠MAB+∠ABM=90°，
∴∠AOE=∠ABM．
∵∠AEO=∠AMB=90°，
∴△AOE∽△ABM，
∴ ，
∴AM= ，OM=AO﹣AM= ．
∵BC∥AO，BM⊥AO，ON⊥BC，
∴四边形MBNO为矩形，
∴BN=OM= ．
∵OB=OC，ON⊥BC，
∴BC=2BN=7，结论D错误．
故选D．
【分析】A、根据∠OBC=∠AOB即可得出OA∥BC，由平行线的性质即可得出∠OAC=∠ACB，再由等腰三角形的性质即可得出∠OAC=∠OCA，替换后即可得出∠OCB=2∠ACB，结论A正确；B、根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得出∠OAB+ ∠AOB=90°，结合结论A即可得出∠OAB+∠OAC=90°，结论B正确；C、过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥AC于点F，则△AOE≌△OAE，利用勾股定理即可AF=OE= = ，从而得出AC=2AF=2 ，结论C正确；D、过点B作BM⊥OA于点M，过点O作ON⊥BC于点N，则△AOE∽△ABM，根据相似三角形的性质即可得出AM= ，OM=AO﹣AM= ，由BC∥AO、BM⊥AO、ON⊥BC即可得出四边形MBNO为矩形，再根据矩形的性质以及等腰三角形的性质即可得出BC=2BN=2OM=7，结论D错误．综上即可得出结论．
44．如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度的斜坡的D点测得塔顶A的仰角为，斜坡长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（　　）米．（结果精确到米，参考数据：，，）
A．10.5米 B．16.1米 C．20.7米 D．32.2米
【答案】D
45．如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
46．如图，△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（　　）
A． -1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】【解答】 解： 过点C作CK⊥AB，过点E作EJ∥CK交AB的延长线于点J，过点C作CH⊥EJ交直线EJ于点H，
∴∠CKD=∠CHE=90°=∠KCH=90°，∴四边形CKJH是矩形，
∵∠DCE=∠KCH=90°，∴∠DCK=∠ECH，
∵CD=CE，∴△DCK≌△ECH，∴CK=CH，
∴四边形CKJH是正方形，
∴点E在直线EJ上运动，∴当点E与点J重合时BE最小，
∵∠A=30°，∴∠ABC=60°，
在Rt△CBK中，BC=2，∴BK=BCcos60°=1，
∴KJ=CK=，
∴BJ=KJ-BK=-1，即得BE的最小值为-1.
故答案为：A.
【分析】过点C作CK⊥AB，过点E作EJ∥CK交AB的延长线于点J，过点C作CH⊥EJ交直线EJ于点H，可得四边形CKJH是矩形，根据AAS可证△DCK≌△ECH，可得CK=CH，从而可得四边形CKJH是正方形，继而得出点E在直线EJ上运动，∴当点E与点J重合时BE最小，在Rt△CBK中，利用解直角三角形先求出BK=1，再求出KJ=CK=，从而得出BJ=KJ-BK=-1，据此求出结论.
47．如图，中，，，，以斜边的中点D为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转得到，则旋转后两个直角三角形重叠部分的面积为（　　）
A．6 B．9 C． D．
【答案】B
48．如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
49．如图，在矩形ABCD中，AB＝2 ，BC＝10，E、F分别在边BC，AD上，BE＝DF.将△ABE，△CDF分别沿着AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF.若AG、CH分别平分∠EAD，∠FCB，则GH长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】B
【解析】【解答】解：如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T.
∵△ABE沿着AE翻折后得到△AGE，
∴∠GAM＝∠BAE，AB＝AG＝2 ，
∵AG分别平分∠EAD，
∴∠BAE＝∠EAG，
∵∠BAD＝90°，
∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，
∵GM⊥AD，
∴∠AMG＝90°，
∴在Rt△AGM中，sin∠GAM＝ ，cos∠GAM＝ ，
∴GM＝AG sin30°＝ ，AM＝AG cos30°＝3，
同理可得HT＝ ，CT＝3，
∵∠AMG＝∠B＝∠BAD＝90°，
∴四边形ABNM为矩形，
∴MN＝AB＝2 ，BN＝AM＝3，
∴GN＝MN﹣GM＝ ，
∴GN＝HT，
又∵GN∥HT，
∴四边形GHTN是平行四边形，
∴GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣3﹣3＝4，
故答案为：B.
【分析】如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T.通过解直角三角形求出AM、GM的长，同理可得HT、CT的长，再通过证四边形ABNM为矩形得MN＝AB＝2 ，BN＝AM＝3，最后证四边形GHTN为平行四边形可得GH＝TN即可解决问题.
50．由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接AC，过C作CD⊥AB于点D.
观察易发现，AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形.
∵CD⊥AB，
∴AD=BD，D点在格点上，
∴CD=，BD==.
∴tan∠ABC===.
故答案为：C.
【分析】连接AC，观察发现AC=BC得△ACB是等腰三角形，作垂线CD，可知D为AB中点，也为格点. 从而可利用勾股定理求出CD和BD的长，进而可求得答案. 注意网格中线段长要构造直角三角形并利用勾股定理来求.
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