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【50道综合题·专项集训】
北师大版九年级下册第二章 二次函数
1．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加　 　件，每件商品盈利　 　元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？
2．某社区委员会决定把一块长，宽的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多4米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为，健身活动区域的面积为．
（1）求出S与x之间的函数关系式；
（2）求健身活动区域的面积S的最大值．
3．用一段长为40m的篱笆围一个一边靠墙的矩形菜园，墙长25m，这个矩形的长、宽各是多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
4．某商人如果将进价为每件8元的商品按每件10元出售，每天可以销售100件，为了增加利润并减少进货量，现采用提高售价的办法，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少10件．
（1）问他将每件商品涨价多少元时，才能使每天所赚利润是320元？
（2）请你为该商人估算一下，若要获得最大利润，每件商品应涨价多少元？最大利润为多少元？
5．乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
水平距离 /
竖直高度 /
（1）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
②求满足条件的抛物线解析式；
（2）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
6．有长为的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图长方形的园子，园子的宽为t(单位：米)．
（1）用关于a，t的代数式表示园子的面积；
（2）当米，米时，求园子的面积；
7．求符合下列条件的抛物线y=ax2-1的函数关系式：
（1）通过点(-3，2)；
（2）与y= x2的开口大小相同，方向相反；
（3）当x的值由0增加到2时，函数值减少4.
8．已知：抛物线y= （x﹣1）2﹣3．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；
（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；
（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．
9．某种蔬菜在3﹣6月份的销售单价与销售月份之间的关系如图（甲）所示，成本与销售月份之间的关系如图（乙）所示.（图（甲）中4个点在一条直线上，图（乙）中的4个点在一条抛物线上）
（1）求该蔬菜5月份的销售单价.（精确到0.1元）
（2）求该蔬菜4月份每千克的成本.（精确到0.1元）
（3）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？每千克的最大收益是多少元？（收益＝售价﹣成本）
10．两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．

（1）当点C落在边EF上时，x=　cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．
11．某商品有线上、线下两种销售方式.
线上销售单件利润定为600元时，销售量为0件，单件利润每减少1元销售量增加1件.另需支付其它成本5 000元；线下销售单件利润500元.另需支付其它成本12 500元.(注：净利润＝销售商品的利润－其他成本)
（1）线上销售100件的净利润为　 　元；线下销售100件的净利润为　 　元；
（2）若销售量为x件，当0＜x≤600时，比较两种销售方式的净利润；
（3）现有该商品400件，若线上、线下同时销售，售完后的最大净利润是多少元？此时线上、线下各销售多少件？
12．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4）、抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是x轴上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．
（3）求四边形ABOD的面积．
13．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500．
（1）设李明每月获得利润为w（元），求出w与x的函数关系式．
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？得最大利润是多少？
14．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加，某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
15．我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：
（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式；
（2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；
（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，An在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长．
16．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件.
（1）若每件衬衫降价5元，则每件商品盈利　 　元，每天可售出　 　件，商场每天盈利　 　元；
（2）若每件衬衫降价 元，则每件商品盈利　 　元，每天可售出　 　件（用含 的代数式表示）；
（3）若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
17．如图，已知抛物线 经过A（ 1，0），B（3，0）两点.
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标.
18．一个二次函数y=（k﹣1）x+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x=0.5时y的值？
19．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元．日销售量将减少20千克．
（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多．
20．如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为．设花圃的宽为，面积为．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？
21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3分别交x轴、y轴于A，C两点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过A，C两点，与x轴交于点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为直线AC上一点，点E为抛物线上一点，且D，E两点的横坐标都为2，点F为x轴上的点，若四边形ADEF是平行四边形，请直接写出点F的坐标；
（3）若点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，求△ACQ的面积的最大值．
22．已知二次函数y=﹣x2+2x+3．
（1）用配方法求抛物线的对称轴、顶点坐标，并指出它的开口方向．
（2）在给定的直角坐标系中画出此函数的图象．
（3）观察图象指出当y≥0时，x的取值范围．
23．“直播带货”已经成为商家的一种新型促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如图所示：
（1）设小亮每天的销售利润（快递费用等不考虑）为w元，求w与x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）．
（2）若小亮每天想获得的销售利润w为910元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
24．已知：二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点(1，0)，(2，10)，
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）运用配方法，把这个抛物线的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出它的顶点坐标；
（3）把这个抛物线先向右平移4个单位，再向上平移6个单位，求平移后得到的抛物线与y轴的交点坐标.
25．华为商场销售一批名牌童裤，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件童裤每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1152元，每件童裤应降价多少元？
（2）当降价　 　元时，商场所获得的利润最大，最大利润为　 　元．
26．某超市经销一种销售成本为60元的商品，据超市调查发现，如果按每件70元销售，一周能销售500件，若销售单价每涨1元，每周销售减少10件，设销售价为每件x元（（x≥70），一周的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）设该超市一周的销售利润为w元，求w的最大值．
27．如图，已知点A（﹣4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上．
（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
（2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（﹣2，0）和点D（﹣4，0）是x轴上的两个定点．
①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；
②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
28．在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量 （单位：件）与线下售价 （单位：元/件， ）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x(元/件） 12 13 14 15 16
y(件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求 与 的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
29．“双减”政策落地后，对校外培训机构的影响巨大，不管是机构还是机构老师都面临着转型，培训机构李老师推出了“热学文化”新零售项目．他新开了甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出某品牌科技产品20件，每件盈利26元；乙店一天可售出同一品牌科技产品32件，每件盈利20元．经调查发现，每件此种科技产品每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2 件．设甲店每件降价a元时，一天可盈利y1元，乙店每件降价b元时，一天可盈利y2元．
（1）当a＝5时，求y1的值．
（2）求y2关于b的函数表达式．
（3）若李老师规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件此种科技产品下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？
30．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是 （x＞0）
（1）求水流喷出的最大高度是多少m？此时的水平距离是多少m；
（2）若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少m，才能使喷出的水流不落在池外.
31．某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，物价部门规定其销售单价不低于进价，不高于60元/千克，经市场调查发现：销售单价定为60元/千克时，每日销售20千克；如调整价格，每降价1元/千克，每日可多销售2千克．
（1）已知某天售出该化工原料40千克，则当天的销售单价为　50　元/千克；
（2）该公司现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天90元，每天应支付其他费用108元，当某天的销售价为46元/千克时，收支恰好平衡．
①求这种化工原料的进价；
②若公司每天的纯利润（收入﹣支出）全部用来偿还一笔10000元的借款，则至少需多少天才能还清借款？
32．已知二次函数y=x2﹣6x+8．
（1）将解析式化成顶点式；
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．
33．网络直播带货已成为一种新业态，某网店尝试用60天的时间，按单价随天数而变化的直播带货模式销售一种成本为10元/每件的商品，经过统计得到此商品的日销售量（件）、销售单价（元/件）在第天（x为正整数）销售的相关信息：
①与满足一次函数关系，且第1天的日销售量为98件，第4天的日销售量为92件；
②与的函数关系如下图所示；
（1）第5天的日销售量___________件；与的函数关系式为___________．
（2）在这60天中，网店哪天销售该商品的日利润最大？最大是多少元？
（3）在这60天中，共有多少天日利润不低于2418元？
34．某超市以10元/个的价格购进一批新型儿童玩具，当以17元/个的价格出售时，每天可以售出50个．春节期间，在确保不亏本的前提下采取降价促销的方式招揽顾客，经调查发现，当售价每降低0.5元时，每天可多卖出5个玩具．
（1）设该玩具的售价降低了x元，每天的销售量为y个，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．
（2）设销售这种玩具一天可获利润为w元，求w与x之间的函数关系式．
（3）这种玩具的售价定为每个多少元时，商店每天获得的利润最大？
35．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为批物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系。
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进；在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后水热水柱的最大高度。
36．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ）．
37．已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 2 1 2 n …
（1）表中n的值为　 　；
（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）若A（m1，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．
38．红灯笼，象征着国家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对，若规定每对乙灯笼的利润不能高于30元，设乙灯笼每对售价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元．
①求出与之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
39．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价（元/件） 100 110 120 130 …
月销量（件） 200 180 160 140 …
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．
（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 （　 　）元；②月销量是 （　 　）件；（直接写出结果）
（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
40．茶叶是安徽省主要经济作物之一，2020年新茶上市期间，某茶厂为获得最大利益，根据市场行情，把新茶价格定为400元/kg，并根据历年的相关数据整理出第x天（1≤x≤15，且x为整数）制茶成本（含采摘和加工）和制茶量的相关信息如下表．假定该茶厂每天制作和销售的新茶没有损失，且能在当天全部售出（当天收入=日销售额-日制茶成本）
制茶成本（元/kg） 150+10x
制茶量（kg） 40+4x
（1）求出该茶厂第10天的收入；
（2）设该茶厂第x天的收入为y（元）．试求出y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值及此时x的值．
41．如图，一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1（单位：m）和滑行时间t1（单位s）满足二次函数关系，并测得相关数据：
滑行时间t1/s 0 1 2 3 4
滑行距离y1/s 0 4.5 14 28.5 48
滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m）和滑行时间t2（单位：s）满足：y2=52t2﹣2t22，滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23s.
（1）求y1和t1满足的二次函数解析式；
（2）求滑坡AB的长度.
42．已知抛物线y＝（1﹣m）x2﹣mx﹣1与x轴交于A、B两点，顶点为P．
（1）求m的取值范围；
（2）若A、B位于原点两侧，求m的取值范围；
（3）若顶点P在第四象限，求m的取值范围．
43．自国家发布新冠防疫政策新十条政策以来，核酸自测抗原检测试剂盒需求量上升，价格急剧上涨．据市场调研发现，某品牌抗原检测试剂盒经过连续两次价格的上调，由每盒60元涨到了每盒101.4元
（1）求出这两次价格上调的平均增长率；
（2）在政府有关部门大力调控下，该品牌抗原检测试剂盒的价格下调回到了每盒80元，在线上平台发售时发现，定价为每盒80元时，该品牌一天可以卖出300盒，每降价5元，一天可以多卖出50盒．当销售额为每日3万元时，要让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
（3）在（2）的条件下，该品牌抗原检测试剂盒成本为每盒40元，在降价的情况下，定价多少时每日利润最大？
44．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均毎天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调査表明：这种冰箱的售价毎降低50元，平均每天就能多售出4台.
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润为y元，请写出y与x间的函数表达式;（不要求写出自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中毎天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，毎台冰箱应降价多少元？
45．某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少；
（3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．
46．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
47．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）.抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE最大.
①求点P的坐标和PE的最大值.
②在直线PD上是否存在点M，使点M在以AB为直径的圆上；若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
48．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，8）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若将该抛物线向下平移m个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）已知点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
49．二次函数是常数，，当时，函数有最小值.
（1）若该函数图象的对称轴为直线，并且经过点，求该函数的表达式.
（2）若一次函数的图象经过二次函数图象的顶点.
①求该二次函数图象的顶点坐标.
②若是该二次函数图象上的两点，求证：.
50．北京2022年冬奥会跳台滑雪比赛在张家口赛区进行，如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿段抛物线运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，求运动员在落在小山坡上之前滑行的水平距离，并求出在滑行期间距离小山坡的最大高度是多少米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过2.3米时，求b的取值范围．
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【50道综合题·专项集训】
北师大版九年级下册第二章 二次函数
1．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加　 　件，每件商品盈利　 　元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？
【答案】（1）2x；（50-x）
（2）解：根据题意得：
（3）解：，
当时，y有最大值，
答：每件商品降价17.5元时，商场日盈利最高.
【解析】【解答】（1）解：每天销售30件，每件盈利50元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴当降价x元时，商场日销售量增加件，每件商品盈利为（50-x）元，
故答案为：2x，（50-x）；
【分析】（1）由“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”可得商场每天销售量增加的数量；根据原来的利润减去降低的的钱数即可算出每件商品的盈利；
（2）根据单件商品的利润×每日的销售数量=每日的总利润即可建立出y关于x的函数解析式；
（3）将（2）所得函数解析式配成顶点式即可得出答案.
2．某社区委员会决定把一块长，宽的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多4米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为，健身活动区域的面积为．
（1）求出S与x之间的函数关系式；
（2）求健身活动区域的面积S的最大值．
【答案】（1）
（2）
3．用一段长为40m的篱笆围一个一边靠墙的矩形菜园，墙长25m，这个矩形的长、宽各是多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】菜园的长为20 m，宽为10 m时，面积最大为．
4．某商人如果将进价为每件8元的商品按每件10元出售，每天可以销售100件，为了增加利润并减少进货量，现采用提高售价的办法，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少10件．
（1）问他将每件商品涨价多少元时，才能使每天所赚利润是320元？
（2）请你为该商人估算一下，若要获得最大利润，每件商品应涨价多少元？最大利润为多少元？
【答案】（1）2或6元
（2）应涨价4元，最大利润为360元
5．乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
水平距离 /
竖直高度 /
（1）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 ；
②求满足条件的抛物线解析式；
（2）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】（1）①；；②
（2）乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为
6．有长为的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图长方形的园子，园子的宽为t(单位：米)．
（1）用关于a，t的代数式表示园子的面积；
（2）当米，米时，求园子的面积；
【答案】（1）解：由题意得：园子的长为：，
∴
（2）解：当：米，米时，
（平方米）；
答：园子的面积为：50平方米．
【解析】【分析】（1）由题意可得：园子的长为a-2t，然后根据矩形的面积=长×宽可得S与a、t的关系式；
（2）将a=20、t=5代入（1）的关系式中进行计算即可.
7．求符合下列条件的抛物线y=ax2-1的函数关系式：
（1）通过点(-3，2)；
（2）与y= x2的开口大小相同，方向相反；
（3）当x的值由0增加到2时，函数值减少4.
【答案】（1）解：2=a×(-3)2-1，9a=3，a= ，故y= x2-1
（2）解：由已知得a= ，故y= x2-1
（3）解：当x=0时，y=-1；当x=2时，y=a×22-1
故a×22-1=-5，解得a=-1，即y=-x2-1
【解析】【分析】（1）将点(-3，2)代入抛物线y=ax2-1的函数关系式，求出a的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）根据二次函数的图象与系数的关系，抛物线y=ax2-1与y= x2的开口大小相同，方向相反，故a=-，从而求出抛物线的解析式；
（3）将x=0代入抛物线y=ax2-1得出y=-1，又x的值由0增加到2时，函数值减少4，即x=2时，y=-5，将x=2，y=-5代入抛物线y=ax2-1求出a的值，从而求出抛物线的解析式。
8．已知：抛物线y= （x﹣1）2﹣3．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；
（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；
（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．
【答案】（1）解：抛物线y= （x﹣1）2﹣3，
∵a= ＞0，
∴抛物线的开口向上，
对称轴为直线x=1；
（2）解：∵a= ＞0，
∴函数y有最小值，最小值为﹣3；
（3）解：令x=0，则y= （0﹣1）2﹣3=﹣ ，
所以，点P的坐标为（0，﹣ ），
令y=0，则 （x﹣1）2﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
所以，点Q的坐标为（﹣1，0）或（3，0），
当点P（0，﹣ ），Q（﹣1，0）时，设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
则 ，
解得 ，
所以直线PQ的解析式为y=﹣ x﹣ ，
当P（0，﹣ ），Q（3，0）时，设直线PQ的解析式为y=mx+n，
则 ，
解得 ，
所以，直线PQ的解析式为y= x﹣ ，
综上所述，直线PQ的解析式为y=﹣ x﹣ 或y= x﹣ ．
【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质，写出开口方向与对称轴即可；（2）根据a是正数确定有最小值，再根据函数解析式写出最小值；（3）分别求出点P、Q的坐标，再根据待定系数法求函数解析式解答．
9．某种蔬菜在3﹣6月份的销售单价与销售月份之间的关系如图（甲）所示，成本与销售月份之间的关系如图（乙）所示.（图（甲）中4个点在一条直线上，图（乙）中的4个点在一条抛物线上）
（1）求该蔬菜5月份的销售单价.（精确到0.1元）
（2）求该蔬菜4月份每千克的成本.（精确到0.1元）
（3）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？每千克的最大收益是多少元？（收益＝售价﹣成本）
【答案】（1）解：设该蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式为，
将（3，5）和（6，3）代入得，
，
解得：，
∴，
当时，，
∴该蔬菜5月份的销售单价为元；
（2）解：设成本与销售月份之间的关系式为：，
把（3，4）代入得，，
解得，
∴，即，
当时，，
∴该蔬菜4月份每千克的成本为元；
（3）解：设销售每千克蔬菜的收益为w元，
根据题意得：，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大，每千克的最大收益是元
【解析】【分析】（1）设该蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式为y=kx+b，将（3，5）和（6，3）代入求出k、b的值，进而可得函数解析式，再令x=5，求出y的值即可；
（2）设成本与销售月份之间的关系式为y=a(x-6)2+1，将（3，4）代入求出a的值，进而可得函数关系式，再令x=4，求出y的值即可；
（3）设销售每千克蔬菜的收益为w元，根据收益=售价-成本可得w与x的关系式，然后结合二次函数的性质进行解答.
10．两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．

（1）当点C落在边EF上时，x=　cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．
【答案】（1）解：如图1所示：作CG⊥AB于G点．
，
在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30，得
BC==6．
在Rt△BCG中，BG=BC cos30°=9．
四边形CGEH是矩形，
CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，
故答案为：15；
（2）解：①当0≤x＜6时，如图2所示．
，
∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得
DG=x，BG=x，重叠部分的面积为y=DG BG=×x×x=x2
②当6≤x＜12时，如图3所示．
，
BD=x，DG=x，BG=x，BE=x﹣6，EH=（x﹣6）．
重叠部分的面积为y=S△BDG﹣S△BEH=DG BG﹣BE EH，
即y=×x×x﹣（x﹣6）（x﹣6）
化简，得y=﹣x2+2x﹣6；
③当12＜x≤15时，如图4所示．
，
AC=6，BC=6，BD=x，BE=（x﹣6），EG=（x﹣6），
重叠部分的面积为y=S△ABC﹣S△BEG=AC BC﹣BE EG，
即y=×6×6﹣（x﹣6）（x﹣6），
化简，得y=18﹣（x2﹣12x+36）=﹣x2+2x+12；
综上所述：y=；
（3）解：如图5所示作NG⊥DE于G点．
，
点M在NG上时MN最短，
NG是△DEF的中位线，
NG=EF=．
MB=CB=3，∠B=30°，
MG=MB=，
MN最小=3﹣=．
【解析】【解答】（1）根据锐角三角函数，可得BG的长，根据线段的和差，可得GE的长，根据矩形的性质，可得答案；
（2）分类讨论：①当0≤t＜6时，根据三角形的面积公式，可得答案；②当6≤t＜12时，③当12＜t≤15时，根据面积的和差，可得答案；
（3）根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，可得M在线段NG上，根据三角形的中位线，可得NG的长，根据锐角三角函数，可得MG的长，根据线段的和差，可得答案．
【分析】此题考查了图形的移动变换，涉及知识点有矩形的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，中垂线性质，中位线性质等.
11．某商品有线上、线下两种销售方式.
线上销售单件利润定为600元时，销售量为0件，单件利润每减少1元销售量增加1件.另需支付其它成本5 000元；线下销售单件利润500元.另需支付其它成本12 500元.(注：净利润＝销售商品的利润－其他成本)
（1）线上销售100件的净利润为　 　元；线下销售100件的净利润为　 　元；
（2）若销售量为x件，当0＜x≤600时，比较两种销售方式的净利润；
（3）现有该商品400件，若线上、线下同时销售，售完后的最大净利润是多少元？此时线上、线下各销售多少件？
【答案】（1）45000；37500
（2）解：设销售量为x件时，线上销售的净利润为y1元，线下销售的净利润为y2元，线上线下销售的净利润差为w元.
则y1＝x(600－x)－5000，
y2＝500x－12500.
w＝x(600－x)－5000－(500x－12500)＝－x2＋100x＋7500
结合二次函数w＝－x2＋100x＋7500的图像可知：
当0＜x＜150时，w＞0，线上销售的净利润大于线下销售的净利润，
当x＝150时，w＝0，线上销售的净利润等于线下销售的净利润，
当150＜x≤600时，w＝0，线上销售的净利润小于线下销售的净利润
（3）解：设线上销售a件时，售完400件商品的净利润为m元.
则m＝a(600－a)－5000＋500(400－a)－12500＝－a2＋100a＋182500
＝－(a－50)2＋185000
∵－1＜0，
∴当a＝50时，m有最大值185000，即当线上销售50件，线下销售350件时，最大净利润为185000元.
【解析】【解答】解：(1)线上销售100件的净利润为：(600-100)×100-5000=45000(元)，
线下销售100件的净利润为：500×100-12500=37500(元)，
故答案为：45000，37500；
【分析】（1）利用已知条件分别求出线上销售100件的净利润线和下销售100件的净利润；
（2）设销售量为x件时，线上销售的净利润为y1元，线下销售的净利润为y2元，线上线下销售的净利润差为w元；根据题意分别列出y1，y2与x的函数解析式，再求出w与x之间的函数解析式，再画出二次函数图象，利用二次函数的性质，分情况讨论可得答案；
（3）设线上销售a件时，售完400件商品的净利润为m元，可得到m与a之间的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出结果.
12．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4）、抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是x轴上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．
（3）求四边形ABOD的面积．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式 ，
把点B（0，3）代入得， ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：如图，作点B关于x轴的对称点B′的坐标为（0，﹣3），连接AB′与x轴的交点即为点P，
设直线AB′的解析式为 ，
，解得 ，
∴直线AB′的解析式为 ，
令 ，则 ，解得 ，
∵轴对称，
∴ ，
∴ ，即此时 取最小值，
∴当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（ ，0）；
（3）解：如图，连接AO、AB、AD，
当 时， ，解得 ，
∴抛物线与x轴的交点坐标为D（3，0），C（﹣1，0），
∴ ．
【解析】【分析】（1）设抛物线顶点式，再将点坐标代入计算即可；（2）利用“将军饮马”的方法求解，先作出B点的对称点B '，再求出直线AB'解析式，再求解即可；（3）利用割补法求解即可。
13．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500．
（1）设李明每月获得利润为w（元），求出w与x的函数关系式．
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？得最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意，得：w=（x﹣20） y
=（x﹣20） （﹣10x+500））
=﹣10x2+700x﹣10000
（2）解：由题意，得：﹣10x2+700x﹣10000=0
解这个方程得：x1=30，x2=40．
答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元
（3）解：x=﹣ =35．
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润
【解析】【分析】（1）根据利润=每件的利润×销售数量，列出式子即可．（2）根据题意列出方程解方程即可．（3）利用二次函数的性质解决即可．
14．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加，某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【答案】（1）解：根据题意得，w=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，
∴当x=30时，每天的利润最大，最大利润为200元
（2）解：令﹣2（x﹣30）2+200=150，
解得：x=35或x=25，
∵这种产品的销售价不高于每千克28元，
∴x=25，
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元
【解析】【分析】（1）根据“总利润=单件利润×销售量”得出函数解析式并配方成顶点式，即可得函数最值；（2）根据题意得出关于x的方程，解之可得x的值，根据“销售价不高于每千克28元”取舍即可．
15．我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：
（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式；
（2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；
（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，An在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx经过点（﹣2，0）和（﹣1，3），
∴ ，解得 ，
∴抛物线的表达式为y=﹣3x2﹣6x；
（2）解：∵抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是（﹣ ，﹣ ），且该点在直线y=﹣2x上，
∴﹣ =﹣2×（﹣ ），
∵a≠0，∴﹣b2=4b，
解得b1=﹣4，b2=0；
（3）解：这组抛物线的顶点A1、A2、…，An在直线y=﹣2x上，
由（2）可知，b=4或b=0．
①当b=0时，抛物线的顶点在坐标原点，不合题意，舍去；
②当b=﹣4时，抛物线的表达式为y=ax2﹣4x．
由题意可知，第n条抛物线的顶点为An（﹣n，2n），则Dn（﹣3n，2n），
∵以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn，设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点Dn，此时第n+k条抛物线的顶点坐标是An+k（﹣n﹣k，2n+2k），
∴﹣ =﹣n﹣k，∴a= =﹣ ，
∴第n+k条抛物线的表达式为y=﹣ x2﹣4x，
∵Dn（﹣3n，2n）在第n+k条抛物线上，
∴2n=﹣ ×（﹣3n）2﹣4×（﹣3n），解得k= n，
∵n，k为正整数，且n≤12，
∴n1=5，n2=10．
当n=5时，k=4，n+k=9；
当n=10时，k=8，n+k=18＞12（舍去），
∴D5（﹣15，10），
∴正方形的边长是10．
【解析】【分析】由已知条件把点（-2，0）和（-1，3）分别代入y=ax2+bx，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到所求结论；
（2）根据二次函数的性质，得出抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是代入，y=-2x，进行计算求值即可；
（3）由于这组抛物线的顶点A1、A2、…，An在直线y=-2x上，根据（2）的结论可知，b=-4或b=0．①当b=0时，不合题意舍去；②当b=-4时，抛物线的表达式为y=ax2-4x．由题意可知，第n条抛物线的顶点为An（-n，2n），则Dn（-3n，2n），因为以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn，设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点Dn，此时第n+k条抛物线的顶点坐标是An+k（-n-k，2n+2k），通过代入求值即可得到正方形的边长.
16．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件.
（1）若每件衬衫降价5元，则每件商品盈利　 　元，每天可售出　 　件，商场每天盈利　 　元；
（2）若每件衬衫降价 元，则每件商品盈利　 　元，每天可售出　 　件（用含 的代数式表示）；
（3）若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
【答案】（1）40；40；1600
（2）；
（3）解：每件衬衫应降价x元，
根据题意得：
解得： ，
当 时， ；
当 时， ；
∵要减少库存，
∴应增加销售量，
∴
∴每件衬衫应降价30元
【解析】【解答】解：（1）若每件衬衫降价5元，则每件商品盈利：45-5=40（元），
每天可售出：20+4×5=40（件），
商场每天盈利：40×40=1600（元），
故答案为：40，40，1600；
（2）若每件衬衫降价x元，则每件商品盈利：45-x（元），
每天可售出：20+4x（件）
故答案为： ， ；
【分析】（1）根据利润=售价-进价，可求出每件商品的盈利；再根据题意求出每天可售出的数量和每件商品的盈利.
（2）每件衬衫降价x元，利用已知条件可表示出每件商品盈利，每天可售出的数量.
（3）每件衬衫应降价x元，利用每一件的利润×销售量=2100，列方程，然后求出方程的解，再根据要减少库存，可得答案.
17．如图，已知抛物线 经过A（ 1，0），B（3，0）两点.
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标.
【答案】（1）解：把 、 代入 ，
得 ，解得 ，
所以抛物线解析式为 ；
∵y=（x-1）2-4，
∴顶点坐标为（1，-4）；
（2）解：∵y=（x-1）2-4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当0＜x＜1时，当x=0时，y有最大值为-3，当x=1时，y有最小值为-4，
当1＜x＜3时，当x=3时，y有最大值为0，当x=1时，y有最小值为-4，
∴当0＜x＜3时，-4≤y＜0；
（3）解：∵ 、
，
设 点坐标为 ，
，
，
当 ，解得 ， ，此时 点坐标为 或 ；
当 ，方程没有实数解，
综上所述， 点坐标为 或 .
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入y=x2+bx+c中可得b、c，据此可得抛物线的解析式，进而得到顶点坐标；
（2）由抛物线的解析式可得抛物线开口向上，对称轴为x=1，判断出其增减性，据此不难得到y的取值范围；
（3）根据点A、B的坐标可得AB，设P（t，t2-2t-3），然后根据三角形的面积公式可得t的值，进而得到点P的坐标.
18．一个二次函数y=（k﹣1）x+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x=0.5时y的值？
【答案】（1）解：由题意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，
解得：k=2；
（2）解：把k=2代入y=（k﹣1）+2x﹣1得：y=x2+2x﹣1，
当x=0.5时，y=．
【解析】【分析】（1）由二次函数的定义可得 k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0， 据此即可求解；
（2）由（1）可得y=x2+2x﹣1， 将x=0.5代入求出y值即可.
19．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元．日销售量将减少20千克．
（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多．
【答案】（1）解：设涨价x元，根据题意，得（x+10）（500-20x）=6000，
整理，得，
解得，，
要让顾客得到实惠，故x=5，
故每千克应涨价5元．
（2）解：设总利润为y元，
则y=（x+10）（500-20x），
=
=
∵-20＜0，
∴二次函数有最大值，
且当x=时，有最大值，且最大值为6125，
∴当涨价为元时，利润最大，最大利润为6125元．
【解析】【分析】（1）设涨价x元，根据总利润=每千克利润×日销售量，列出方程并解之即可；
（2）设总利润为y元，根据总利润=每千克利润×日销售量，列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可.
20．如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为．设花圃的宽为，面积为．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）
（2）当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是
21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3分别交x轴、y轴于A，C两点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过A，C两点，与x轴交于点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为直线AC上一点，点E为抛物线上一点，且D，E两点的横坐标都为2，点F为x轴上的点，若四边形ADEF是平行四边形，请直接写出点F的坐标；
（3）若点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，求△ACQ的面积的最大值．
【答案】（1）解：∵将x=0代入y=x+3，得y=3，
∴点C的坐标为（0，3）．
∵将y=0代入y=x+3得到x=﹣3．
∴点A的坐标为（﹣3，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），将点C的坐标代入得：﹣3a=3．
解得：a=﹣1．
∴抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）．
整理得：y=﹣x2﹣2x+3
（2）解：∵将x=2代入y=x+3得，y=5，∴点D（2，5）．将x=2代入y=﹣x2﹣2x+3得：y=﹣5．
∴点E的坐标为（2，﹣5）．
如图1所示：
∵四边形ADFE为平行四边形，∴点F的坐标为（7，0）．
（3）解：如图2所示：设点P的坐标为（a，a+3），则点Q的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3）．QP=﹣a2﹣2a+3﹣（a+3）=﹣a2﹣2a+3﹣a﹣3=﹣a2﹣3a．∵△ACQ的面积= ，
∴△ACQ的面积= = ﹣ = （a+ ）2+ ．
∴△ACQ的面积的最大值为
【解析】【分析】 （1）将x=0代入直线的解析式求得点C（0，3），将y=0代入求得x=-3，从而得到点A（-3，0），利用二次函数的两根式，设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），将点C的坐标代入可求得a=-1，从而得到抛物线的解析式。
（2）先将x=2分别代入直线和抛物线的解析式，可求得点D、E（的坐标，然后根据平行四边形的对角线互相平分可求得点F的坐标。
（3）如图2所示：设点P的坐标为（a，a+3），则点Q的坐标为（a，-a2-2a+3）．QP=-a2-3a，利用三角形的面积公式求出△ACQ的面积与a的函数解析式，将其配方成顶点式，即可求解。
22．已知二次函数y=﹣x2+2x+3．
（1）用配方法求抛物线的对称轴、顶点坐标，并指出它的开口方向．
（2）在给定的直角坐标系中画出此函数的图象．
（3）观察图象指出当y≥0时，x的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数可化为y=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，4），它开口方向下
（2）解：二次函数的图象如图
（3）解：由函数图象可知，当y≥0时，﹣1≤x≤3
【解析】【分析】（1）把二次函数化为顶点式的形式，进而可得出结论；（2）根据（1）中，抛物线的对称轴、顶点坐标，并指出它的开口方向画出函数图象即可；（3）根据函数图象即可得出结论．
23．“直播带货”已经成为商家的一种新型促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如图所示：
（1）设小亮每天的销售利润（快递费用等不考虑）为w元，求w与x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）．
（2）若小亮每天想获得的销售利润w为910元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
【答案】（1）
（2）17元
24．已知：二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点(1，0)，(2，10)，
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）运用配方法，把这个抛物线的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出它的顶点坐标；
（3）把这个抛物线先向右平移4个单位，再向上平移6个单位，求平移后得到的抛物线与y轴的交点坐标.
【答案】（1）解：将（1，0）和（2，10）分别代入二次函数y=2x2+bx+c，得
解得
∴这个抛物线的解析式是y=2x2+4x-6.
（2）解：y=2x2+4x-6=2(x+1)2-8，
∴顶点坐标是(-1，-8).
（3）解：将顶点(-1，-8)先向右平移4个单位，再向上平移6个单位，得顶点坐标为(3，-2)
∴平移后得到的抛物线的解析式是y=2(x-3)2-2，令x=0，则y=16，
∴它与y轴的交点的坐标是(0，16).
【解析】【分析】（1）二次函数y=2x2+bx+c中，b与c未知，且已知两个点1，0）和（2，10），分别代入其中，联立成方程组，即可解出b和c；
（ 2 ）由配方法可知y=2x2+4x-6=2（x2+2x）-6，x2+2x需要添加“+1-1”即可配方；
（ 3 ）抛物线平移可转化为顶点的平移，由原顶点得到平移后的顶点，再根据顶点式得到平移后的抛物线解析式；求与y轴的交点时，当x=0，得到与y轴交点的纵坐标.
25．华为商场销售一批名牌童裤，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件童裤每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1152元，每件童裤应降价多少元？
（2）当降价　 　元时，商场所获得的利润最大，最大利润为　 　元．
【答案】（1）解：设每件童裤应降价元，
由题意得：，
解得：，，
∵尽量减少库存，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快．
∴每件童裤应降价22元．
（2）15；1250
【解析】【解答】解：（2）设利润为y，则有y=（40-x）（20+2x）=-2（x-15）2+1250
∴当降价15元时，商场所获得的利润最大，最大利润为1250元.
【分析】（1）设每件童裤应降价x元，由题意可得每件的利润为(40-x)，销售量为(20+2x)件，然后根据每件的利润×销售量=总利润可得关于x的方程，求解即可；
（2）根据每件的利润×销售量=总利润可得y与x的关系式，然后利用二次函数的性质进行解答.
26．某超市经销一种销售成本为60元的商品，据超市调查发现，如果按每件70元销售，一周能销售500件，若销售单价每涨1元，每周销售减少10件，设销售价为每件x元（（x≥70），一周的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式．
（2）设该超市一周的销售利润为w元，求w的最大值．
【答案】（1）解：根据题意，得：
y=500﹣10（x﹣70）
=﹣10x+1200，
即y=﹣10x+1200
（2）解：W=（x﹣60）（﹣10x+1200）
=﹣10x2+1800x﹣72000
=﹣10（x﹣90）2+9000，
∵﹣10＜0，
∴当x=90时，W取得最大值，最大值为9000元
【解析】【分析】（1）根据：售价为每件x元时的销售量=售价为每件70元时的销售量﹣因价格上涨而减少的销售量，可列出函数关系式；（2）根据：一周的销售利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式并配方成顶点式，可知函数最大值．
27．如图，已知点A（﹣4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上．
（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
（2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（﹣2，0）和点D（﹣4，0）是x轴上的两个定点．
①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；
②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点A（﹣4，8）的坐标代入y=ax2，解得a= ；将点B（2，n）的坐标代入y= x2，求得点B的坐标为（2，2），则点B关于x轴对称点P的坐标为（2，﹣2），设直线AP的解析式为y=kx+b， ，解得： ，∴直线AP的解析式是y=﹣ x+ ，令y=0，得：x= ．
即所求点Q的坐标是（ ，0）；
（2）解：①CQ=|﹣2﹣ |= ，故将抛物线y= x2向左平移 个单位时，A′C+CB′最短，
此时抛物线的函数解析式为y= （x+ ）2；
②左右平移抛物线y= x2．∵线段A′B′和CD的长是定值，∴要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短；
第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′＞AD+CB，∴不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短；
第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′（﹣4﹣b，8）和B′（2﹣b，2）．∵CD=2，∴将点B′向左平移2个单位得B′′（﹣b，2），要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′（﹣4﹣b，﹣8）．∵直线A′′B′′的解析式为y= x+ b+2．要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D（﹣4，0）代入直线A′′B′′的解析式，解得：b= ，∴将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为y= （x+ ）2．
【解析】【分析】（1）把（-4，8）代入y=ax2可求得a的值，把x=2代入所求的抛物线解析式，可求出点B的坐标，再根据点B关于x轴对称点P，就可求出点P的坐标，再利用待定系数法求出直线AP的函数解析式，然后求出直线AP与x轴的交点坐标即可。
（2）①要使A′C+CB′最短，说明抛物线向左平移了个单位长度，用顶点式设出相应的函数解析式，把新顶点坐标代入即可；
②左右平移抛物线y= x2．线段A′B′和CD的长是定值，要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短；第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′＞AD+CB，∴不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短；
第二种情况：左右平移时，使A′D+DB′′最短即可，那么作出点A′关于x轴对称点的坐标为A′′，得到直线A′′B′′的解析式，让y=0，求得相应的点的坐标；进而得到抛物线顶点平移的规律，用顶点式设出相应的函数解析式，把新顶点坐标代入即可。
28．在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量 （单位：件）与线下售价 （单位：元/件， ）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x(元/件） 12 13 14 15 16
y(件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求 与 的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【答案】（1）解：因为y与x满足一次函数的关系，所以设y=kx+b.
将点（12，1200），（13，1100）代入函数解析式得
解得
∴ 与 的函数关系式为 ．
（2）解：设商家线上和线下的月利润总和为 元，则可得
=400（x-12）+（-100x+2400）（x-10）
=-100x2+3800x-28800
= ，
因为-100<0，
所以当x=19时，w有最大值，为7300，
所以当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元．
【解析】【分析】（1）由待定系数法求出y与x的函数关系式即可；（2）设线上和线下月利润总和为w元，则w=400（x-2-10）+y（x-10）=400x-4800+（-100x+2400）（x-10）=-100（x-19）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案．
29．“双减”政策落地后，对校外培训机构的影响巨大，不管是机构还是机构老师都面临着转型，培训机构李老师推出了“热学文化”新零售项目．他新开了甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出某品牌科技产品20件，每件盈利26元；乙店一天可售出同一品牌科技产品32件，每件盈利20元．经调查发现，每件此种科技产品每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2 件．设甲店每件降价a元时，一天可盈利y1元，乙店每件降价b元时，一天可盈利y2元．
（1）当a＝5时，求y1的值．
（2）求y2关于b的函数表达式．
（3）若李老师规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件此种科技产品下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？
【答案】（1）解：由题意可得，
当 时，
所以当 时， 的值是630；
（2）解：由题意可得，
即 关于 的函数表达式为
（3）解：设两家下降的价格都为 元，两家的盈利和为 元，
∴当 时，w取得最大值，
此时 .
答：每件衬衫下降5元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是1260元．
【解析】【分析】（1）易得降价a元时，可多售出2a件，则每天可售出(20+2a)件，每件的利润为(26-a)元，根据一天的盈利=每件的利润×件数可得y1关于a的关系式，然后令a=5，求出y1的值即可；
（2）易得降价b元时，可多售出2b件，则每天可售出(32+2b)件，每件的利润为(20-b)元，根据一天的盈利=每件的利润×件数可得y2关于b的关系式；
（3）设两家下降的价格都为x元，两家的盈利和为w元，易得w=(20-x)(20+2x)+(20-x)(32+2x)，化简可得w关于x的关系式，然后结合二次函数的性质进行求解.
30．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是 （x＞0）
（1）求水流喷出的最大高度是多少m？此时的水平距离是多少m；
（2）若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少m，才能使喷出的水流不落在池外.
【答案】（1）∵y＝﹣x2+2x+ ＝﹣（x﹣1）2+ ，
∴该二次函数的顶点坐标为（1， ），
∴水流喷出的最大高度是 米，此时的水平距离为1米；
（2）令y＝0，则﹣（x﹣1）2+ ＝0，
解得x＝2.5或x＝﹣0.5（舍去）
所以花坛的半径至少为2.5m，才能使喷出的水流不落在池外；
【解析】【分析】（1）求得抛物线的顶点坐标即可求得最大高度及水平距离；（2）令y=0，则可以求水池的半径；
31．某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，物价部门规定其销售单价不低于进价，不高于60元/千克，经市场调查发现：销售单价定为60元/千克时，每日销售20千克；如调整价格，每降价1元/千克，每日可多销售2千克．
（1）已知某天售出该化工原料40千克，则当天的销售单价为　50　元/千克；
（2）该公司现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天90元，每天应支付其他费用108元，当某天的销售价为46元/千克时，收支恰好平衡．
①求这种化工原料的进价；
②若公司每天的纯利润（收入﹣支出）全部用来偿还一笔10000元的借款，则至少需多少天才能还清借款？
【答案】（1）解：设某天售出该化工原料40千克时的销售单价为x元/千克，
（60﹣x）×2+20=40，
解得，x=50，
故答案为：50；
（2）解：①设这种化工原料的进价为a元/千克，
当销售价为46元/千克时，当天的销量为：20+（60﹣46）×2=48（千克），
则（46﹣a）×48=108+90×2，
解得，a=40，
即这种化工原料的进价为40元/千克；
②设公司某天的销售单价为x元/千克，每天的收入为y元，
则y=（x﹣40）[20+2（60﹣x）]=﹣2（x﹣55）2+450，
∴当x=55时，公司每天的收入最多，最多收入450元，
设公司需要t天还清借款，
则（450﹣108﹣90×2）t≥10000，
解得，t≥ ，
∵t为整数，
∴t=62．
即公司至少需62天才能还清借款．
【解析】【分析】（1）根据销售单价定为60元/千克时，每日销售20千克；如调整价格，每降价1元/千克，每日可多销售2千克，可以求得某天售出该化工原料40千克，当天的销售单价；（2）①根据该公司现有员工2名，每天支付员工的工资为每人每天90元，每天应支付其他费用108元，当某天的销售价为46元/千克时，收支恰好平衡，可以列出相应的方程，从而可以求得原料的进价；②根据题意可以求得每天的最大利润，从而可以求得少需多少天才能还清借款．
32．已知二次函数y=x2﹣6x+8．
（1）将解析式化成顶点式；
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．
【答案】（1）解：y=x2﹣6x+8=x2﹣6x+9﹣1=（x﹣3）2﹣1
（2）解：开口向上，对称轴是x=3，顶点坐标是（3，﹣1）
（3）解：x＞3时，y随x的增大而增大；x＜3时，y随x增大而减小
【解析】【分析】（1）利用配方法将解析式化成顶点式；（2）根据二次函数的性质解答；（3）根据抛物线的开口方向、对称轴以及二次函数的性质解答．
33．网络直播带货已成为一种新业态，某网店尝试用60天的时间，按单价随天数而变化的直播带货模式销售一种成本为10元/每件的商品，经过统计得到此商品的日销售量（件）、销售单价（元/件）在第天（x为正整数）销售的相关信息：
①与满足一次函数关系，且第1天的日销售量为98件，第4天的日销售量为92件；
②与的函数关系如下图所示；
（1）第5天的日销售量___________件；与的函数关系式为___________．
（2）在这60天中，网店哪天销售该商品的日利润最大？最大是多少元？
（3）在这60天中，共有多少天日利润不低于2418元？
【答案】（1）90；
（2）第15天该网店销售该商品的日利润y最大，最大是2450元
（3）9天
34．某超市以10元/个的价格购进一批新型儿童玩具，当以17元/个的价格出售时，每天可以售出50个．春节期间，在确保不亏本的前提下采取降价促销的方式招揽顾客，经调查发现，当售价每降低0.5元时，每天可多卖出5个玩具．
（1）设该玩具的售价降低了x元，每天的销售量为y个，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．
（2）设销售这种玩具一天可获利润为w元，求w与x之间的函数关系式．
（3）这种玩具的售价定为每个多少元时，商店每天获得的利润最大？
【答案】（1），自变量取值范围是
（2）解：由题意得，，
∴w与x之间的函数关系式为；
（3）解：，
∵，
∴以当时， w有最大值，最大值为360，
此时售价为16元/个．
∴这种玩具的售价定为每个16元时，商店每天获得的利润最大．
【解析】【解答】解：(1)由题意得，，
∴y与x的函数关系式为：，自变量取值范围是；
【分析】（1）根据题意先求出，再求解即可；
（2）利用利润公式求出 ， 即可作答；
（3）利用二次函数的性质计算求解即可。
35．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为批物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系。
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进；在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后水热水柱的最大高度。
【答案】（1）∵抛物线顶点为（3，5）∴设y＝a（x-3）2＋5，
将（8，0）代入得a=
∴ （或 ）（0＜x＜8）
（2）当y＝1.8时，即
可得x1＝7，x2＝－1（舍去）
答：王师傅必须站在离水池中心7米以内.
（3）由 可得抛物线与y轴的交点为（0， ）
∵装饰物高度不变
∴新抛物线也过点（0， ）
∵喷出水柱的形状不变
∴a=
∵直径扩大到32米，
∴新抛物线过点（16，0）
设新抛物线为
将（0， ）和（16，0）代入得b=3，c=
∴
，当x= 时，y新= 。
答：扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 （或14.45米）
【解析】【分析】（1）将实际问题转化为数学问题，可得出第一象限的抛物线的顶点坐标为（3，5）且图像经过（8，0），利用待定系数法可求出函数解析式。（2）根据（1）中的函数解析式求出y=1.8时的自变量x的值，选取符合题意的x的值即可。（3）抓住关键的已知条件：装饰物高度不变，可得出新的抛物线经过（0， ）；喷出水柱的形状不变，则新抛物线与原抛物线的a值相等，再根据直径扩大到32米，可得出新抛物线经过（16，0），再利用待定系数法求出新的函数解析式，然后求出当x= 时的函数值即可求解。
36．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ）．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），
∴将A与B坐标代入得： ，
解得： ，
则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3
（2）解：点D为抛物线顶点，由顶点坐标（﹣ ， ）得，D（1，4），
∵对称轴与x轴交于点E，
∴DE=4，OE=1，
∵B（﹣1，0），
∴BO=1，
∴BE=2，
在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD= = =2 ．
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标分别代入函数解析式，建立关于a、c的方程组，求出方程组的解，就可得出抛物线的函数解析式。
（2）先将函数解析式转化为顶点式或代入顶点，得出点D的坐标，再根据对称轴与x轴交于点E，就可得出DE、OE的长，由点B的坐标得出OB、BE的长，然后在Rt△BED中，根据勾股定理求出BD的长。
37．已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 2 1 2 n …
（1）表中n的值为　 　；
（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）若A（m1，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．
【答案】（1）5
（2）解：根据表可知：顶点坐标为（2，1），
即当x=2时，y有最小值，最小值是1
（3）解：∵函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x=2，
∴当m＞2时，点A（m1，y1），B（m+1，y2）都在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∵m＜m+1，
∴y1＜y2．
【解析】【解答】（1）∵根据表可知：对称轴是直线x=2，
∴点（0，5）和（4，n）关于直线x=2对称，
∴n=5，
故答案为5；
【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可；（2）由表中数据可知，当x=2时，y有最小值，最小值是1；（3）根据二次函数的图象与性质解答即可.
38．红灯笼，象征着国家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对，若规定每对乙灯笼的利润不能高于30元，设乙灯笼每对售价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元．
①求出与之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；
（2）①，②乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．
39．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
售价（元/件） 100 110 120 130 …
月销量（件） 200 180 160 140 …
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．
（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 （　 　）元；②月销量是 （　 　）件；（直接写出结果）
（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）x﹣60；400﹣2x
（2）解：由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400）
=﹣2x2+520x﹣24000
=﹣2（x﹣130）2+9800，
∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元
【解析】【解答】解：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；
②设月销量W与x的关系式为w=kx+b，
由题意得， ，
解得， ，
∴W=﹣2x+400；
【分析】（1）根据利润=售价﹣进价求出利润，运用待定系数法求出月销量；（2）根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润．
40．茶叶是安徽省主要经济作物之一，2020年新茶上市期间，某茶厂为获得最大利益，根据市场行情，把新茶价格定为400元/kg，并根据历年的相关数据整理出第x天（1≤x≤15，且x为整数）制茶成本（含采摘和加工）和制茶量的相关信息如下表．假定该茶厂每天制作和销售的新茶没有损失，且能在当天全部售出（当天收入=日销售额-日制茶成本）
制茶成本（元/kg） 150+10x
制茶量（kg） 40+4x
（1）求出该茶厂第10天的收入；
（2）设该茶厂第x天的收入为y（元）．试求出y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值及此时x的值．
【答案】（1）解：当x=10时，制茶成本为：150+10x=150+10×10=250（元/千克）；
制茶量为：40+4x=40+4×10=80（kg）；
该茶厂第10天的收入为：（400-250）×80=12000（元）．
∴该茶厂第10天的收入为12000元；
（2）解：
，且 是正整数
当 或8时，取得最大值12240
【解析】【分析】（1）将x=10分别代入150+10x，40+4x，可得制茶成本及制茶量，然后根据当天收入=日销售额-日制茶成本可得第七天的收入；
（2）根据利润等于（售价-成本）×制茶量，列出函数关系式并写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
41．如图，一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1（单位：m）和滑行时间t1（单位s）满足二次函数关系，并测得相关数据：
滑行时间t1/s 0 1 2 3 4
滑行距离y1/s 0 4.5 14 28.5 48
滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m）和滑行时间t2（单位：s）满足：y2=52t2﹣2t22，滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23s.
（1）求y1和t1满足的二次函数解析式；
（2）求滑坡AB的长度.
【答案】（1）解：设y1=at12+bt1，
把（1，4.5）和（2，14）代入函数解析式得， ，
解得： ，
∴二次函数解析式为：y1=2.5t12+2t1
（2）解：∵y2=52t2﹣2t22，
∴对称轴t=13，
∵滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23s，
∴滑雪者在AB段用了23-13=10s，
AB=2.5×102+2×10=270m
【解析】【分析】（1）根据表格提供的数据，利用待定系数法即可求出 y1和t1满足的二次函数解析式；
（2）求出抛物线 y2=52t2﹣2t22 的对称轴直线公式，进而算出滑雪者在AB段所用的时间，将这个值代入（1）所求的抛物线的解析式即可算出答案。
42．已知抛物线y＝（1﹣m）x2﹣mx﹣1与x轴交于A、B两点，顶点为P．
（1）求m的取值范围；
（2）若A、B位于原点两侧，求m的取值范围；
（3）若顶点P在第四象限，求m的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意，得：△＝m2+4（1﹣m）＞0，且1﹣m≠0，解得：m≠2且m≠1；
（2）解：设A（x1，0）、B（x2，0），则x1、x2是（1﹣m）x2﹣mx﹣1=0的两个根，由题意得：x1x2＜0，即 ，解得：m＜1；
（3）解：由顶点坐标公式可得：点P的坐标为 ，
∵点P在第四象限，∴ ，解得：0＜m＜1．
【解析】【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程的关系可得△>0，进而可得关于m的不等式，解不等式并结合二次项系数不为0即得结果；（2）由题意得：y=0时对应方程的两根异号，即x1x2＜0，然后根据根与系数的关系解答即可；（3）先用m的代数式表示出顶点坐标，然后根据顶点的位置可得关于m的不等式组，解不等式组即得结果．
43．自国家发布新冠防疫政策新十条政策以来，核酸自测抗原检测试剂盒需求量上升，价格急剧上涨．据市场调研发现，某品牌抗原检测试剂盒经过连续两次价格的上调，由每盒60元涨到了每盒101.4元
（1）求出这两次价格上调的平均增长率；
（2）在政府有关部门大力调控下，该品牌抗原检测试剂盒的价格下调回到了每盒80元，在线上平台发售时发现，定价为每盒80元时，该品牌一天可以卖出300盒，每降价5元，一天可以多卖出50盒．当销售额为每日3万元时，要让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
（3）在（2）的条件下，该品牌抗原检测试剂盒成本为每盒40元，在降价的情况下，定价多少时每日利润最大？
【答案】（1）这两次价格上调的平均增长率为．
（2）要让顾客获得更大的优惠，应该降价30元．
（3）定价75元时每日利润最大．
44．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均毎天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调査表明：这种冰箱的售价毎降低50元，平均每天就能多售出4台.
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润为y元，请写出y与x间的函数表达式;（不要求写出自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中毎天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，毎台冰箱应降价多少元？
【答案】（1）解：根据题意，得
.
（2）解：令 ，即 ，
解得 ， ，
要使百姓得到实惠，则降价越多越好，所以取 .
答：商场要想在这种冰箱销售中毎天盈利4800元，同时又要使百姓得到实恵，
每台冰箱应降价200元.
【解析】【分析】（1）根据题目要求，售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，则降价x元，平均每天多售出 台，列出函数关系式即可；（2）依题意可得当y=4800时，代入函数解析式求解，根据百姓得到实惠的条件取得正确的x值。
45．某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少；
（3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．
【答案】（1）
（2）当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元
（3）
46．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，
将C（0，3）代入上式，得：
3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；
∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3
（2）解：分两种情况：
①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合；
令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；
∵点A在点B的右边，
∴B（1，0），A（3，0）；
∴P1（1，0）；
②当点A为△AP2D2的直角顶点时；
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAD2=45°；
当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°，
∴AO平分∠D2AP2；
又∵P2D2∥y轴，
∴P2D2⊥AO，
∴P2、D2关于x轴对称；
设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）．
将A（3，0），C（0，3）代入上式得：
，
解得 ；
∴y=﹣x+3；
设D2（x，﹣x+3），P2（x，x2﹣4x+3），
则有：（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，
即x2﹣5x+6=0；
解得x1=2，x2=3（舍去）；
∴当x=2时，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1；
∴P2的坐标为P2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）．
∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，﹣1）
（3）解：由（2）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形；当点P的坐标为P2（2，﹣1）（即顶点Q）时，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；∵P（2，﹣1），∴可设F（x，1）；∴x2﹣4x+3=1，解得x1=2﹣ ，x2=2+ ；
∴符合条件的F点有两个，
即F1（2﹣ ，1），F2（2+ ，1）．
【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；
（2）由已知可知PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：
①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），求出抛物线与x轴的交点坐标，由此可求出P点的坐标；
②以点A为直角顶点，由点A、C的坐标，易知OA=OC，则∠OAC=45°，得出OA平分∠CAP，易得D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，由此可求出P点的坐标。
（3）P、B重合，E点在x轴上，这样A、P、E三点在x轴上，所以A、P、E、F为顶点不可能构成平行四边形，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，由此可求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出符合条件的F点的坐标。
47．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）.抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE最大.
①求点P的坐标和PE的最大值.
②在直线PD上是否存在点M，使点M在以AB为直径的圆上；若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵B（1，0）
∴OB=1，
∵OC=2OB=2，
∴BC=3 ，C（﹣2，0）
Rt△ABC中，tan∠ABC=2，
∴ =2，
∴AC=6，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；
（2）解：①∵A（﹣2，6），B（1，0），
易得AB的解析式为：y=﹣2x+2，
设P（a，﹣a2﹣3a+4），则E（a，﹣2a+2），
∴PE=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣a2﹣a+2=﹣(a+ )2+
∴当a= 时，PE = ，此时P( ， )
②∵M在直线PD上，且P( ， )，
∴
+
AB2=32+62=45，
∵点M在以AB为直径的圆上
此时∠AMB=90°，
∴AM2+BM2=AB2，
∴ + + =45
解得： ，
∴M（ ， ）或（ ， ）
【解析】【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①根据A（﹣2，6），B（1，0），求得AB的解析式为：y=﹣2x+2，设P（a，﹣a2﹣3a+4），则E（a，﹣2a+2），利用PE=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣(a+ )2+ ，根据二次函数的图象与性质即求解；②根据点M在以AB为直径的圆上，得到∠AMB=90°，即AM2+BM2=AB2 ，求出 ， ，AB2故可列出方程求解.
48．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，8）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若将该抛物线向下平移m个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）已知点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得： ，
∴y=﹣x2﹣2x+8．
（2）解：y=﹣x2﹣2x+8=﹣（x+1）2+9，
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+9﹣m．
∵抛物线的对称轴为x=﹣1，点B（2，0），
∴A（﹣4，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+8，将点A的坐标代入得：﹣4k+8=0，解得k=2，
∴直线AC解析式为y=2x+8．
当x=﹣1时，y=6．
∵抛物线的顶点落在△ABC的内部，
∴0＜9﹣m＜6．
∴3＜m＜9．
（3）解：设点Q的坐标为（a，0），点P（x，y）．
①当AC为对角线时．
∵四边形APCQ为平行四边形，
∴AC与PQ互相平分．
依据中点坐标公式可知： = ， = ．
∴x=﹣4﹣a，y=8．
∵点P在抛物线上，
∴﹣（a+4）2﹣2（﹣4﹣a）=0，解得：a=﹣2或a=﹣4（舍去）
∴点P的坐标为（﹣2，0）．
②当CP为对角线时，
∵四边形APCQ为平行四边形，
∴CP与AQ互相平分．
依据中点坐标公式可知： = ， = ，
∴x=a+4，y=8．
∵点P在抛物线上，
∴﹣（a+4）2﹣2（a+4）=0，解得：a=﹣6或a=﹣4（舍去）
∴点P的坐标为（﹣6，0）．
③AQ为对角线时．
∵四边形APCQ为平行四边形，
∴AQ与CP互相平分．
依据中点坐标公式可知： = ， = ，
∴x=﹣4+a，y=﹣8．
∵点P在抛物线上，
∴﹣（a﹣4）2﹣2（a﹣4）+16=0，整理得：a2﹣6a﹣8=0，解得：a=3+ 或a=3﹣ ．
∴点Q的坐标为（3+ ，0）或（3﹣ ，0）．
综上所述满足条件的点Q为（﹣2，0）或（﹣6，0）或（3+ ，0）或（3﹣ ，0）．
【解析】【分析】（1）把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值，然后可得到抛物线的解析式；（2）平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+9﹣m，然后求得直线AC的解析式y=2x+8，当x=﹣1时，y=6，最后由抛物线的顶点在△ABC的内部可得到0＜9﹣m＜6，从而可求得m的取值范围；（3）设点Q的坐标为（a，0），点P（x，y）．分为AC为对角线、CP为对角线、AQ为对角线三种情况，依据平行四边形对角相互平分的性质和中点坐标公式可求得x、y的值（用a的式子表示），然后将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而可得到点Q的坐标．
49．二次函数是常数，，当时，函数有最小值.
（1）若该函数图象的对称轴为直线，并且经过点，求该函数的表达式.
（2）若一次函数的图象经过二次函数图象的顶点.
①求该二次函数图象的顶点坐标.
②若是该二次函数图象上的两点，求证：.
【答案】（1）解：由题意得，
，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：①由题意可得，二次函数的顶点坐标为(，－1)，且，
∴二次函数的解析式化为顶点式为，
∵一次函数的图象经过二次函数图象的顶点，
∴，解得，
∵当时，二次函数有最小值，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴该二次函数图象的顶点坐标为(－1，－1)；
②∵，
∴，
当时，，
当时，，
∴，
即对于是二次函数图象上的两点，满足 .
【解析】【分析】（1）由题意可知抛物线的顶点坐标为（1，-1），根据顶点坐标公式（-，）和抛物线过点（0，0）可得关于a、b、c的方程组，解方程组可求解；
（2）①由题意可得抛物线的顶点坐标为（-，-1），于是可得二次函数的顶点式，而直线y=ax+c经过抛物线的顶点，把顶点坐标代入直线解析式可将c用含b的代数式表示出来，根据二次函数有最小值-1可得=-1，整理可得=1，则二次函数的解析式为y=a(x+1)2-1，即顶点坐标为（-1，-1）；
②把①中的解析式去括号得y=ax2+2ax+a-1，于是c=a-1，分别把x=a，x=c=a-1代入二次函数得解析式计算p、q的值 ，再求差即可.
50．北京2022年冬奥会跳台滑雪比赛在张家口赛区进行，如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿段抛物线运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，求运动员在落在小山坡上之前滑行的水平距离，并求出在滑行期间距离小山坡的最大高度是多少米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过2.3米时，求b的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可知抛物线C2：y=-x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：
，解得：，
∴抛物线C2的函数解析式为：y=-x2+x+4；
（2）解：设运动员运动的水平距离为m米时，运动员落在小山坡上，
依题意得：-m2+m+4=-m2+m+1，
解得：m1=4+2，m2=4-2（舍去），
故运动员运动的水平距离为(4+2)米时，运动员落在小山坡上；
设运动员运动的水平距离为n米时，运动员在滑行期间距离小山坡的最大高度为h，
依题意得：h=-n2+n+4-(-n2+n+1)=-(n-4)2+，
∵-，
∴当n=4时，运动员在滑行期间距离小山坡的最大高度为米；
（3）解：C1：y=-x2+x+1=-（x-7）2+，
当x=7时，运动员到达坡顶，
根据题意得：-×72+7b+4＞2.3+，
解得：b＞．
【解析】【分析】（1）将点（0，4）和（4，8）代入C2：y=-x2+bx+c求出b、c的值即可；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员落在小山坡上，列出方程-m2+m+4=-m2+m+1，求出m的值；再设运动员运动的水平距离为n米时，运动员在滑行期间距离小山坡的最大高度为h，根据题意列出函数解析式h=-n2+n+4-(-n2+n+1)=-(n-4)2+，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据C1：y=-x2+x+1=-（x-7）2+，可得当x=7时，运动员到达坡顶，再列出不等式-×72+7b+4＞2.3+，求出b的取值范围即可。
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