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第三单元专项练习08：
八种问题其四.圆柱与圆锥中的两种变化关系
一、填空题
1．甲、乙两个圆柱的体积相等，它们底面积的比是，则甲、乙两个圆柱的高的比是( )。
2．一个长3厘米，宽2厘米的长方形，按3∶1的比例放大，得到长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。21cnjy.com
3．甲乙两个相同的瓶子装满酒精溶液，甲瓶子中酒精与水的体积比是5∶1，乙瓶子中酒精与水的体积比是2∶3，若把两瓶酒精溶液倒入一个盆中混合，则混合液中酒精与水的体积比是( )∶( )。【来源：21·世纪·教育·网】
4．一种机器零件（如图）圆柱部分和圆锥部分的体积比是( )，如果圆柱部分的体积是72立方厘米，这个零件的体积是( )立方厘米。
5．把一根圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是16dm3，原来这根圆柱形木料的积是( )dm3，削成的圆锥的体积是( )dm3。
6．有一个圆柱，高是底面半径的3倍，将它分成大小两个圆柱，大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，那么小圆柱的体积是大圆柱的( )。
7．医院配制4桶同样体积的消毒液，每桶消毒液中消毒粉和水的体积比如图所示。如果将②号桶和④号桶里的消毒液混合起来，混合后的消毒粉和水的体积比是( )。
8．如上图，甲圆柱形容器是空的，乙长方形容器中水深6.28cm，要将乙容器中的水全部倒入甲容器，这时水深( )cm，如果倒入与这个圆柱底面积之比是5∶1的圆锥形容器中水面高( )cm。www-2-1-cnjy-com
二、选择题
9．一个圆柱和一个圆锥，体积相等，底面直径的比是1∶2，如果圆柱的高是12厘米，那么圆锥的高是（ ）厘米。
A．3 B．9 C．12 D．24
10．一个圆锥和一个圆柱，底面周长的比是3∶2，体积的比是6∶5，则圆锥和圆柱的高的最简整数比是（ ）。
A．8∶5 B．12∶5 C．5∶12 D．5∶8
11．圆柱与圆锥底面周长的比是，圆柱与圆锥的高的比是，圆柱与圆锥体积的最简整数比是（ ）。
A． B． C． D．
12．一个圆柱和一个圆锥体积相等，它的底面半径比是1∶2，如果圆柱的高是6厘米，那么圆锥的高是（ ）厘米。
A．1.5 B．2 C．3 D．4.5
13．圆柱体与圆锥体的半径比是1∶2，高的比是2∶3，则它们的体积比是（ ）。
A．1∶1 B．1∶3 C．1∶2 D．无法计算
14．一个圆锥和一个圆柱的体积比是4∶5，底面积比是2∶3，如果圆锥的高是18厘米，那么圆柱的高是（　　）厘米。
A．5 B．15 C．10
15．底面积相等的圆柱和圆锥，它们的体积比是2∶1，圆锥的高是9厘米，圆柱的高是（ ）厘米。
A．3 B．6 C．8 D．2
三、解答题
16．有两个圆柱形容器，它们的高相等，底面半径的比是1∶2，它们的体积的比是几比几？
17．相同质量的冰和水的体积之比是10∶9。现有体积为45升的水，结成冰后的体积是多少立方分米？
18．如图所示是一个圆锥形容器，装入37.68毫升的水，容器高度正好是水面高度的3倍，水面半径和容器口的半径之比是1∶3，这个圆锥形容器的容积是多少毫升？
19．用铁皮制作一个有盖的圆柱形油桶，底面半径是2分米，高与底面半径的比是3∶1，制作这个油桶至少需要多少平方分米的铁皮？2-1-c-n-j-y
20．如图，圆柱玻璃容器里面装有水，水中浸没着一个高15厘米的圆锥形铅锤，圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为5∶4，如果把铅锤取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？【出处：21教育名师】
21．美食中的数学。
鸡蛋羹的做法第一步：在容器中打入鸡蛋，充分搅拌；第二步：加入温开水，蛋液和温开水的体积比是1∶1.2；第三步：加入少许盐搅拌均匀，再用细筛过滤一遍；第四步：给容器蒙上一层保鲜膜，并用牙签扎出一些小孔；第五步：将容器放入锅中，水烧沸后，转成中火，再蒸上7～8分钟就能出锅了。
珊珊准备按照以上步骤做鸡蛋羹，使用的圆柱形蒸蛋器内直径是22厘米，深4厘米。
（1）蒸蛋器的容积是多少毫升？
（2）配制好的蛋羹液最多装到容器的处，如果一个鸡蛋的蛋液约55毫升，那么珊珊最多要准备几个鸡蛋？（取3.14）21教育名师原创作品
《第三单元专项练习08：八种问题其四 圆柱与圆锥中的两种变化关系-2024-2025学年六年级数学》参考答案21*cnjy*com
题号 9 10 11 12 13 14 15
答案 B A B D C A B
1．4∶3/
【分析】两个圆柱底面积的比是，可以把甲圆柱的底面积看作3，乙圆柱的底面积看作4。设甲圆柱的高是h1，乙圆柱的高是h2，圆柱的体积＝底面积×高，而两个圆柱的体积相等，则3h1＝4h2。根据比例的基本性质，把h1和3看作外项，h2和4看作内项，即可写出甲、乙两个圆柱的高的比。
【详解】设甲圆柱的高是h1，乙圆柱的高是h2，则3h1＝4h2。根据比例的基本性质可得：h1∶h2＝4∶3，即甲、乙两个圆柱的高的比是4∶3。
【点睛】本题考查了圆柱的体积、比和比例的基本性质的综合应用。根据圆柱的体积公式写出等式，再根据比例的基本性质求出两个圆柱的高的比。
2． 30 54
【分析】根据比的意义，长方形按3∶1的比例放大，则放大后的长是厘米，宽是厘米，根据，长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。
【详解】3×3＝9（厘米）
2×3＝6（厘米）
（9＋6）×2
＝15×2
＝30（厘米）
9×6＝54（平方厘米）
一个长3厘米，宽2厘米的长方形，按3∶1的比例放大，得到长方形的周长是30厘米，面积是54平方厘米。
3． 37 23
【分析】根据题意可知，甲瓶子中酒精与水的体积比是5∶1，乙瓶子中酒精与水的体积比是2∶3，令甲瓶子中酒精与水的体积分别为5a与1a，乙瓶子中酒精与水的体积分别为2b与3b。甲乙两个瓶子中酒精溶液相等，则6a＝5b，a＝b。混合液中酒精与水的体积比是（5a＋2b）∶（a＋3b），代入a＝b，进一步计算即可求解。
【详解】令甲瓶子中酒精与水的体积分别为5a与1a，乙瓶子中酒精与水的体积分别为2b与3b，则6a＝5b，a＝b，混合液中酒精与水的体积比是（5a＋2b）∶（a＋3b），代入a＝b，得：
（5a＋2b）∶（a＋3b）
＝（5×b＋2b）∶（b＋3b）
＝（b＋b）∶（b＋b）
＝∶
＝（×6）∶（×6）
＝37∶23
所以混合液中酒精与水的体积比是37∶23。
4． 6∶1 84
【分析】（1）观察图形可知，这个零件的圆柱部分和圆锥部分的底面积相等，可以设它们的底面积都是S平方厘米；根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh，分别求出它们的体积，再根据比的意义写出它们的体积比，化简比即可。21·cn·jy·com
（2）由上一题可知，圆柱部分和圆锥部分的体积比是6∶1，即圆柱的体积占6份，圆锥的体积占1份，一共是（6＋1）份；用圆柱部分的体积除以6，求出一份数，再用一份数乘总份数，即可求出这个零件的体积。
【详解】（1）设圆柱和圆锥的底面积都是S平方厘米。
（S×6）∶（×S×3）
＝6S∶S
＝6∶1
圆柱部分和圆锥部分的体积比是6∶1。
（2）72÷6＝12（立方厘米）
12×（6＋1）
＝12×7
＝84（立方厘米）
这个零件的体积是84立方厘米。
5． 24 8
【分析】等底等高的圆柱和圆锥的体积关系是圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此可知：把一根圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积与圆柱的体积比是2∶3。已知削去部分的体积是16dm3，根据按比分配可求出圆柱形木料的体积。再根据圆柱形木料和削成的圆锥体积间的关系求出削成的圆锥的体积。
【详解】16÷2×3
＝8×3
＝24（dm3）
24÷3＝8（dm3）
原来这根圆柱形木料的积是24dm3，削成的圆锥的体积是8dm3。
6．
【分析】设圆柱的底面半径是1，则圆柱的高是1×3＝3，分成的两个圆柱，增加两个底面面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积。代入数据，求出两个圆柱的面积和；再根据大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，进而求出小圆柱的表面积和大圆柱的表面积，进而求出小圆柱的高和大圆柱的高，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，分别求出小圆柱的体积和大圆柱的体积，再用小圆柱的体积÷大圆柱的体积，即可解答。
【详解】设圆柱的底面半径是1，则圆柱的高是1×3＝3。
两个圆柱的表面积：
π×12×2＋π×2×3＋π×12×2
＝π×2＋2π×3＋π×2
＝2π＋6π＋2π
＝10π
大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，即大圆柱表面积∶小圆柱表面积＝3∶1；即把大圆柱表面积与小圆柱表面积的和分成了：3＋1＝4（份）21·世纪*教育网
小圆柱表面积：
10π÷4×1
＝2.5π×1
＝2.5π
大圆柱表面积：10π－2.5π＝7.5π
小圆柱的高：
（2.5π－π×12×2）÷（π×1×2）
＝（2.5π－2π）÷2π
＝0.5π÷2π
＝0.25
大圆柱的高：3－0.25＝2.75
（π×12×0.25）÷（π×12×2.75）
＝0.25π÷2.75π
＝0.25÷2.75
＝
有一个圆柱，高是底面半径的3倍，将它分成大小两个圆柱，大圆柱的表面积是小圆柱的3倍，那么小圆柱的体积是大圆柱的。【来源：21cnj*y.co*m】
【点睛】根据大圆柱体的表面积是小圆柱体的3倍，表示出大圆柱体的高与小圆柱体的高是解答此题的关键。
7．
【分析】设每个桶的容积都为“1”，则②号桶内的消毒粉、水分别占、，④号桶内的消毒粉、水分别占、。再根据比的意义，即可写出②号桶和④号桶里消毒粉、水所占的分率之和的比，再化成最简整数比。
【详解】
混合后的消毒粉和水的体积比是（）。
8． 8 4.8
【分析】整个过程中水的体积不变。
首先根据长方体的体积公式： V ＝ abh，求 出乙长方体容器中水的体积，然后用水的体积除以圆柱形容器的底面积即可求出水深；求如果倒入与这个圆柱底面积之比是5 ∶ 1的圆锥形容器中水面高，把这个圆柱底面积看作1，则圆锥形容器的底面积看作5，根据圆柱体积公式，用底面积乘高再除以圆锥形容器的底面积再除以即可解答。
【详解】10×10×6.28÷（10÷2）2÷3.14
＝628÷25÷3.14
＝200÷25
＝8（厘米）
8÷5÷
＝8×3÷5
＝24÷5
＝4.8（厘米）
要将乙容器中的水全部倒入甲容器，这时水深8cm，如果倒入与这个圆柱底面积之比是5∶1的圆锥形容器中水面高4.8cm。
9．B
【分析】设圆柱、圆锥体积为V立方厘米，圆柱底面半径是r厘米，圆锥底面半径2r厘米，据此利用圆柱的体积V＝πr2h与圆锥的体积V＝πr2h分别表示出它们的高，并求出高的比，再根据已知的圆柱高12厘米，即可求出圆锥的高。
【详解】设圆柱底面半径是r厘米，圆锥底面半径2r厘米，高为h厘米，
圆柱的体积：12πr2立方厘米
圆锥的体积：4πr2h÷3立方厘米
圆柱体积＝圆锥体积：12πr2＝4πr2h÷3
12πr2×3＝36πr2
36πr2÷4πr2＝9
所以圆锥的高是9厘米。
故答案为：B
10．A
【分析】根据圆的周长公式知道底面周长的比就是半径的比，设圆柱的底面半径是2，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是5，则圆锥的体积是6，再根据圆柱的体积公式V＝Sh＝πh与圆锥的体积公式V＝Sh＝πh，得出圆柱的高与圆锥的高；根据题意用圆锥的高比圆柱的高即可。21世纪教育网版权所有
【详解】设圆柱的底面半径是2，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是5，则圆锥的体积是6。
5÷（×）
＝5÷（4）
＝
6×3÷（×）
＝18÷（9）
＝
＝（）∶（）
＝8∶5
故答案为：A
【点睛】此题主要是考查圆柱与圆锥的关系，根据圆柱的体积公式与圆锥的体积公式的推导出圆柱与圆锥的高的关系是解答本题的关键。21教育网
11．B
【分析】先根据圆的面积比等于周长比的平方求出圆柱和圆锥的底面积的比，再根据求圆柱和圆锥体积的方法，求出它们的体积比。2·1·c·n·j·y
【详解】圆柱和圆锥的底面积的比是：
圆柱和圆锥的体积的比是：
故答案为：B
【点睛】此题主要考查了求圆柱和圆锥体积的方法及根据圆周长的比求圆面积比的方法。
12．D
【分析】根据题意圆柱和圆锥的底面半径比是1∶2，设圆柱底面半径是1，圆锥底面半径2，据此利用圆柱与圆锥的体积公式：圆柱的体积V＝πr2h，圆锥的体积V＝πr2h，已知的圆柱高6厘米，即可求出圆锥的高。
【详解】圆柱：
V＝πr2h
＝π×12×6
＝π×1×6
＝π×6
＝6π
圆锥：
V＝πr2h
＝π×22×h
＝π×4×h
＝π×h
＝πh
圆柱与圆锥的体积相等
则6π＝πh
6π÷π＝πh÷π
6＝h
6÷＝h÷
6÷＝h
h＝6×
h＝
h＝4.5
圆锥的高是4.5厘米
故答案为：D
13．C
【分析】根据题意，可设圆柱体的半径为1，高为2，圆锥体的底面半径为2，高为3，根据圆柱的体积公式＝底面积×高、圆锥的体积＝底面积×高进行计算然后再计算它们的体积比即可得到答案。21*cnjy*com
【详解】可设圆柱体的半径为1，高为2，圆锥体的底面半径为2，高为3，
（π×12×2）∶（π×22×3）
＝（π×1×2）∶（π×4×3）
＝（π×2）∶（π×4）
＝2π∶4π
＝（2π÷2π）∶（4π÷2π）
＝1∶2
它们体积之比是1∶2。
故答案为：C
14．A
【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式可知：h圆锥＝3V圆锥÷S圆锥，h圆柱＝V圆柱÷S圆柱，可求出圆锥和圆柱高的比，进而求出圆柱的高，据此解答。【版权所有：21教育】
【详解】圆锥与圆柱的体积之比是4∶5，底面积之比是2∶3
则圆锥与圆柱高的比是：
h圆锥：h圆柱
＝（4×3÷2）∶（5÷3）
＝（12÷2）∶（5÷3）
＝6∶
＝6÷
＝6×
＝
＝18∶5
圆锥的高：
18÷18×5
＝1×5
＝5（厘米）
圆柱的高是5厘米。
故答案为：A
15．B
【分析】假设底面积都是S，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，表示出圆锥体积，体积比是2∶1，说明圆柱体积是圆锥的2倍，表示出圆柱体积，圆柱体积÷底面积＝高，据此分析。
【详解】假设底面积都是S。
9S÷3×2
＝3S×2
＝6S（立方厘米）
6S÷S＝6（厘米）
则圆柱的高是6厘米。
故答案为：B
【点睛】关键是理解比的意义，掌握圆柱和圆锥的体积公式。
16．1∶4
【分析】假设两个圆柱的高都是1，根据比的意义，把两个圆柱的底面半径分别看作1和2，根据圆柱的体积公式代入数据计算再列比并化简即可。
【详解】假设两个圆柱的高都是1
答：它们的体积的比是1∶4。
17．50立方分米
【分析】根据1升＝1立方分米，则45升为45立方分米，已知相同质量的冰和水的体积之比是10∶9，则把冰看作10份，水看作9份，用45÷9即可求出1份是多少，进而求出10份是多少。据此解答。
【详解】45升＝45立方分米
45÷9×10
＝5×10
＝50（立方分米）
答：结成冰后的体积是50立方分米。
【点睛】本题主要考查了比的应用，求出每份的量是多少是解答本题的关键。
18．1017.36毫升
【分析】将比的前后项看成份数，容器底面半径÷对应份数×装入的水的底面半径对应份数＝水的底面半径；根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，求出水面高度，水面高度×3＝容器的高，再根据圆锥体积＝底面积×高÷3，即可求出这个圆锥形容器的容积。
【详解】9÷3×1＝3（厘米）
37.68毫升＝37.68立方厘米
37.68×3÷（3.14×32）
＝113.04÷（3.14×9）
＝113.04÷28.26
＝4（厘米）
4×3＝12（厘米）
3.14×92×12÷3
＝3.14×81×12÷3
＝1017.36（立方厘米）
＝1017.36（毫升）
答：这个圆锥形容器的容积是1017.36毫升。
【点睛】关键是理解比的意义，掌握并灵活运用圆锥体积公式。
19．100.48平方分米
【分析】根据题意可知，高与底面半径的比是3∶1，即高是底面半径的3倍，用底面半径×3，求出圆柱形油桶的高，求制作这个油桶至少需要铁皮的面积，就是求这个圆柱形油桶的表面积，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，即可解答。
【详解】2×3＝6（分米）
3.14×22×2＋3.14×2×2×6
＝3.14×4×2＋6.28×2×6
＝12.56×2＋12.56×6
＝25.12＋75.36
＝100.48（平方分米）
答：制作这个油桶至少需要100.48平方分米的铁皮。
20．3.2厘米
【分析】已知圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为5∶4，可知它们的底面半径之比为5∶4，底面积之比为25∶16；www.21-cn-jy.com
因为圆锥形铅锤完全浸没在水中，从水中取出铅锤，那么容器中的水面会下降，水下降部分的体积等于圆锥形铅锤的体积，它们的体积之比为1∶1；
根据圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，求出容器中水面下降高度和圆锥铅锤的高之比；
已知圆锥形铅锤的高是15厘米，根据比的应用的解题方法，求出一份数，进而求出容器中水面下降的高度。
【详解】圆柱容器和圆锥铅锤的底面半径之比为5∶4；
圆柱容器和圆锥铅锤的底面积之比为52∶42＝25∶16；
圆柱容器中水面下降部分的体积与圆锥铅锤的体积之比为1∶1；
圆柱容器中水面下降高度和圆锥铅锤的高之比为：
（1÷25）∶（1×3÷16）
＝∶
＝（×400）∶（×400）
＝16∶75
圆柱容器中的水面高度下降：
15÷75×16
＝0.2×16
＝3.2（厘米）
答：容器中的水面高度将下降3.2厘米。
【点睛】求出圆柱容器中水面下降高度和圆锥铅锤的高之比是解题的关键，再根据比的应用的解题方法求解。
21．（1）1519.76毫升
（2）7个
【分析】（1）根据圆柱的体积＝底面积×高，代入相应数值计算，所得结果换算成毫升为单位；
（2）用蒸蛋器的容积乘先求出蛋羹液的容积，再利用蛋液和温开水的体积比计算出蛋液的容积，最后除以55，所得结果即为需要准备的鸡蛋数量。
【详解】（1）3.14×（22÷2）2×4
＝3.14×112×4
＝3.14×121×4
＝379.94×4
＝1519.76（立方厘米）
1519.76立方厘米＝1519.76毫升
答：蒸蛋器的容积是1519.76毫升。
（2）（毫升）
（个）
答：珊珊最多要准备7个鸡蛋。
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