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2025年江苏省苏州市初中学业水平考试数学一模备考训练试卷
本试卷共27小题，满分130分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
1 . 我国第一艘自主建造的极地科考破冰船“雪龙2”号，它的排水量近14000吨，
将数据14000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
2 . 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．（笛卡尔爱心曲线） B．（蝴蝶曲线）
C．（费马螺线曲线） D．（科赫曲线）
某城市3月份某星期7天的最低气温如下（单位：℃）：16，20，18，16，18，18，20，
这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．16，16 B．16，20 C．18，20 D．18，18
如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线
交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）

A．20° B．30° C．50° D．70°
5 . 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，
小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，
则的长为（ ）

A．8cm B．10cm C． D．
6 . 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为2，P为x轴上一动点，
切于点B，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
7 . 如图，在平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，且，
分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D，若的面积为，
则的值为（ ）
A． B． C． D．
8 . 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，
连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，
连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．
9. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10 . 因式分解： ．
11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数a的最大值是 ．
12 . 如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，
水平赛道米，赛道的坡角均为，则点的高为________
如图，在中，，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，
分别交于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于的长为半径作弧，
两弧在内交于点M，连接并延长交于点E，则的长为 ．
14 .如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CO＝2，则阴影部分的面积为 ．
15 . 如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，
点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，
则这个反比例函数的表达式是__________．
16 . 如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，
若，则 ．
三、解答题：本大题共11小题，共82分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．
17 .计算：．
18. 解不等式组，并写出满足条件的正整数解．
19 . 先化简：，然后再从的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值．
20 . 如图，在中，，点分别在边上，且，.
求证：是等腰三角形；
(2) 当时，求的度数；
为丰富学生的业余生活，培养学生的兴趣和爱好，某校开展了学生社团活动，
共设“书画”、“器乐”、“戏曲”、“舞蹈”四个社团，要求每位同学都必须从这四个社团中任选一个参加，王英和屈婧两位同学都是该校的学生，她们一时间不知道如何选择，于是班主任将这四个社团的名称分别制成如下四张背面完全相同的卡片，将卡片背面朝上洗匀后，王英从中随机抽取一张，记录下卡片正面的内容，然后放回并洗匀，屈婧再从中随机抽取一张．
王英抽取的卡片正面是“书画”的概率为______；
请用列表法或画树状图的方法求王英和屈婧抽到的卡片正面内容相同的概率．
某校计划组织八年级学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，
要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，
制了如下两幅不完整的统计图．
补全图1中的条形统计图；
(2) 请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；
(3) 若该校八年级共有1000名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．
某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高为，连杆长度为，
手臂的长度为，B，C是转动点，且，与始终在同一平面内．
转动连杆，手臂，使，，如图2，
求手臂端点离操作台的高度的长 （精确到，参考数据：，）．
(2) 物品在操作台上，距离底座A端的点M处，转动连杆，手臂端点能否碰到点？
请说明理由．
24 . 如图，直线MN交⊙O于A，B，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
求证：DE是⊙O的切线；
若DE=2cm，AE=1cm，求⊙O的半径．
25 .如图，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，
直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（-2，n），点A的坐标为（m，2）．
求反比例函数的解析式；
求△AOB的面积；
在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
26.（1）问题发现：
如图1，在和中，，，，
连接，填空： ； ；
类比探究：
如图2，在和中，，,
连接交的延长线于点M，请判断，并说明理由；
拓展延伸：
如图3，在（2）的条件下，将绕点O旋转至点C与点M重合，，求AC的长
27 . 如图1，抛物线经过点，对称轴为直线与x轴的交于点B．
求抛物线L的解析式；
点C在抛物线上，若的内心恰好在x轴上，求点C的坐标；
如图2，将抛物线L向上平移个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴交于点M，
过点M作y轴的垂线交抛物线于另一点N．P为线段上一点．若与相似，
并且符合条件的点P恰有2个，求k的值．
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2025年江苏省苏州市初中学业水平考试数学一模备考训练试卷解答
本试卷共27小题，满分130分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
1 . 我国第一艘自主建造的极地科考破冰船“雪龙2”号，它的排水量近14000吨，
将数据14000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：将数据14000用科学记数法可表示为，
故选：B．
2 .下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．（笛卡尔爱心曲线） B．（蝴蝶曲线）
C．（费马螺线曲线） D．（科赫曲线）
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意．
故选：D．
某城市3月份某星期7天的最低气温如下（单位：℃）：16，20，18，16，18，18，20，
这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．16，16 B．16，20 C．18，20 D．18，18
【答案】D
【分析】众数为数据中出现次数最多的数；中位数：将数据按大小顺序（从小到大或从大到小）排列，若有奇数个数据，位于最中间的数，若有偶数个数，则是位于最中间两个数的平均数．
【详解】解：把这些数从小到大排列为：16，16，18，18，18，20，
则这组数据的中位数是18；
∵18出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是18；
故选：D．
如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线
交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）

A．20° B．30° C．50° D．70°
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
5 . 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，
小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，
则的长为（ ）

A．8cm B．10cm C． D．
【答案】C
【分析】根据菱形的性质与勾股定理可求出菱形的边长，再根据菱形的面积为对角线乘积的一半，或底乘以高可求出高．
【详解】∵四边形是菱形
∴
∴在中，
∵或
∴，即
∴
故选：C
6 .如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为2，P为x轴上一动点，
切于点B，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】如图，连接，根据切线的性质定理，得，要使最小，只需最小，根据垂线段最短，当轴于点时，最小，进而求出点坐标，利用勾股定理，求出即可．
【详解】如图，连接．
根据切线的性质定理，得．
要使最小，只需最小，
根据垂线段最短，当轴于点时，最小，
此时P点的坐标是，，
在中，，，
∴．
则最小值是．
故选C．
7 . 如图，在平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，且，
分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D，若的面积为，
则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过设点法，设出、、、，表示出的面积，再借助整体换元思想，令，求出t值即可．
【详解】解：如图所示，分别过点A、B作y轴垂线，交点分别为G、F，过点B作x轴垂线，交点为E，
设、，则、，，，
则
令，则，代入，
则，
解得，（舍）
则的值为．
故选：C．
8 . 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点A落在上的点N处，为折痕，
连接；再将沿翻折，使点D恰好落在上的点F处，为折痕，
连接并延长交于点P，若，则线段的长等于（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
解：过点P作，垂足为G、H，
由折叠得：是正方形，，
，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，，
解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．
9. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，，
解得：．
故答案为：．
10 . 因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式．
11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数a的最大值是 ．
【答案】-1
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ=b2-4ac＞0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=4-4a＞0，且a≠0，
解得a＜1，且a≠0，
则a的最大整数值是-1．
故答案为：-1．
12 .如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，
水平赛道米，赛道的坡角均为，则点的高为________
【答案】
【分析】延长AB交ED于F，得到平行四边形BCDF和直角△AEF，通过解直角三角形得出结果．
【详解】解：延长AB交ED于F，
∵BC∥DE，
∴∠AFE=，
∴∠CDF=∠BFE=，
∴BF∥CD，
∴四边形BCDF是平行四边形，
∴DF=BC=b，
∴EF=DE-DF=a-b，
在直角△AEF中，
∵tan∠AFE=，
∴AE=，
故答案为：
如图，在中，，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，
分别交于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于的长为半径作弧，
两弧在内交于点M，连接并延长交于点E，则的长为 ．
【答案】2
【分析】根据作图过程可得平分；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明，证出，即可得出的长．
【详解】解：根据作图的方法得：平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
14 .如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CO＝2，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】根据垂径定理可得CE=DE，∠CEO=∠DEB=90°，然后根据∠CDB=30°，得出∠COB=60°，继而证得△OCE≌△BDE，把阴影部分的面积转化为扇形的面积计算即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEB＝90°．
∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°，∠OCE＝∠CDB，
在△OCE和△BDE中，
，
∴△OCE≌△BDE（ASA），
∴S阴影＝S扇形OCB＝π，
故答案为．
15 . 如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，
点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，
则这个反比例函数的表达式是__________．
【答案】
【解析】
【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
16 . 如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，
若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用矩形的性质和翻折的性质，得到，，，可得，从而证明，得到的长，同理可得，即可求得的长．
【详解】四边形是矩形，
，，
将矩形分别沿，翻折后点A，点C都落在点H上，
∴， ， ，，
，
，
，
，
，
，
即，
解得或（舍去），
同理可得，
，
即，
解得，
即．
故答案为：．
三、解答题：本大题共11小题，共82分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．
17 .计算：．
【答案】6
【分析】本题考查了实数的运算，解决本题的关键是熟练掌握实数的运算法则，先计算乘方及算术平方根，再计算除法，最后计算加减即可．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组，并写出满足条件的正整数解．
【答案】不等式组的解集为＜，正整数解为1，2
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为＜，
则不等式组的正整数解为1，2．
19 . 先化简：，然后再从的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值．
【答案】；代入求值的结果为4
【分析】此题主要考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
首先计算括号里面分式的减法，然后再计算括号外的除法，化简后，再确定x的值代入即可．
【详解】解：原式
．
，
，
由解题过程知,则.
当时，原式
20 .如图，在中，，点分别在边上，且，.
求证：是等腰三角形；
(2) 当时，求的度数；
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据等边对等角可得，利用“边角边”证明，然后根据全等三角形对应边相等可得，最后根据等腰三角形的定义即可证明结论；
（2）根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据等腰三角形的性质求得，最后再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴是等腰三角形．
（2）∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴；
∴．
为丰富学生的业余生活，培养学生的兴趣和爱好，某校开展了学生社团活动，
共设“书画”、“器乐”、“戏曲”、“舞蹈”四个社团，要求每位同学都必须从这四个社团中任选一个参加，王英和屈婧两位同学都是该校的学生，她们一时间不知道如何选择，于是班主任将这四个社团的名称分别制成如下四张背面完全相同的卡片，将卡片背面朝上洗匀后，王英从中随机抽取一张，记录下卡片正面的内容，然后放回并洗匀，屈婧再从中随机抽取一张．
王英抽取的卡片正面是“书画”的概率为______；
请用列表法或画树状图的方法求王英和屈婧抽到的卡片正面内容相同的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中王英和屈婧抽到的卡片正面内容相同的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：王英抽取的卡片正面是“书画”的概率为．
故答案为：；
（2）解∶“书画”、“器乐”、“戏曲”、“舞蹈”四个社团分别用A、B、C、D表示，
画树状图如下：
由树状图可知共有16种等可能的结果，王英和屈婧抽到的卡片正面内容相同的情况有4种，
故王英和屈婧抽到的卡片正面内容相同的概率为．
某校计划组织八年级学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，
要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，
制了如下两幅不完整的统计图．
补全图1中的条形统计图；
(2) 请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；
(3) 若该校八年级共有1000名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．
【答案】(1)见解析
(2)研学活动地点所在扇形的圆心角的度数；
(3)最喜欢去地研学的学生人数共有人．
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）根据选择的人数是人，所占的比例是，据此即可求得本次参加抽样调查的学生人数，进而求得选择的人数，即可补全统计图；
（2）利用乘以选择的人数所占总人数的比即可得解；
（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求得．
【详解】（1）解：（人）
选择的人数：（人）
补全图形如下：
（2）解：，
∴研学活动地点所在扇形的圆心角的度数；
（3）解：（人）
答：最喜欢去地研学的学生人数共有人．
某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高为，连杆长度为，
手臂的长度为，B，C是转动点，且，与始终在同一平面内．
转动连杆，手臂，使，，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长
（精确到，参考数据：，）．
(2) 物品在操作台上，距离底座A端的点M处，转动连杆，手臂端点能否碰到点？
请说明理由．
【答案】(1)手臂端点离操作台的高度的长约为
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数及勾股定理是解题的关键．
（1）过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，，，再解直角三角形可得的长，由此即可得；
（2）当点共线时，利用勾股定理求出的长，由此即可得．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，
则，
答：手臂端点离操作台的高度的长约为．
（2）解：手臂端点不能碰到点，理由如下：
由题意可知，如图，当点共线时，手臂端点能碰到的距离最远，
∴此时，
∵，，
∴，
即手臂端点不能碰到点．
24 . 如图，直线MN交⊙O于A，B，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
求证：DE是⊙O的切线；
若DE=2cm，AE=1cm，求⊙O的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)⊙O的半径是2.5cm
【分析】（1）连接OD，根据内错角相等，两直线平行，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，可得，且在上，故是的切线；
（2）连接CD，根据勾股定理，可得的长，再根据相似三角形的判定方法，得出，然后再根据相似三角形的性质，列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE，
∴，
∵DE⊥MN，
∴
即OD⊥DE，
∵D在上，OD为的半径，
∴DE是的切线；
（2）解：连接CD，
∵，，，
∴cm，
∵AC是的直径，
∴，
∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE，
∴，
∴，
∴cm，
∴的半径是2.5cm．
25 .如图，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，
直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（-2，n），点A的坐标为（m，2）．
求反比例函数的解析式；
求△AOB的面积；
在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y=；
(2)S△AOB=；
(3)点P的坐标为（，0）或（2，0）或（，0）或（-，0）．
【分析】（1）将点B坐标代入直线y=x+1中，求出点B的坐标，再将点B的坐标代入反比例函数解析式中，求解即可求出答案；
（2）先求出点C的坐标，再求出点A的坐标，即可求出答案；
（3）设点P的坐标，再用等腰三角形的两腰相等，分三种情况，建立方程求解，即可求出答案．
【详解】（1）解：∵点B（-2，n）在直线y=x+1上，
∴n=-1，
∴B（-2，-1），
∵点B（-2，-1）在反比例函数y=的图象上，
∴k=-2×（-1）=2，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）解：∵直线AB：y=x+1①与x轴交于点C，
∴C（-1，0），
∴OC=1，
由反比例函数的解析式为y=②，
联立①②解得，或，
∴A（1，2），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=OC（yA-yB）=×1×（2+1）=；
（3）解：设P（m，0），
∵A（1，2），
∴OP=|m|，AP=，OA=，
∵△AOP是等腰三角形，
∴①当OP=AP时，|m|=，
∴m=，
∴P（，0）；
②当OP=OA时，|m|=，
∴m=±，
∴P（，0）或（-，0）；
③当OA=AP时，=，
∴m=0或m=2，
∴P（2，0）；
即点P的坐标为（，0）或（2，0）或（，0）或（-，0）．
26.（1）问题发现：
如图1，在和中，，，，
连接，填空： ； ；
类比探究：
如图2，在和中，，,
连接交的延长线于点M，请判断，并说明理由；
拓展延伸：
如图3，在（2）的条件下，将绕点O旋转至点C与点M重合，，求AC的长
【答案】（1）1；；（2）；（3）或
【分析】（1）如图1中，设交于J．证明，推出，可得结论．
（2）设交于J．证明，推出，可得结论．
（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得，则，，可得的长．
【详解】解：（1）如图1中，设交于J．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故答案为：1，．
（2）如图2中，结论：
理由：设交于J．
在中，∵，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）拓展延伸
①点C与点M重合时，如图（3），同（2）得：，
∴，，
在中，
；
∵，，
∴，
∴，
设，则，
中，，
∴，
∴，
中，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
∴，
∴（舍去），
∴，
∴；
②点C与点M重合时，如图（4），同理得：，，
设，则，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
整理得，
∴，
∴（舍去），，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
故答案为：或
27 . 如图1，抛物线经过点，对称轴为直线与x轴的交于点B．
求抛物线L的解析式；
点C在抛物线上，若的内心恰好在x轴上，求点C的坐标；
如图2，将抛物线L向上平移个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴交于点M，
过点M作y轴的垂线交抛物线于另一点N．P为线段上一点．若与相似，
并且符合条件的点P恰有2个，求k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)当与相似，并且符合条件的点P恰有2个，则或2
【分析】（1）根据对称轴为直线且抛物线过点求解可得；
（2）由题意易得x轴平分，即，且点C在y轴的左侧，过点C作轴于点D，设，然后可得，进而问题可求解；
（3）设抛物线的解析式为，知、、，再设，分和两种情况，由对应边成比例得出关于与的方程，利用符合条件的点恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．
【详解】（1）解：由题意知，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：由题意得：x轴平分，即，
∵的内心恰好在x轴上，
∴的三个内角的角平分线交点在x轴上，
由此可知点C在y轴的左侧，
过点C作轴于点D，如图所示：
由题意知：，，
∴，
∴，
设，则有，，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴点；
（3）解：如图2，
设抛物线的解析式为，
、、，
设，
①当时，，
，
①；
②当时，，
，
②；
（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
，
解得：（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根，
方程②有一个实数根，
，
（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：，
解得：（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根、，
方程②有一个实数根，
，
综上，当与相似，并且符合条件的点P恰有2个，则或2．
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