资源简介

模型6 “燕尾”(含“风筝”)模型
基础模型
结论1:∠BDC=∠A+∠B+∠C
证法1：如图①，连接AD并延长，
则∠1=∠B+∠3,∠2=∠C+∠4,
∴∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠3+∠C+∠4,
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
证法2:如图②,延长 BD交AC 于点 E.
自主证明：
证法3:如图③,连接BC.
自主证明：
结论2:AB+AC>BD+CD
证明:如图②,延长BD交AC 于点 E,则在△ABE中,AB+AE>BE,即AB+AE>BD+DE,在△CDE中,DE+CE>CD.
∵AC=AE+CE,
∴AB+AC=AB+AE+CE>BD+DE+CE>BD+CD.
模型拓展
类型 “风筝”模型
图示
条件 B,C分别为∠DAE边AD,AE上一点,点 F为∠DAE 内部一点,且在∠DAE 内部形成凸四边形ABFC
结论 ∠DBF+∠ECF =∠A+∠F(腋下两角之和等于上下两角之和)
模型解题三步法
例 如图,在△ABC 和△BDE 中,AC与DE 相交于点 F.若∠B=90°,∠A=20°,∠D=45°,则∠AEF+∠DCF的度数为 ( )
A. 225° B. 235° C. 245° D. 255°
中小学教育资源及组卷应用平台
题以类解
1.如图，将含 30°角的直角三角板ABC 的直角∠A放入△DEF的内部,点 E,F恰好为AB,AC 的中点,若∠D =45°,∠DFE=56°,则∠DEA的度数为 ( )
A. 11° B. 15° C. 19° D. 26°
2.如图，在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点A(0,2),B(2 ,0)分别在y轴和x轴上，AC 为△ABO 的一个外角的平分线,点 D,E 分别在 AC 和 BC 上,将△CDE 沿直线 DE 折叠使得点 C 的对应点C'落在△ABC 的内部,若∠ABC =90°,则∠ADC'+∠BEC'与∠A 的关系为 ( )
3. 如图,∠ABD,∠ACD的10等分线分别相交于点 G ,G ,…,G ,若∠BDC=125°,∠A=60°,则∠BG C 的度数为 .
4. 如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE 与 BD 的交点为C,且∠A,∠B,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小，使 ,则∠D应 (填“调大”或“调小”) 度.
5.如图，在四边形ABCD中，点E,F分别是AD,BC上的点,将四边形ABCD沿直线 EF 折叠,若∠A=130°,∠B=110°,则∠1+∠2的度数为 .
6. 定义：在四边形中，仅有一个角大于180°，但小于360°，这样的四边形叫做凹四边形(如图①).因为凹四边形ABOC 形似燕尾，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”这个规律,所以我们把这个模型叫做“燕尾”模型.
模型应用
(1)如图②,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；(用含α的代数式表示)
(2)如图③,若∠BAC 的平分线与∠BOC 的平分线交于点 D,求证:2∠D=∠C-∠B.
模型展现
证法2 自主证明：
如图②,延长BD 交AC 于点E,
∵∠BEC 是△ABE的外角,
∴∠BEC=∠A+∠B.
又∵∠BDC 是△CDE 的外角,
∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.
证法3 自主证明：
如图③,连接BC,
则∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°(三角形的内角和为180°).
∵ ∠DBC+∠ABD+∠DCB+∠ACD+∠A=180°,
∴∠BDC=∠ABD+∠ACD+∠A.
模型解题三步法
例 C 【解析】根据“燕尾”模型可得:∠AFD=∠A+∠B+∠D=155°,∴ ∠EFC =∠AFD=155°;根据“风筝”模型可得:∠AEF+∠DCF=∠B+∠EFC=245°.
题以类解
1. C 【解析】找模型：是否存在凹四边形：四边形 DEAF.抽离模型:如解图,∵E,F 分别是教辅资料AB,AC的中点,∴ EF 为△ABC 的中位线,初高教辅站EF∥BC(三角形的中位线平行于第三边)，∴ ∠AFE = ∠C = 30°. ∵ ∠DFE = ∠DFA+∠AFE=56°,∴ ∠DFA =∠DFE-∠AFE =56°-30=26°. 用模型:根据“燕尾”模型可得:∠A =∠DEA+∠D+∠DFA,∴ ∠DEA =
2. B 【解析】找模型：是否存在凸四边形：四边形 CDC'E. 抽离模型:如解图. 在 Rt△ABO中,∵A(0,2),B(2 ,0),∴OA=2,OB= ∵ AC 为 △ABO 的一个外角的平分线, ，由折叠的性质得， 用模型：根据“风筝”模型可得： =∠C+∠C'=60°,∴∠ADC'+∠BEC'=∠A.
3. 99° 【解析】∵ ∠BDC=∠ABD+∠ACD+∠A(“燕尾”模型),同理可得∠BDC=∠BG C+
4. 调小,10 【解析】在△ABC 中,∠ACB=180°-55°-60°=65°,∴ ∠ECD =∠ACB = 65°.∵ ∠DFE=∠D+∠E+∠ECD(“燕尾”模型),∴∠D=∠DFE-(∠E+∠ECD)= 110°-(30°
5. 120° 【解析】如解图,延长 EA,FB 交于点M,延长 EA',FB'交于点 M',由“风筝”模型得∠1+∠2=∠M+∠M',由折叠的性质可知∠M=∠M',∴∠1+∠2=2∠M,∵∠EAB= ∠2=2∠M=2×60°=120°.
6. (1)解:在凹四边形 ABOC 中,∠A+∠B+∠C=∠BOC=∠DOE=α,
在凹四边形 DOEF 中,∠D+∠E+∠F =∠DOE=α,
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α;
(2)证明:由题意可知,OD 平分∠BOC,AD平分∠BAC,
∵在凹四边形ABOD中,∠BOD=∠B+∠D+∠BAD(“燕尾”模型),
∴∠BOC=2∠B+2∠D+∠BAC.
又∵在凹四边形ABOC中,∠BOC=∠B+∠C+∠BAC(“燕尾”模型),
∴∠B+∠C+∠BAC=2∠B+2∠D+∠BAC,
∴2∠D=∠C-∠B.

展开更多......

收起↑