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大题精练02 动力学与能量综合问题
公式、知识点回顾（时间：5分钟）
一、考向分析
1.本专题是力学两大观点在多运动过程问题、传送带问题和滑块一木板问题三类问题中的综合应用，高考常以计算题压轴题的形式命题。
2.用到的知识有:动力学方法观点(牛顿运动定律、运动学基本规律)，能量观点(动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律)。
二、动力学
牛顿第二运动定律 F合 = ma 或或者 Fx = m ax Fy = m ay
向心力
牛顿第三定律
三、运动学
匀变速直线运动 平均速度： Vt/ 2 == Vs/2 = 匀加速或匀减速直线运动：Vt/2 自由落体运动
竖直抛体运动 (注意：时间和速度的对称性)
四、功和能
动能
重力势能 (与零势能面的选择有关)
弹性势能
功 W = Fs cos (恒力做功) W=Pt（拉力功率不变） W=f S相对路程 （阻力大小不变）
功率 平均功率： 即时功率：
动能定理
机械能守恒定律 或者Ep= Ek
难度：★★★★★ 建议时间：60分钟
1．（2025 浙江模拟）如图所示，是一款考验“力度把控能力”游戏装置示意图。高为h＝0.4m的水平台面左端固定发射小筒OA，筒壁光滑。可视为质点的小球质量m＝0.2kg，静止在O处，通过手拍击对小球做功，进入后面的轨道。改变拍击力度，使小球获得不同的初动能。小球在轨道AB段运动时，所受阻力为重力的0.5倍，AB段长度为L＝0.5m。BC段和CD段均为半径r＝0.1m的四分之一光滑圆弧管道，DP段为半径R＝0.2m的四分之一光滑圆弧轨道。PQ为竖直圆筒，筒口P与桌面等高，小球在圆筒内运动时所受阻力大小恒为f＝1N，小球与筒底碰撞后以原速率反弹。发射小筒、圆弧管道和圆筒的内径都略大于小球直径，轨道的连接处均相切且平滑。
（1）若拍击时，手对小球做功W1＝1.2J，求小球刚进入BC管道B点时对管道的压力；
（2）若小球从O处击出至第一次到达P过程中恰好不脱离轨道，求拍击时手对小球做功W2的大小；
（3）小球从O处击出至第一次到达P过程不脱离轨道的情况下，试讨论小球在PQ圆筒中运动的路程s与拍击时手对小球做功W的函数关系。
2．（2025 镇海区校级模拟）一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由倾角θ＝53°的固定斜面CD、水平传送带EF、粗糙水平轨道FG、光滑圆弧轨道GPQ、及固定在Q处的弹性挡板组成。斜面CD高度h0＝0.4m，传送带EF与轨道FG离地面高度均为h，两者长度分别为l1＝4m、l2＝1.5m，OG、OP分别为圆弧轨道的竖直与水平半径，半径R＝0.8m，圆弧PQ所对应的圆心角α＝37°，轨道各处平滑连接。现将质量m＝1kg的滑块（可视为质点）从斜面底端的弹射器弹出，沿斜面从D点离开时速度大小v0＝5m/s，恰好无碰撞从E点沿水平方向滑上传送带。当传送带以v＝5m/s的速度顺时针转动，滑块恰好能滑至P点。已知滑块与传送带间的动摩擦因数μ1＝0.5，滑块与挡板碰撞后原速率反向弹回，不计空气阻力。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）高度h；
（2）滑块与水平轨道FG间的动摩擦因数μ2；
（3）滑块最终静止时离G点的距离x；
（4）若传送带速度大小可调，要使滑块与挡板仅碰一次，且始终不脱离轨道，则传送带速度大小v的范围。
3．（2024 浙江一模）如图为某游戏装置原理示意图，水平桌面上固定一个半圆形、内侧表面光滑的竖直挡板，其半径R1＝2m，挡板两端A、B在桌面边缘，A处固定一个弹射器，B与半径R2＝1m的光滑圆弧轨道CDE在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向夹角θ＝53°，半径R3＝2m的四分之一光滑竖直圆管道EF与圆弧轨道CDE稍有错开。在水平光滑平台左侧，有一质量m＝1kg的足够长木板左端恰好与F端齐平，右侧固定有一根劲度系数k＝50N/m的弹簧。质量m＝1kg的小物块经弹射装置以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，沿C点切线方向进入圆弧轨道CDE内侧，并恰好能到达轨道的最高点F。小物块与桌面之间的动摩擦因数μ1，与木板的动摩擦因数μ2＝0.75。已知弹性势能表达式Epkx2（x为弹簧形变量）。重力加速度g＝10m/s2，物块可视为质点，不计空气阻力和其它能量损失。求：
（1）物块到达C点时对轨道的压力大小；
（2）物块被弹射前弹簧的弹性势能Ep0；
（3）若弹射器内弹性势能Ep1＝38J，在竖直平面内移动桌子右侧整个装置，使物块滑上长木板。在木板右端与弹簧接触前已共速，则该过程小物块相对木板滑动的长度ΔL；
（4）在（3）的基础上，木板继续压缩弹簧，弹簧始终在弹性限度内，则物块与木板刚要相对滑动时，木板的速度。
4．（2024 浙江模拟）如图所示，在竖直平面内，某一游戏轨道由直轨道AB和“S”型光滑细管道BCDE平滑连接组成，两段圆弧半径相等，B、D等高，图中θ角均为37°，AB与圆弧相切，AM水平。直轨道AB底端装有弹射系统（弹簧长度很短，长度和质量不计，可以认为弹珠从A点射出），某次弹射系统将直径略小于管道内径的弹珠弹出，弹珠冲上直轨道AB后，到达B点的速度大小为vBm/s，然后进入“S”型光滑细圆管道，最后从管道出口E点水平飞出，落到水平面上的G点（图中未画出）。已知弹珠的质量为m＝5×10﹣3kg，B点的高度h＝0.9m，细圆管道圆弧半径R＝0.5m，弹珠与轨道AB间的动摩擦因数μ＝0.1，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10N/kg。
（1）求弹射系统对弹珠做的功W0；
（2）求弹珠落到水平面上的G点时EG的水平距离L；
（3）若弹射系统对弹珠做的功W0不变，“S”型光滑细圆管道BCDE的圆弧半径R可调，求弹珠落地点到E点的最大水平距离x；
（4）若“S”型光滑细圆管道BCDE的圆弧半径R不变，弹射系统对弹珠做的功可变化，小球每次返回A点时以原速度大小反弹，求弹珠在斜面上运动的最大路程s。
5．（2024 浙江模拟）摩托车特技表演一直深受人们的喜爱，其中有一项飞跃表演，其简化模型如图所示，左侧为一倾角为α（tanα＝0.5）的斜坡P，右侧为竖直光滑圆弧轨道ABC与另一足够长的斜坡Q平滑相接（斜坡面沿C端的切线方向），其中圆弧轨道的两端A、C关于过圆心O的竖直线对称，B为圆弧轨道的最低点。表演者驾驶摩托车先在斜坡上加速行驶，离开斜坡时立即关闭动力系统，从斜坡的顶端沿切线方向飞出，经t1＝2.5s恰好无碰撞地从A端沿圆弧轨道切线方向进入轨道ABC，然后从C端冲上斜坡Q。已知圆弧轨道ABC的半径R＝5m，所对应圆心角θ＝74°，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，摩托车及表演者可视为质点，不计空气阻力。求：
（1）斜坡P顶端与A端的水平间隔x；
（2）由斜坡P顶端到A的过程中，摩托车距离圆弧轨道的最低点B所在水平面的最大高度。
6．（2024 浙江二模）如图所示为某游乐场中一滑道游乐设施的模型简化图，一质量为m＝1kg的物块，可视为质点，从某一斜面AB的顶端A由静止开始滑下，斜面下端与一圆形轨道相切于B点。圆轨道半径R＝1m，物块从B点进入圆形轨道，并恰好通过轨道的最高点。圆形轨道在最低点C处略有错开，物块接着进入水平轨道CD，然后滑上与D等高的质量为M＝2kg的滑槽，并最终滑块未离开滑槽。滑槽开始时静止在光滑水平地面上，EF部分长为LEF＝1m，G部分为半径为r＝0.2m的四分之一圆弧轨道。已知水平轨道CD长为LCD＝4.25m，与物块的动摩擦因数μ1＝0.4，物块与滑槽EF之间的动摩擦因数0＜μ2＜1，其他接触面均光滑。OB与OC的夹角θ为37°，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力以及轨道连接处的机械能损失。求：
（1）物块在轨道最低点C处受到支持力的大小；
（2）斜面AB的长LAB为多少；
（3）若滑块始终不脱离滑槽，求滑块与滑槽EF段的动摩擦因数μ2的取值范围。
7．（2024 浙江模拟）如图，上方是平直桌面，右侧有多个半圆形轨道。第一个半圆轨道为R1＝R0，第二个为R2，第n个为Rn。每个半圆轨道之间有一小段水平轨道连接。现有一可视为质点的小球，质量为m，以初速度v0从A点进入轨道。已知重力加速度为g。
（1）若AB内外轨道均粗糙，小球在A，B两点对轨道的压力差为3mg，求小球在AB段运动时阻力做功。
（2）若轨道各处均光滑，要使小球刚进入每一个半圆形轨道时所受的向心力大小均相等，求Rn的表达式。（用R0，g，v0，n表示）
8．（2024 镇海区校级模拟）如图所示，一轨道由半径R＝1.0m的四分之一竖直光滑圆弧轨道AB和长度可调的水平直轨道BC在B点平滑连接而成。现有一质量为m1＝0.1kg的小球a从圆弧上某处静止释放，经过圆弧最低点B时，传感器测得轨道所受压力大小为FN＝2.6N。小球a经过BC段所受的摩擦阻力为其重力的0.2倍，然后从C点水平飞离轨道，落在水平地面上的P点，P、C两点间的高度差h＝5.0m，小球运动过程中可视为质点，且不计空气阻力。
（1）求小球a运动到B点时的速度大小v；
（2）求小球a在圆弧上静止释放位置距B点的高度h1。
9．（2024 乐清市校级三模）某景区向社会征集一个水上乐园设计建议。某校科技小组设计了一套方案，其简化原理如图。甲、乙、丙由混凝土浇筑而成，其中甲上部为半径为R1＝10m的圆弧面，圆心角θ1＝53°；乙上部为两个半径均为R2＝10m、圆心角为θ2＝37°的圆弧面平滑连接，EF等高。BC距离L1＝10m，其间有水下固定平台，其周围的水可在水泵驱动下循环流动，方向如箭头所示，速度v大小可调，平台上方各处速度均可视为相同。乙下方为有孔隔板，可大幅减小左侧水域流动对右侧水域的影响，乙丙之间水域可视为静水，上浮质量为M＝100kg、长为L＝6m的可动浮台。现有一游客乘坐特定装置（人和该装置视为质点并标注为P，总质量为m＝60kg），P从A点静止释放，依次通过ABCDE，最后通过可动浮台，到达终点平台丙完成游戏。可动浮台触碰平台丙时瞬间自动锁定。由于出发时P干燥，AB段摩擦不可忽略，P在B点时对轨道的压力为1.5mg，在BC间与水有相对运动时，受水平方向的恒力F＝0.5mg，在CDE段因经左侧水域而湿润，摩擦可忽略，与可动浮台动摩擦因数为μ＝0.1。不考虑P和可动浮台入水后的水下部分以及水位上升和波动带来的影响。
（1）求B点速度大小和AB段因摩擦而产生的热量。
（2）CDE段恰不脱离脱离轨道，求P在C点和E点的速度。
（3）若忽略可动浮台与水面的阻力，为使P在CDE段恰不脱离脱且不能在EF间落水，求BC间水速的调节范围。
10．（2023 东阳市模拟）小丁同学设计了一个玩具遥控赛车的轨道装置，轨道的主要部分可简化为如图所示的模型，水平轨道AB和倾斜轨道OD分别与圆轨道相切于B点和D点，弯曲轨道AE与水平轨道平滑连接，E点切线方向恰好水平。O点固定一弹射装置，刚开始时装置处于锁定状态。当赛车从A点出发经过圆轨道进入OD轨道，到达O点时恰好可以触发弹射装置将赛车原路弹回，最终进入回收装置F。测得赛车与弹射装置碰撞时机械能损失1.8J，每次弹射后装置可自动锁定到初始时的弹性势能值。已知赛车质量为0.2kg，电动机功率恒为3W，圆轨道半径为R＝0.4m，E点离水平轨道高度和与F点间水平距离均为3R，AB轨道长2m，赛车在水平轨道上运动时所受阻力等于其对轨道压力的0.25倍，赛车在轨道其余部分上所受摩擦力可忽略，赛车看成质点。
（1）若赛车恰好能过C点，求赛车经过H点时对轨道的压力大小；
（2）若某次测试时，赛车电动机工作1.5s，经过一次弹射后恰好落入回收装置之中，则此次测试中给弹射装置设置的弹性势能为多大？
（3）若某次测试时，赛车电动机工作1.5s，最终停在水平轨道AB上，且运动过程中赛车不能脱轨，求弹射装置的弹性势能取值范围。中小学教育资源及组卷应用平台
大题精练02 动力学与能量综合问题
公式、知识点回顾（时间：5分钟）
一、考向分析
1.本专题是力学两大观点在多运动过程问题、传送带问题和滑块一木板问题三类问题中的综合应用，高考常以计算题压轴题的形式命题。
2.用到的知识有:动力学方法观点(牛顿运动定律、运动学基本规律)，能量观点(动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律)。
二、动力学
牛顿第二运动定律 F合 = ma 或或者 Fx = m ax Fy = m ay
向心力
牛顿第三定律
三、运动学
匀变速直线运动 平均速度： Vt/ 2 == Vs/2 = 匀加速或匀减速直线运动：Vt/2 自由落体运动
竖直抛体运动 (注意：时间和速度的对称性)
四、功和能
动能
重力势能 (与零势能面的选择有关)
弹性势能
功 W = Fs cos (恒力做功) W=Pt（拉力功率不变） W=f S相对路程 （阻力大小不变）
功率 平均功率： 即时功率：
动能定理
机械能守恒定律 或者Ep= Ek
难度：★★★★★ 建议时间：60分钟
1．（2025 浙江模拟）如图所示，是一款考验“力度把控能力”游戏装置示意图。高为h＝0.4m的水平台面左端固定发射小筒OA，筒壁光滑。可视为质点的小球质量m＝0.2kg，静止在O处，通过手拍击对小球做功，进入后面的轨道。改变拍击力度，使小球获得不同的初动能。小球在轨道AB段运动时，所受阻力为重力的0.5倍，AB段长度为L＝0.5m。BC段和CD段均为半径r＝0.1m的四分之一光滑圆弧管道，DP段为半径R＝0.2m的四分之一光滑圆弧轨道。PQ为竖直圆筒，筒口P与桌面等高，小球在圆筒内运动时所受阻力大小恒为f＝1N，小球与筒底碰撞后以原速率反弹。发射小筒、圆弧管道和圆筒的内径都略大于小球直径，轨道的连接处均相切且平滑。
（1）若拍击时，手对小球做功W1＝1.2J，求小球刚进入BC管道B点时对管道的压力；
（2）若小球从O处击出至第一次到达P过程中恰好不脱离轨道，求拍击时手对小球做功W2的大小；
（3）小球从O处击出至第一次到达P过程不脱离轨道的情况下，试讨论小球在PQ圆筒中运动的路程s与拍击时手对小球做功W的函数关系。
【解答】解：（1）对小球，从O到B的过程，由动能定理可得：，
小球在B点，由牛顿第二定律可得：，
联立可得：FNB＝16N，
则由牛顿第三定律得，小球刚进入BC管道B点时对管道的压力大小为16N，方向竖直向下；
（2）要使小球从O至第一次到达P恰好不脱离轨道，
则小球在D点，由牛顿第二定律可得：，
小球从O到D，由动能定理可得：，
联立可得：W2＝1.1J；
（3）小球从O至进入简后第一次反弹恰好到达P（即刚好不出筒），由动能定理可得：W﹣0.5mgL﹣2fh＝0﹣0，
解得：W＝1.3J，
讨论如下：
①当1.1J≤W≤1.3J时，进筒但不出筒，经多次反弹最终停在筒底，
全程由动能定理可得：W﹣0.5mgL+mgh﹣fs＝0﹣0，
化简可得：s＝W+0.3m
②当W＞1.3J时，进筒且第一次反弹出筒，
则：s＝2h，
解得：s＝0.8m；
答：（1）若拍击时，手对小球做功W1＝1.2J，小球刚进入BC管道B点时对管道的压力大小为16N，方向竖直向下；
（2）若小球从O处击出至第一次到达P过程中恰好不脱离轨道，拍击时手对小球做功W2的大小为1.1J；
（3）见解析。
2．（2025 镇海区校级模拟）一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由倾角θ＝53°的固定斜面CD、水平传送带EF、粗糙水平轨道FG、光滑圆弧轨道GPQ、及固定在Q处的弹性挡板组成。斜面CD高度h0＝0.4m，传送带EF与轨道FG离地面高度均为h，两者长度分别为l1＝4m、l2＝1.5m，OG、OP分别为圆弧轨道的竖直与水平半径，半径R＝0.8m，圆弧PQ所对应的圆心角α＝37°，轨道各处平滑连接。现将质量m＝1kg的滑块（可视为质点）从斜面底端的弹射器弹出，沿斜面从D点离开时速度大小v0＝5m/s，恰好无碰撞从E点沿水平方向滑上传送带。当传送带以v＝5m/s的速度顺时针转动，滑块恰好能滑至P点。已知滑块与传送带间的动摩擦因数μ1＝0.5，滑块与挡板碰撞后原速率反向弹回，不计空气阻力。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）高度h；
（2）滑块与水平轨道FG间的动摩擦因数μ2；
（3）滑块最终静止时离G点的距离x；
（4）若传送带速度大小可调，要使滑块与挡板仅碰一次，且始终不脱离轨道，则传送带速度大小v的范围。
【解答】解：（1）从D到E过程中滑块做斜抛运动，把D点速度分解到竖直和水平方向，
竖直方向：vy＝v0sinθm/s＝4m/s
水平方向：vx＝v0cosθm/s＝3m/s
运动到E点时竖直方向上速度为零，由运动学公式
得 y＝0.8m
所以，h＝y+h0＝0.8m+0.4m＝1.2m
（2）滑块以vx＝3m/s滑上传送带，假设能被加速到v＝5m/s，则：
成立。
故滑块离开F点的速度vF＝5m/s
从F到P过程应用动能定理得
解得：μ2＝0.3
（3）由分析可知，物块从P返回后向左进入传送带，又以原速率返回，设物块从P返回后，在FG之间滑行的总路程为s，对全过程应用动能定理得
mgR﹣μ2mgs＝0
解得：
所以，滑块停止时离G点：
（4）设传送带速度为v1时，滑块恰能到Q点，
在Q点满足：，得：
从F到Q应用动能定理得
解得：
设传送带速度为v2时，滑块撞挡板后恰能重新返回到P点，对该过程应用动能定理得
解得：
若滑块被传送带一直加速，则： 可得vm＝7m/s
所以，传送带可调节的速度范围为m/s≤vm/s
故答案为：（1）高度h为1.2m；
（2）滑块与水平轨道FG间的动摩擦因数μ2为0.3；
（3）滑块最终静止时离G点的距离x为；
（4）传送带可调节的速度范围为m/s≤vm/s
3．（2024 浙江一模）如图为某游戏装置原理示意图，水平桌面上固定一个半圆形、内侧表面光滑的竖直挡板，其半径R1＝2m，挡板两端A、B在桌面边缘，A处固定一个弹射器，B与半径R2＝1m的光滑圆弧轨道CDE在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向夹角θ＝53°，半径R3＝2m的四分之一光滑竖直圆管道EF与圆弧轨道CDE稍有错开。在水平光滑平台左侧，有一质量m＝1kg的足够长木板左端恰好与F端齐平，右侧固定有一根劲度系数k＝50N/m的弹簧。质量m＝1kg的小物块经弹射装置以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，沿C点切线方向进入圆弧轨道CDE内侧，并恰好能到达轨道的最高点F。小物块与桌面之间的动摩擦因数μ1，与木板的动摩擦因数μ2＝0.75。已知弹性势能表达式Epkx2（x为弹簧形变量）。重力加速度g＝10m/s2，物块可视为质点，不计空气阻力和其它能量损失。求：
（1）物块到达C点时对轨道的压力大小；
（2）物块被弹射前弹簧的弹性势能Ep0；
（3）若弹射器内弹性势能Ep1＝38J，在竖直平面内移动桌子右侧整个装置，使物块滑上长木板。在木板右端与弹簧接触前已共速，则该过程小物块相对木板滑动的长度ΔL；
（4）在（3）的基础上，木板继续压缩弹簧，弹簧始终在弹性限度内，则物块与木板刚要相对滑动时，木板的速度。
【解答】解：（1）由题知，小物块恰好能到达圆管轨道的最高点F，则：vF＝0
小物块从C到F的过程中，根据动能定理有
解得：
在C点根据牛顿第二定律有：
代入数据解得：FN＝22N
根据牛顿第三定律物块对轨道的压力：FN′＝22N
（2）小物块从静止到B的过程中，根据能量守恒有：Ep0﹣μmgs0
而路程：s＝πR1
小物块从B到C做平抛运动，在C点沿圆弧切线方向：
解得小物块刚在弹射器内时弹性势能：Ep0＝25.04J
（3）小物块从A到B的过程中，根据动能定理有：
从C到F的过程中，根据动能定理有：
解得：
由小物块与木板系统动量守恒，以向右为正方向有：mvF1＝2mv共
由系统能量守恒：
联立解得小物块相对木板滑动的长度：ΔL＝2.4m
（4）小物块与木板刚好相对滑动时，对整体由牛顿第二定律：kΔx＝2ma
对小物块牛顿第二定律：μ2mg＝ma
解得：Δx＝0.3m
对系统能量守恒：
解得：
答：（1）物块到达C点时对轨道的压力大小为22N；
（2）物块被弹射前弹簧的弹性势能Ep0为25.04J；
（3）使物块滑上长木板。在木板右端与弹簧接触前已共速，则该过程小物块相对木板滑动的长度ΔL为2.4m；
（4）在（3）的基础上，木板继续压缩弹簧，弹簧始终在弹性限度内，则物块与木板刚要相对滑动时，木板的速度为m/s。
4．（2024 浙江模拟）如图所示，在竖直平面内，某一游戏轨道由直轨道AB和“S”型光滑细管道BCDE平滑连接组成，两段圆弧半径相等，B、D等高，图中θ角均为37°，AB与圆弧相切，AM水平。直轨道AB底端装有弹射系统（弹簧长度很短，长度和质量不计，可以认为弹珠从A点射出），某次弹射系统将直径略小于管道内径的弹珠弹出，弹珠冲上直轨道AB后，到达B点的速度大小为vBm/s，然后进入“S”型光滑细圆管道，最后从管道出口E点水平飞出，落到水平面上的G点（图中未画出）。已知弹珠的质量为m＝5×10﹣3kg，B点的高度h＝0.9m，细圆管道圆弧半径R＝0.5m，弹珠与轨道AB间的动摩擦因数μ＝0.1，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10N/kg。
（1）求弹射系统对弹珠做的功W0；
（2）求弹珠落到水平面上的G点时EG的水平距离L；
（3）若弹射系统对弹珠做的功W0不变，“S”型光滑细圆管道BCDE的圆弧半径R可调，求弹珠落地点到E点的最大水平距离x；
（4）若“S”型光滑细圆管道BCDE的圆弧半径R不变，弹射系统对弹珠做的功可变化，小球每次返回A点时以原速度大小反弹，求弹珠在斜面上运动的最大路程s。
【解答】解：（1）弹珠从发射到运动到B点的过程，由动能定理有：
W0﹣mgh﹣μmgcos37° 0
解得弹射系统对弹珠做的功：W0＝0.0685J
（2）由轨道BD关于竖直线CO1对称，知B、D等高，由几何关系可得，B、E间的高度差为：h1＝R（1﹣cos37°）＝0.2R
弹珠B→E过程，由机械能守恒定律有：
mgh1
E→G过程，由平抛运动的规律有：
L＝vEt
h﹣R（1﹣cos37°）
解得弹珠落到水平面上的G点时E与G的水平距离为：L＝1.2m
（3）若R可调，B→E过程，由机械能守恒有：
可得
E→地面过程，由平抛运动有：
h﹣R′（1﹣cos37°）
可得
弹珠落地点到E点的水平距离
根据数学知识可知，当7+4R′＝18﹣4R′，即 时，x取到最大值，且xmax＝1.25m
（4）弹珠从C点返回到最终停在A点，弹珠在斜面上运动的总路程为s1，由动能定理可得
mg（R﹣Rcosθ+h）﹣μmgs1cos37°＝0
解得s1＝12.5m
弹珠在斜面上运动的最大路程为
s＝s1
解得s＝14m
答：（1）弹射系统对弹珠做的功W0为0.0685J；
（2）弹珠落到水平面上的G点时EG的水平距离L为1.2m；
（3）弹珠落地点到E点的最大水平距离x是1.25m；
（4）弹珠在斜面上运动的最大路程s为14m。
5．（2024 浙江模拟）摩托车特技表演一直深受人们的喜爱，其中有一项飞跃表演，其简化模型如图所示，左侧为一倾角为α（tanα＝0.5）的斜坡P，右侧为竖直光滑圆弧轨道ABC与另一足够长的斜坡Q平滑相接（斜坡面沿C端的切线方向），其中圆弧轨道的两端A、C关于过圆心O的竖直线对称，B为圆弧轨道的最低点。表演者驾驶摩托车先在斜坡上加速行驶，离开斜坡时立即关闭动力系统，从斜坡的顶端沿切线方向飞出，经t1＝2.5s恰好无碰撞地从A端沿圆弧轨道切线方向进入轨道ABC，然后从C端冲上斜坡Q。已知圆弧轨道ABC的半径R＝5m，所对应圆心角θ＝74°，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，摩托车及表演者可视为质点，不计空气阻力。求：
（1）斜坡P顶端与A端的水平间隔x；
（2）由斜坡P顶端到A的过程中，摩托车距离圆弧轨道的最低点B所在水平面的最大高度。
【解答】解：（1）摩托车离开斜坡P做斜上抛运动
在A点
竖直方向做匀变速直线运动，加速度为g
vy﹣gt1＝﹣vy1
解得 vy＝10m/s
vx＝20m/s
斜坡P顶端与A端的水平间隔 x＝vxt1＝20×2.5m＝50m，vy1＝15m/s；
（2）托车从最高点到A点的竖直高度
hm＝11.25m
摩托车与圆弧轨道的最低点B点之间的最大高度
H＝h+R（1﹣cos37°）＝11.25m+5×（1﹣0.8）m＝12.25m
答：（1）斜坡P顶端与A端的水平间隔x为50m；
（2）由斜坡P顶端到A的过程中，摩托车距离圆弧轨道的最低点B所在水平面的最大高度为12.25m。
6．（2024 浙江二模）如图所示为某游乐场中一滑道游乐设施的模型简化图，一质量为m＝1kg的物块，可视为质点，从某一斜面AB的顶端A由静止开始滑下，斜面下端与一圆形轨道相切于B点。圆轨道半径R＝1m，物块从B点进入圆形轨道，并恰好通过轨道的最高点。圆形轨道在最低点C处略有错开，物块接着进入水平轨道CD，然后滑上与D等高的质量为M＝2kg的滑槽，并最终滑块未离开滑槽。滑槽开始时静止在光滑水平地面上，EF部分长为LEF＝1m，G部分为半径为r＝0.2m的四分之一圆弧轨道。已知水平轨道CD长为LCD＝4.25m，与物块的动摩擦因数μ1＝0.4，物块与滑槽EF之间的动摩擦因数0＜μ2＜1，其他接触面均光滑。OB与OC的夹角θ为37°，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力以及轨道连接处的机械能损失。求：
（1）物块在轨道最低点C处受到支持力的大小；
（2）斜面AB的长LAB为多少；
（3）若滑块始终不脱离滑槽，求滑块与滑槽EF段的动摩擦因数μ2的取值范围。
【解答】解：（1）物体恰好通过轨道的最高点，重力完全提供向心力；
根据牛顿第二定律
代入数据解得最高点的速度
从圆形轨道最高点到C点，根据动能定理
代入数据解得
在C点由牛顿第二定律
代入数据解得FN＝60N
（2）从A到C应用动能定理
代入数据解得
（3）物体从C到D，根据动能定理
代入数据解得vD＝4m/s
对物块与滑槽，滑块始终不脱离滑槽，最终二者共速，取水平向右为正方向；
根据水平方向动量守恒mvD＝（M+m）v1
代入数据解得
若滑块刚好能滑到最高点G，根据能量守恒定律
代入数据解得
若滑到最高点G又滑到E处，根据能量守恒定律
代入数据解得
因此，若滑块始终不脱离滑槽，则对动摩擦因数的要求是。
答：（1）物块在轨道最低点C处受到支持力的大小60N；
（2）斜面AB的长LAB为；
（3）滑块与滑槽EF段的动摩擦因数μ2的取值范围。
7．（2024 浙江模拟）如图，上方是平直桌面，右侧有多个半圆形轨道。第一个半圆轨道为R1＝R0，第二个为R2，第n个为Rn。每个半圆轨道之间有一小段水平轨道连接。现有一可视为质点的小球，质量为m，以初速度v0从A点进入轨道。已知重力加速度为g。
（1）若AB内外轨道均粗糙，小球在A，B两点对轨道的压力差为3mg，求小球在AB段运动时阻力做功。
（2）若轨道各处均光滑，要使小球刚进入每一个半圆形轨道时所受的向心力大小均相等，求Rn的表达式。（用R0，g，v0，n表示）
【解答】解：（1）如图所示
小球在轨道内做圆周运动，当时，在最高点时
设在最低点速度为vB，则在最低点
联立解得
或者
设阻力做功为Wf，由动能定理得
代入得
或者
如图所示
小球在轨道内做圆周运动，当时，在最高点时
设在最低点速度为vB′，则在最低点
联立解得
设阻力做功为Wf′，由动能定理得
代入得
（2）若轨道各处均光滑，设第一次到达最低点速度为v1，由动能定理知
由圆周运动知
设第二次到达最低点速度为v2，由动能定理知
由圆周运动知
同理得，设第n次到达最低点速度为vn，由动能定理知
由题知R1＝R0，由圆周运动知
则
答：（1）小球在AB段运动时阻力做功或或；
（2）Rn的表达式。
8．（2024 镇海区校级模拟）如图所示，一轨道由半径R＝1.0m的四分之一竖直光滑圆弧轨道AB和长度可调的水平直轨道BC在B点平滑连接而成。现有一质量为m1＝0.1kg的小球a从圆弧上某处静止释放，经过圆弧最低点B时，传感器测得轨道所受压力大小为FN＝2.6N。小球a经过BC段所受的摩擦阻力为其重力的0.2倍，然后从C点水平飞离轨道，落在水平地面上的P点，P、C两点间的高度差h＝5.0m，小球运动过程中可视为质点，且不计空气阻力。
（1）求小球a运动到B点时的速度大小v；
（2）求小球a在圆弧上静止释放位置距B点的高度h1。
【解答】解：（1）由牛顿第三定律可知小球a在B点所受支持力大小为：N＝FN＝2.6N
在B点对小球由牛顿第二定律有：
代入数据可得：v＝4m/s
（2）小球a由静止释放到B点过程，由动能定理有：
代入数据可得：h1＝0.8m
答：（1）小球a运动到B点时的速度大小v为4m/s；
（2）小球a在圆弧上静止释放位置距B点的高度h1为0.8m。
9．（2024 乐清市校级三模）某景区向社会征集一个水上乐园设计建议。某校科技小组设计了一套方案，其简化原理如图。甲、乙、丙由混凝土浇筑而成，其中甲上部为半径为R1＝10m的圆弧面，圆心角θ1＝53°；乙上部为两个半径均为R2＝10m、圆心角为θ2＝37°的圆弧面平滑连接，EF等高。BC距离L1＝10m，其间有水下固定平台，其周围的水可在水泵驱动下循环流动，方向如箭头所示，速度v大小可调，平台上方各处速度均可视为相同。乙下方为有孔隔板，可大幅减小左侧水域流动对右侧水域的影响，乙丙之间水域可视为静水，上浮质量为M＝100kg、长为L＝6m的可动浮台。现有一游客乘坐特定装置（人和该装置视为质点并标注为P，总质量为m＝60kg），P从A点静止释放，依次通过ABCDE，最后通过可动浮台，到达终点平台丙完成游戏。可动浮台触碰平台丙时瞬间自动锁定。由于出发时P干燥，AB段摩擦不可忽略，P在B点时对轨道的压力为1.5mg，在BC间与水有相对运动时，受水平方向的恒力F＝0.5mg，在CDE段因经左侧水域而湿润，摩擦可忽略，与可动浮台动摩擦因数为μ＝0.1。不考虑P和可动浮台入水后的水下部分以及水位上升和波动带来的影响。
（1）求B点速度大小和AB段因摩擦而产生的热量。
（2）CDE段恰不脱离脱离轨道，求P在C点和E点的速度。
（3）若忽略可动浮台与水面的阻力，为使P在CDE段恰不脱离脱且不能在EF间落水，求BC间水速的调节范围。
【解答】解：（1）设P在B点的速度为vB，根据题意可得
解得
P从A到B的过程中，根据能量守恒定律
联立上述各式解得
Q＝900J
（2）在D点时，则有
解得
从C到D的过程中，根据机械能守恒定律可得
解得
同理，从D到E则有
解得
（3）由上述分析可知，在不脱离CDE的情况下，E点的速度满足
考虑EF间不落水，恰至边缘二者共速，取向右为正方向，有
mvE＝（M+m）v
解得
若二者提前共速，后滑动到终点，取向右为正方向，有
mvE＝（M+m）v'
2μg（L﹣x）＝v'2
解得
从C到E
对应C点的速度为
即
9.78m/s≤vC≤9.96m/s
若在BC过程一直加速，则有
F＝0.5mg＝ma
解得
若一直减速，则不可能达到C点。综上所述，可调节的水流速度
9.78m/s≤v≤9.96m/s
答：（1）B点速度大小和AB段因摩擦而产生的热量900J。
（2）CDE段恰不脱离脱离轨道，P在C点和E点的速度分别为，。
（3）若忽略可动浮台与水面的阻力，为使P在CDE段恰不脱离脱且不能在EF间落水，BC间水速的调节范围9.78m/s≤vC≤9.96m/s。
10．（2023 东阳市模拟）小丁同学设计了一个玩具遥控赛车的轨道装置，轨道的主要部分可简化为如图所示的模型，水平轨道AB和倾斜轨道OD分别与圆轨道相切于B点和D点，弯曲轨道AE与水平轨道平滑连接，E点切线方向恰好水平。O点固定一弹射装置，刚开始时装置处于锁定状态。当赛车从A点出发经过圆轨道进入OD轨道，到达O点时恰好可以触发弹射装置将赛车原路弹回，最终进入回收装置F。测得赛车与弹射装置碰撞时机械能损失1.8J，每次弹射后装置可自动锁定到初始时的弹性势能值。已知赛车质量为0.2kg，电动机功率恒为3W，圆轨道半径为R＝0.4m，E点离水平轨道高度和与F点间水平距离均为3R，AB轨道长2m，赛车在水平轨道上运动时所受阻力等于其对轨道压力的0.25倍，赛车在轨道其余部分上所受摩擦力可忽略，赛车看成质点。
（1）若赛车恰好能过C点，求赛车经过H点时对轨道的压力大小；
（2）若某次测试时，赛车电动机工作1.5s，经过一次弹射后恰好落入回收装置之中，则此次测试中给弹射装置设置的弹性势能为多大？
（3）若某次测试时，赛车电动机工作1.5s，最终停在水平轨道AB上，且运动过程中赛车不能脱轨，求弹射装置的弹性势能取值范围。
【解答】解：（1）赛车恰好过C点，根据牛顿第二定律得：
，
解得：
vC＝2m/s，
从H到C，由机械能守恒定律可得：
，
解得：
，
根据指向圆心方向合力提供向心力有：
，
解得：
FN＝6N，
则根据牛顿第三定律可知，赛车在H点对轨道压力大小为6N；
（2）赛车从E到F做平抛运动，由平抛运动的运动规律可得：
，
x＝3R＝vEt，
解得：
，
对赛车，从A出发最终到E的过程中，根据功能关系可得：
，
解得：
Ep弹0＝2.3J；
（3）题中所述赛车最终停在水平轨道AB上，有两种临界情况：
①假设赛车第一次弹回时，恰好能过C点，此时Ep弹最小，由上分析可知：
vC＝2m/s，
小车从出发到第二次经过C点，根据能量守恒定律得：
，
解得：
Ep弹min＝0.3J，
设赛车最高到达A点右侧弯曲轨道上高度h处，从C点到高度h处，根据动能定理得：
，
解得：
h＝0.5m＜3R＝1.2m，
所以赛车不会从E点飞出，有：
Ep弹≥0.3J；
②假设赛车第一次弹回时，恰好能运动到E点，从E点滑下到左侧圆轨道，根据动能定理得：
3mgR﹣μmgL﹣mgh′＝0﹣0，
解得：
h′＝0.7m，
则：
R＜h′＜2R，
赛车要脱离轨道，所以赛车从AE轨道返回时最多运动到H点，设赛车从AE返回时恰能到达H点，从出发到从AE返回恰运动到H点的过程，根据能量守恒定律得：
Pt′0+Ep弹max＝3μmgL+mgR+ΔE损，
解得：
Ep弹max＝1.1J，
综上，当
0.3J≤Ep弹≤1.1J
时可满足要求；
答：（1）若赛车恰好能过C点，赛车经过H点时对轨道的压力大小为6N；
（2）若某次测试时，赛车电动机工作1.5s，经过一次弹射后恰好落入回收装置之中，则此次测试中给弹射装置设置的弹性势能为2.3J；
（3）若某次测试时，赛车电动机工作1.5s，最终停在水平轨道AB上，且运动过程中赛车不能脱轨，弹射装置的弹性势能取值范围为0.3J≤Ep弹≤1.1J。

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