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高中物理选择性必修一素养提升学案
高中物理选择性必修一素养提升学案
第二章 机械振动
2.2 简谐运动的描述
【核心素养目标】
物理观念
1.知道简谐运动的振幅、周期、频率和相位的概念，理解全振动。
2.知道周期和频率的关系。
科学思维
知道简谐运动的表达式，掌握表达式中各物理量的意义，体会数形结合思想的应用。
科学探究
通过实例观察探究测量物体振动周期的方法。
科学态度与责任
通过观察了解有关简谐运动的物理量，培养学生学习物理的兴趣。
【知识点探究】
知识点一　描述简谐运动的物理量
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅。用A表示，国际单位为米(m)。
(2)物理含义：振幅是描述振动幅度大小的物理量；振动物体的运动范围是振幅的两倍。
2．全振动
一个完整的振动过程，称为一次全振动。不管从哪儿作为开始研究的起点，振动物体完成一次全振动的时间总是相同的。此时，位移、速度第一次同时与初始状态相同，即物体从同一方向回到出发点。
3．周期(T)和频率(f)
(1)周期T：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间。单位：秒(s)。
(2)频率f：物体完成全振动的次数与所用时间之比。单位：赫兹，简称赫，符号是Hz。
(3)周期T与频率f的关系式：T＝。
4．相位
在物理学上，我们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
知识点二　简谐运动的表达式
1．表达式：简谐运动的表达式可以写成
x＝Asin或x＝Asin
2．表达式中各量的意义
(1)“A”表示简谐运动的振幅。
(2)“ω”是一个与频率成正比的物理量，叫简谐运动的圆频率。
(3)“T”表示简谐运动的周期，“f”表示简谐运动的频率，它们之间的关系为T＝。
(4)“t＋φ”或“2πft＋φ”表示简谐运动的相位。
(5)“φ”表示简谐运动的初相位，简称初相。
（6）简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置有关。
【温馨提示】　1.相位ωt＋φ是随时间变化的一个变量。
2．相位每增加2π就意味着完成了一次全振动。
【考点探究】
考点1　描述简谐运动的物理量
如图所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称。
(1)振子从某一时刻经过O点计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？
(2)先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？
提示：(1)不是。经过一个周期振子一定从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度均第一次与初始时刻相同。
(2)周期相同，振动的周期取决于振动系统本身，与振幅无关。位移相同，均为零。路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关。
1．振幅与位移、路程、周期的关系
(1)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。
(2)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅。
(3)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。
2．对全振动的理解
(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动。
(2)正确理解全振动的概念，还应注意把握全振动的四个特征。
①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
②时间特征：历时一个周期。
③路程特征：振幅的4倍。
④相位特征：增加2π。
【命题角度1】
　根据运动过程分析物理量
【典例1】　如图所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子由A首次到B的时间为0.1 s，求：
(1)振子振动的振幅、周期和频率；
(2)振子由A首次到O的时间；
(3)振子在5 s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小。
思路点拨：解此题关键有两点。
(1)振子的振动范围是振幅的2倍。
(2)振动具有周期性，且一个周期内的路程是振幅的4倍。
[解析]　(1)由题图可知，振子振动的振幅为10 cm，
t＝0.1 s＝，所以T＝0.2 s。
由f＝得f＝5 Hz。
(2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A首次到O的时间与振子由O首次到B的时间相等，均为0.05 s。
(3)设弹簧振子的振幅为A，A＝10 cm。振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t＝5 s＝25T内通过的路程s＝40×25 cm＝1 000 cm。5 s内振子振动了25个周期，故5 s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm。
[答案]　(1)10 cm　0.2 s　5 Hz　(2)0.05 s
(3)1 000 cm　10 cm
【命题角度2】
　根据图像分析物理量
【典例2】　(多选)(2020·江苏南京中华中学月考)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是(　　)
A．振动周期是2×10－2s
B．第2个10－2s内物体的位移是－10 cm
C．物体的振动频率为25 Hz
D．物体的振幅是10 cm
思路点拨：解此题的关系是从图像中正确获取周期和振幅的信息。
BCD　[由图可知，物体完成一次全振动需要的时间为4×10－2s，故周期为T＝4×10－2s，A错误；在第2个10－2s内，即在1×10－2s到2×10－2s内物体由正向的10 cm处到达平衡位置，故位移为x＝0－10 cm＝－10 cm，B正确；频率f＝＝Hz＝25 Hz，C正确；由图可知，物体的最大位移为10 cm，则振幅为10 cm，故D正确。]
【特别提醒】振幅与路程的关系
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。一个周期内的路程为4倍的振幅。
(1)若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，周期内的路程等于振幅。
(2)若从一般位置开始计时，周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅。
考点2　简谐运动表达式的理解和应用
下图为一做简谐运动质点的振动图像，则：
(1)通过图像可以得到哪些物理量？
(2)能否用简谐运动表达式表示x与t的变化关系？
提示：(1)根据图像可以直接得出振幅、周期、振动物体在各个时刻的位移等。
(2)能。可以得到表达式为x＝2sincm。
1．对表达式x＝Asin(ωt＋φ)的理解
(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间。
(2)由于ω＝＝2πf，所以表达式也可写成：
x＝Asin或x＝Asin(2πft＋φ)。
2．简谐运动两种描述方法的比较
(1)简谐运动图像即x t图像是描述质点振动情况的一种手段，直观反映了质点的位移x随时间t变化的规律。
(2)x＝Asin(ωt＋φ)是用函数表达式的形式表示质点的振动情况。
(3)两者对同一个简谐运动的描述是一致的。常解决的两类问题：一是根据振动方程作出振动图像；二是根据振动图像读出振幅、周期、初相，写出位移的函数表达式。
【典例3】　A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。
请根据图像写出；
(1)A的振幅是________cm，周期是________s；B的振幅是________ cm，周期是________ s。
(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
【解析】
　(1)由题图知，A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。
(2)由题图知，t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φA＝π，由TA＝0.4 s，得＝5πrad/s。则简谐运动的表达式为xA＝0.5sin(5πt＋π)cm。t＝0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φB＝，由TB＝0.8 s，得＝2.5π rad/s, 则简谐运动的表达式为xB＝0.2sincm。
[答案]　(1)0.5　0.4　0.2　0.8
(2)xA＝0.5sin(5πt＋π) cm　xB＝0.2sincm
[母题变式]
在上例中，t＝0.05 s时两质点的位移分别是多大？
[解析]　将t＝0.05 s分别代入两个表达式中得
xA＝0.5sin(5π×0.05＋π) cm＝－0.5× cm＝－ cm；
xB＝0.2sincm＝0.2sinπ cm。
[答案]　xA＝－ cm　xB＝0.2sinπ cm
【规律方法】应用简谐运动的函数表达式的四点技巧
(1)明确振幅A、周期T、频率f的对应数值，其中T＝，f＝。
(2)把明确的物理量与所要求解的问题相对应，找到对应关系。
(3)同频率的两个简谐运动进行比较时，相位差的取值范围一般为－π≤Δφ≤π。
(4)比较相位或计算相位差时，一定要用同种函数来表示振动方程。
考点3　简谐运动的周期性和对称性
如图是根据应用频闪照相法，拍摄小球和弹簧的一系列的像，通过测量小球在各个位置的横坐标和纵坐标，按照计算机提示用一个周期性函数拟合这条曲线，证明弹簧振子运动的x－t图象是正弦曲线。仔细观察图像具有什么特点？
　　
提示：具有周期性和对称性。
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，OC＝OD。
1．时间的对称
(1)物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。
(2)物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
2．速度的对称
(1)物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
3．位移的对称
(1)物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反。
【典例4】　(2020·河北沧州第一中学高二下月考)如图所示，水平方向的弹簧振子振动过程中，振子先后经过a、b两点时的速度相同，且从a到b历时0.2 s，从b再回到a的最短时间为0.4 s，aO＝bO，c、d为振子最大位移处，则该振子的振动频率为(　　)
A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
【解析】由题可知，a、b两点关于平衡位置对称，从a到b历时t1＝0.2 s，从b再回到a的最短时间为0.4 s，即从b到c所用时间为t2＝s＝0.1 s，所以弹簧振子振动的周期为T＝4＝0.8 s，则振动频率为f＝＝1.25 Hz，故B正确，A、C、D错误。
【方法归纳】
由于简谐运动是一种变加速运动，所以计算简谐运动的周期，往往要利用简谐运动的对称性，先计算出从平衡位置到最大位移处或从最大位移处到平衡位置的时间，即\f(T,4)，再计算一个周期T的大小。
【同步训练】
1. 如图所示是质点做简谐运动的图象，由此可知（　　）
A．t=0时，质点的位移、速度均为零
B．t=1s时，质点的位移最大，速度为零，加速度最大
C．t=2s时，质点的位移为零，速度负向最大，加速度为零
D．质点的周期为4s，频率为0.25Hz
【答案】.BCD
【解析】．当t=0时，质点的位移为零，加速度为零，此时质点在平衡位置具有沿x轴正方向的最大速度，故A错误；
当t=1s时，质点的位移最大，加速度负向最大，此时质点振动到平衡位置正方向的最大位移处，速度为零，故B正确；
t=2s时，质点的位移为零，加速度为零，速度最大，方向沿x轴负方向，故C正确；
由题给图像可以确定周期T=4s，频率f==0.25Hz，故D正确。
2．(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则(　　)
A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
【答案】AD　
【解析】若振幅为0.1 m，自题意知，Δt＝T(n＝0、1、2、…)，解得T＝s，(n＝0、1、2、…)，代入n＝1，则T＝ s，A项正确，代入T＝ s，则n＝0.75不符上式要求，B项错误；若振幅为0.2 m，t＝0时，由振子做简谐运动的表达式y＝0.2sinm可知，0.2sin φ0 m＝－0.1 m，解得φ0＝－或φ0＝－；t＝1 s时，有0.2sinm＝0.1 m，将T＝6 s代入0.2sinm＝0.1 m可知，D项正确；将T＝4 s代入0.2sinm≠0.1 m可知，C项错误。
3．(2020·河北承德第一中学高二下月考)有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　)
A．1∶1　1∶1 B．1∶1　1∶2
C．1∶4　1∶4 D．1∶2　1∶2
【答案】B　
【解析】弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，而对同一振动系统，其周期与振幅无关，则周期之比为1∶1，振动周期由振动系统的性质决定，与振幅无关。故选B。
4.（2019年浙江省绿色教育评价联盟高考物理适应性试卷）如图所示，一质点在x轴上以O为平衡位置做简谐运动，其振幅为8cm，周期为4s。t＝0时物体在x＝4cm处，向x轴负方向运动，则（　　）
A．质点在t＝1.0s时所处的位置为x＝+4cm
B．质点在t＝1.0s时所处的位置为x＝﹣4cm
C．由起始位置运动到x＝﹣4cm处所需的最短时间为s
D．由起始位罝运动到x＝﹣4cm处所需的最短时间为s
【答案】BC
【解析】简谐运动振动方程的一般表达式x＝Asin（ωt+φ0），由ω＝求出ω．将在t＝0时，位移是4cm代入即可求解振动方程。然后依据该方程分析即可。
简谐运动振动方程的一般表示式为：x＝Asin（ωt+φ0），
根据题给条件有：A＝8cm＝0.08m，ω＝=0.5πrad/s
所以 x＝0.08sin（0.5πt+φ0）m
将t＝0时，x0＝0.04m
代入得：0.04＝0.08sinφ0
解得初相：φ0＝或φ0＝
因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取 φ0＝
所求的振动方程为：x＝0.08sin（0.5πt+）m
质点在t＝1.0s时所处的位置为x＝0.08sin（0.5π×1+）＝﹣0.04m＝﹣4cm．故A错误，B正确；由于t＝0时刻质点向x轴负方向运动，所以由起始位置运动到x＝﹣4cm处所需的最短时间为回到平衡位置后直接再到达x＝﹣4cm处的时间，由振动的对称性可知，两段时间相等。回到平衡位置的时间：t1== s，所以由起始位置运动到x＝﹣4cm处所需的最短时间为t＝2t1＝s．故C正确，D错误。
【关键点拨】本题关键记住简谐运动的一般表达式x＝Asin（ωt+φ0），掌握ω＝2πf＝，然后采用代入法求解。
5．某实验小组利用数字实验系统探究弹簧振子的运动规律，装置如图所示，水平光滑导轨上的滑块与轻弹簧组成弹簧振子，滑块上固定有传感器的发射器。把弹簧拉长5 cm后由静止释放，滑块开始振动。他们分析位移—时间图像后发现，滑块的运动是简谐运动，滑块从最右端运动到最左端所用时间为1 s，则弹簧振子的振动频率为多少？以释放的瞬时为初始时刻、向右为正方向，求滑块运动的表达式。
[解析]　滑块从最右端运动到最左端所用时间为1 s，知周期T＝2 s，
则振动频率f＝＝0.5 Hz，ω＝2πf＝π rad/s，
根据x＝Asin(ωt＋φ)知，
A＝5 cm，φ＝，
所以x＝5sin＝5cosπt(cm)。
[答案]　0.5 Hz　x＝5cosπt(cm)
【课堂小结】
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．描述简谐运动的物理量有哪些？
提示：振幅、周期、频率、相位。
2．如何判断一个振动过程是不是为一个全振动？
提示：在判断物体的运动过程是否为一次全振动时不仅要看物体是否回到原位置，而且要判断物体到达该位置的振动状态(速度、加速度、位移)是否与原位置相同。
3．简谐运动的表达式中含有哪些物理信息？
提示：振幅、圆频率、初相位。
【知识拓展】
心脏跳动与心电监测
心脏监护系统种类很多，一般均包括心电示波屏、记录装置、心率报警和心律紊乱报警等几个部分，可持续监测心率和心律的变化。心电信号经过人体组织传到体表，在体表利用心电电极监测这种信号并将其在时间轴上描记出来，就构成心电图。
心电监测分为心律(节律)监测和心率(速率)监测。所谓心律，是指心跳的规律性，即每一次心跳与下一次心跳的周期是否相等；所谓心率，是指心脏每分钟跳动的次数，心律和心率是两个完全不同的概念。对危重病人，心脏节律监测是最有效的检查手段之一。通过监测，可发现心脏节律异常，各种心律紊乱，如房性、室性早搏、心肌供血情况、电解质紊乱等。
提示：已知甲的心率为60次/min，则甲每次心跳时间间隔t＝1 s。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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