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高中物理选择性必修一素养提升学案
第二章 机械振动
2.3. 简谐运动的回复力和能量
【核心素养目标】
物理观念
1.知道回复力的概念，理解简谐运动的能量。
2.利用守恒观点研究弹簧振子，分析能量转化过程。
科学思维
应用动力学方法和能量转化思想分析弹簧振子回复力特点和能量变化规律。
科学探究
经历探究弹簧振子系统的能量转化过程。
科学态度与责任
培养学生比较、归纳分析问题的思想方法。
【知识点探究】
知识点一　简谐运动的回复力
1．回复力
(1)定义：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力。
(2)方向：指向平衡位置。
(3)表达式：F＝－kx。
2．简谐运动的动力学特征
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
【温馨提示】　公式F＝－kx中k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中的k才为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关。
【思考】　回复力为零时，物体所受合外力一定为零吗？
提示：不一定。
知识点二　简谐运动的能量
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能为零。
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
【考点探究】
考点1　简谐运动的回复力
观察水平弹簧振子的振动。
问题1：如图所示，当把振子从静止的位置O拉开一小段距离到A再放开后，它为什么会在A—O —A′之间振动呢？
问题2：弹簧振子振动时，回复力与位移有什么关系呢？
提示：1.当振子离开平衡位置后，振子受到总是指向平衡位置的回复力作用，这样振子就不断地振动下去。
2．振子的回复力跟其偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反。
1．回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供。如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力。
甲　　　　　乙　　　　　　　丙
2．简谐运动的回复力的特点
(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的相对平衡位置位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。
(3)根据牛顿第二定律得，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
名师点睛：因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
【典例1】　一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图所示。
(1)小球在振动过程中的回复力实际上是________；
(2)该小球的振动是否为简谐运动？
[解析]　(1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力。
(2)设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量h，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh＝mg①
当振子向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为F回＝mg－k(x＋h)②
将①代入②式得：F回＝－kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该振动系统的振动是简谐运动。
[答案]　(1)弹力和重力的合力　(2)是简谐运动
【规律方法】 判断是否为简谐运动的方法
(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系。
(2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析。
(3)将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力。
(4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合F＝－kx(或a＝－x)，若符合，则为简谐运动，否则不是简谐运动。
考点2　简谐运动的能量
如图所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动。
(1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？
(2)如果把振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？
(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？
提示：(1)振子的动能先增大后减小　弹簧的弹性势能先减小后增大　总机械能保持不变
(2)振子回到平衡位置的动能增大　系统的机械能增大
(3)实际的振动系统，能量逐渐减小　理想化的弹簧振动系统，能量不变
1．简谐运动的能量
做简谐运动的物体在振动中经过某一位置时所具有的势能和动能之和，称为简谐运动的能量。
2．对简谐运动的能量的理解注意以下几点
决定因素 简谐运动的能量由振幅决定。
能量的获得 最初的能量来自外部，通过外力做功获得。
能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒。
理想化模型 (1)力的角度：简谐运动不考虑阻力。(2)能量转化角度：简谐运动不考虑因克服阻力做功带来的能量损耗。
3.决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟振幅有关，对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，振动的机械能越大；振幅越小，振动越弱，振动的机械能越小。
【名师点睛】：(1)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。
(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。
【典例2】　如图所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。
(1)简谐运动的能量取决于________，振子振动时动能和________相互转化，总机械能________。
(2)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是________。
A．振幅不变 B．振幅减小
C．最大动能不变 D．最大动能减小
[解析]　(1)简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。
(2)振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，选项A正确，B错误；由于机械能守恒，所以最大动能不变，选项C正确，D错误。
[答案]　(1)振幅　弹性势能　守恒　(2)AC
【规律方法】分析简谐运动中能量变化情况的技巧
(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的势能均增大，动能均减小；反之，则产生相反的变化。
(2)分析过程中要特别注意简谐运动的对称性。位移相同时，动能相同、势能相同。
2.(多选)弹簧振子在水平方向做简谐运动，下列说法中正确的是(　　)
A．振子在平衡位置时，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
ABD　[振子在平衡位置两侧做往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧形变量最大，势能最大，B正确；在任意时刻，只有弹簧的弹力做功，所以动能和势能之和保持不变，D正确；振子在平衡位置时速度达到最大值，动能最大，势能最小，A正确；振幅的大小与振子的位置无关，C错误。]
【课堂小结】
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．简谐运动的回复力有什么特点？
提示：回复力是效果力，作用是使物体回到平衡位置，大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
2．对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由什么决定？
提示：振幅，振幅越大，能量越大。
3．简谐运动的弹簧振子系统机械能是否守恒？
提示：守恒。
【同步训练】
1. （2023福建南平政和一中质检）如图，轻质弹簧下挂重为300N的物体A时伸长了3cm，再挂上重为200N的物体B时又伸长了2cm，现将AB间的细线烧断，使A在竖直平面内振动，则（　　）
A. 最大回复力为300N，振幅为2cm
B. 最大回复力为200N，振幅为3cm
C. 只减小A的质量，振动的振幅变小，周期不变
D. 只减小B的质量，振动的振幅变小，周期不变
【答案】D
【解析】
轻质弹簧下挂重为300N的物体A，伸长了3cm，再挂上重为200N的物体B时又伸长了2cm，故弹簧劲度系数为
若将连接A、B两物体的细绳烧断，物体A将做简谐运动，烧断瞬间，合力充当回复力；由于细线烧断前是平衡，烧断后对A的拉力减小了200N，而弹力不变，故合力为200N，最大回复力为200N，刚剪断细线时物体的加速度最大，此处相当于是物体A到达简谐运动的振幅处，故振幅为2cm，故AB错误；
细线烧断前，有
细线烧断后，A在平衡位置时有
振幅
知只减小A的质量，振动的幅度不变，周期与A的质量和弹簧劲度系数有关，周期变化了；只减小B的质量，振动的幅度变小，而周期与振幅无关，所以周期不变，故C错误；D正确。
2. （2023湖北部分重点高中质检）11．如图，一轻弹簧直立于水平面，两端分别连接物块B和C，刚开始时B、C均静止．现将物体A从B正上方一定高度静止下落，A、B碰撞后粘连在一起，经过后第一次到达最低点，之后的运动过程中物块C对地面最小压力恰好为零．已知物块的质量，，，弹簧始终在弹性限度内，弹簧弹性势集的表达式为（x为弹簧的形变量），弹簧振子的周期公式为（m为弹簧振子的质量），忽略空气阻力，重力加速度，．下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中A，B，C三个物体整体动量守恒
B．弹簧的劲度系数k＝250N/m
C．AB整体做简谐运动的振幅是9.6cm
D．A释放时距离B的高度为6.0cm
【答案】．BD
【解析】AB整体在最高点时候，对C在受力分析可知，
此时弹簧拉伸，弹力，所以AB整体此刻的间复力，根据对称性，AB整体在最低点时，此时弹簧压缩，弹力，于是振幅可以表示为，碰后为时刻，向上为正，，，∴，，
又，
，．
3. (2023云南昆明一中第9次质检)如图所示，一正方体木块漂浮在某液体中，将木块下压一小段距离后释放，液面未浸没木块上表面，正方体做简谐运动，则木块振动的周期（　　）
A. 随下压距离的增大而减小
B. 随木块质量的增大而减小
C. 随液体密度增大而减小
D. 随木块密度的增大而减小
【答案】C
【解析】
简谐振动的周期与振幅无关，故A错误；因简谐振动的周期与振幅无关，故所有讨论均以相同振幅进行，因木块的回复力等于浮力减去重力，故当质量增加时，回复力虽然也增加，但增速没有质量单独增加的快，故加速度会减小，导致周期变大，故B错误；液体密度增加，相同条件下浮力增大，故木块的加速度会增大，周期变小，故C正确；木块密度增加，相同条件下，质量增加，加速度必将减小，周期变大，故D错误。
4. （2023湖南怀化高二期末）如图甲所示，质量为m的小球悬挂在一根劲度系数为k的轻质弹簧下端，静止后小球所在的位置为O点。取O点为坐标原点，竖直向下为x轴正方向建立坐标系。现将小球从O点向下拉一小段距离A，然后释放。已知重力加速度为g，小球在运动过程中弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力。
(1)请证明：小球做简谐运动。
(2)从小球在位移A处释放开始计时，请在图乙坐标系中定性画出小球在一个周期内的位移-时间图像。
(3)求小球在做简谐运动过程中的加速度a与位移x的表达式，并在图丙中画出小球的a-x图像。
【答案】(1)证明过程见解析；(2) (3)
【解析】
(1)取竖直向下为正方向．物体静止在O点时
kx0=mg
将物体从O点向下拉离的距离为x时，弹簧的弹力大小 k（x0+x）
物体振动的回复力大小为 F=k（x0+x）-mg=kx
回复力方向竖直向下，与位移方向相反，则位移为x时有F=-kx
符合简谐运动的特征，所以物体做简谐运动．
(2)从小球在位移A处释放开始计时，小球的位移时间图像如图所示
(3)由牛顿第二定律可知
则做出a-x图像如图
5. （2022江西抚州高二质检）如图所示，一轻弹簧直立在地面上，其劲度系数为，弹簧的上端与小物块A连接在一起，下端固定在地面上。A的质量，g取，不计空气阻力。先将A向上抬高使弹簧伸长后从静止释放，A在竖直方向做简谐运动。求：
(1) A的振幅；
(2) A的最大速率。
【答案】(1)0.08m；(2)
【解析】
(1)振子在平衡位置时受合力为零，设此时弹簧被压缩，则有
解得
开始释放时振子处在最大位移处，故振幅
。
(2)振子在平衡位置时速率最大，由机械能守恒定律得：
解得
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