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福建省厦门市 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 与直线 = 3 1垂直，则 的斜率是( )
1 1
A. 3 B. 3 C. D.
3 3
2.下列向量中与 = (0,1,2)共线的是( )
A. (1,0,2) B. (1,2,3) C. (0,2,4) D. (0,2, 1)
3.等比数列{ }的公比是2，前 项和为 ，若 3 = 14，则 1 =( )
7 14
A. 1 B. 2 C. D.
3 3
4.双曲线 的离心率为2，右焦点为(2,0)，则 的标准方程为( )
2
2 2 2 22
2 2
A. = 1 B. = 1 C. = 1 D. = 1
3 3 16 12 12 16
5.圆 2 + 2 = 4与圆 2 + 2 4 = 0的位置关系为( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
6.某工厂计划今年1月份生产某产品100件，以后每个月都比上个月多生产 ( ∈ )件，为保证今年该产品
的总产量超过1800件，则 的最小值为( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
7.椭圆 上存在四个点与其两个焦点构成边长为1的正六边形，则 的长轴长为( )
A. √ 3 + 1 B. 2√ 3 C. 4 D. 4√ 3

8.平行六面体 1 1 1 1中， = = 1 = 1，∠ 1 = ∠ 1 = ∠ = ，则点 到直线 3 1
的距离为( )
√ 6 √ 2 √ 3
A. 1 B. C. D.
3 2 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数列{ }满足： 1 = 1， +1 = + 1，则( )
A. 当 = 2时， 3 = 7
B. 当 = 2时， = 2 1
C. 当 = 1时， 2005 = 0
D. 当 = 1时， 1 + 2 + + 10 = 5
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10.如图，棱长为2的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为 ， 1的中点，
若点 满足 = + 1 (0 ≤ ≤ 1,0 ≤ ≤ 1)，则( )
A. ∈平面 1 1
B. 当 = = 1时， //平面
C. 当 = = 1时， ⊥平面
1
D. 当 = = 时，点 到平面 的距离为√ 2
2
11.设 为坐标原点，直线 = + 1过抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 ，且与 交于 ， 两点，分别过
， 作 的准线的垂线，垂足为 ′， ′，则( )
A. = 2 B. △ 的面积等于△ ′ ′的面积
C. 当| | = 2| |时，| | = 2| | D. | ′ ′|的最小值为4
三、填空题：本题共 3 小题，共 20 分。
12. 轴被圆 2 + ( 1)2 = 2截得的弦长为______．
2 2
13.过双曲线 ： = 1的右焦点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 . 为坐标原点，则| | = ______．
4 3

14.数列{ }满足
1 + 2 1 + +
= ，则 = ______；记 为{ }的前 项和，若关于 的方程 = 2 2 2 +3
有解，则正整数 的所有取值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆 的一条直径的端点分别为 (2,0)， (4,4)．
(1)求圆 的标准方程；
(2)直线 ： = 2 + ( > 0)与圆 相切于点 ，交 轴于点 ，求| |．
16.(本小题12分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ， 3 = 12， 2 3 = 28．
(1)求 和 ；
1 1
(2)令 = ，证明： + + + < ． 1 2 +1 3
17.(本小题12分)
1
已知点 (0,3)，点 与 关于原点对称，直线 ， 的斜率之积是 ，记动点 的轨迹为 ．
2
(1)求 的方程；
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(2)若直线 与 交于 ， 两点，且 ⊥ ．
(ⅰ)当 与 轴垂直时，求△ 的面积；
(ⅱ)证明： 过定点．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)若底面 是正方形， = = 6. 为 中点，点 在棱 上，且平面 与平面 的夹角的余
√ 3
弦值为 ．
3
(ⅰ)求 ；
(ⅱ)平面 交 于点 ，点 在平面 上，求 与平面 所成角的正弦值的取值范围．
19.(本小题12分)
已知数列{ }满足 1 = 1， 2 = 1， +2 = +1 + .构造一系列点如下： 1(1,1)， 2(2,1)， 3(3,2)，…，
( +1, ).
(1)求△ 3 4 5的面积；
(2)证明：点 在曲线
2 2 = ( 1) 上；
(3) △ +1 +4的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】2
14.【答案】 + 1 7和9
15.【答案】解：(1)根据 (2,0)、 (4,4)，可得 的中点为(3,2)，
若圆 以线段 为直径，则圆心 的坐标为(3,2)，圆的半径 = | | = √ (4 3)2 + (4 2)2 = √ 5，
所以圆 的标准方程为( 3)2 + ( 2)2 = 5．
|2×3 2+ |
(2)因为直线 ：2 + = 0与圆 相切，所以点 到直线 的距离 = = √ 5
√ 2 2
，
2 +( 1)
整理得 + 4 = ±5，解得 = 1或 9，结合 > 0，可得 = 1，
所以直线 的方程为 = 2 + 1，可得 (0,1)，
结合 (3,2)，可得| | = √ (3 0)2 + (2 1)2 = √ 10， △ 中，| | = √ | |2 | |2 = √ 10 5 =
√ 5．
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16.【答案】解(1)因为{ }是等差数列，
由等差数列的性质可得， 1 + 3 = 2 2．
又 3 = 12，所以 1 + 2 + 3 = 3 2 = 12，即 2 = 4．
又因为 2 3 = 4 3 = 28，
(
所以 = 7， = = 3， = + ( 2) = 3 2， = 1
+ ) (1+3 2) (3 1)
3 3 2 2 = = ． 2 2 2
1 1 1 1 1
(2)证明： = = = ( )． +1 (3 2)(3 +1) 3 3 2 3 +1
1 1 1 1 1 1 1 1
所以 1 + 2 + + = [(1 ) + ( ) + + ( )] = (1 )． 3 4 4 7 3 2 3 +1 3 3 +1
1 1 1 1 1又因为 ∈ ，所以 > 0，即 (1 ) < ，所以 + + + < ．
3 +1 3 3 +1 3 1 2 3
17.【答案】解：(1)因为点 与 关于原点对称，所以设 ( , )， ( , )，
1
又直线 ， 的斜率之积是 ， (0,3)，
2
3 3 1
所以 = ， ≠ 0，
2
2 2化简可得 的方程为 + = 1( ≠ 0)；
18 9
(2)(2)(ⅰ)因为 与 轴垂直，所以 ， 关于 轴对称，因为 (0,3)，所以| | = | |，
又 ⊥ ，不妨设 在 的左侧，则直线 的倾斜角为45°，所以直线 方程为 = + 3，
2 2联立 的方程 + = 1( ≠ 0，消去 化简得， 2 + 4 = 0，解得 = 4( = 0舍去)，
18 9
所以 ( 4, 1)，所以| | = √ ( 4 0)2 + ( 1 3)2 = 4√ 2，
1
所以| | = | | = 4√ 2，所以△ 的面积为 | | | | = 16；
2
(ⅱ)易知直线 的斜率存在，所以设 ： = + ，
= +
联立{ 2 2 2
2
，可得(1 + 2 ) + 4 + 2 18 = 0，
+ 2 2 18 = 0
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
则 = 16 2 2 4(1 + 2 2)(2 2 18) = 8(18 2 2 + 9)，
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4 2 2 18
1 + 2 = 2， =
1+2 1 2 2
，
1+2
由题意得 = 0，
所以 1 2 + ( 1 3)( 2 3) = 1 2 + ( 1 + 3)( 2 + 3)
2 2 18 4
= (1 + 2) 1 2 + ( 3)( 1 + 2) + ( 3)
2 = (1 + 2) 2 + ( 3) 2 + ( 3)
2 = 0
1+2 1+2
化简可得即 2 2 3 = 0，解得 = 3或 = 1，
当 = 3时， ： = + 3过点 ，不符合题意，
所以 = 1，此时 > 0，所以 过定点(0, 1)．
18.【答案】解：(1)证明：在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ，
∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ．
又 ⊥ ， 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ．
(2)底面 是正方形， = = 6. 为 中点，
点 在棱 上，且平面 与平面 的夹角的余弦值为√ 3，
3
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图．
(ⅰ) (0,6,0)， (0,0,6)， (3,0,3)，
= (3,0,3)， = (0,6, 6)， = (0,0,6)，
设 = = (0,6 , 6 )(0 ≤ ≤ 1)，
则 = + = (0,0,6) + (0,6 , 6 ) = (0,6 , 6 6 )．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 3 + 3 = 0
则{ ，取 = ，得 = ( , 1, )，
= 6 + 6(1 ) = 0
∵ ⊥平面 ，∴ = (0,0,6)是平面 的一个法向量．
∵平面 与平面 的夹角的余弦值为√ 3，
3
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| | √ 3
∴ |cos , | = = 1 1
2 2 3 ，解得 = ，∴ = = 3√ 2． √ 2 +( 1) 2 2
(ⅱ)平面 交 于点 ，点 在平面 上，
设 = ，则 = + = (0,0,6) + (6,6, 6) = (6 , 6 , 6 6 )．
1 1 1
∵ = ( , , )为平面 的一个法向量，∴ ⊥ ，
2 2 2
∴
1
= 3 3 + 3 3 = 9 + 3 = 0，即1 3 = 0，得 = ，
3
∴ = (2,2,4)， (2,2,4)．
(0,3,3)， = (6,0,0)， = (0,6,0)， = ( 6,0,6)， = (0,6,0)， = ( 1,2,1)，
∵ 在平面 上，∴ = + ，
∴ = + + = (6,0,0) + (0,6,0) + ( 6,0,6) = (6 6 , 6 , 6 )．
设平面 的法向量 = ( 1, 1, 1)，
= 6
则{ 1
= 0
，取 = ，得 = ( , 0, 1)，

1
= (6 6 ) 1 + 6 1 + 6 1 = 0
设 与平面 所成角为 ，
1 1
则 > | = = = |cos < ，
√ 2 2
，
√ 6 +( 1) √ 6 √ 2 2 2 +1
1 √ 3
∵ 2 2 2 + 1 ∈ [ ,+∞)，∴ ∈ (0, ]，
2 3
∴ 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 √ 3(0, ]．
3
19.【答案】解：(1)由数列{ }满足 1 = 1， 2 = 1， +2 = +1 + ，
构造一系列点如下： 1(1,1)， 2(2,1)， 3(3,2)，…， ( +1, ).
3 2 1
可得 3(3,2)， 4(5,3)， 5(8,5)，直线 3 4的斜率为 = ， 5 3 2
1 1
方程为 = + ，即 2 + 1 = 0，
2 2
|8 10+1| 1
5到 3 4的距离 = = ，又| | = √ 4 + 1 = √ 5， √ 5 √ 5 3 4
1 1
所以△ 3 4 5的面积 △ = | 3 4| = ． 3 4 5 2 2
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(2)证明：设 = 2 2 2 2 +1 +1 ，当 = 1时， 1 = 1 1 1 1 = 1．
当 ≥ 2时，因为 +1 = + 1，
所以 = ( +
2 2 2
1) ( + 1) = (
2
1 1) = 1，
又因为 1 = 1 ≠ 0，所以数列{ }是以 1为首项， 1为公比的等比数列，
所以 = ( 1) ( 1)
1 = ( 1) ，即 2 2 +1 +1 = ( 1) ，
所以 在曲线
2 2 = ( 1) 上．
(3)由题意知 ( +1, )， +1( +2, +1)， +4( +5, +4)，
由数列{ }满足 1 = 1， 2 = 1， +2 = +1 + ，
1
当 = 1时， 1(1,1)， 2(2,1)， 5(8,5)，△ 1 2 5的面积 △ = × 1 × 4 = 2． 1 2 5 2

当 ≥ 2时，直线 +1的斜率为 =
+1 = 1，
+2 +1

所以直线 1 +1的方程为： = ( +1) + ．
点 +4( +5, +4)到直线 +1的距离：

| 1(
+5
+1)+ +4| | 1 +5 1 +1+
2
= = +4
|
，

√ 1+( 1
2
) √

2
+
2
1
由数列{ }满足 +2 = +1 + ，
可得| 2 2 2
2
+1| = √ ( +2 +1) + ( +1 ) = √ + 1，
由数列{ }满足 +2 = +1 + ，
1 1
可得 △ = | | = | +
2|
+1 +4 2 +1 2 1 +5 +4 1 +1
1
= |( 2
2 +1
)( +3 + +4) +4 ( +1 ) +1 + |
1
= |( 2
2 +1
)(2 +3 + +2) ( +3 + +2) ( +1 ) +1 + |
1
= |( +1 )(2
2
2 +1
+ 3 +2) ( +1 + 2 +2) ( +1 ) +1 + |
1
= |( +1 )(5
2
2 +1
+ 3 ) (3 +1 + 2 ) ( +1 ) +1 + |
1
= |4 2 +1 4 4
2
+1 | = 2． 2
综上所述，△ +1 +4的面积为定值2．
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