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广东省揭阳一中 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | 2 < < 4}， = {2,3,4,5}，则 ∩ =( )
A. {2} B. {2,3} C. {3,4} D. {2,3,4}
1+
2.已知 = ( 为虚数单位)，则 的虚部为( )
2+
1 1 1 1
A. B. C. D.
5 5 5 5
3.已知 = ( 3,2,5)， = (1,5, 1)，则| | =( )
A. √ 57 B. √ 59 C. √ 61 D. 3√ 7
4.已知 为直线 = 2 1的倾斜角，则tan2 =( )
3 4 3 4
A. B. C. D.
4 3 4 3
5.函数 ( ) = 3 + 2 6的零点所在的区间为( )
A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)
6.某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027
年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算(复利是一种计算利息
的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息)，则每年应该存入约( )万元. (
参考数据：1.027 ≈ 1.149，1.028 ≈ 1.172)
A. 5.3 B. 4.1 C. 7.8 D. 6
1 1
7.已知函数 ( ) = 2025 2025 ，若 > 0， > 0，且 (2 1) + ( 2) = (0)，则 + 的最
2 +1
小值为( )
3 3
A. 2 B. 1 C. D.
2 4
2 2
8.设双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左，右焦点分别为 1， 2，左、右顶点为 1， 2，已知 为双曲线

一条渐近线上一点，若∠ 1 2 = 3∠ 1 2 = ，则双曲线 的离心率 = ( ) 2
A. √ 13 B. 2√ 3 C. √ 11 D. √ 10
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
2
A. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 ．
51
B. 已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数．
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C. 数据2，4，6，8，10，12，14，16的第60百分位数为10．
D. 甲乙丙三种个体按3: 1: 2的比例分层抽样，若抽取的甲个体数为9，则样本容量为18．
1 13
10.已知数列{ }的前 项和为 =
2
+ 6，则下列说法正确的是 2 2
1 1 1 1 4
A. = 7 B. + + + = 2 3 3 4 4 5 5 6 5

C. 使 > 0的最小正整数 为13 D.
的最小值为 3

11.点 是棱长为1的正方体 1 1 1 1的表面上一个动点，则下列结论中正确的( )
A. 当 在平面 1 1 上运动时，四棱锥 1 1的体积变大

B. 当 在线段 上运动时， 1 与 1 1所成角的取值范围是[ , ] 3 2
√ 6
C. 若 是 1 1的中点，当 在底面 上运动，且满足 //平面 1 1时， 长度的最小值是 2

D. 使直线 与平面 所成的角为45°的点 的轨迹长度为2√ 2 +
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = ( 2 5) 为幂函数，且在(0,+∞)上单调递增，则实数 的值是 ．
13.《易经》是中国传统文化中的精髓，易经八卦分别为乾 坤 巽 震 坎 离 艮 兑，现将乾 坤 巽三卦按
任意次序排成一排，则乾 坤相邻的概率为 ．
14.已知平面向量 ， ， 满足| | = 1，| | = 2， ,

= ，且( ) · ( ) = 0，则 的最大值为 ．
3
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知在△ 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若向量 = (cos , cos )， = ( + 2 , )，且 ⊥ ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 4√ 3， + = 8，求 边上的高 的值．
16.(本小题12分)
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如图，在平面直角坐标系 中，点 (0,3)，直线 : = 2 4，设圆 的半径为1，圆心在 上.
(1)若圆心 也在直线 = 1上，过点 作圆 的切线，求切线方程；
(2)若圆 上存在点 ，使 = 2 ，求圆心 的横坐标 的取值范围．
17.(本小题12分)
如图1，已知等边 的边长为3，点 ， 分别是边 ， 上的点，且满足2 = ，2 = ，如
图2，将 沿 折起到 ′ 的位置．
(1)求证：平面 ′ ⊥平面 ；
(2)若 ′ ⊥ ，求平面 ′ 和平面 ′ 的夹角的正弦值．
18.(本小题12分)
已知数列{ }是等差数列，设

( ∈ )为数列{ }的前 项和，数列{ }是等比数列， > 0，若 1 = 3，
1 = 1， 3 + 2 = 12， 5 2 2 = 3．
(1)求数列{ }和{ }的通项公式；
(2)求数列{ }的前 项和；
2
, 为奇数
(3)若 = { ，求数列{ }的前2 项和．
, 为偶数
19.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 1: 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点分别为 1, 2，且 2为抛物线 :
2
2 = 2 的焦点， 2的准线 被
1和圆
2 + 2 = 2截得的弦长分别为2√ 2和4．
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(1)求 1和 2的方程；
(2)直线 1过 1且与 2不相交，直线 2过 2且与 1平行，若 1交 1于 , ， 2交 1交于 , ，且在 轴上方，求
四边形 1 2 的面积的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
2
13.【答案】
3
5
14.【答案】√ 3 +
2
15.【答案】解：(1)因为 ⊥ ，所以 · = 0，
所以( + 2 ) + = 0，
由正弦定理得 + 2 + = 0，
即sin( + ) + 2 = 0，
因为 + = ，
所以sin( + ) = ，
即 + 2 = 0，
又因为 ∈ (0, )，所以 > 0，
1
所以 = ，
2
2
因为 ∈ (0, )，所以 = ；
3
(2)由已知 = 4√ 3， + = 8，
2 2
1 + 2 2 ( + ) 2 2
又 = = = ，
2 2 2
解得 = 16，从而解得 = = 4，
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1 1
所以 = = ，
2 2
所以 = 2√ 3．
16.【答案】解：(1)由 = 2 4和 = 1联立，得圆心 (3,2)．
∵圆 的半径为1，
∴圆 的方程为( 3)2 + ( 2)2 = 1，
显然切线的斜率一定存在，
设所求圆 的切线方程为 = + 3，即 + 3 = 0．
|3 2+3|
∴圆心到切线的距离为 = 1，
√ 2 +1
3
解得 = 0或 = ．
4
∴所求圆 的切线方程为 = 3或3 + 4 12 = 0．
(2) ∵圆 的圆心在直线 ： = 2 4上，
∴设圆心 的坐标为( , 2 4)，
则圆 的方程为( )2 + [ (2 4)]2 = 1．
又∵ = 2 ，设 ( , )，
则√ 2 + ( 3)2 = 2√ 2 + 2，整理得 2 + ( + 1)2 = 4，设为圆 ．
∴点 应该既在圆 上又在圆 上，即圆 和圆 有交点，
∴ |2 1| ≤ √ 2 + [(2 4) ( 1)]2 ≤ |2 + 1|，
由5 2 12 + 8 ≥ 0，得 ∈ ，
12
由5 2 12 ≤ 0，得0 ≤ ≤ ．
5
12
综上所述， 的取值范围为[0, ].
5
17.【答案】解：(1)在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 3，
所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，所以 ⊥ ′ ， ⊥ ，
又因为 ∩ ′ = ， ′ 平面 ′ ， 平面 ′ ，
所以 ⊥平面 ′ ，
又因为 平面 ，所以平面 ′ ⊥平面 ；
(2)由条件： ′ ⊥ ，由(1) ′ ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，
∴ ′ ⊥ 平面 ，
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以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
′所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
1 3√ 3
则 (0,0,0)， ′(0,0,1)， (2,0,0)， (0, √ 3, 0)， ( , , 0)，
2 2
1 3√ 3 3 3√ 3即 ′ = ( , , 1)， = ( , , 0)，
2 2 2 2
′ = (0,0,1) ， = (0, √ 3, 0)，
+ 3 3 2 = 0
设平面 ′ 的一个法向量为 = ( , , )，则{ ′ = 0 ，即{ √ ,
= 0 = √ 3
令 = 1，有 = (√ 3, 1,2√ 3)，
′ = 0设平面 的一个法向量为 = ( , , )，则由{ ′ = 0 ，可化简得{ ，
= 0 √ 3 = 0
令 = 1，有 = (1,0,0)，
′ | | √ 3设平面 ′ 和平面 夹角为 ，则|cos | = = ，所以 √ 13sin = ．
| || | 4 4
综上，平面 ′ 和平面 ′ 夹角的正弦值为√ 13 ．
4
18.【答案】(1)设等差数列{ }的公差为 ，等比数列{ }的公比为 ，
+ = 12
因为 3 21 = 3， 1 = 1，则由{ , 5 2 2 = 3
21 + 1 + 1 + = 12
2 + 6 + = 12
即{ ，得{ ,
3 + 4 2 1 = 3 + 2 3 + 4 2 = 3 + 2
= 2 = 3 = 3
解得{ 或{ ，因为 > 0，故舍去{ , = 2 = 3 = 3
所以 = 3 + 2( 1) = 2 + 1， = 2
1
．
(2)由(1)得 = 2 + 1， = 2 1 ，所以 = (2 + 1) 2
1，
令数列{ }的前 项和为 ，则 = 1 1 + 2 2 + 3 3 + + ，
即 1 2 1 = 3 × 1 + 5 × 2 + 7 × 2 + + (2 + 1) 2 ①，
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2 = 3 × 2
1 + 5 × 22 + 7 × 23 + (2 1) 2 1 + (2 + 1) 2 ②，
两式相减得： = 3 + 2 × 2
1 + 2 × 22 + + 2 × 2 1 (2 + 1) × 2
2(2 2 )
= 3 + 2(2 + 22 + 2 1) (2 + 1) 2 = 3 + (2 + 1) × 2
1 2
= (2 1) 2 1，
所以 = (2 1) 2
+ 1( ∈ )．
(3)设数列{ }的前 项和为
( + )
由 1 = 3， = 2 + 1，得
1
= = ( + 2)， 2
2
, 为奇数 1 1 , 为奇数
则 = { ( +2) ，即 = { +2 ；
2 1, 为偶数 2 1, 为偶数
故 2 = ( 1 + 3 + + 2 1) + ( 2 + 4 + + 2 )
1 1 1 1 1
= [(1 ) + ( ) + + ( )] + (2 + 23 + + 22 1)
3 3 5 2 1 2 + 1
1 2(1 4 ) 1+22 +1 1
= 1 + = ．
2 +1 1 4 3 2 +1
2
2
19.【答案】(1)由{ = 2√ 2 得 = 2√ 2, = = 2, = 4，
2√ 2 2 = 2 = 4
2 2
所以 1和 2的方程分别为 + = 1,
2 = 8 ．
8 4
(2)由题意， 的斜率不为0，设 : = 2，
= 2
由{ ，得 22 8 + 16 = 0, = 64
2 64 ≤ 0，得 2 ≤ 1，
= 8
= 2
由{ ，得( 22 2 + 1)
2 4 4 = 0，
+ 2 8 = 0
√ 2 4√ 2( 2+1)
| | = 2 + ( 1 + 2) = ( 1 + 2) + 2√ 2 = 2 ， 2 +2
4
与 间的距离为 ，由椭圆的对称性， 为平行四边形，
√ 2+1
1 1 4√ 2( 2+1) 4 8√ 2√
2+1
= = = ， 1 2 2 2 2+2 2√ 2 +2 +1
8√ 2 16
设√ 2 + 1 = , ∈ [1, √ 2]， 1 = 1 ∈ [ , 4√ 2]． 2 + 3

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