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湖南省历年（2020-2024）中考数学真题压轴填空题汇编（1）
一、填空题
1．（2023·衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是　 　 个．
【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形是正五边形，
∴正五边形的每一个内角为：x 180°x(5-2)= 108°，
∴正五边形的个数是360°÷ [180°-(180°-108°)x 2]= 10，
故答案为：10.
【分析】根据题意先求出正五边形的每一个内角为108°，再结合题意求解即可。
2．（2022·娄底）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接.给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值.其中正确的结论有　 　（填结论对应的序号）.
【答案】①②③
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵AD绕点A沿顺时针方向旋转角度得到AD'
∴，
∴
即
∴
∵
得：（SAS）
故①对
∵△ABC和△ADD'是顶角相等的等腰三角形
∴
故②对
∴
即AD最小时最小
当AD⊥BC时，AD最小
由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点
故③对
故答案为：①②③.
【分析】根据旋转的性质可得∠DAD′=，AD=AD′，由角的和差关系可得∠CAD=∠BAD′，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；根据△ABC和△ADD′是顶角相等的等腰三角形结合相似三角形的判定定理可判断②；根据相似三角形的性质结合垂线段最短的性质可判断③.
3．（2023·常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时，　 　．（结果保留一位小数）
【答案】0.1
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵，，
由勾股定理得，
∵C是弦的中点，D在上，，
∴点O位于CD的延长线上，且，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：0.1
【分析】先根据题意结合勾股定理即求出AB的长，再根据勾股定理即可求出OC的长，进而得到，再结合题意代入数值即可求解。
4．（2022·郴州）如图.在 中， ， .以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于 长为半径作弧，在 内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作 ，垂足用G.若 ，则 的周长等于　 　cm.
【答案】8
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
在 中， ， ，
由角平分线的性质，得 ，
∴ 的周长为：
；
故答案为：8.
【分析】根据作图步骤可得AF为∠CAB的平分线，根据角平分线的性质可得CF=GF，由已知条件可知AC=BC，则△BFG的周长为BG+BF+FG=(AB-AG)+BF+CF=(AB-AG)+BC=AB-BC+BC=AB，据此解答.
5．（2023·湘潭）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；正方形的性质
【解析】【解答】解：
由题意得，
∴图中阴影部分的面积为2，
故答案为：2
【分析】根据七巧板的特点结合正方形的性质即可求出OE，进而即可求解。
6．（2022·益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 　 　．
【答案】4
【知识点】勾股定理；正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，AB=3，
∴2AB2=AC2=18，
解之：；
∵将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，
∴；
∵ AA′＝AC=
∴A′C=AC-AA′=
∴所得正方形与原正方形重叠部分是正方形，其面积为.
故答案为：4.
【分析】利用正方形的性质和勾股定理求出AC的长，利用平移的性质可求出A′C′的长；利用已知求出AA′的长，根据A′C=AC-AA′，可求出A′C的长；然后可证得所得正方形与原正方形重叠部分是正方形，即可求出阴影部分的面积.
7．（2023·益阳）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：AE=AD=4，AF平分∠BAD，
∴DM=ME，
∵MN//AB，
∴，
∴点N是边BC的中点，
∴MN是梯形MCDE的中位线，
∴，
故答案为：4.
【分析】根据等腰三角形的三线合一求出DM=ME，再根据平行线分线段成比例求出，最后根据梯形的中位线计算求解即可。
8．（2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点，，，为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，
∴每次顺时针旋转90°，
∴
∴An绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、......、n，每次半径增加1，
∴2023÷5=505...3，
∴点的坐标是，
故答案为：
【分析】先根据正方形的性质结合旋转的性质即可得到每次顺时针旋转90°，进而即可得到规律：An绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、......、n，每次半径增加1，再结合题意即可求解。
9．（2024·湖南）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，则点到水平线的距离为　 　分米（结果用含根号的式子表示）．
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：
∵，
∴
如图，延长交l于点H，连接
在中，，
，
∴
在中．
故答案为：．
【分析】根据已知条件，延长交l于点H，连接，构造出和，再利用特殊角三角函数值和解直角三角形的相关知识求解即可.
10．（2023·长沙）毛主席在《七律二首 送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步.2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 　 　万里．
【答案】4
【知识点】圆的周长
【解析】【解答】解：设地球的半径为x万里，由题意得2πx=8，
解得，
∴火星的半径为万里，
∴该圆的周长大约为万里，
故答案为：4
【分析】先根据题意设地球的半径为x万里，进而求出x即可得到火星的半径为万里，再运用圆周长公式即可求解。
11．（2023·岳阳） 如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．
（1）若，则的长是　 　（结果保留）；
（2）若，则　 　．
【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图所示，连接OC，OD，
∵点C为BD的中点，
∴，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=∠COD=2∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∵AB=6，
∴，
∴的长是，
故答案为：2π；
（2）如图所示：连接OC，
∵点C为BD的中点，
∴，
∴OC⊥BD，
∵EC是圆O的切线，
∴OC⊥EC，
∴EC//BD，
∴，
∵，
∴，
设EB=2a，则AB=6a，BO=3a，EO=EB+BO=5a，
∴，AE=2a+6a=8a，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据题意先求出∠BOC=∠COD=2∠A=60°，再求出，最后利用弧长公式计算求解即可；
（2）根据切线的性质先求出OC⊥EC，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．（2023·郴州）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是　 　cm（结果用含的式子表示）．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，弧即为点C的运动路径：
∵在中，，，
∴BC=6，
∴由勾股定理得，
由旋转可知AB=AB'，∠CAC'=60°，
∵∠B=60°，
∴△ABB'为等边三角形，
∴∠B'AB=60°，
∴点的运动路径长是，
故答案为：
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求出CA的长，进而根据旋转即可得到AB=AB'，∠CAC'=60°，再结合等边三角形的判定与性质即可得到∠B'AB=60°，最后运用弧长的计算公式即可求解。
13．（2024·长沙）为庆视中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生.其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010)，得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份，若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是　 　
【答案】2009
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设参与者选取数字为x，出生年份为y，
根据题意得：
(10x+4.6)×10+1978-y=915，
整理为：y=100x+1109，
∵此时中学生的出生日期都在2000后，
∴x=9，
∴y=2009.
故答案为：2009.
【分析】首先根据题意列出方程，然后再根据实际情况进行推理，即可得出答案.
14．（2023·娄底）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移　 　米（请用关于a的代数式表示），才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．
【答案】
【知识点】分式的化简求值；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由第一次操作可得：，
∴，
设第二次操作时每人须往后移x米，
由题意可得：，
∴，
即每人须往后移米，才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等，
故答案为：.
【分析】利用一元一次方程的应用，分式的化简等计算求解即可。
15．（2023·湘西）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为　 　．
【答案】6
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示：连接AO，过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=30°，
∵是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4，
∴OA=OB=4，CF⊥AB，
∴∠OBA= ∠OAB=30°，
∴∠OAE=∠OAB=∠BAC=30°，
∵BE ⊥AC，
∴OE=OA=2，
∴BE =EO+BO=2+4=6，
∵PD⊥AB，∠ABE=30°，
∴，
∴，
∴的最小值为CF的长度，
∵△ ABC是等边三角形，BE ⊥AC，CF⊥AB，
∴CF=BE= 6，
∴的最小值为6，
故答案为：6.
【分析】根据等边三角形的性质求出∠ABE=∠CBE=∠ABC=30°，再根据圆内接三角形的性质求出OA=OB=4，CF⊥AB，最后根据含30°角的直角三角形的性质等计算求解即可。
16．（2022·湘西）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
当y＝0时， x2＋4x＋5＝0，
x1＝ 1，x2＝5，
∴A（ 1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x＋1）（x 5），
即y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5），
当直线y＝ x＋b经过点A（ 1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，
∴1＋b＝0，
解之：b＝ 1；
当直线y＝ x＋b与抛物线y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2 4x 5＝ x＋b有相等的实数解，
∴x2-3x-5-b=0
∴9-4（-5-b）=0
解之：
∴当直线y＝ x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜ 1.
故答案为：＜b＜ 1.
【分析】由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到点A，B的坐标；再利用折叠的性质，可求出折叠后的二次函数的解析式；当直线y＝ x＋b经过点A（ 1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，代入计算求出b的值；当直线y＝ x＋b与抛物线y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5）有唯一公共点时，利用一元二次方程根的判别式，可求出b的值；综上所述可得到b的取值范围.
17．（2023·株洲）已知实数m、、满足：．
①若，则　 　．
②若m、、为正整数，则符合条件的有序实数对有　 　个
【答案】；
【知识点】因式分解的应用；一元整式方程
【解析】【解答】解：①将代入得，
∴，
故答案为：18；
②∵m、、为正整数，
∴和均为整数，
∵，
∴或或，
∴或或，
当时，m=1时，；m=2时，；m=4时，；故存在3组实数对；
当时，m=1时，；m=3时，；故存在2组实数对；
当时，m=1时，；m=3时，；故存在2组实数对；
∴符合条件的有序实数对有7个，
故答案为：7
【分析】①将代入即可求解；
②先根据题意即可得到和均为整数，进而根据题意进行分类即可求解。
18．（2023·怀化） 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为，边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则的边长为　 　，点的坐标为　 　．
【答案】；
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵△AOB为等边三角形，点A的坐标为(1，0)，
∴OA=1，
∵每次旋转角度为60°，
∴6次旋转360°，
第一次旋转后，A1在第四象限，OA1=2，
第二次旋转后，A2在第三象限，OA2=22，
第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3=23，
第四次旋转后，A4在第二象限，OA4=24，
第五次旋转后，A5在第一象限，OA5=25，
第六次旋转后，A6在轴正半轴，OA6=26，
……
如此循环，每旋转6次，点A的对应点又回到x轴正半轴，
∵2023÷6=337...1，
∴点A2023在第四象限，且0A2023=22023，
如图，过点A2023作A2023H⊥x轴于H，
∵在Rt△OHA2023中，∠HOA2023 =60°，
∴OH = OA2023·cos ∠HOA2023 = 22023x cos60°=22023x=22022，
∴A2023H = OA2023 sin ∠HOA2023 = 22023 +=，
∴点的坐标为，
故答案为：22023，.
【分析】根据题意找出规律求出每旋转6次，点A的对应点又回到x轴正半轴，再结合图形计算求解即可。
19．（2023·邵阳）如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵矩形中，，
∴，
由勾股定理得，
①当点P在CB上时，如图所示：
∴BA=B'A=2，
∴点B'位于以A为圆心，2为半径的圆上运动，
故当A，C，B'三点共线时，CB'最短，
∴；
②当点P在AD上时，如图所示：
由题意得；
③当点P位于CD上时，如图所示：
由题意得；
综上所述，线段的最小值为，
故答案为：
【分析】先根据矩形的性质结合折叠的性质即可得到，进而根据勾股定理即可得到CA的长，然后运用圆外一点到圆上的距离进行分类讨论即可求解。
1 / 1湖南省历年（2020-2024）中考数学真题压轴填空题汇编（1）
一、填空题
1．（2023·衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是　 　 个．
2．（2022·娄底）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接.给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值.其中正确的结论有　 　（填结论对应的序号）.
3．（2023·常德）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时，　 　．（结果保留一位小数）
4．（2022·郴州）如图.在 中， ， .以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于 长为半径作弧，在 内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作 ，垂足用G.若 ，则 的周长等于　 　cm.
5．（2023·湘潭）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为　 　．
6．（2022·益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 　 　．
7．（2023·益阳）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为　 　．
8．（2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点，，，为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是　 　．
9．（2024·湖南）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，则点到水平线的距离为　 　分米（结果用含根号的式子表示）．
10．（2023·长沙）毛主席在《七律二首 送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步.2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 　 　万里．
11．（2023·岳阳） 如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．
（1）若，则的长是　 　（结果保留）；
（2）若，则　 　．
12．（2023·郴州）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是　 　cm（结果用含的式子表示）．
13．（2024·长沙）为庆视中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生.其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010)，得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份，若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是　 　
14．（2023·娄底）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移　 　米（请用关于a的代数式表示），才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．
15．（2023·湘西）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为　 　．
16．（2022·湘西）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 　 　．
17．（2023·株洲）已知实数m、、满足：．
①若，则　 　．
②若m、、为正整数，则符合条件的有序实数对有　 　个
18．（2023·怀化） 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为，边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则的边长为　 　，点的坐标为　 　．
19．（2023·邵阳）如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为　 　．
答案解析部分
1．【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形是正五边形，
∴正五边形的每一个内角为：x 180°x(5-2)= 108°，
∴正五边形的个数是360°÷ [180°-(180°-108°)x 2]= 10，
故答案为：10.
【分析】根据题意先求出正五边形的每一个内角为108°，再结合题意求解即可。
2．【答案】①②③
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵AD绕点A沿顺时针方向旋转角度得到AD'
∴，
∴
即
∴
∵
得：（SAS）
故①对
∵△ABC和△ADD'是顶角相等的等腰三角形
∴
故②对
∴
即AD最小时最小
当AD⊥BC时，AD最小
由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点
故③对
故答案为：①②③.
【分析】根据旋转的性质可得∠DAD′=，AD=AD′，由角的和差关系可得∠CAD=∠BAD′，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；根据△ABC和△ADD′是顶角相等的等腰三角形结合相似三角形的判定定理可判断②；根据相似三角形的性质结合垂线段最短的性质可判断③.
3．【答案】0.1
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵，，
由勾股定理得，
∵C是弦的中点，D在上，，
∴点O位于CD的延长线上，且，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：0.1
【分析】先根据题意结合勾股定理即求出AB的长，再根据勾股定理即可求出OC的长，进而得到，再结合题意代入数值即可求解。
4．【答案】8
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
在 中， ， ，
由角平分线的性质，得 ，
∴ 的周长为：
；
故答案为：8.
【分析】根据作图步骤可得AF为∠CAB的平分线，根据角平分线的性质可得CF=GF，由已知条件可知AC=BC，则△BFG的周长为BG+BF+FG=(AB-AG)+BF+CF=(AB-AG)+BC=AB-BC+BC=AB，据此解答.
5．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；正方形的性质
【解析】【解答】解：
由题意得，
∴图中阴影部分的面积为2，
故答案为：2
【分析】根据七巧板的特点结合正方形的性质即可求出OE，进而即可求解。
6．【答案】4
【知识点】勾股定理；正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，AB=3，
∴2AB2=AC2=18，
解之：；
∵将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，
∴；
∵ AA′＝AC=
∴A′C=AC-AA′=
∴所得正方形与原正方形重叠部分是正方形，其面积为.
故答案为：4.
【分析】利用正方形的性质和勾股定理求出AC的长，利用平移的性质可求出A′C′的长；利用已知求出AA′的长，根据A′C=AC-AA′，可求出A′C的长；然后可证得所得正方形与原正方形重叠部分是正方形，即可求出阴影部分的面积.
7．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：AE=AD=4，AF平分∠BAD，
∴DM=ME，
∵MN//AB，
∴，
∴点N是边BC的中点，
∴MN是梯形MCDE的中位线，
∴，
故答案为：4.
【分析】根据等腰三角形的三线合一求出DM=ME，再根据平行线分线段成比例求出，最后根据梯形的中位线计算求解即可。
8．【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，
∴每次顺时针旋转90°，
∴
∴An绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、......、n，每次半径增加1，
∴2023÷5=505...3，
∴点的坐标是，
故答案为：
【分析】先根据正方形的性质结合旋转的性质即可得到每次顺时针旋转90°，进而即可得到规律：An绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、......、n，每次半径增加1，再结合题意即可求解。
9．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：
∵，
∴
如图，延长交l于点H，连接
在中，，
，
∴
在中．
故答案为：．
【分析】根据已知条件，延长交l于点H，连接，构造出和，再利用特殊角三角函数值和解直角三角形的相关知识求解即可.
10．【答案】4
【知识点】圆的周长
【解析】【解答】解：设地球的半径为x万里，由题意得2πx=8，
解得，
∴火星的半径为万里，
∴该圆的周长大约为万里，
故答案为：4
【分析】先根据题意设地球的半径为x万里，进而求出x即可得到火星的半径为万里，再运用圆周长公式即可求解。
11．【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图所示，连接OC，OD，
∵点C为BD的中点，
∴，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=∠COD=2∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∵AB=6，
∴，
∴的长是，
故答案为：2π；
（2）如图所示：连接OC，
∵点C为BD的中点，
∴，
∴OC⊥BD，
∵EC是圆O的切线，
∴OC⊥EC，
∴EC//BD，
∴，
∵，
∴，
设EB=2a，则AB=6a，BO=3a，EO=EB+BO=5a，
∴，AE=2a+6a=8a，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据题意先求出∠BOC=∠COD=2∠A=60°，再求出，最后利用弧长公式计算求解即可；
（2）根据切线的性质先求出OC⊥EC，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，弧即为点C的运动路径：
∵在中，，，
∴BC=6，
∴由勾股定理得，
由旋转可知AB=AB'，∠CAC'=60°，
∵∠B=60°，
∴△ABB'为等边三角形，
∴∠B'AB=60°，
∴点的运动路径长是，
故答案为：
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求出CA的长，进而根据旋转即可得到AB=AB'，∠CAC'=60°，再结合等边三角形的判定与性质即可得到∠B'AB=60°，最后运用弧长的计算公式即可求解。
13．【答案】2009
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设参与者选取数字为x，出生年份为y，
根据题意得：
(10x+4.6)×10+1978-y=915，
整理为：y=100x+1109，
∵此时中学生的出生日期都在2000后，
∴x=9，
∴y=2009.
故答案为：2009.
【分析】首先根据题意列出方程，然后再根据实际情况进行推理，即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】分式的化简求值；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由第一次操作可得：，
∴，
设第二次操作时每人须往后移x米，
由题意可得：，
∴，
即每人须往后移米，才能使得这个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等，
故答案为：.
【分析】利用一元一次方程的应用，分式的化简等计算求解即可。
15．【答案】6
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图所示：连接AO，过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=30°，
∵是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4，
∴OA=OB=4，CF⊥AB，
∴∠OBA= ∠OAB=30°，
∴∠OAE=∠OAB=∠BAC=30°，
∵BE ⊥AC，
∴OE=OA=2，
∴BE =EO+BO=2+4=6，
∵PD⊥AB，∠ABE=30°，
∴，
∴，
∴的最小值为CF的长度，
∵△ ABC是等边三角形，BE ⊥AC，CF⊥AB，
∴CF=BE= 6，
∴的最小值为6，
故答案为：6.
【分析】根据等边三角形的性质求出∠ABE=∠CBE=∠ABC=30°，再根据圆内接三角形的性质求出OA=OB=4，CF⊥AB，最后根据含30°角的直角三角形的性质等计算求解即可。
16．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
当y＝0时， x2＋4x＋5＝0，
x1＝ 1，x2＝5，
∴A（ 1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x＋1）（x 5），
即y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5），
当直线y＝ x＋b经过点A（ 1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，
∴1＋b＝0，
解之：b＝ 1；
当直线y＝ x＋b与抛物线y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2 4x 5＝ x＋b有相等的实数解，
∴x2-3x-5-b=0
∴9-4（-5-b）=0
解之：
∴当直线y＝ x＋b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜ 1.
故答案为：＜b＜ 1.
【分析】由y=0可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到点A，B的坐标；再利用折叠的性质，可求出折叠后的二次函数的解析式；当直线y＝ x＋b经过点A（ 1，0）时，直线y＝﹣x+b与新图象有3个交点，代入计算求出b的值；当直线y＝ x＋b与抛物线y＝x2 4x 5（ 1≤x≤5）有唯一公共点时，利用一元二次方程根的判别式，可求出b的值；综上所述可得到b的取值范围.
17．【答案】；
【知识点】因式分解的应用；一元整式方程
【解析】【解答】解：①将代入得，
∴，
故答案为：18；
②∵m、、为正整数，
∴和均为整数，
∵，
∴或或，
∴或或，
当时，m=1时，；m=2时，；m=4时，；故存在3组实数对；
当时，m=1时，；m=3时，；故存在2组实数对；
当时，m=1时，；m=3时，；故存在2组实数对；
∴符合条件的有序实数对有7个，
故答案为：7
【分析】①将代入即可求解；
②先根据题意即可得到和均为整数，进而根据题意进行分类即可求解。
18．【答案】；
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵△AOB为等边三角形，点A的坐标为(1，0)，
∴OA=1，
∵每次旋转角度为60°，
∴6次旋转360°，
第一次旋转后，A1在第四象限，OA1=2，
第二次旋转后，A2在第三象限，OA2=22，
第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3=23，
第四次旋转后，A4在第二象限，OA4=24，
第五次旋转后，A5在第一象限，OA5=25，
第六次旋转后，A6在轴正半轴，OA6=26，
……
如此循环，每旋转6次，点A的对应点又回到x轴正半轴，
∵2023÷6=337...1，
∴点A2023在第四象限，且0A2023=22023，
如图，过点A2023作A2023H⊥x轴于H，
∵在Rt△OHA2023中，∠HOA2023 =60°，
∴OH = OA2023·cos ∠HOA2023 = 22023x cos60°=22023x=22022，
∴A2023H = OA2023 sin ∠HOA2023 = 22023 +=，
∴点的坐标为，
故答案为：22023，.
【分析】根据题意找出规律求出每旋转6次，点A的对应点又回到x轴正半轴，再结合图形计算求解即可。
19．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵矩形中，，
∴，
由勾股定理得，
①当点P在CB上时，如图所示：
∴BA=B'A=2，
∴点B'位于以A为圆心，2为半径的圆上运动，
故当A，C，B'三点共线时，CB'最短，
∴；
②当点P在AD上时，如图所示：
由题意得；
③当点P位于CD上时，如图所示：
由题意得；
综上所述，线段的最小值为，
故答案为：
【分析】先根据矩形的性质结合折叠的性质即可得到，进而根据勾股定理即可得到CA的长，然后运用圆外一点到圆上的距离进行分类讨论即可求解。
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