资源简介

湖南省历年（2020-2024）中考数学真题压轴解答题汇编（1）
一、综合题
1．（2023·湘潭）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
2．（2023·怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
（2）点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
3．（2022·郴州）已知抛物线 与x轴相交于点 ， ，与y轴相交于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN.点D是直线MN上任意一点.
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由.
4．（2023·株洲）已知二次函数．
（1）若，且该二次函数的图象过点，求的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，．
①求证：．
②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值．
5．（2022·益阳）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？
6．（2023·邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．
（3）抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标．
7．（2022·湘西）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2023·衡阳）如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．
（1）求a的值．
（2）将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
9．（2022·娄底）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点.
（1）请直接写出点，，的坐标；
（2）点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值.
（3）点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
10．（2023·常德）如图，在中，，D是的中点，延长至E，连接．
（1）求证：；
（2）在如图1中，若，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作于F，设H是的中点，过点H作交于G，交于M．
求证：①；
②．
11．（2023·郴州）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2023·永州）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线交于点，求的最大值；
（3）如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标．
13．（2023·长沙）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图像的对称轴；
②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
14．（2024·长沙）已知四个不同的点都在关于的函数是常数，的图象上.
（1）当A，B两点的坐标分别为时，求代数式的值；
（2）当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与轴的公共点的个数，并说明理由；
（3）当时，该函数图象与轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：.请问是否存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由(注：表示一条长度等于EF的倍的线段).
15．（2023·岳阳）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．
（1）请求出抛物线的表达式．
（2）如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2023·益阳）在平面直角坐标系中，直线（）与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）．
（1）求A点的坐标；
（2）如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；
（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围．
17．（2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
18．（2023·娄底）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．
（1）求b，c的值．
（2）点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2023·湘西）如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式和的值．
（2）在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值．
20．（2024·湖南）【问题背景】
已知点是半径为的上的定点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，过点作的切线，在直线上取点，使得为锐角．
（1）【初步感知】
如图1，当时， ▲ ；
（2）【问题探究】
以线段为对角线作矩形，使得边过点，连接，对角线，相交于点．
①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立：
②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：将点，代入，得
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
顶点坐标为，
当时，
解得：
∴，则
∵，则
∴是等腰直角三角形，
∵
∴到的距离等于到的距离，
∵，，设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，
设的解析式为，将点代入得，
解得：
∴直线的解析式为，
解得：或
∴，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，且，
如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴或
综上所述，或或；
（3）解：①当时，如图所示，过点作交于点，
当点与点重合时，是直角三角形，
当时，是直角三角形，
设交于点，
∵直线的解析式为，
则，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
设，则
∵
∴
解得：（舍去）或
∴
∵是锐角三角形
∴；
②当时，如图所示，
同理可得
即∴
解得：或（舍去）
由（2）可得时，
∴
综上所述，当是锐角三角形时，或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）先将函数化为顶点式，进而即可得到顶点坐标，再根据二次函数的性质即可求出点A的坐标，进而得到OA和OC的长，从而得到是等腰直角三角形，然后即可得到到的距离等于到的距离，设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线的解析式，如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，设的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线BP的解析式，再联立二次函数的解析式和一次函数的解析式即可得到点P的坐标；进而根据两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理即可得到是等腰直角三角形，且，如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，根据题意结合等腰直角三角形的性质即可得到，，进而得到点E的坐标，设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线DE的解析式，再联立二次函数的解析式和一次函数的解析式即可得到点P的坐标；最后总结即可求解。
（3）分类讨论：①当时，过点作交于点，当点与点重合时，是直角三角形，当时，是直角三角形，设交于点，进而先求出点H的坐标，再根据两点间的距离公式求出HC，根据题意求点G的坐标，设，则再根据勾股定理即可求出q，进而得到点Q的坐标，进而即可得到；②当时，同理可得进而即可得到，由（2）可得时，，进而得到；最后总结即可求解。
2．【答案】（1）解：将代入，得
，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
∴对称轴为
∴当时，
∴顶点坐标为（-1，-9）；
（2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点，
由，令，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，将点代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴
，
当时，的最大值为
∵
∴当取得最大值时，面积取得最大值
∴面积的最大值为，
此时，
∴
（3）解：设、，的中点坐标为，
联立，消去，整理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点到的距离为，则，
∵、，
∴，
∴
∴，
∴
∴，
∴点总在上，为直径，且与相切，
∴为直角．
∴无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，再求点的坐标即可；
（2）先求出 ， 再利用待定系数法求出直线的解析式为，最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）利用一元二次方程根与系数的关系求出， 再求出 ， 最后作答即可。
3．【答案】（1）解：将点 ， 代入 得：
解得
∴抛物线的表达式为
（2）解：①由（1）可知： ，
设直线BC： ，将点 ， 代入得：
解得
∴直线BC： ，则直线MN： .
∵抛物线的对称轴： ，
把 代入 ，得 ，
∴ .
设直线CD： ，将点 ， 代入得：
解得
∴直线CD： .
当 时，得 ，
∴ ，
∴ .
②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形.
理由如下：
（I）若平行四边形以BC为边时，由 可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即 .
由点D在直线MN上，设 .
如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则 .
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则 .
∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，解得 .
∴ ，
如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则 .
同理可证： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 .
∴
（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方.
∴如图2-3，存在一种平行四边形，即 .
设 ， ，同理可证： ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ .
解得
∴ ， .
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形.
当点F的坐标为 时，点D的坐标： 或 ；
当点F的坐标为 时，点D的坐标： .
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=x2+bx+c中可得b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）①易得C（0，-3），利用待定系数法求出直线BC、MN的解析式，由抛物线的解析式可得对称轴为直线x=1，将x=1代入直线MN的解析式中求出y，得点D的坐标，然后求出直线CD的解析式，令y=0，求出x的值，可得点E的坐标，进而可得OE的长；
②（I）若平行四边形以BC为边时，由BC∥FD可知：FD在直线MN上，即点F是直线MN与对称轴l的交点，F（1，1），设D（t，t），若四边形BCFD是平行四边形，则DF=BC，过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），由平行线性质得∠OBC=∠DOB，∠GDF=∠DOB，则∠OBC=∠GDF，证明△DGF≌△BOC，得到GD=OB，GF=OC，据此可得t的值，进而得点D的坐标；若四边形BCDF是平行四边形，则DF=CB，同理求解即可；（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，存在一种平行四边形，即平行四边形BFCD，设D（t，t），F（1，m）同理可证△DHC≌△BPF，得到DH=BP，HC=PF，表示出DH、BP、HC、PF，求出t、m的值，进而可得点D、F的坐标.
4．【答案】（1）解：∵，
∴二次函数解析式为，
∵该二次函数的图象过点，
∴
解得：；
（2）解：①∵，，
∴
∴
∴
∵
∴；
②∵该二次函数的图象与轴交于点，且，
∴，，
∵．
∴，
∵的半径长为线段的长度的倍
∴，
∵，
∴，
∴，
即①，
∵该二次函数的图象与轴交于点，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，，
∴，
即②，
①代入②，即，
即，
整理得，
∴，
解得：（正值舍去）
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数即可得到解析式；
（2）①先根据相似三角形的判定与性质证明，进而结合题意即可求解；
②先根据二次函数与x的交点即可得到，，进而得到，再根据题意结合（1）即可得到①，再根据一元二次方程根的关系结合题意即可得到，进而得到②，①代入②整理化简即可得到，进而得到，再根据二次函数的对称轴结合题意即可求解。
5．【答案】（1）解：（任意回答一个即可）；△AFB∽△BCE；△AFB∽△BGC
（2）解：∵四边形AFCC'是平行四边形，∴AF＝CC'，由（1）知：△AFB∽△BGC，∴ ，即，设AF＝5x，BG＝3x，∴CC'＝AF＝5x，∵CG＝C'G，∴CG＝C'G＝2.5x，∵△AFB∽△BCE∽△BGC，∴ ，即，∴CE＝7.5；
（3）解：
分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，
∵C'G⊥BE，∴BG＝GF，∵CG＝C'G，∴四边形BCFC'是菱形，∴CF＝CB＝9，由（2）知：设AF＝5x，BG＝3x，∴BF＝6x，∵△AFB∽△BCE，∴ ，即，∴，∴CE＝；②当C'F＝BF时，如图3，
由（1）知：△AFB∽△BGC，∴ ，设BF＝5a，CG＝3a，∴C'F＝5a，∵CG＝C'G，BE⊥CC'，∴CF＝C'F＝5a，∴FG＝＝4a，∵tan∠CBE＝，∴，∴CE＝3；综上，当CE的长为长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形．
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：(1)（任意回答一个即可）；①如图1，△AFB∽△BCE，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，
∴∠BEC＝∠ABF，∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BCE＝90°，
∴△AFB∽△BCE；
②△AFB∽△CGE，
理由如下：∵CG⊥BE，
∴∠CGE＝90°，
∴∠CGE＝∠AFB，
∵∠CEG＝∠ABF，
∴△AFB∽△CGE；
③△AFB∽△BGC，理由如下：
∵∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，
∴∠ABF＝∠BCG，
∵∠AFB＝∠CGB＝90°，
∴△AFB∽△BGC；
【分析】利用矩形的性质可证得DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，利用平行线的性质可得到∠BEC＝∠ABF，利用垂直的定义可推出∠AFB＝∠BCE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△AFB∽△BCE；利用垂直的定义可证得∠CGE＝∠AFB，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△AFB∽△CGE；利用余角的性质可知∠ABF＝∠BCG，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△AFB∽△BGC.
（2）利用平行四边形的性质，可证得AF＝CC'；由△AFB∽△BGC，利用相似三角形的对应边成比例，可得到AF与BG的比值，设AF＝5x，BG＝3x，可表示出CC′，CG的长，然后利用相似三角形的对应边成比例，可求出CE的长.
（3）利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当C'F＝BC'时，如图2，利用有一组邻边相等的四边形是菱形，可证得四边形BCFC'是菱形，利用菱形的性质可得到CF的长；再由△AFB∽△BC，可得比例式，即可求出CE的长；当C'F＝BF时，由△AFB∽△BGC，利用相似三角形的性质可得到BF，CG的比值，设BF＝5a，CG＝3a，可表示出CF，C′F的长，利用勾股定理表示出FG的长；再利用锐角三角函数的定义，可求出CE的长；综上所述可得到符合题意的CE的长.
6．【答案】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧）
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
则，，
∴，当时，取得最大值为，
∵，
∴当取得最大值时，最大，
∴，
∴面积的最大值；
（3）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，当时，，即，
∵，
∴，
，，
①当为对角线时，，
∴，
解得：，
∴，
∵的中点重合，
∴，
解得：，
∴，
②当为边时，
当四边形为菱形，
∴，
解得：或，
∴或，
∴或，
由的中点重合，
∴或，
解得：或，
∴或，
当时；
如图所示，即四边形是菱形，
点的坐标即为四边形为菱形时，的坐标，
∴点为或，
综上所述，点为或或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数即可得到解析式；
（2）联立抛物线和直线即可得到，进而得到，设点的横坐标为，则，，然后即可表示MN的长，进而根据三角形的面积结合题意即可求解。
（3）先根据题意求出点C的坐标，再根据两点间的距离公式即可得到BC和BM2的长，然后进行分类讨论结合菱形的性质即可求解。
7．【答案】（1）解：将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，
∴，解得，
∴y＝x2+x﹣1，
在y＝x2+2x﹣3中，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴G（0，﹣3）．
（2）解：设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，），N（t，0），
∴NM＝﹣t2﹣2t+3，，
∴＝．
（3）解：存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，
理由如下：
由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，
∴E（﹣2，﹣1），设F（x，0），
①当EG＝EF时，∵G（0，﹣3），
∴EG＝2，
∴2＝，
解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，
∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；
②当EG＝FG时，2＝，此时x无解；
综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A，H的坐标代入函数解析式，可得到关于a，c的方程组解方程组求出a，c的值，可得到二次函数解析式；由x=0可求出对应的y的值，可得到点G的坐标.
（2）设M（t，t2+2t﹣3），可得到D（t，），N（t，0），可表示出MN，DM的长；然后代入求出线段MN与线段DM的长度的比值.
（3）利用二次函数解析式可求出对称轴，利用对称性求出点E的坐标；设F（x，0）；利用等腰三角形的判定，分情况讨论：当EG=EF时；当EG=FG时，利用直角坐标系中两点之间的距离公式，分别得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点F的坐标.
8．【答案】（1）解：抛物线与x轴交于点，
得，
解得：；
（2）解：存在，理由如下：
设与轴交于点，由（1）中结论，得抛物线的解析式为，
当时，，即，
，，即是等腰直角三角形，
，
，
，
设，过点作轴交于点，作于点，
，即是等腰直角三角形，
设直线的解析式为，代入，
得，解得，
故直线的解析式为，
将直线向下平移个单位长度，得直线的解析式为，
，
，
当时，有最大值，
此时也有最大值，；
（3）解：存在或，理由如下：
当点在直线下方时，
在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点，
由（2）中结论，得，
，
，
，
，
设直线的解析式为，代入点，
得，解得，
故设直线的解析式为，
联立，解得（舍），
故；
当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作抛物线于点，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，代入点，
得，解得，
故设直线的解析式为，
，且过点，
故设直线的解析式为，
联立，解得，（舍），
故，
综上所述：或
【知识点】三角形全等及其性质；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求解即可；
（2）先求出 是等腰直角三角形， 再利用待定系数法求出 直线的解析式为， 最后计算求解即可；
（3）分类讨论，结合函数图象，利用全等三角形的判定与性质和待定系数法求解即可。
9．【答案】（1）解：，，；
（2）解：过P作轴交BC于Q，如下图.
设直线BC为，将、代入得
，
解得，
∴直线BC为，
根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，
∵，
∴ ，，
∴，
∵，
∴时，PQ最大为，
而，
∴的面积最大为；
（3）解：存在.
∵点是抛物线上的动点，作//交轴于点，如下图.
∴，设.
当点F在x轴下方时，
∵，
即，
∴，
解得（舍去），，
∴.
当点F在x轴的上方时，令，
则 ，
解得，，
∴或.
综上所述，满足条件的点F的坐标为或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）令，
则，
解得，，
∴，，
令，则，
∴；
【分析】（1）令x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、B、C的坐标；
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，求出直线BC的解析式，易得当平行于直线BC的直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时△PBC的面积最大，设P（m，m2-2m-6），则Q（m，m-6），表示出PQ，根据二次函数的性质可得PQ的最大值，然后利用三角形的面积公式进行计算；
（3）作FE∥AC交x轴于点E，设F（a，a2-2a-6），当点F在x轴下方时，易得OC=6，则点F的纵坐标为-6，代入求解可得a的值，据此可得点F的坐标；当点F在x轴的上方时，同理可得点F的坐标.
10．【答案】（1）证明：∵是的中点，
∴是的垂直平分线，
又∵E在上，
∴，
在和中，
∴
（2）证明：①连接，
∵分别是和的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
②在和中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵A、H分别为和中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，即为中点，
又∵，
∴为中点，
∴.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质结合垂直平分线的判定与性质即可得到，进而根据三角形全等的判定（SSS）即可求解；
（2）①连接，先根据三角形中位线的性质即可得到，进而根据平行线的性质得到，从而结合题意即可得到，再运用相似三角形的判定与性质证明，然后进行等量代换即可得到；
（3）先根据题意证明，进而根据相似三角形的判定与性质证明，进而结合题意即可得到，即为中点，再已知条件即可求解。
11．【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，，
∴，解得：，
∴；
（2）解：∵，当时，，
∴，抛物线的对称轴为直线
∵的周长等于，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）解：存在，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
①当点在点上方时：
过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，
设点横坐标为，
则：，
解得：，
∴或；
②当点在点下方时：设与轴交于点，
则：，
设，
则：，，
∴，解得：，
∴，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴或；
综上：或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）先根据二次函数的性质即可得到抛物线的对称轴和点C，进而根据题意得到当的值最小时，的周长最小，再根据对称即可得到，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，设直线的解析式为：，运用待定系数法求一次函数的解析式，进而得到点P的坐标，再运用两点间的距离公式结合题意求出PA和PC即可；
（3）存在，先根结合已知条件得到，然后分类讨论：①当点在点上方时：过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，设点横坐标为，进而根据题意即可求出Q的坐标；②当点在点下方时：设与轴交于点，则：，设，根据勾股定理即可求出p，进而得到点E的坐标，再运用待定系数法求直线DE的解析式，进而联立直线和抛物线即可求出点Q的坐标，最后总结即可。
12．【答案】（1）解：抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，
，，，
，
，
抛物线的解析式为：．
故答案为：．
（2）解：过点作轴于点，如图所示，
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
，
，
．
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．
在直线上，，
在直线上，的解析式为：，
，
．
在抛物线上，
．
．
，
．
，，
．
，，
当时， 有最大值，且最大值为： ．
故答案为：．
（3）解：设与的交点为，如图所示，
为正方形，，
，，．
，，，
为矩形．
．
，
．
，
，
，
，
．
，
，
．
，
．
，
设，
，．
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
．
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．
，在直线上，
，
，即点横坐标为．
在抛物线上，
，
，
，
，
或．
或．
，或，．
为点横坐标，且，，
，
．
点横坐标为：．
故答案为：5．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点作轴于点，先求出直线BF的解析式为，可得，再求出，可得，再求出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（3）设与的交点为，先求出直线AP的解析式，再结合 ，在直线上，可得，求出 点横坐标为，结合P在抛物线上，可得，求出 ，或，，再求出点P的横坐标即可。
13．【答案】（1）解：由题意可知：，
∴．
答：k的值为，m的值为3，n的值为2．
（2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴对称轴为．
答：函数的图像的对称轴为．
②，令，解得，
∴过定点，．
答：函数y2的图像过定点，．
（3）解：由题意可知，，
∴，
∴， ，
∵且，
∴；
①若，则，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；正方形的性质；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据非负性即可得到，进而结合题意即可求解；
（2）①先根据点与点始终在关于x的函数的图像上运动结合题意即可得到对称轴为，进而结合题意进行化简即可求解；
②先根据题意得到，进而令即可求解；
（3）先根据题意得到，进而得到， ，再二次函数与坐标轴的交点即可得到；然后分类讨论：①若，则，要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，则为等腰直角三角形，在根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质结合题意即可得到；②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，最后总结即可求解。
14．【答案】（1）解：将代入得
②-①得8a+4b=8，即.
所以.
（2）解：此函数图象与轴的公共点个数为两个.
由，得.
可得或.
当时，，此拋物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在轴的下方，此时该函数图象与轴有两个公共点；
当时，，此拋物线开口向下，而A，B两点之中至少有一个点在轴的上方，此时该函数图象与轴也有两个公共点.
综上所述，此函数图象与轴必有两个公共点.
（3）解：因为，所以该函数图象开口向上.
由，得，可得.
由，得，可得.
所以直线AB，CD均与轴平行.
由(2)可知该函数图象与轴必有两个公共点，设.由图象可知，即.
所以的两根为，可得
同理的两根为，可得.
同理的两根为，可得.
由于，结合图象与计算可得.
若存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为的直角三角形，所以线段AB不可能是该直角三角形的斜边.
①当以线段CD为斜边，且两锐角分别为时，因为，所以必须同时满足：.
将上述各式代入化简可得，且，联立解之得，解得符合要求.
所以，此时该函数的最小值为.
②当以线段为斜边时，必有，同理代入化简可得，解得.
因为以线段为斜边，且有一个内角为，而，所以，即，化简得符合要求.
所以，此时该函数的最小值为.
综上所述，存在两个的值符合题意；
当时，此时该函数的最小值为；
当时，此时该函数的最小值为
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；求代数式的值-整体代入求值；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据点A和点B的坐标，代入二次函数关系式中，即可得出，然后整体代入，即可得出的值；
（2）令由，求解，再根据a的正负分类讨论即可；
（3）由内角之比可得出这是一个含30°锐角的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的三角函数值建立方程即可.
15．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，交轴于点，
∴把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：假设存在这样的正方形，如图，过点E作于点R，过点F作轴于点I，
∴
∵四边形是正方形，
∴
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
同理可证明：
∴
∴
∴；
（3）解：∵
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
令则，
解得，
∴
∴将抛物线的图象右平移2个单位后，则有：，对称轴为直线，即
∴点B在平移后的抛物线的对称轴上，
∴
∴
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，
∴此时
∴
∴
又
∴，
∴
∴
所以，当点P与点B重合时，即点P的坐标为，则有．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据正方形的性质求出，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）先求出抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 再求出点B的坐标，最后利用勾股定理和相似三角形的判定与性质计算求解即可。
16．【答案】（1）解：对于直线，
当时，，
∴A点的坐标为；
（2）解：联立得：，解得： 或，
∵B在C的左边，
∴点，
∵B点关于x轴的对称点为点，
∴点，
∴，，，
∴，此时，
即，
解得：（负值舍去）；
∴，此时，
即，
解得：（负值舍去）；
∴或.
（3）解：如图，设直线与y轴交于点D，直线分别与直线l与抛物线E交于点F，E，
对于直线，
当时，，
∴点，
当时，，
∴点，
对于抛物线，
当时，，
∴点，
∴，
∵直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，
∴封闭图形即阴影部分（不包含边界）中在y轴上格点数恰好是13个，
∴，
解得：．
【知识点】勾股定理；一次函数的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出当时，，再求点的坐标即可；
（2）先求出点B和点C的坐标，再求出， 最后利用勾股定理计算求解即可；
（3）先求出点D和点F的坐标，再求出 ， 最后求取值范围即可。
17．【答案】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
所以抛物线的表达式为；
（2）解：作点O关于直线的对称点E，连接，
∵，，，
∴，
∵O、E关于直线对称，
∴四边形为正方形，
∴，
连接，交于点D，由对称性，
此时有最小值为的长，
∵的周长为，
，的最小值为10，
∴的周长的最小值为；
（3）解： 由已知点 ， ， ，
设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入 中， ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
同理可得：直线 的表达式为 ，
∵ ，
∴设直线 表达式为 ，
由（1）设 ，代入直线 的表达式
得： ，
∴直线 的表达式为： ，
由 ，得 ，
∴ ，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴当 时，此时P点为 .
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；正方形的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意设抛物线的表达式为，进而代入即可求解；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，进而根据题意得到OB=OC=6，进而根据正方形的性质得到点E的坐标，连接，交于点D，由对称性，此时有最小值为的长，进而跟进勾股定理求出AE，再根据的周长为结合题意即可求解；
（3）先运用待定系数法求出直线BC的函数表达式，同理可得：直线 的表达式为 ，再根据一次函数平行即可设直线 表达式为 ，由（1）设 ，代入直线 的表达式即可得到，进而联立解析式即可得到 ，再根据结合二次函数的最值即可求解。
18．【答案】（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）解：①由（1）可知：，
当时，，即，
设的解析式为：，
将，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，
∵，则，
∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵轴，
∴，，则，
当点在对称轴左侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时，即点；
当点在对称轴右侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时：，即点；
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①先根据二次函数的性质即可得到点C的坐标，再设的解析式为：，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式，过点P作轴，交于点E，交轴于点，先根据题意即可得到，进而即可表示出的面积，再求二次函数的最值即可求解；
②由①可知，进而分类讨论：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，运用二次函数的图象与性质结合题意即可求解。
19．【答案】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，得：，
解得：，，
∴，
∴二次函数的解析式为，；
（2）解：不存在．理由如下：
如图，
设，
∵，，，
∴，，，
∵点在二次函数位于轴上方的图像上，且，
∴，
整理得：，
∵，
∴方程无实数根，
∴不存在符合条件的点；
（3）解：如图，设交轴于点，
∵，，
∴，
∵点与点关于原点对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∵平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，
①当点与点不重合时，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
②当点与点重合时，此时点与点重合，
∴，，
∴，
综上所述，的值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形全等及其性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求出二次函数的解析式，进而根据二次函数的性质即可得到b的值；
（2）不存在．理由如下：设，先根据点的坐标即可得到，，，进而根据题意结合一元二次方程的判别式即可求解；
（3）设交轴于点，先根据点的坐标即可得到，再根据点关于原点对称即可得到，进而结合题意运用圆周角定理即可得到，再根据题意分类讨论：①当点与点不重合时，②当点与点重合时，此时点与点重合，进而运用平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质结合题意即可求解。
20．【答案】（1）30
（2）①证明：四边形是矩形，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
即无论在给定的范围内如何变化，总成立．
②解：是切线，
，
，
．
设，则，，
，，
，，
即点在线段上，
如图，过作，垂足为，则，
，，
，
，
设，则，
，
在中，，
在中，，
，解得，
，，
．
【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】（1）解：，，
，
与圆相切，
，
．
故答案为：30．
【分析】（1）根据圆的半径相等，可证是等边三角形，则，再由切线的性质得到，故；
（2）①根据矩形的性质（对角线相等且互相平分）及切线的性质先证明，再由全等三角形的性质及矩形的性质（对边相等）推出结论；
②根据已知，由切线的性质及正切函数的定义，得出，再利用线段之间的关系证明出点在线段上，过作，垂足为，推出，再由相似的性质，得出EH、ED的关系，设，则，分别在、中使用勾股定理，建立等量关系式，用含m的式子表示a，表示出AB和CB，即可解答.
1 / 1湖南省历年（2020-2024）中考数学真题压轴解答题汇编（1）
一、综合题
1．（2023·湘潭）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
【答案】（1）解：将点，代入，得
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
顶点坐标为，
当时，
解得：
∴，则
∵，则
∴是等腰直角三角形，
∵
∴到的距离等于到的距离，
∵，，设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，
设的解析式为，将点代入得，
解得：
∴直线的解析式为，
解得：或
∴，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，且，
如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或
∴或
综上所述，或或；
（3）解：①当时，如图所示，过点作交于点，
当点与点重合时，是直角三角形，
当时，是直角三角形，
设交于点，
∵直线的解析式为，
则，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
设，则
∵
∴
解得：（舍去）或
∴
∵是锐角三角形
∴；
②当时，如图所示，
同理可得
即∴
解得：或（舍去）
由（2）可得时，
∴
综上所述，当是锐角三角形时，或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）先将函数化为顶点式，进而即可得到顶点坐标，再根据二次函数的性质即可求出点A的坐标，进而得到OA和OC的长，从而得到是等腰直角三角形，然后即可得到到的距离等于到的距离，设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线的解析式，如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，设的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线BP的解析式，再联立二次函数的解析式和一次函数的解析式即可得到点P的坐标；进而根据两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理即可得到是等腰直角三角形，且，如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，根据题意结合等腰直角三角形的性质即可得到，，进而得到点E的坐标，设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即可得到直线DE的解析式，再联立二次函数的解析式和一次函数的解析式即可得到点P的坐标；最后总结即可求解。
（3）分类讨论：①当时，过点作交于点，当点与点重合时，是直角三角形，当时，是直角三角形，设交于点，进而先求出点H的坐标，再根据两点间的距离公式求出HC，根据题意求点G的坐标，设，则再根据勾股定理即可求出q，进而得到点Q的坐标，进而即可得到；②当时，同理可得进而即可得到，由（2）可得时，，进而得到；最后总结即可求解。
2．（2023·怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
（2）点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
【答案】（1）解：将代入，得
，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
∴对称轴为
∴当时，
∴顶点坐标为（-1，-9）；
（2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点，
由，令，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，将点代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴
，
当时，的最大值为
∵
∴当取得最大值时，面积取得最大值
∴面积的最大值为，
此时，
∴
（3）解：设、，的中点坐标为，
联立，消去，整理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点到的距离为，则，
∵、，
∴，
∴
∴，
∴
∴，
∴点总在上，为直径，且与相切，
∴为直角．
∴无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，再求点的坐标即可；
（2）先求出 ， 再利用待定系数法求出直线的解析式为，最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）利用一元二次方程根与系数的关系求出， 再求出 ， 最后作答即可。
3．（2022·郴州）已知抛物线 与x轴相交于点 ， ，与y轴相交于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN.点D是直线MN上任意一点.
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，求线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将点 ， 代入 得：
解得
∴抛物线的表达式为
（2）解：①由（1）可知： ，
设直线BC： ，将点 ， 代入得：
解得
∴直线BC： ，则直线MN： .
∵抛物线的对称轴： ，
把 代入 ，得 ，
∴ .
设直线CD： ，将点 ， 代入得：
解得
∴直线CD： .
当 时，得 ，
∴ ，
∴ .
②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形.
理由如下：
（I）若平行四边形以BC为边时，由 可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即 .
由点D在直线MN上，设 .
如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则 .
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则 .
∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，解得 .
∴ ，
如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则 .
同理可证： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 .
∴
（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方.
∴如图2-3，存在一种平行四边形，即 .
设 ， ，同理可证： ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ .
解得
∴ ， .
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形.
当点F的坐标为 时，点D的坐标： 或 ；
当点F的坐标为 时，点D的坐标： .
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=x2+bx+c中可得b、c的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）①易得C（0，-3），利用待定系数法求出直线BC、MN的解析式，由抛物线的解析式可得对称轴为直线x=1，将x=1代入直线MN的解析式中求出y，得点D的坐标，然后求出直线CD的解析式，令y=0，求出x的值，可得点E的坐标，进而可得OE的长；
②（I）若平行四边形以BC为边时，由BC∥FD可知：FD在直线MN上，即点F是直线MN与对称轴l的交点，F（1，1），设D（t，t），若四边形BCFD是平行四边形，则DF=BC，过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），由平行线性质得∠OBC=∠DOB，∠GDF=∠DOB，则∠OBC=∠GDF，证明△DGF≌△BOC，得到GD=OB，GF=OC，据此可得t的值，进而得点D的坐标；若四边形BCDF是平行四边形，则DF=CB，同理求解即可；（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，存在一种平行四边形，即平行四边形BFCD，设D（t，t），F（1，m）同理可证△DHC≌△BPF，得到DH=BP，HC=PF，表示出DH、BP、HC、PF，求出t、m的值，进而可得点D、F的坐标.
4．（2023·株洲）已知二次函数．
（1）若，且该二次函数的图象过点，求的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，．
①求证：．
②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴二次函数解析式为，
∵该二次函数的图象过点，
∴
解得：；
（2）解：①∵，，
∴
∴
∴
∵
∴；
②∵该二次函数的图象与轴交于点，且，
∴，，
∵．
∴，
∵的半径长为线段的长度的倍
∴，
∵，
∴，
∴，
即①，
∵该二次函数的图象与轴交于点，
∴是方程的两个根，
∴，
∵，，
∴，
即②，
①代入②，即，
即，
整理得，
∴，
解得：（正值舍去）
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数即可得到解析式；
（2）①先根据相似三角形的判定与性质证明，进而结合题意即可求解；
②先根据二次函数与x的交点即可得到，，进而得到，再根据题意结合（1）即可得到①，再根据一元二次方程根的关系结合题意即可得到，进而得到②，①代入②整理化简即可得到，进而得到，再根据二次函数的对称轴结合题意即可求解。
5．（2022·益阳）如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．
（1）直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；
（2）若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；
（3）当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？
【答案】（1）解：（任意回答一个即可）；△AFB∽△BCE；△AFB∽△BGC
（2）解：∵四边形AFCC'是平行四边形，∴AF＝CC'，由（1）知：△AFB∽△BGC，∴ ，即，设AF＝5x，BG＝3x，∴CC'＝AF＝5x，∵CG＝C'G，∴CG＝C'G＝2.5x，∵△AFB∽△BCE∽△BGC，∴ ，即，∴CE＝7.5；
（3）解：
分两种情况：①当C'F＝BC'时，如图2，
∵C'G⊥BE，∴BG＝GF，∵CG＝C'G，∴四边形BCFC'是菱形，∴CF＝CB＝9，由（2）知：设AF＝5x，BG＝3x，∴BF＝6x，∵△AFB∽△BCE，∴ ，即，∴，∴CE＝；②当C'F＝BF时，如图3，
由（1）知：△AFB∽△BGC，∴ ，设BF＝5a，CG＝3a，∴C'F＝5a，∵CG＝C'G，BE⊥CC'，∴CF＝C'F＝5a，∴FG＝＝4a，∵tan∠CBE＝，∴，∴CE＝3；综上，当CE的长为长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形．
【知识点】相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：(1)（任意回答一个即可）；①如图1，△AFB∽△BCE，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，
∴∠BEC＝∠ABF，∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BCE＝90°，
∴△AFB∽△BCE；
②△AFB∽△CGE，
理由如下：∵CG⊥BE，
∴∠CGE＝90°，
∴∠CGE＝∠AFB，
∵∠CEG＝∠ABF，
∴△AFB∽△CGE；
③△AFB∽△BGC，理由如下：
∵∠ABF+∠CBG＝∠CBG+∠BCG＝90°，
∴∠ABF＝∠BCG，
∵∠AFB＝∠CGB＝90°，
∴△AFB∽△BGC；
【分析】利用矩形的性质可证得DC∥AB，∠BCE＝∠ABC＝90°，利用平行线的性质可得到∠BEC＝∠ABF，利用垂直的定义可推出∠AFB＝∠BCE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△AFB∽△BCE；利用垂直的定义可证得∠CGE＝∠AFB，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△AFB∽△CGE；利用余角的性质可知∠ABF＝∠BCG，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△AFB∽△BGC.
（2）利用平行四边形的性质，可证得AF＝CC'；由△AFB∽△BGC，利用相似三角形的对应边成比例，可得到AF与BG的比值，设AF＝5x，BG＝3x，可表示出CC′，CG的长，然后利用相似三角形的对应边成比例，可求出CE的长.
（3）利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当C'F＝BC'时，如图2，利用有一组邻边相等的四边形是菱形，可证得四边形BCFC'是菱形，利用菱形的性质可得到CF的长；再由△AFB∽△BC，可得比例式，即可求出CE的长；当C'F＝BF时，由△AFB∽△BGC，利用相似三角形的性质可得到BF，CG的比值，设BF＝5a，CG＝3a，可表示出CF，C′F的长，利用勾股定理表示出FG的长；再利用锐角三角函数的定义，可求出CE的长；综上所述可得到符合题意的CE的长.
6．（2023·邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．
（3）抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧）
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
则，，
∴，当时，取得最大值为，
∵，
∴当取得最大值时，最大，
∴，
∴面积的最大值；
（3）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，当时，，即，
∵，
∴，
，，
①当为对角线时，，
∴，
解得：，
∴，
∵的中点重合，
∴，
解得：，
∴，
②当为边时，
当四边形为菱形，
∴，
解得：或，
∴或，
∴或，
由的中点重合，
∴或，
解得：或，
∴或，
当时；
如图所示，即四边形是菱形，
点的坐标即为四边形为菱形时，的坐标，
∴点为或，
综上所述，点为或或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数即可得到解析式；
（2）联立抛物线和直线即可得到，进而得到，设点的横坐标为，则，，然后即可表示MN的长，进而根据三角形的面积结合题意即可求解。
（3）先根据题意求出点C的坐标，再根据两点间的距离公式即可得到BC和BM2的长，然后进行分类讨论结合菱形的性质即可求解。
7．（2022·湘西）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．
（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．
（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．
（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，
∴，解得，
∴y＝x2+x﹣1，
在y＝x2+2x﹣3中，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴G（0，﹣3）．
（2）解：设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，），N（t，0），
∴NM＝﹣t2﹣2t+3，，
∴＝．
（3）解：存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，
理由如下：
由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，
∴E（﹣2，﹣1），设F（x，0），
①当EG＝EF时，∵G（0，﹣3），
∴EG＝2，
∴2＝，
解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，
∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；
②当EG＝FG时，2＝，此时x无解；
综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A，H的坐标代入函数解析式，可得到关于a，c的方程组解方程组求出a，c的值，可得到二次函数解析式；由x=0可求出对应的y的值，可得到点G的坐标.
（2）设M（t，t2+2t﹣3），可得到D（t，），N（t，0），可表示出MN，DM的长；然后代入求出线段MN与线段DM的长度的比值.
（3）利用二次函数解析式可求出对称轴，利用对称性求出点E的坐标；设F（x，0）；利用等腰三角形的判定，分情况讨论：当EG=EF时；当EG=FG时，利用直角坐标系中两点之间的距离公式，分别得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点F的坐标.
8．（2023·衡阳）如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．
（1）求a的值．
（2）将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：抛物线与x轴交于点，
得，
解得：；
（2）解：存在，理由如下：
设与轴交于点，由（1）中结论，得抛物线的解析式为，
当时，，即，
，，即是等腰直角三角形，
，
，
，
设，过点作轴交于点，作于点，
，即是等腰直角三角形，
设直线的解析式为，代入，
得，解得，
故直线的解析式为，
将直线向下平移个单位长度，得直线的解析式为，
，
，
当时，有最大值，
此时也有最大值，；
（3）解：存在或，理由如下：
当点在直线下方时，
在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点，
由（2）中结论，得，
，
，
，
，
设直线的解析式为，代入点，
得，解得，
故设直线的解析式为，
联立，解得（舍），
故；
当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作抛物线于点，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，代入点，
得，解得，
故设直线的解析式为，
，且过点，
故设直线的解析式为，
联立，解得，（舍），
故，
综上所述：或
【知识点】三角形全等及其性质；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求解即可；
（2）先求出 是等腰直角三角形， 再利用待定系数法求出 直线的解析式为， 最后计算求解即可；
（3）分类讨论，结合函数图象，利用全等三角形的判定与性质和待定系数法求解即可。
9．（2022·娄底）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点.
（1）请直接写出点，，的坐标；
（2）点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值.
（3）点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：，，；
（2）解：过P作轴交BC于Q，如下图.
设直线BC为，将、代入得
，
解得，
∴直线BC为，
根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，
∵，
∴ ，，
∴，
∵，
∴时，PQ最大为，
而，
∴的面积最大为；
（3）解：存在.
∵点是抛物线上的动点，作//交轴于点，如下图.
∴，设.
当点F在x轴下方时，
∵，
即，
∴，
解得（舍去），，
∴.
当点F在x轴的上方时，令，
则 ，
解得，，
∴或.
综上所述，满足条件的点F的坐标为或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）令，
则，
解得，，
∴，，
令，则，
∴；
【分析】（1）令x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、B、C的坐标；
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，求出直线BC的解析式，易得当平行于直线BC的直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时△PBC的面积最大，设P（m，m2-2m-6），则Q（m，m-6），表示出PQ，根据二次函数的性质可得PQ的最大值，然后利用三角形的面积公式进行计算；
（3）作FE∥AC交x轴于点E，设F（a，a2-2a-6），当点F在x轴下方时，易得OC=6，则点F的纵坐标为-6，代入求解可得a的值，据此可得点F的坐标；当点F在x轴的上方时，同理可得点F的坐标.
10．（2023·常德）如图，在中，，D是的中点，延长至E，连接．
（1）求证：；
（2）在如图1中，若，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作于F，设H是的中点，过点H作交于G，交于M．
求证：①；
②．
【答案】（1）证明：∵是的中点，
∴是的垂直平分线，
又∵E在上，
∴，
在和中，
∴
（2）证明：①连接，
∵分别是和的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
②在和中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵A、H分别为和中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，即为中点，
又∵，
∴为中点，
∴.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质结合垂直平分线的判定与性质即可得到，进而根据三角形全等的判定（SSS）即可求解；
（2）①连接，先根据三角形中位线的性质即可得到，进而根据平行线的性质得到，从而结合题意即可得到，再运用相似三角形的判定与性质证明，然后进行等量代换即可得到；
（3）先根据题意证明，进而根据相似三角形的判定与性质证明，进而结合题意即可得到，即为中点，再已知条件即可求解。
11．（2023·郴州）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，，
∴，解得：，
∴；
（2）解：∵，当时，，
∴，抛物线的对称轴为直线
∵的周长等于，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）解：存在，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
①当点在点上方时：
过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，
设点横坐标为，
则：，
解得：，
∴或；
②当点在点下方时：设与轴交于点，
则：，
设，
则：，，
∴，解得：，
∴，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴或；
综上：或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）先根据二次函数的性质即可得到抛物线的对称轴和点C，进而根据题意得到当的值最小时，的周长最小，再根据对称即可得到，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，设直线的解析式为：，运用待定系数法求一次函数的解析式，进而得到点P的坐标，再运用两点间的距离公式结合题意求出PA和PC即可；
（3）存在，先根结合已知条件得到，然后分类讨论：①当点在点上方时：过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，设点横坐标为，进而根据题意即可求出Q的坐标；②当点在点下方时：设与轴交于点，则：，设，根据勾股定理即可求出p，进而得到点E的坐标，再运用待定系数法求直线DE的解析式，进而联立直线和抛物线即可求出点Q的坐标，最后总结即可。
12．（2023·永州）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线交于点，求的最大值；
（3）如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标．
【答案】（1）解：抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，
，，，
，
，
抛物线的解析式为：．
故答案为：．
（2）解：过点作轴于点，如图所示，
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
，
，
．
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．
在直线上，，
在直线上，的解析式为：，
，
．
在抛物线上，
．
．
，
．
，，
．
，，
当时， 有最大值，且最大值为： ．
故答案为：．
（3）解：设与的交点为，如图所示，
为正方形，，
，，．
，，，
为矩形．
．
，
．
，
，
，
，
．
，
，
．
，
．
，
设，
，．
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
．
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．
，在直线上，
，
，即点横坐标为．
在抛物线上，
，
，
，
，
或．
或．
，或，．
为点横坐标，且，，
，
．
点横坐标为：．
故答案为：5．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点作轴于点，先求出直线BF的解析式为，可得，再求出，可得，再求出，最后利用二次函数的性质求解即可；
（3）设与的交点为，先求出直线AP的解析式，再结合 ，在直线上，可得，求出 点横坐标为，结合P在抛物线上，可得，求出 ，或，，再求出点P的横坐标即可。
13．（2023·长沙）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图像的对称轴；
②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可知：，
∴．
答：k的值为，m的值为3，n的值为2．
（2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴对称轴为．
答：函数的图像的对称轴为．
②，令，解得，
∴过定点，．
答：函数y2的图像过定点，．
（3）解：由题意可知，，
∴，
∴， ，
∵且，
∴；
①若，则，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；正方形的性质；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据非负性即可得到，进而结合题意即可求解；
（2）①先根据点与点始终在关于x的函数的图像上运动结合题意即可得到对称轴为，进而结合题意进行化简即可求解；
②先根据题意得到，进而令即可求解；
（3）先根据题意得到，进而得到， ，再二次函数与坐标轴的交点即可得到；然后分类讨论：①若，则，要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，则为等腰直角三角形，在根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质结合题意即可得到；②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，最后总结即可求解。
14．（2024·长沙）已知四个不同的点都在关于的函数是常数，的图象上.
（1）当A，B两点的坐标分别为时，求代数式的值；
（2）当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与轴的公共点的个数，并说明理由；
（3）当时，该函数图象与轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：.请问是否存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由(注：表示一条长度等于EF的倍的线段).
【答案】（1）解：将代入得
②-①得8a+4b=8，即.
所以.
（2）解：此函数图象与轴的公共点个数为两个.
由，得.
可得或.
当时，，此拋物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在轴的下方，此时该函数图象与轴有两个公共点；
当时，，此拋物线开口向下，而A，B两点之中至少有一个点在轴的上方，此时该函数图象与轴也有两个公共点.
综上所述，此函数图象与轴必有两个公共点.
（3）解：因为，所以该函数图象开口向上.
由，得，可得.
由，得，可得.
所以直线AB，CD均与轴平行.
由(2)可知该函数图象与轴必有两个公共点，设.由图象可知，即.
所以的两根为，可得
同理的两根为，可得.
同理的两根为，可得.
由于，结合图象与计算可得.
若存在实数，使得这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为的直角三角形，所以线段AB不可能是该直角三角形的斜边.
①当以线段CD为斜边，且两锐角分别为时，因为，所以必须同时满足：.
将上述各式代入化简可得，且，联立解之得，解得符合要求.
所以，此时该函数的最小值为.
②当以线段为斜边时，必有，同理代入化简可得，解得.
因为以线段为斜边，且有一个内角为，而，所以，即，化简得符合要求.
所以，此时该函数的最小值为.
综上所述，存在两个的值符合题意；
当时，此时该函数的最小值为；
当时，此时该函数的最小值为
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；求代数式的值-整体代入求值；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据点A和点B的坐标，代入二次函数关系式中，即可得出，然后整体代入，即可得出的值；
（2）令由，求解，再根据a的正负分类讨论即可；
（3）由内角之比可得出这是一个含30°锐角的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的三角函数值建立方程即可.
15．（2023·岳阳）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．
（1）请求出抛物线的表达式．
（2）如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，交轴于点，
∴把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：假设存在这样的正方形，如图，过点E作于点R，过点F作轴于点I，
∴
∵四边形是正方形，
∴
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
同理可证明：
∴
∴
∴；
（3）解：∵
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
令则，
解得，
∴
∴将抛物线的图象右平移2个单位后，则有：，对称轴为直线，即
∴点B在平移后的抛物线的对称轴上，
∴
∴
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，
∴此时
∴
∴
又
∴，
∴
∴
所以，当点P与点B重合时，即点P的坐标为，则有．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据正方形的性质求出，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）先求出抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 再求出点B的坐标，最后利用勾股定理和相似三角形的判定与性质计算求解即可。
16．（2023·益阳）在平面直角坐标系中，直线（）与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）．
（1）求A点的坐标；
（2）如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；
（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围．
【答案】（1）解：对于直线，
当时，，
∴A点的坐标为；
（2）解：联立得：，解得： 或，
∵B在C的左边，
∴点，
∵B点关于x轴的对称点为点，
∴点，
∴，，，
∴，此时，
即，
解得：（负值舍去）；
∴，此时，
即，
解得：（负值舍去）；
∴或.
（3）解：如图，设直线与y轴交于点D，直线分别与直线l与抛物线E交于点F，E，
对于直线，
当时，，
∴点，
当时，，
∴点，
对于抛物线，
当时，，
∴点，
∴，
∵直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，
∴封闭图形即阴影部分（不包含边界）中在y轴上格点数恰好是13个，
∴，
解得：．
【知识点】勾股定理；一次函数的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意先求出当时，，再求点的坐标即可；
（2）先求出点B和点C的坐标，再求出， 最后利用勾股定理计算求解即可；
（3）先求出点D和点F的坐标，再求出 ， 最后求取值范围即可。
17．（2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【答案】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
所以抛物线的表达式为；
（2）解：作点O关于直线的对称点E，连接，
∵，，，
∴，
∵O、E关于直线对称，
∴四边形为正方形，
∴，
连接，交于点D，由对称性，
此时有最小值为的长，
∵的周长为，
，的最小值为10，
∴的周长的最小值为；
（3）解： 由已知点 ， ， ，
设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入 中， ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
同理可得：直线 的表达式为 ，
∵ ，
∴设直线 表达式为 ，
由（1）设 ，代入直线 的表达式
得： ，
∴直线 的表达式为： ，
由 ，得 ，
∴ ，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴当 时，此时P点为 .
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；正方形的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意设抛物线的表达式为，进而代入即可求解；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，进而根据题意得到OB=OC=6，进而根据正方形的性质得到点E的坐标，连接，交于点D，由对称性，此时有最小值为的长，进而跟进勾股定理求出AE，再根据的周长为结合题意即可求解；
（3）先运用待定系数法求出直线BC的函数表达式，同理可得：直线 的表达式为 ，再根据一次函数平行即可设直线 表达式为 ，由（1）设 ，代入直线 的表达式即可得到，进而联立解析式即可得到 ，再根据结合二次函数的最值即可求解。
18．（2023·娄底）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．
（1）求b，c的值．
（2）点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）解：①由（1）可知：，
当时，，即，
设的解析式为：，
将，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，
∵，则，
∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵轴，
∴，，则，
当点在对称轴左侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时，即点；
当点在对称轴右侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时：，即点；
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①先根据二次函数的性质即可得到点C的坐标，再设的解析式为：，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式，过点P作轴，交于点E，交轴于点，先根据题意即可得到，进而即可表示出的面积，再求二次函数的最值即可求解；
②由①可知，进而分类讨论：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，运用二次函数的图象与性质结合题意即可求解。
19．（2023·湘西）如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式和的值．
（2）在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值．
【答案】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，得：，
解得：，，
∴，
∴二次函数的解析式为，；
（2）解：不存在．理由如下：
如图，
设，
∵，，，
∴，，，
∵点在二次函数位于轴上方的图像上，且，
∴，
整理得：，
∵，
∴方程无实数根，
∴不存在符合条件的点；
（3）解：如图，设交轴于点，
∵，，
∴，
∵点与点关于原点对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∵平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，
①当点与点不重合时，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
②当点与点重合时，此时点与点重合，
∴，，
∴，
综上所述，的值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形全等及其性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求出二次函数的解析式，进而根据二次函数的性质即可得到b的值；
（2）不存在．理由如下：设，先根据点的坐标即可得到，，，进而根据题意结合一元二次方程的判别式即可求解；
（3）设交轴于点，先根据点的坐标即可得到，再根据点关于原点对称即可得到，进而结合题意运用圆周角定理即可得到，再根据题意分类讨论：①当点与点不重合时，②当点与点重合时，此时点与点重合，进而运用平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质结合题意即可求解。
20．（2024·湖南）【问题背景】
已知点是半径为的上的定点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，过点作的切线，在直线上取点，使得为锐角．
（1）【初步感知】
如图1，当时， ▲ ；
（2）【问题探究】
以线段为对角线作矩形，使得边过点，连接，对角线，相交于点．
①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立：
②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值．
【答案】（1）30
（2）①证明：四边形是矩形，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
即无论在给定的范围内如何变化，总成立．
②解：是切线，
，
，
．
设，则，，
，，
，，
即点在线段上，
如图，过作，垂足为，则，
，，
，
，
设，则，
，
在中，，
在中，，
，解得，
，，
．
【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】（1）解：，，
，
与圆相切，
，
．
故答案为：30．
【分析】（1）根据圆的半径相等，可证是等边三角形，则，再由切线的性质得到，故；
（2）①根据矩形的性质（对角线相等且互相平分）及切线的性质先证明，再由全等三角形的性质及矩形的性质（对边相等）推出结论；
②根据已知，由切线的性质及正切函数的定义，得出，再利用线段之间的关系证明出点在线段上，过作，垂足为，推出，再由相似的性质，得出EH、ED的关系，设，则，分别在、中使用勾股定理，建立等量关系式，用含m的式子表示a，表示出AB和CB，即可解答.
1 / 1

展开更多......

收起↑