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期末复习(二)——勾股定理　　　　　 　
知识点1　勾股定理
1.若一个直角三角形的斜边长是13，其中一条直角边长是5，则另一条直角边长是(　　)
A.6 B.8 C.10 D.12
2.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边上的高，则CD的长为(　　)
图1
A. B.3 C. D.
3.如图2，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(0，5)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标位于(　　)
图2
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
4.(1)如图3，在该直角三角形中，斜边长x＝________；
图3 　　图4
(2)如图4，在该直角三角形中，直角边长y＝________.
5.(人教八下P29)如图5，分别以等腰直角三角形ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆.求证：所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和(图中阴影部分)等于Rt△ACD的面积.
图5
6.如图6，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D.若AB＝10，CD＝6，求BC的长.
图6
知识点2　勾股定理的应用
7.图7是一架秋千的侧面示意图，秋千在静止时，绳索AB呈拉直状态，且长度为5 m，若将绳索的下端从点B处沿水平方向推进3 m到达点C处(即DE＝3 m)，且绳索始终保持拉直状态，则在这个过程中，绳索下端上升的高度为(　　)
图7
A.1 m B.1.5 m C. m D.2 m
8.如图8，两个滑块A，B(可看作两个点)由一个硬质连杆连接，分别可以在两条互相垂直的滑道上滑动.开始时，滑块A到点O的距离为20 cm，滑块B到点O的距离为15 cm.当滑块A向下滑到点O时，滑块B向右滑动了________cm.
　　
图8
9.如图9，有两根长杆AB，DC隔河相对，DC高3 m，AB高2 m，两杆相距5 m.两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼.分别求两杆底部距小鱼的距离.(假设小鱼在此过程中保持不动，杆的底部与河面在同一水平线上.)
图9
知识点3　勾股定理的逆定理
10.若三条线段的长a，b，c满足a2＋b2－c2＝0，则由这三条线段组成的三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断
11.下列长度的三条线段能构成直角三角形的是(　　)
A.4，5，6 B.7，8，10 C.3，4，5 D.5，，
12.如图10，在由边长均为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C恰好在格点(网格线的交点)上.
(1)请判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)求△ABC的面积.
图10
知识点4　勾股定理的逆定理的应用
13.有一块三角形沙田，它的三条边长分别为5 m，12 m，13 m，则该沙田的面积为(　　)
A.78 m2 B.65 m2 C.60 m2 D.30 m2
14.如图11，在一次夏令营活动中，小明从营地点A出发，沿北偏西30°的方向走了500 m到达点B，然后再沿一定方向走了500 m到达目的地点C，此时点A与点C之间的距离为1 000 m，则点C在点B的(　　)
图11
A.北偏东30°方向 B.北偏东60°方向
C.南偏西30°方向 D.南偏西60°方向
15.海洋上有一个近似于四边形的岛屿，其平面示意图如图12①所示，小明据此构造出该岛的数学模型(如图12②)，AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5 km，CD＝3 km，AD＝4 km.
(1)求小溪流AC的长；(结果保留根号)
(2)求四边形ABCD的面积.
图12
基础题
1.在△ABC中，若BC＝3，AC＝4，AB＝5，则(　　)
A.∠A＝90° B.∠B＝90° C.∠C＝90° D.△ABC是锐角三角形
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则AC＝(　　)
A.2 B. C. D.
3.在Rt△ABC中，斜边BC的长为5，则AB2＋AC2＋BC2的值为(　　)
A.15 B.25 C.50 D.无法计算
4.如图13，数轴上点O所对应的实数是0，点A所对应的实数是3，过点A作AB⊥OA且AB＝2，以点O为圆心，OB的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C对应的实数为(　　)
图13
A.－3.6 B.3.6 C.－ D.
5.如图14，有A，B，C三个城镇，A城镇位于C城镇的正北方向，且距离C城镇5 km，B城镇位于C城镇的正东方向，且距离C城镇12 km，点M，点C被湖水隔开，若M是AB的中点，则MC＝________ km.
图14
6.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是__________________________________，这个逆命题是________(填“真”或“假”)命题.
7.如图15，已知等腰三角形ABC的底边BC＝5，D是腰AB上一点，且CD＝4，BD＝3，则AD的长为________.
　
图15
8.如图16，在四边形ABCD中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AD＝3，E为AB上一点，AE＝4，ED＝5，求证：AD＝CD.
图16
9.如图17，在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一爆破点C，点C与公路上的点A处的距离为600 m，与公路上另一点B处的距离为800 m，且CA⊥CB.为了安全起见，爆破点C处周围400 m范围内禁行.在进行爆破时，AB段公路是否需要禁行？请通过计算进行说明.
图17
提升题
10.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何.”大意是说：如图18，推开两扇门(AD和BC)，门边缘D，C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺＝10寸)两扇门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门宽度)之和AB为________寸.
图18
11.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图19所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图19①)拼成的一个大正方形(如图19②).设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则图19②中EF的长为(　　)
　
图19
A.3 B.4 C.2 D.3
12.我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.如图20，“垂美四边形”ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2＝________.
图20
13.如图21，已知圆柱的底面周长为6 dm，高为3 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最小为________ dm.
图21
14.如图22，某小区临街的拐角处有一块绿化区(阴影部分).已知AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝17 m，AD＝8 m，两条街道互相垂直.
(1)由于绿化区的存在，小区居民要想从点A走再到点C必须经过点B绕行，为了方便居民出入，该小区计划在该绿化区中开辟一条从点A直通点C的小路(小路宽度忽略不计).若此计划落实，则居民从点A到点C能少走多少米？
(2)求这片绿化区的面积.
图22
期末复习(二)——勾股定理
1．D　2.C　3.A　4.25　24
5．证明：∵△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴AC2＋CD2＝AD2.
又S半圆ACD＝π·＝π·AD2，S半圆AEC＝π·＝π·AC2，S半圆CFD＝π·＝π·AD2，
∴S半圆ACD＝S半圆AEC＋S半圆CFD，即S△ACD＋S弓形AGC＋S弓形CHD＝S月形AGCE＋S弓形AGC＋S月形DHCF＋S弓形CHD.
∴所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和(图中阴影部分)等于Rt△ACD的面积．
6．解：∵AB＝AC，AB＝10，∴AC＝10.
∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°.
在Rt△ACD中，AC＝10，CD＝6，
根据勾股定理，得AD＝＝＝8.
∴BD＝AB－AD＝10－8＝2.
在Rt△BCD中，CD＝6，BD＝2，
根据勾股定理，得BC＝＝＝2.
7．A　8.10
9．解：由题意，得AE＝DE，AB＝2，DC＝3，BC＝5.
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AB2＋BE2＝AE2.
在Rt△DCE中，根据勾股定理，得EC2＋DC2＝DE2.
∴AB2＋BE2＝EC2＋DC2.
又EC＝BC－BE＝5－BE，
∴22＋BE2＝(5－BE)2＋32.∴BE＝3.
∴EC＝BC－BE＝5－3＝2(m).
答：长杆AB底部距小鱼的距离是3 m，长杆DC底部距小鱼的距离是2 m.
10．B　11.C
12．解：(1)△ABC为直角三角形．理由如下：
根据题意，由勾股定理，得AB2＝22＋42＝20，AC2＝22＋12＝5，BC2＝42＋32＝25.
∴BC2＝AB2＋AC2.
根据勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形．
(2)由(1)可知，∠BAC＝90°，AC＝，AB＝＝2.
∴S△ABC＝AC·AB＝××2＝5.
13．D　14.D
15．解：(1)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝5，
根据勾股定理，得AC＝＝＝5(km).
答：小溪流AC的长为5 km.
(2)由(1)，得AC2＝(5)2＝50.
又CD2＋AD2＝(3)2＋(4)2＝50，
∴AC2＝CD2＋AD2.
∴△ACD是直角三角形，∠D＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×5×5＋×3×4＝(km2).
答：四边形ABCD的面积为 km2.
常考训练　1.C　2.B　3.C　4.D　5.6.5
6．面积相等的三角形是全等三角形　假　7.
8．证明：在△ADE中，AD＝3，AE＝4，ED＝5，
∴AD2＋AE2＝32＋42＝52＝ED2.
∴△ADE是直角三角形，∠A＝90°.
又∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴AD＝CD.
9．解：如答图1，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
答图1
∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，BC＝800，AC＝600，
根据勾股定理，得AB＝＝＝1 000.
∵S△ABC＝AB·CD＝BC·AC，
∴CD＝＝＝480(m).
∵400 m＜480 m，∴AB段公路不需要禁行．
10．101　11.D　12.20　13.6
14．解：(1)如答图2，连接AC.
答图2
由题意知，∠ABC＝90°，AB＝9，BC＝12.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC＝＝＝15.
∴AB＋BC－AC＝9＋12－15＝6(m).
答：居民从点A到点C能少走6 m.
(2)如答图2，连接AC.
由(1)，得AC＝15.
又AD＝8，CD＝17，
∴AC2＋AD2＝152＋82＝289＝172＝CD2.
根据勾股定理的逆定理，△DAC是直角三角形，∠DAC＝90°.
∴S△DAC＝AD·AC＝×8×15＝60.
又S△ABC＝AB·BC＝×9×12＝54，
∴S四边形ABCD＝S△DAC＋S△ABC＝60＋54＝114(m2).
答：这片绿化区的面积是114 m2.

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