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《导数》在中学数学中的应用
导数是研究函数的得力工具，它的应用十分广泛。
使用导数，能够帮助我们解决初等数学中较困难的或根本不能解决的问题。在一些问题中，使用导数，还能化繁为简，思路明快，解法巧妙，完备无遗。
使用导数，能培养学生用较高的观点，较先进的方法代替一些传统的初等观点和初等方法，从而使已经学过的初等知识加以深化、拓广、融化贯通。这无疑对开阔学生思路，提高解题能力是大有裨益的。
下面我们举例说明导数在中学各科中的应用
一、利用导数讨论函数的单调性
主要理论根据 设函数 f(x)在区间（a，b）内可导，如果在（a，b）内f′(x)>0，那么f′(x)在（a，b）内是增函数，如果在(a，b)内f′(x)<0，那么f (x)在(a，b)内是减函数；如果在(a，b)内恒有f′(x)=0，那么f (x)在（a，b）内是常数。
注：求函数f (x)单调区间的方法一般有两种
（1）求f′(x)>0或f′(x)<0在定义域区的解集
（2）求f′(x)=0的实根，即求f (x)在定义域的驻点。（同时也把导数不存在的点找出来），然后利用表上作业法过行断定。
例1 求函数y=2x2—lnx的单调区间
显然，函数的定义域为（0，+∞）。
解法一：y′=4x-==
令f′(x)= >0，∵x>0，∴(2x-1)(2x+1)>0
即(x-)(x+)>0→x>（其中x<－舍！）
函数y的单调增加区间为（，+∞）
令f＇（x）=<0，∵（2x—1）（2x+1）<0
即（x—）（x+）<0→0函数y的单调减少区间为（0，）。
注：上面的解法较繁，不如列表法简单（解法二）：
令y′=0，得两个驻点x=，x= —（∵x>0，∴应该舍掉“—”！）
使导数不存在的点只有一个x=0，列表如下
由表看出，函数y在（0，）内单调减少。
函数y在（，+∞）内单调增加。
例2．求函数y=(a>0)的单调区间
解 函数y有定义域为（-∞，+∞），那y′=
令y′=0，得驻点x=a，又当x=或x=a时，y′不存在，因此，由点x=a， a，a把区间（-∞，+∞）分成四个小区间，列表如下：
由表上看出 函数y在区间（-∞，+∞）上是增函数，f(x)在（-∞，+∞）上是增函数还是减函数？
解 由已知f(x)是奇数，得f(-x)，即f(x)= —f(x)
由此看出，奇函数f(x)=[—f(—x)′]= —[f（—x）′]·（—x）′=f′(—x)
由此看出，奇函数f(x)的函数f′(x)是偶函数，所以f′是偶数，所以f′（x）在（-∞，+∞）上的符号与在（-∞，+∞）上也是增函数。
例4 求f(x)=sin(x+)+sinx=
由表看出，f(x)单调增加区为（0，）
f(x)单调减少区间为（）
二．利用导数证明不等式
1．利用拉朗日中值定理证明不等式
主要理论根据，拉格朗中值定理——如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a，b）内至少有一点§，使得f(b)—f(a)=f′(§)(b-a)(1)
对于满足条件（1）的函数f(x)，当f(x)在（a，b）内在变化范围已知时，即当x∈（a，b），有m≤f′(x) ≤M，那么我们可利用（1）式证明形如
m(b—a) ≤f(b)—f(a) ≤M(b—a)一类不等式。
例5 当0nbn-1(a-b)1时成立
证明：设f(x)=xn，则f′(x)=n·xn-1，f(x)在[b，a]上边续可导，由拉氏定理，在（b，a）内存在一点§，使得
= f′(§)=n · §n-1
即
nbn-1(a-b)1时成立。
例6 求证 如果0证明：设f(x)=arctgx，则f′（x）=，f(x)在区间[x1，x2]上连续可导，满足拉氏定理的条件，所以在区间（x1，x2）内，至少存在一点§，使得
=f′（§）= （1）
∵0∴0∵1<1+x<§2<1+x，即
=f′(§)= （2）
（1）代入（2）得
即
2、利用函数单调性证明不等式（主要理论根据在1页）
利用单调性不等式又有以下三个途径：
（1）化原不等式为f(x)>0(或f(x)<0)形式进行证明
例7 当x>0时，证明ex >1+x+>0
所以 ex >1+x+
例8 求证：ln(1+x)-，则
f′(x)=
=
=
当x≥0时，arctgx≥0，从而f′（x）≥0，因此，f(x1)f(x2)形式进行证明。
例9 求证：
loga(a+b)>loga+c(a+b+c) (b>0，c>0)
对一切a>1成立
分析：若设辅助函数f(x)=logx(x+b)，x∈（1，+∞），则当
x1=a，x2=a+c时，只要证f(x1)>f(x2)就可以了。
证明：设f(x)=logx(x+b)，x∈(1，+∞)，则
f′(x)=[]′=，
∵1即，因此，f′（x）<0，f(x)在（1，+∞），则当x1=a，x2=a+c时，只要证f(x1)>f(x2)就可以了。
证明：设f(x)=logx(x+b)，x∈（1，+∞）为减函数，因为1f(a+c)，即
loga(a+b)>loga+C(a+b+c)
例10 求证：如果0分析：欲证，只须证，为此，在区间（0，）内只要证明函数是增函数就可以了。
证明：设辅助函数f(x)= ，则
f′(x)==
=
当00，分子：2x>sin2x。所以f′(x)>0，因此在区间（0，）内，函数f(x)为增函数，因为0
即
（iii）化原不等式为f(x)>M（或f(x)例11
如果x>1，求证x3>x+—1。
分析：欲证x3>x+—1，只要证x3 —x —1就可以了，若设辅助函数f(x)=1时，f′(x)>0，所以在（1，+∞）上，就转化到证明f(x)>—1.这里“—1”相当于M。
证明：设f(x)=x3 —x —>，则f′（x）=3x2 —1+，
当x>1时，f′(x)>0，所以在（1，+∞）上f(x)为增函数。
但f(1)= —1时，所以x3 —x ——1，即，如果x>1，则x3>x+—1。
例12 求证：如果0.
证明：设辅助函数f(x)= ，则f′（x）=(x —tgx).
∵0又f()=，故f(x)在区间（0，）内有f(x)> ，即>，即sinx>.
3．利用求函数最值方法证明不等式
主要理论根据：如果函数f(x)在[a，b]上连续，在开区间（a，b），上一定有最大值和最小值。
为了证明如m≤f(x)（或f(x) ≤M）的不等式，可以利用导数求f(x)的最小值m（或最大值M），从而获得证明。但要注意：f(x)如意定义在闭区间[a，b]内，那么它的最值应当由（a，b）内的极值和两个端点的值加以比较才能确定，如果定义在开区间(a，b)内，则只须在（a，b）内考察它的最值。
例13 设0≤x≤1，p>1，试证≤1.
证明：设f(x)=xp+(1 — x)p，则f′(x)=p[xp—1 — （1—x）p—1]
令f′(x)=0，可得xp-1=(1 —x )p—1，故x=1—x，即x==.
在[0，1]内，函数在驻、端点的值分别为：f()=+=，f(0)=1，
f(1)=比较f(0)，f()，f(1)，易见
f(x)=， f(x)=1，所以≤xp+(1 — x)p≤1.
例14 求证：≥ （0分析：欲证原式成立，只要证明函数的最小直是就可以了。
证明：设辅助函数f(a)= ，则f′(a)=0，当0令f′(a)=0，当0若0若0
所以 f(a)=f()=，即≥
三、求函数的极（最）值
主要理论根据：
1、极值第一判别法则
10 求导数f′(x)
20 令f′(x)=0，求f′(x)在定义域内的驻点；
30 检查f′(x)在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f′(x)在这个驻点取极大值；如果左负右正，那么f′(x)在这个驻点的函数值不是极值。
2．极值第二判别法则
当在驻点处函数f′(x)的二阶层导数存在时，有时可以利用极值的第二判别法来判定在驻点处函数f′(x)是否取得极值：
如果函数f′(x)在点x0<0，附近有连续的导函数f″（x0）<0，则函数f′(x)=0，f″（x0）≠0。
（1）若f″（x0）<0，则函数f(x)在点x0处取极大值；
（2）若f″（x0）>0，则函数f(x)在点x0处取极小值。
3．最值判别法则
设函数f(x)在闭区间[a，b]上可导，求闭区间[a，b]上的最大值和最小值，可以分两步进行：
（1）求f(x)在（a，b）内的驻点；
（2）计算f(x)在驻点和端点的函数值，并把这些值加以比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值。
例15 求函数y=的极值
解y′=
== —
令y′=0，求驻点为—1，1
当x<—1时， y′<0
由负变正
当—10
当 —10
由正变负 y极小=y(-1)=2
当x>1时， y′<0
16、求函数f(x)=x3 —3x2 —9x+30在区间[—4，4]上的极值、最值
解f′(x)=3x2 —6x—9=3(x—3)(x+1)，令f′(x)=0，得x1= —1，x2
3，且有f(—1)=35，f(3)，f(—46)，f(4)=10，列表：
从表上看出函数的极大值为f(—1)=35，极小值为f(3)，函数的最大值为M=max{—46，35，10}=35；最小值为m=min{—46，35，10}= —46.
例17 船航行一昼夜的耗费由两部分组成：一为固定部分，设为a元，另一为变动部分设它与速度的立方成比例，试问首创应以怎样的速v行驶为最经济？
解 设时间以每小时为单位，v为船速，则船一昼夜所行驶的路程为S=24vs (0≤v<+∞)
由题意，船航行一昼耗费a+Kv3（元），所以船航行每位路程的费用为
F(v)=（元）
F′(v)
令F′(v)=0，得=为最小值点，所以船应以速度v=行驶最为经济
例18 求函数y=exsinx的极值
解 令y′=ex（sinx+cosx）=0，即tgx = —1，解得驻点为
=n∏—
y″=ex(sinx+cosx-sinx)=2excosx，而y″(2K∏—)=e2k∏ —>0
y″[(2K+1) ∏—]= —e(2k+1)∏-<0 (K∈Z)
所以 y极小=y(2k∏+)=
y极大=[（2K+1）∏ — ]=
例19 求函数y=2tgx-tg2x （0≤x＜＝
解 令y’=2sec2x-2tgx·sec2x=2sec2x(1-tgx)=0，即tgx=1，当 x∈[0，）时，解得驻点x=。
当x→时，y→-∞比较y()=1,y(0)=0,y()=-∞，可知，函数y在区间[0, ]上没有最小值，但有最大值：ymax=y()=1
例20 在以r为半径的圆中，以直径为底作一内接梯形，求梯形面积的最大值。
解 如图（1）AB=2r，设CD=2x，则梯形的高DE= ，所以梯形面积为S==(x+r) ,
S’=+(x+r),令s’=0，得x=,x=-r(舍)
当0＜x＜时，S’＞0；当＜x＜r时，S’ ＜0，所以当x=时，S有极大值，即最大值为。
例21 圆柱体内接于半径R的球，试求体积最大的圆柱体的高。
解 如图（2）设内接圆柱体的高为H，底半径为r，体积为V，则V=r2H。
又+r2=R2，r2=R2-，所以V=（R2-）H，0≤H≤2R，（当H=0和H=2R时，V=0）。V’=(R2-)，令V’=0，求得唯一驻点H=，而且这点一定是最大值点，故体积最大的内接圆柱体的高为。
四、利用导数描绘函数的图象
主要理论根据：
定义：如果曲线弧位于其第一点处切线的下方，那么称此曲线弧是向上凸的，简称凸弧；如果曲线弧位于其每一点处切线的上方，那么称此曲线弧是向上凸的，简称凹弧。
定理（曲线凹凸性的充分条件）：
设函数f(x)在区间（a，b）内有二阶导数f”（x）。
（1）如果对所有的点x∈（a，b），有f”（x）＞0，则曲线y=f(x)在区间（a，b）内下凸；
（2）如果对所有的点x∈（a，b），有f”（x）＜0，则曲线y=f(x)在区间（a，b）内下凸；
定义：曲线的凹弧与凸弧的分界点，叫做曲线的拐点。
定理（拐点的必要条件）：调点（x0，y0）为曲线y=f(x)的拐点，且函数f(x)在点x0处具有二阶导数，则f”（x0）=0
定理（拐点的充分条件）：设函数f(x)在点x0附近有二阶导数，满足下列条件：
（1）f”(x0)=0；（2）在x=x0的两侧f”(x)变号，则点P（xo，f(x0)）必为曲线y=f(x)的拐点。
曲线的渐近线有三种类型：
（1）若=∞或 =∞，则直线x=x0是曲线y=f(x)的一条铅直渐近线。
（2）若 （b为常数）则直线y=b是曲线y=f(x)的一条水平渐近线。
（3）若 （K为常数），又（常数），则y=Kx+b是曲线y=f(x)
的一条斜渐近线（k≠0），对于x→－∞的情况有类似的情形。
描绘函数图象的步骤：
（1）确定函数的定义域、周期性；
（2）确定曲线关于坐标轴及原点的对称性，奇偶性；
（3）求曲线与坐标轴的交点；
（4）利用导数确定函数的增减性、极点和极值；
（5）利用二阶导数确定曲线凹凸性及拐点；
（6）确定曲线的渐近线——铅垂、水平、斜渐近线；
（7）如果需要，就由曲线方程算出一些点的坐标；
（8）将上面几步的结果，按自变量的大小顺序排入一个表格内，用以观察图形的大概轮廓，然后用光滑的曲线描绘出图形。
例22 描绘函数y=的曲线
解 （1）定义域：（-∞，1）∪（1，＋∞）无周期性；
（2）关于坐标轴无对称性；
（3）和x轴的交点（3，0）和y轴的交点（0，2）；
（4）、（5）y’=f’(x)=
令f’（x）=0，得驻点x1=3，x2= -1。因f”(3)＞0 ，不失为f(3)=0为极小值，又因f”（-1）＜0，故f（-1）= -2为极大值。
（6）渐近线：
因为 ，所以x=1是一条铅直渐近线；
又因为

=
所以有另一条斜渐近线为y=
(7)列表：
x
(-∞，-1)
-1
（-1，1）
1
（1，3）
3
（3，+∞）
f’(x)
+
0
-
-
0
+
f”(x)
-
-
-
+
+
+
f(x)
↑
-2
↓
↓
0
↑
y=f(x)
上凸
极大
上凸
下凸
极小
下凸
附注
渐近线二条：x=1及y=
从表上看，曲线上的点太少，再计算得以下几个点：
M（-2，）、N（0，-）、Q（2，）
描绘的曲线如图（3）
例23 描绘y=的曲线
解 （1）定义域：（0，∞），没有对称性和周期性
（2）和x轴的交点：（1，0）
（3）y’=，令y’=0，得驻点x=e，
y”=
令y”=,得拐点的横坐标x=。
（4）渐近线：
∵∴x=0为垂直渐近线，又
，所以y=0为水平渐近线，无斜渐近线。
x
(0，e)
e
(e，)
（，+∞）
y’
+
0
-
-
-
y”
-
-
-
+
+
y
↑
↓
↓
y=f(x)
上凸
极大
上凸
拐点
上凸
附注
二条渐近线：x=0，y=0
描绘的曲线如图（4）

五、利用导数求函数的值域及其反函数
主要理论根据：如果一个函数在某区间上连续而且具有严格单调性，则此函数一定存在反函数x=f-1(y)，其求法步骤是：
（1）在函数的定义域内确定它的单调性及它的值域；
（2）由y=f(x)解出x，确定好在每个单调区间上的反函数，如果在x的解析式中有正负号，要恰当地选好正负号，最后把变量进行交换。
例24 求函数y=的值域和它的反函数
解 函数y的定义域：[-3，1]。
函数y的单调性：
∵y’={[2-（1-x）]·（1-x）}-
当x∈[-3，1]时，y’＞0，∴函数y在[-3，1]上连续且严格增大，所以函数y在区间[-3，1]上存在反函数。
值域：∵f(-3)=0，f（1）=，由函数的单调性可知函数y的值域为：[0，]。
解x ：由原函数得x = -y4+4y2-3，交换变量后得反函数为y= -x4+4x2-3，x∈[0，]例25 求函数y=+的值域及在它的每个单调区间上反函数。
解 函数的定义域：[-，]。
单调性：函数在[-，]上连续，因为y’=，令y’=0，即
-=0，解得驻点x = -1.
在单调区间（-，-1）上，y’＞0，即函数在[-，-1]上严格增大；在单调区间（-1，）上，y’＜0，即函数在[-1，]上严格减小。因此在每个单调区间上，反函数存在。
值域：∵f（-）=，f(-1)=2，f()=。∴函数y在两个单调区间上所对应的函数的值域相等，即都是[，2]……（1）
解x ：由原函数得
y-=，两边平方并整理得
4（x+1）+y2=2y， 两边再平方并整理得
（x+1）2 =（12-y2） （2）
讨论开方时的正负号：
当x∈[-，-1]时，x+1≤0；
当x∈[-，-1]时，由原函数知，也有y＞0，由此，再联系到（1），得12-y2≥0，至此，由 （2）得
x+1=-即x=-1-
交换变量后得x=-1-，x∈[，2]。即在单调区间（-，-1）上的反函数为y=-1-，y∈[，2]。
当x∈[-1，]时，x+1≥0，且y＞0，12-y2≥0，由（2）得x=--1+
交换变量后得y= -1+，x∈[，2]。即在单调区间（-1，）上的反函数为，y= -1+，x∈[，2]。
六、利用导数研究和切线有关的问题
主要理论根据：曲线y=f(x )上点（x0,f(x0)）的切线斜率为f’（x0）切线方程为：
y-f(x0)=f’（x0）(x-x0)。特殊地，如果在x=x0处切线与y轴平行，则f’( x0)不存在，所以不能用本公式。但此时可明显地看出，切线方程为x=x0。
例26 求过点P（1，0）与抛物线y =x2+3相切的直线方程
解y’ =2x，设切点为（x0，y0），则切线的斜率为y’|x=x0=2x0，切线方程为y-y0=2 x0 (x-x0)。即y-（x02+3）=2x0(x-x0)。因为点P（1，0）在切线上，所以0- x02-3=2x0(1- x0)，即x02-2x0-3=0，解得x0=-1或x0=3。故切线方程为y=-2x +2或y=6x-6。
例27 已知双曲线=1
（1）证明它的切线的斜率或大于，或小于-，
（2）证明它的切线与x轴的交点在两顶点之间。
证明：由双曲线=1两边对x求导得=0，又设双曲线的切点（x0，y0），则y’| x=x0 =。
y=y0
（1）因为切点在双曲线上，所以=1，即b2x02=a2(y02+b2)
y’2===
又a＞0b＞0，所以有y’＞或y’＜-。
（2）双曲线的切线方程为
y-y0=，由此切线方程可化成如下的形式：
点（x0，y0）在双曲线上，所以|x0|≥a，即|x|=。这就说明切线与x轴的交点在两个顶点之间（包括两个顶点）。
七、利用导数求函数值。
原高中数学教材《微积分初步》134页定理的最后部分是“设函数f(x)在区间（a，b）内可导。如果在（a，b）内恒有f’(x)=0，那么f(x)在（a，b）内地常数”
这个定理也可以作如下的推论：
设函数P（x）与Q（x）在（a，b）内可导，P’（x）=Q’(x)+C（即P（x）与Q（x）仅相差一个常数C）。
证明：设h(x)=P(x)-Q(x),则在（a，b）内有h’(x)=P’(x)-Q’(x)。因为P’（x）=Q’(x)，所以h’(x)=0，据上述定理，h(x)d (a，b)内为常数，即
h(x)=P(x)-Q(x)=C 证完
利用上述定理及其推论可以求一类函数值。它的优点是思路比较单一，容易掌握，特别对于那些用初等方法以考虑比较困难或无从下手的求值题，可以试用此法。
现举例说明如下：
例28 求函数f(x)=，（x为任意实数。A、b、c为互不相等的实数。）
解 在区间（-∞，+∞）上
f(x)= ++
=
=
=
=0
∴f(x)=c ，对区间（-∞，+∞）上的一切实数x 均成立，取x=a，则有f(a)=1+0+0=1，因此，c=1，即
f(x)= +==1。
说明：为了确定常数c，x可以在区间（-∞，+∞）上取任意一个实数值，本例为了定c方便取的是x=a。当然，如果取x=b或c ,定c也同样方便。
例29 对任意实数x ，求函数f(x)=cos2x=cos2(x-)+cos2(x+)的值。
解 在区间（-∞，+∞）上
∵f’(x)=-2cosxsinx-2cos(x-)sin(x-)-2cos(x+)sin(x+)
=-sin2x-sin(2x-)-sin(2x+)
=-sin2x+sin(-2x)+sin(+2x)
=-sin2x-sin (-2x)+sin(+2x)
=-sin2x-sincos2x+cossin2x+sincos2x+cossin2x
=0
∴f (x)=c，对区间（-∞，+∞）上的一切实数x均成立，取x=0，则有
f(0)=cos20+cos2()=，因此c=，即
f(x)=cos2x+cos2(x-)+cos2(x+)=。
说明：本例为了确定常数c，在区间（-∞，+∞）上取x=0最为方便。
例30 当|x|≥1时，求函数f(x)=arcsin+arccos的值。
解法一（用定理）
当|x|=1，即x＝±1时，f(x)=。
当|x|＞1时
∵f’(x)=·(-)-·(-)=0，
∴f(x)=c，
对于适合不等式|x|＞1的一切x均成立。
若x＜0，则x＞1，取x=2，则有
f(2)=arcsin+arccos=，此时也有c=。
综上可知，当|x|≥1时，f(x)=arcsin+arccos=.
解法二（用推论）：
当|x|=1时，f(x)=
当|x|＞1时，设P(x)=arcsin,Q(x)=-arccos,
∵P’(x)= ·(-)，Q’(x)= ·(-)
∴P’(x)=Q’(x)。
故P(x)与Q（x）在区间（-∞，-1）及（1，+∞）上仅相差一个常数c，即P（x）-Q（x）=c。
当x∈（-∞，-1）时，取x=-2，则有P（-2）-Q（-2）==c；
当x∈（1，+∞）时，取x=2，
也有P（2）-Q（2）==c
综上，当|X|≥1时，f(x)=arcsin+arccos=.
例31 求函数f(x)=arctgx+arctg的值。
解法一（用定理）
在x=-1处f(x)间断不可导，但在区间（-∞，-1）和（-1，+∞）上f(x)分别可导，且有∵f’(x)=+
=+
=-
=0
∴f(x)=c对于区间（-∞，-1）和（-1，+∞）上的一切实数x 均成立。
当x∈（-∞，-1）时，取x=-，则有
f(-)=arctg-+arctg
=-
=
=
=
=，此时c=
当x∈（-1，+∞）时，取x=0，则有f(0)=arctg0+arctg1=，此时 c=。
综上，

，x∈(-∞，-1)
f(x)=arctgx+arctg=
，x∈(-1, +∞)
解法二（用推论）：
在区间（-∞，-1）和（-1，+∞）上
设P(x)=arctgx，Q(x)=-arctg ，则P’(x)= ，Q’(x)= =，从而P’(x)=Q’(x)，故 P(x)与Q(x)在（-∞，-1）和（-1，+∞）上仅相差一个常数c。
当x∈（-∞，-1）时，取x=，则有
P（）-Q（）=arctg（）+ arctg=，
此时c=。
当x∈（-1，+∞）时，取x=0，则有
P（0）-Q（0）=arctg0+arctg1=，此时c=。
综上，其f(x)值与解法一相同，不再赘述。
说明：本例因为（-∞，+∞）不是f(x)的可导区间，所以不能在这样的区间上用上述定理或推论。但当我们剔除间断不可导点“x=-1”以后，在两个连续可区间（-∞，-1）和（-1，+∞）上便可以应用定理或推论求导定c了。
由以上各例我们看到，用导数计算函数值，要特别注意函数的可导区间，定的前提条件是f(x)在（a，b）内可导，且当f’(x)=0时，才有f(x)=c。
八、利用导数证明恒等式
主要理论根据：设函数f(x)在区间（a，b）内可导，如果在（a，b）内恒有f’(x)=0，那么f(x)在（a，b）内是常数。
形如φ(x)=ψ(x)+c（c可为任意常数，当c=0时，为其特例）恒等式，用导数法证题步骤是：
（1）设辅助函数f(x)= φ(x)-ψ(x)，
（2）求导得f’(x)=0，从而得到f(x)=c，
（3）在f(x)的可导区间内，选一个便于计算的x0，由f(x0)=c,求得c。
证明：（1）如果恒等式只是f(x)=c，就可以略去第一步，其证明步骤简化为“求导c ”，此时c 可以为“0”，也可以不为“0”。
（2）“作差”也可以用“作商”取而代之，但求导不如作差方便。
注意：要特别注意函数f(x)的可导区间，如果在区间内的某点处，f(x)的导数不存在，上述的理论就失效，此时可按不同的可导区间分别进行讨论。
例32 求证：4（）3 –3·=
证明：设辅助函数f(x)=4（）3 –3·=
∵f’(x)=（ex+e-x）2(ex-e-x)- (ex-e-x)- (e3x-e-3x)
=(ex-e-x)(e2x+2+e-2x-1-e2x-1- e-2x)
=0
∴f(x)=c (x∈R)。选x=0，有f(0)=4-3-1=0，因此c=0，故对任意的实数x，恒有f(x)=0，所以原式成立。
例33 求证
（1）Cn1+2Cn2+3Cn3+……+nCnn=n·2n-1(n≥1)
（2）Cn1-2Cn2+3Cn3-4Cn4+…+（-1）n-1·nCnn=0(n≥2)
（3）2Cn2+3·2Cn3+4·3Cn4+…+n(n-1) Cnn= n(n-1)2n-2(n≥2)
(4) 2Cn2-3·2Cn3+4·3Cn4+…+（-1）n-2·n(n-1) Cnn=0(n≥2)
证明：由二项式定理得
(1+x)n=Cn0+Cn1x+ Cn2x2+ Cn3x3+…+Cnn xn
两边对x求导得
n(1+x)n-1= Cn1+2 Cn2x+ Cn3x2+…+ nCnn xn-1……（*1）
对（*1）式再对x 求一次导得
n(n-1)(1+x)n-2=2 Cn2+3·2Cn3x+4·3Cn4x2+…+ n(n-1) Cnn·xn-2…（*2）
在（*1）中令x=1、-1，就分别得到恒等式（1）、（2）
在（*2）中令x=1、-1，就分别得到恒等式（3）、（4）
例34 求证：|x|≤1时，arcsinx+arccosx=。
证明：当|x|=1时，原式显然成立
当|x|＜1时，设辅助函数
f(x)=arcsinx+arccosx
∵ f’(x)=-=0，故在区间（-1，1）内f(x)=c（常数），在（-1，1）选一个便于求c的值，例如选x=0，则
f(0)=arcsin0+arccos0= ， ∴ c=
∴ |x|≤1时，arcsinx+arccosx=。
注：辅助函数f(x)的定义域是[-1，1]，但不是可导区间，因为当x=±1时，f’(x)不存在，f(x)的可导区间是开区间（-1，1）,为了定c ，必须在这个开区间内寻找x。
例35 求证arctgx+arcctgx=
证明：设辅助函数f(x)=ardtgx+arcctgx.
∵f’(x)= -=0, ∴f(x)=c（常数）对一切x均成立，为求c方使，取x=1，则有
f(1)= +=,c=
故arctgx+arcotgx=
注：辅助函数f(x)的定义域和可导区间都是（-∞，+∞），所以在区间（-∞，+∞）内任意取一个x值，都可以定c。
例36 求证arcsin+arccos=（|x|≥1）
证明：当|x|=1时，原式显然成立。
当|x|>1时，设辅助函数
f(x)= arcsin+arccos
∵f’(x)= ·(-)-·(-)=0.
∴当|x|>1时，f(x)=c
若x>0,则x>1，为求c方便，从中取x=2，则
f(2)=arcsin+arccos=,∴c=.
若x<0，则x<-1，为求c方便，从中取x=-2，则
f(-2)=arcsin(-)+arcos(-_=,∴也有c=.
综上可知，当|x|≥1时
arcsin（）+arccos（）=成立.
注 当|x|=1时，f’(x)不存在，所以不能在区间（-∞，-1）和[1，+∞]上求导。定c时，只能在开区间（-∞，-1）或（1，+∞）内选取x 值。
例37 求证arcsin(sinx)+arcos(sinx)= .
分析：设辅助函数f(x)=arcsin(sinx)+arcos(sinx)
其定义域显然是（-∞，+∞）
f’(x)= -
这个导函数的定义域是使sinx≠±1的x值的集合，即
{x|x∈R且x≠kπ+，k∈z}
这个集合也就是f(x)的可导区间，只能在这个区间内选x定c.
证明：当x∈{x|x∈R且x=kπ+，k∈z}时，原式显然成立。
当{x|x∈R且x≠kπ+，k∈z}时，设辅助函数
f(x)=arcsin(sinx)+arcos(sinx)
f’(x)= -=0
∴f(x)=c对一切x∈{x|x∈R且x≠kπ+，k∈z}时都成立。为求便,取x=0，则有
f(0)=arcsin(sin0)+arcos(sin0)=
∴c=,故arcsin(sinx)+arccos(sinx)= 成立.
例38 求证arcsin=arctg(a>0)
证明：等式成立的条件为x≥0。
设f(x)=arcsin-arctg.
∵f’(x)= -=0
∴f(x)=c对区间[0，-∞]内的一切x均成立。取x=0，则有
f(0)=arcsin0-arctg0=0,∴c=0
∴arcsin=arctg (a>0,x≥0)
九．利用导数分解因式，化简
主要理论根据
（1）求导法则：（u±v）’=u’ ±v’
(uv)’=uv’+vu’
()’=
(2)不定积分的性质
I0（f(x)dx）’=f(x)或df(x)dx=f(x)dx
及f’(x)dx=f(x)+c或df(x)=f(x)+c
20[f(x)+(x)+…+(x)]dx
=f(x)d(x)+ (x)dx+…+(x)dx
30af(x)dx=af(x)dx (a是常数，a≠0)
（3）定积分公式（牛顿——莱布尼兹公式）
f(x)dx=F(b)-F(a)
（4）无穷递缩等比数列的和：S=
（a为首项，q为公比，且|q|<1）
例39 分解因式
x(y2-z2)+y(z2-x2)+z(x2-y2)
解 将x看作变量,y和z看作固定的常数（参数）.
将给出的式子记作f（x），并对它求导数，得
f’(x)=y2-z2-2xy+2xz
=2x(z-y)+y2-z2
=(y-z)(y+z-2x)
对x积分，得
f(x)= f’(x)dx=(y-z)(y+z-2x)dx
=(y2-z2)dx-2(y-z)xdx
=(y2-z2)x-2(y-z)·+c
=(y2-z2)x-(y-z)x2+c
其中c为常数，在本题中，c是含参量y和z的代数式。
下面我们来求出c的表达式。在恒等式
x(y2-z2)+y(z2-x2)+z(x2-y2)
=(y2-z2)x-(y-z)x2+c
中，令x=0，得出
yz2-zy2=c
于是f(x)=(y2-z2)x-(y-z)x2+yz2-zy2
=(y-z)[(y+z)x-x2-yz]
=-(y-z)[x2-(y+z)x+yz]
=-(y-z)(x-y)(x-z)
=(x-y)(y-z)(z-x)
说明：（1）本例用导数方法分解因式，并不太省事。但它给我们指出一条路子。如果本例将所给的代数式看和关于x的二次三项式，用因式分解的一般方法也很容易。
（2）由于一个函数的导致，有时在形式上的比该函数要简单的多，因而很容易求出它的积分，从本例已经看到了这一点。
例40 分解因式：cos2x+cos2(x+y)-2cosxcosycos(x+y)
解 将上式记作f（x），而且将y看作常量，求导数得
f’(x)=-sin2x-sin2(x+y)+2cosy[sinxcos(x+y)+cosxsin(x+y)]
=-2sinx(2x+y)cosy+2cosysin(2x+y)=0
积分后得f(x)=c.在这个等式中，可令x=-y，得c=sin2y.
∴原式=sin2y.
说明：因为对任意的实数x，都能使恒等式f(x)=c成立。因此，除了上面令x=-y外，还可以令x=0,x=π，x=,……总而言之，为了计算上的方便，可自由去选择x的值。
例41 化简
(a+b+c)3-(a+b-c)3-(b+c-a)3-(c+a-b)3.
解 将上式记作f(a),求导数，得
f’(a)=3[(a+b+c)2-(a+b-c)2=(a-b-c)2-(a-b+c)2]
=3[2(a+b)·2c+2(a-b)(-2c)]
=24bc
两边对a积分得
f(a)=24abc+c
为求c方便，在上面的恒等式中令a=0，于是
c=f(0)=(b+c)3-(b-c)3-(b+c)3-(c-b)3=0.
因此，原式=24abc+c
说明：因为a可为一切实数，所以除了令a=0外，还可以令a等于别的实数。但当a为别的实数时，算起来都不方便。
十．利用导数判断三角函数的周期性
命题：如果周期函数的导数存在，则导函数也是周期函数，并且有同一周期。
证明：设T≠0是F（x）的一个周期，则
F(x)=F(x+T)，依题意有
F’(x)=F’(x+T),如令F’(x)=f(x)，那么
F(x)=f(x+T)，证毕。
注：必须指出，即使F(x)有最小正周期Tmin，但它的导函数未必存在Tmin，因为导函数f(x) 可能为常数。例如F(x)=arctg(tgx)是周期函数，且Tmin=π，然而F’(x)= =1，即f(x)=1是周期函数，但无最小正周期。由于任何实数都是f(x)=1的周期，所以π也不例外，故与命题的结论不矛盾；只有当导函数f(x)为非常数的连续函数时，F(x)的最小正周期就是f(x)的最小正周期。
例42 求f(x)=4sin3xcosx-4cos3xsinx的最小正周期。
解 ∵F（x）=sin4+cos4
=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x
=1-sin22x
=1-·
=的最小正周期是。
又f(x)=F’(x)，故f(x)的最小正周期也是。
说明：F（x）实际上是f(x)的一个原函数，可以通过对f(x)求不定积分而得到。
例43 证明f(x) =xsinx+cosx为非周期函数
证：设T≠0是f(x)的一个周期，则
（x+T）sin(x+T)+cos(x+T)=xsins+cosx……………………………………（1）
由前面命题知
f’(x)=(xsinx+cosx)’=xcosx
也是周期函数，且周期是T，那么
（x+T）cos(x+T)=scosx………………………………………………………（2）
令x=0，由（1）处
TsinT+cost=1……………………………………………………………………（3）
令X=0，由（2）得
TcosT=0
∵T≠0，∴cosT=0,T=kπ+,代入（3）式得
（kπ+）sin (kπ+)=1
即(kπ+)（±1）=1…………………………………………………………（4）
∵K为整数，显然（4）式是不成立的，故f(x)为非周期函数。

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