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人教版2024—2025学年九年级下册中考数学第一次模拟考试试卷A卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
注意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。笞卷前，考生务必
将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置
，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．﹣2025的倒数是（　　）
A．2025 B． C．﹣2025 D．
2．清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为0.0000084米，用科学记数法表示为（　　）
A．0.84×10﹣5 B．8.4×10﹣6 C．84×10﹣7 D．8.4×10﹣8
3．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算中，正确的是（　　）
A．3ab 2b＝6ab2 B．3ab﹣ab＝2 C．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2 D．
5．已知三角形的两边长分别为2cm和6cm，则下列长度能作为第三边的是（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．11cm
6．下列说法中，正确的是（　　）
A．为了解长沙市中学生的睡眠情况实行全面调查
B．一组数据﹣1，2，5，5，7，7，4的众数是7
C．明天的降水概率为10%，则明天下雨是不可能事件
D．若平均数相同的甲，乙两组数据，，，则乙组数据更稳定
7．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000
“有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562
“有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（　　）
A．0.8 B．0.784 C．0.78 D．0.76
8．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　）
A．10x＝40（x+6） B．10（x﹣6）＝40x
C． D．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD，分别以D，E为圆心，以大DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F，作射线BF交AC于点G，若AC＝9，AG＝5，过点G作GP⊥AB交AB于点P，则GP的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（　　）
A．16 B．20 C．32 D．40
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于　 　．
13．一个多边形的内角和等于900°，这个多边形的边数是 　 　．
14．如图，直线l1：y＝x+1和直线l2：y＝mx+5相交于P（2，a），则关于x的不等式x+1≥mx+5的解集为 　 　．
15．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 　 　．
16．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ODE＝30°，BE＝1，则图中阴影部分的面积为 　 　．
第II卷
人教版2024—2025学年九年级下册中考数学第一次模拟考试试卷A卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．人教版初中数学八年级下册第64页数学活动告诉我们一种折纸得特殊角的方法：
①对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
②再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．请你根据提供的材料完成下面的问题．
（1）填空：　 　；
（2）求∠ABN的度数．
20．为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动．学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计．已知全校共1000名学生，统计发现各班参加夏令营的学生人数分别有2名、3名、4名、5名、6名，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）该校一共有 　 　个班；在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是 　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法，求所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率．
21．如图，一勘测人员从山脚B点出发，沿坡度为1：3的坡面BD行至D点处时，他的垂直高度上升了15米；然后再从D点处沿坡角为45°的坡面DA，以20米/分钟的速度到达山顶A点时，用了10分钟．
（1）求D点到B点之间的水平距离；
（2）求山顶A点处的垂直高度AC是多少米？（1.414，结果保留整数）
22．近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A，B两种设备．已知每台B种设备比每台A种设备价格多0.6万元，花5万元购买A种设备和花11万元购买B种设备的数量相同．
（1）求A，B两种设备每台各多少万元．
（2）根据单位实际情况，需购进A，B两种设备共18台，总费用不高于14万元，求A种设备至少要购买多少台？
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，，求BE的长；
（3）在（2）的条件下求阴影部分的面积．
24．如图，△ABC中，AB＝AD，AB为⊙O的直径，C在⊙O上且为BD的中点，过点A作AF∥BD，连接CF，CF⊥AD于点E．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）记△AEF，△AEC，△CED的面积分别为S1，S2，S3，若3，求（tanB）2的值；
（3）若⊙O的半径为1，设BC＝x，AE DE y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
25．我们称关于x的二次函数y＝px2+qx+k为一次函数y＝px+q和反比例函数的“共同体”函数．一次函数y＝px+q和反比例函数的交点称为二次函数y＝px2+qx+k的“共赢点”．
（1）二次函数y＝x2﹣3x﹣4是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”；
（2）已知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且AB＝3MN，求a的值；
（3）若一次函数y＝ax+2b和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为x1，x2，其中实数a＞b＞c，a+b+c＝0．令，求L的取值范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C A B D C D C B
一．选择题（共30小题）
1．【解答】解：﹣2025的倒数是．
故选：B．
2．【解答】解：0.0000084米＝8.4×10﹣6米．
故选：B．
3．【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
4．【解答】解：A、3ab 2b＝6ab2，故此选项计算正确，符合题意．
B、3ab﹣ab＝（3﹣1）ab＝2ab，故此选项计算错误，不符合题意．
C、（2a﹣b）2＝4a2+4ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意．
D、，故此选项计算错误，不符合题意．
故选：A．
5．【解答】解：设第三边为x，根据题意，得
6﹣2＜x＜6+2，
即4＜x＜8，
所以长度能作为第三边得是6cm．
故选：B．
6．【解答】解：A．为了解长沙市中学生的睡眠情况实行抽样调查，故此选项不符合题意；
B．一组数据﹣1，2，5，5，7，7，4的众数是5和7，故此选项不符合题意；
C．明天的降水概率为90%，则明天不一定会下雨，原说法错误，故此选项不符合题意；
D．若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲2＝0.3，s乙2＝0.02，s甲2＞s乙2，则乙组数据更稳定，原说法正确，故此选项符合题意．
故选：D．
7．【解答】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78．
故选：C．
8．【解答】解：∵第二次比第一次增加6人，且第二次分钱的人数为x人，
∴第一次分钱的人数为（x﹣6）人．
根据题意得：．
故选：D．
9．【解答】解：由作法得BG平分∠ABC，
∵GP⊥BA，∠C＝90°，
∴GP＝GC＝AC﹣AG＝9﹣5＝4，
故选：C．
10．【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），
∴B、D两点纵坐标相同，都为4，
∴可设B（x，4）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，
∴E为BD中点，∠DAB＝90°．
∴E（x，4）．
∵∠DAB＝90°，
∴AD2+AB2＝BD2，
∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），
∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝10，
∴E（5，4）．
∵反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象经过点E，
∴k＝5×4＝20．
故选：B．
二、填空题
11．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，
故答案为：6．
12．【解答】解：由已知得，母线长l＝5，底面圆的半径r为3，
∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝5×3×π＝15π．
故答案为：15π．
13．【解答】解：设该多边形的边数为n，根据题意，
可得：（n﹣2）×180°＝900°，
解得：n＝7，
所以，这个多边形的边数是7．
故答案为：7．
14．【解答】解：把P（2，a）代入直线l1中，
则：a＝2+1＝3；
再将点P（2，3）代入直线l2中，
则：3＝2m+5，
解得m＝﹣1．
∴不等式x+1≥mx+5为x+1≥﹣x+5，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
15．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝13，
故答案为：13．
16．【解答】解：如图，连接OC，设⊙O的半径为r．
∵CD⊥AB，
∴∠DEO＝90°，
∵∠ODE＝30°，BE＝1，OE＝OB﹣BE＝r﹣1，
∴sin∠ODE，即，解得r＝2，
又∵OC＝OD，
∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠ODE＝60°，
∴S扇形BOCπr2r2，
∵OB＝r，CE＝DE＝OD cos∠ODEr，
∴S△BOCOB CEr2，
∴S阴影＝S扇形BOC﹣S△BOC
r2r2
＝（）r2
＝（）×4
．
故答案为：．
三、解答题
17．【解答】解：
＝2﹣2×1
＝2﹣21+1
．
18．【解答】解：原式（）
（）

，
当x1时，原式．
19．【解答】解：（1）由折叠可知：AB＝BN，，
∴；
故答案为：；
（2）在Rt△BEN中，，
∴∠BNE＝30°，
∴∠EBN＝90°﹣∠BNE＝60°，
由折叠可得：．
∴∠ABN＝60°．
20．【解答】解：（1）该校一共有的班级个数为：6÷30%＝20（个），
在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是：360°90°，
故答案为：20，90°；
（2）参加夏令营的学生人数为2名的班级个数为：20﹣5﹣6﹣5﹣2＝2（个），
将条形统计图补充完整如下：
（3）把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，
∴所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率为．
21．【解答】解：（1）过D点作DF⊥BC于点F，
∵BD的坡度为1：3，
∴，即，
解得，BF＝45，即D点到B点之间的水平距离为45米，
答：D点到B点之间的水平距离为45米；
（2）由题意得，AD＝20×10＝200，
在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，
∴AE＝AD sin∠ADE＝200100，
∴AC＝AE+EC＝10015≈156，
答：山顶A点处的垂直高度约为156米．
22．【解答】解：（1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备（x+0.6）万元，
根据题意得：，
解得：x＝0.5．
经检验，x＝0.5是原方程的解，
∴x+0.6＝1.1．
答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.1万元；
（2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（18﹣m）台，
根据题意得：0.5m+1.1（18﹣m）≤14，
解得：m．
∵m为整数，
∴m≥10．
答：A种设备至少要购买10台．
23．【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∵以AE为直径作⊙O，
∴点D在⊙O上，
∴OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD为∠CAB的平分线，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠ODC+∠ACB＝180°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵AC＝3，，
∴AB6，
∴cos∠CAB，
∴∠CAB＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°．
∴CD＝AC tan∠CAD＝3，
∴AD＝2CD＝2．
∵∠ADE＝90°，
∴DE＝AD tan∠DAB＝22，
∴AE＝2DE＝4，
∴BE＝AB﹣AC＝2．
（3）解：由（2）知：AE＝4，DE＝2，BE＝2，
∴OD＝OE＝DE＝2，
∴△ODE为等边三角形，
∴∠DOE＝60°，
∵OB＝OE+BE＝4，OD⊥BD，
∴BD2，
∴阴影部分的面积＝S△OBD﹣S扇形ODE
OD BD
＝2．
24．【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BD，
∵AB＝AD，
∴BC＝CD，
∵OA＝OB，
∴OC为△BAD的中位线，
∴OC∥AD，
∵CF⊥AD，
∴OC⊥CF，
∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
（2）解：∵AF∥BD，
∴△AEF∽△DEC，
∴．
∵△AEC，△CED中AE，DE边上的高相同，
∴．
∵3，
∴3，
∴3，
∴（负数不合题意，舍去），
设AE＝（1）a，则DE＝2a．
∴AD＝（1）a．
∵∠ACD＝90°，CF⊥AD，
∴△ACE∽△ADC，
∴，
∴AC2＝AE AD＝（1）a （1）a＝12a2．
∴CD2（2+2）a2，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠D，
∴（tanB）2＝（tanD）2．
（3）解：∵⊙O的半径为1，
∴AB＝AD＝2，
∵BC＝BD＝x，
∴AC．
∵AC CDAD CE，
∴CE，
∵∠ACD＝90°，CF⊥AD，
∴△ACE∽△CDE，
∴，
∴CE2＝AE DE．
∵AC⊥BD，AF∥BD，
∴AF⊥AC，
∵CF⊥AD，
∴△ACE∽△FCA，
∴，
∴CE CF＝AC2＝4﹣x2，
∵∠ACD＝90°，CF⊥AD，
∴△DCE∽△DAC，
∴，
∴DE AD＝CD2＝x2，
由题意：0＜x＜2，
∴y＝AE DE ．
∴y关于x的函数解析式为y，自变量x的取值范围为0＜x＜2．
25．【解答】解：（1）根据定义，二次函数y＝x2﹣3x﹣4中，p＝1，q＝﹣3，k＝4，
∴二次函数y＝x2﹣3x﹣4是一次函数y＝x﹣3与反比例函数y的“共同体”函数，
联立一次函数与反比例函数：，
解得：或，
经检验，两组解均是方程组的解，
∴二次函数y＝x2﹣3x﹣4的“共赢点”是（﹣1，﹣4），（4，1）；
（2）∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交点为M，N，
∴令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
∴xM+xN，xMxN，
∴MN，
∵二次函数y＝ax2+bx+c是一次函数y＝ax+b与反比例函数y的“共同体”函数，
∴由得ax+b，
∴ax2+bx+c＝0，
∴A，B两个“共赢点”的横坐标满足：xA+xB，xAxB，
纵坐标yA＝axA+b，yB＝axB+b，
∴yA+yB＝a（xA+xB）+2b＝b，yAyB＝（axA+b）（axB+b）＝ac，
∴AB
，
∵AB＝3MN，
∴3，
∴b2﹣4ac＝9 ，
∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴1+a2＝9，
∴a＝±2；
（3）∵a＞b＞c，a+b+c＝0，
∴a＞0，c＜0，a+a+c＞0，a+c+c＜0，
∴﹣2，
∵一次函数y＝ax+2b与反比例函数y的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标是x1，x2，
∴x1，x2是方程ax+2b，即ax2+2bx+c＝0的两根，
∴x1+x2，x1x2，
∵L＝||
＝2
＝2
＝2
＝2，
∵﹣2，
∴22，
即L＜2．
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