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(共53张PPT)
DIYIZHANG
第一章
专题强化1　 库仑定律的应用
1.学会利用库仑定律分析同一直线上三个点电荷的平衡问题(重点)。
2.学会利用库仑定律分析非共线力作用下带电体的平衡问题(重点)。
3.学会处理库仑力作用下带电体的动力学问题(难点)。
学习目标
一、同一直线上三个点电荷的平衡问题
二、非共线力作用下带电体的平衡问题
专题强化练
三、含库仑力的动力学问题
内容索引
同一直线上三个点电荷的平衡问题
一
A、B两个点电荷，相距为r，A带有9Q的正电荷，B带有4Q的正电荷：(如图)
(1)A和B固定，如何放置一个电荷量为q的正点电荷C，才能使点电荷C处于平衡状态？若将C换成等量负电荷C′，C′平衡的位置是否发生变化？
(2)如果A和B是自由的，要求放置第三个点电荷D，使系统处于平衡状态，求D的位置、电性和电荷量。
(3)如图，A、B是两个自由的点电荷，相距为r，A带有9Q的正电荷，B带有－4Q的负电荷，放置第三个点电荷E，使系统处于平衡状态，求E的位置、电性和电荷量。
答案　放在A、B连线上距离B右侧2r处　正电荷　36Q
1.两个电荷固定，第三个电荷平衡问题
只需要确定第三个电荷位置即可，对其电性和所带电荷量没有要求。
2.三个自由电荷的平衡问题
(1)模型构建：由三个自由电荷组成的系统，且它们仅靠彼此间的静电作用而处于平衡状态，该系统即为三电荷平衡模型。
提炼·总结
(2)同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时，每个电荷受到的合力均为零。根据平衡条件可得，电荷间的关系为：
“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；
“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
(3)对于三个自由电荷的平衡问题，只需对其中两个电荷列平衡方程，不必再对第三个电荷列平衡方程。但选取的两个点电荷不同，往往求解难度不同，要根据不同题目进行选取。
　(2023·江苏省清源中学高一期中)如图所示，光滑绝缘的水平桌面的同一直线上，放置三个可视为点电荷的小球M、N和P，其中M和N固定，带电量分别为＋q1和－q2，若小球P能保持静止，则
A.P一定带正电，q1＝q2
B.P一定带正电，q1>q2
C.P可能带正电，q1＝q2
D.P可能带正电，q1>q2
例1
√
根据题意可知，若小球P能保持静止，则小球M、N对P的作用力等大、反向，由同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引可知，由于小球M、N带异种电荷，无论P带何种电荷，小球M、N对P的作用力方向都相反，设小球P的带电量为q，P与M的距离为r1，P与N的距离为r2，
　(2023·乐山市高二期中)相距为L的点电荷A、B带电荷量分别为＋4q和－q，如图所示，今引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是
A.－q，在A左侧距A为L处
例2
√
因为点电荷A、B带异种电荷，若点电荷C放在中间位置，受到的库仑力同向，合力不可能为零，所以不符合题意。
点电荷B受到A的库仑力向左，所以点电荷C对点电荷B的库仑力向右，所以点电荷C带正电，故D正确。
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非共线力作用下带电体的平衡问题
二
　(多选)(2023·洛阳市孟津一中月考)如图所示，两质量分别为m1和m2、带电荷量分别为q1和q2的小球，用长度不等的绝缘轻丝线悬挂起来，两丝线与竖直方向的夹角分别是α和β(α>β)，若两小球恰在同一水平线上，那么
A.两球一定带异种电荷
B.q1一定不等于q2
C.m1一定小于m2
D.两球所受静电力大小一定不相等
例3
√
√
两球均带电且相互吸引，则必定带异种电荷，故A正确；
两球间的静电力为一对相互作用力，根据牛顿第三定律，无论两球的电荷量大小关系如何，两球间的静电力大小都相等，故无法判断两球所带电荷量的大小关系，B、D错误；
设两球间静电力大小为F，对左球受力分析如图，得到F＝m1gtan α，同理对右球受力分析有F＝m2gtan β，则m1tan α＝m2tan β，因为α>β，得到m1　 (2023·四川罗江中学高二阶段练习)如图，一根竖直立在水平地面上的细杆，其上端固定一个光滑的小滑轮A，一质量为m、带电荷量为＋q的可视为质点的小球B通过细绳绕过滑轮A，并用水平力F拉住，在细杆上某点C处固定一个带电荷量为＋Q的点电荷，此时小球B处于静止状态，且AB＝AC＝BC。现缓慢向左拉绳，使细绳AB的长度减为原来一半，同时改变小球B所带的电荷量＋q的大小，且细绳AB与细杆的夹角保持不变，在此过程中，下列说法正确的是
A.细绳拉力F逐渐增大
B.细绳拉力F逐渐减小
C.小球B所带的电荷量逐渐增大
D.小球B所带的电荷量先减小后增大
√
针对训练1
对小球B受力分析，小球B受重力mg、库仑力F库、细绳拉力F，三个力作用下小球B平衡，开始时三个力构成等边矢量三角形，受力分析如图所示，由受力图可知，当细绳AB长度减小且夹角不变时，细绳拉力F逐渐减小，故A错误，B正确；
细绳AB长度逐渐减小为原来的一半过程中，库仑力减小，两点电荷之间的距离也逐渐减小，根据库仑定律有F库＝　　，可知，小球B所带的电荷量逐渐减小，故C、D错误。
总结提升
分析不在同一条直线上电荷的平衡问题的步骤
1.根据题干条件，恰当选取研究对象，进行受力分析；
2.利用F＝　 　求出每个电荷受到的静电力；
3.根据平衡条件，利用图解法、正交分解法、相似三角形法等列式求解。
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含库仑力的动力学问题
三
例4
　如图所示，在光滑绝缘的水平面上从左向右依次放着三个质量都是m、间隔为l的带电小球A、B、C。其中A球电荷量为＋10q，B球电荷量为＋q，现用水平向右的力F拉C球，使三球在运动中保持距离不变。(静电力常量为k)求：
(1)C球的电性和带电荷量；
答案　见解析
(2)F的大小。
答案　见解析
三个球做加速度相同的加速运动，每个球受到的合力是相同的，水平方向受力情况如图所示，
三个球均以加速度a向右做匀加速直线运动，对三个球组成的系统，彼此间库仑力为内力，由牛顿第二定律有F＝3ma，因A、B球带正电，易判断出C球必带负电
　 (2023·河北唐县第一中学高二阶段练习)如图所示，A、B两个带电小球用长为L的绝缘细线连接，A球固定，B球悬空，B球质量为m，重力加速度为g，两球带电量相等，剪断细线的一瞬间，B球加速度大小为0.6g，不计小球的大小，静电力常量为k，则
A.A、B两球带同种电荷
B.细线未断时，细线上拉力大小为0.4mg
C.B球的带电量大小为
D.未剪断细线时释放A球，释放的一瞬间，A球加速度大小为g
√
针对训练2
由于剪断细线的一瞬间，B球加速度大小为0.6g，小于重力加速度g，说明两球相互吸引，所以带异种电荷，根据牛顿第二定律，有mg－F库＝ma，解得F库＝0.4mg，故A错误；
细线未断时，对B球，根据平衡条件，有F＋F库＝mg，可得细线上拉力大小为F＝0.6mg，故B错误；
未剪断细线时释放A球，释放的一瞬间，A球受到向下的重力、库仑力，因此A球加速度大小大于g，故D错误。
总结提升
分析静电力作用下点电荷的动力学问题的步骤
1.确定研究对象，适当采用“整体法”或“隔离法”；
2.对研究对象进行受力分析，画示意图(受力和运动过程)；
3.根据牛顿第二定律列方程求解。
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专题强化练
四
1.(2023·内江市高二期末)如图，把一带负电小球a穿在光滑绝缘的半圆环上的P位置，P位置与圆心O的连线与水平方向MN的夹角为45°，为了使小球a静止在图示的P位置，现在M、N之间放另一带电小球b。则小球b可能是
A.带负电，放在O点 　　B.带负电，放在B点
C.带正电，放在O点 　　D.带正电，放在B点
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基础强化练
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欲使小球a静止，需要让小球a受力平衡。小球a所受重力竖直向下，则半圆环对小球a的支持力和小球b对小球a的库仑力的合力方向应为竖直向上。由于圆环对小球a的支持力方向与OP共线，若小球b放在O点，则库仑力方向也与OP共线，此时无论小球b带正电还是负电都不可能使合力方向竖直向上，所以小球b不可能放在O点，故A、C错误；
若小球b放在B点，则支持力方向为OP方向，库仑力方向为PB方向时才可能满足平衡条件，此时小球b对小球a是引力，小球b带正电，故B错误，D正确。
2.(2024·河南省中原名校高二期中)如图所示，光滑绝缘水平桌面上有A、B两个带电小球(可以看成点电荷)，A球带电量为＋2q，B球带电量为－q；由静止开始释放两球，释放瞬间A球加速度大小为B球的两倍，不计空气阻力，下列说法正确的是
A.A、B球相互靠近过程中加速度都增大，且A球加速
　度大小总是B球的两倍
B.A球的质量和B球质量相等
C.A球受到的静电力与B球受到的静电力是一对平衡力
D.A球受到的静电力是B球受到静电力的2倍
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根据题意可知，A、B相互靠近的过程中，释放瞬间A球加速度大小为B球的两倍，则A、B间距离越来越小，相互作用力越来越大，所以加速度都增大，并且A、B球所受静电力的大小一直相等，则A球加速度大小总是B球的两倍，根据牛顿第二定律F＝ma可知，B球的质量是A球的2倍，故B错误，A正确；
A球受到的静电力与B球受到的静电力是一对相互作用力，大小相等，方向相反，故C、D错误。
3.(多选)(2023·深圳市福田中学高二期中)如图所示，水平天花板上用长度相同的绝缘细线悬挂两个相同的带电小球A、B，左边放一个带正电的固定球Q时，两悬线都保持方向竖直，小球A与固定球Q的距离等于小球A与小球B的距离。下列说法中正确的是
A.A球带正电，B球带负电，并且A球带电荷量较多
B.A球带负电，B球带正电，并且A球带电荷量较少
C.如果减小B球的质量，B会右移
D.如果只改变B球的质量，B不会移动
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根据电荷间的相互作用规律可知，A球带负电，B球带正电，A球才能受到固定球的向左的吸引力和B球向右的吸引力而平衡，B球受到固定球向右的排斥力和A球向左的吸引力而平衡，A错误；
A球与两边带电小球的间距相等，根据库仑定律可知，两边带电小球的电荷量相等，即B球的电荷量与固定球的电荷量相等，对于B球，因为A离B较近，故要使A对B的库仑力与固定球对B的库仑力大小相等，A球的电荷量需要比固定球的电荷量少，B正确；
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改变B球的质量，影响的是B球的重力，不会影响三个球之间的库仑力，故三个球仍可保持平衡，B不会移动，C错误，D正确。
4.(2023·四川广汉中学高二阶段练习)如图所示，带电小球1固定在空中A点，带电小球2在库仑斥力的作用下沿光滑绝缘水平面向右做加速运动，运动到B点时加速度大小为a，A、B连线与竖直方向的夹角为30°，当小球2运动到C点，A、C连线与竖直方向夹角为60°时，小球2的加速度大小为(两小球均可看成点电荷)
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设在B点时，两个小球之间的库仑力大小为F1，在C点时，两个小球之间的库仑力大小为F2，设小球1距离地面的高度为h，
设小球2的质量为m，在C点的加速度大小为a′，
5.(2023·辽宁实验中学高一期中)如图所示，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知小球c位于圆环最高点，ac连线与竖直方向成60°角，bc连线与竖直方向成30°角，三个小球均处于静止状态，均可视为质点。下列说法正确的是
A.a、b小球可能带异种电荷
B.a、c小球可能带同种电荷
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对a小球进行受力分析可知，要使a小球处于平衡状态，小球a、c之间的库仑力一定为引力，故a、c小球带异种电荷，B错误；
对c小球进行受力分析，根据B选项的结论可得，小
球a对c的库仑力为引力，方向为左下，小球c位于圆环最高点，则支持力方向竖直向上，重力方向竖直向下，小球c处于平衡状态，则小球b对小球c的库仑力方向为右下，为引力，所以a、b小球带同种电荷，A错误；
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6.(2024·南京市栖霞中学高二月考)如图所示，质量为m的小球A穿在绝缘细杆上，杆的倾斜角为α，小球A带正电，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷。将小球A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求：
(1)A球刚释放时的加速度大小；
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(2)当A球的速度最大时，A球与B点的距离。
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7.(多选)(2023·抚州市乐安县第二中学开学考试)如图所示，同一直线上的三个自由点电荷q1、q2、q3，恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知q1、q2间的距离是q2、q3间距离的2倍。下列说法正确的是
A.若q1、q3为正电荷，则q2为负电荷
B.若q1、q2为负电荷，则q3为正电荷
C.q1∶q2∶q3＝36∶4∶9
D.q1∶q2∶q3＝9∶4∶36
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能力综合练
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三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，两大夹小，近小远大”，所以q1和q3是同种电荷，q2与它们是异种电荷，故A正确，B错误；
8.(2023·大理市高二期末)如图所示，带电小球M固定在光滑绝缘水平面上，与M带同种电荷的小球N以速度v0从P点沿直线远离M，M、N均可视为质点且带电量保持不变，则小球N的速度v随时间t变化的图像可能是
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9.水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量均为Q的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球(可视为点电荷)放置在O点，OABC恰构成一棱长为L的正四面体，如图所示。已知静电力常量为k，重力加速度为g，为使小球能静止在O点，小球所带的电荷量为
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10.(多选)(2023·衡阳市高二期末)如图所示，在一倾角为45°的绝缘斜面C上有一带正电的小物体A处于静止状态，现将一带正电的小球B沿以A为圆心的圆弧缓慢地从P点移到A正上方的Q点处，已知P、A在同一水平线上，且在此过程中物体A和C始终保持静止不动，A、B可视为质点。关于此过程，下列说法正确的是
A.地面对斜面C的摩擦力一定逐渐减小
B.地面对斜面的支持力一定一直增大
C.物体A受到斜面的摩擦力可能一直增大
D.物体A受到斜面的支持力可能一直增大
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尖子生选练
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对A、C组成的系统进行整体受力分析如图甲，由于B移动的过程中，A、B之间的距离不变，F库的大小不变，正交分解有F库cos α＝f地，Mg＋F库sin α＝N，
由于B移动的过程中，α角增大，可得f地减小，N增大，A、B正确；
隔离A受力分析如图 乙，由于B移动的过程中，A、B之间的距离不变，F库的大小不变，若F库＝mg，θ角在初始时刻是45°，当θ＝45°时，库仑力与重力的合力刚好与N1等大反向，此时摩擦力为零，此后随着B的移动，摩擦力沿斜面向上持续增大，C正确；
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正交分解有mgcos 45°＋F库sin θ＝N1，由题意可知45°≤θ≤135°，可知，当θ＝90°时，支持力有最大值，故支持力是先增大，后减小，D错误。
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返回专题强化1　库仑定律的应用
1～5题每题7分，6题13分，共48分
1．(2023·内江市高二期末)如图，把一带负电小球a穿在光滑绝缘的半圆环上的P位置，P位置与圆心O的连线与水平方向MN的夹角为45°，为了使小球a静止在图示的P位置，现在M、N之间放另一带电小球b。则小球b可能是(　　)
A．带负电，放在O点 B．带负电，放在B点
C．带正电，放在O点 D．带正电，放在B点
2.(2024·河南省中原名校高二期中)如图所示，光滑绝缘水平桌面上有A、B两个带电小球(可以看成点电荷)，A球带电量为＋2q，B球带电量为－q；由静止开始释放两球，释放瞬间A球加速度大小为B球的两倍，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．A、B球相互靠近过程中加速度都增大，且A球加速度大小总是B球的两倍
B．A球的质量和B球质量相等
C．A球受到的静电力与B球受到的静电力是一对平衡力
D．A球受到的静电力是B球受到静电力的2倍
3.(多选)(2023·深圳市福田中学高二期中)如图所示，水平天花板上用长度相同的绝缘细线悬挂两个相同的带电小球A、B，左边放一个带正电的固定球Q时，两悬线都保持方向竖直，小球A与固定球Q的距离等于小球A与小球B的距离。下列说法中正确的是(　　)
A．A球带正电，B球带负电，并且A球带电荷量较多
B．A球带负电，B球带正电，并且A球带电荷量较少
C．如果减小B球的质量，B会右移
D．如果只改变B球的质量，B不会移动
4.(2023·四川广汉中学高二阶段练习)如图所示，带电小球1固定在空中A点，带电小球2在库仑斥力的作用下沿光滑绝缘水平面向右做加速运动，运动到B点时加速度大小为a，A、B连线与竖直方向的夹角为30°，当小球2运动到C点，A、C连线与竖直方向夹角为60°时，小球2的加速度大小为(两小球均可看成点电荷)(　　)
A.a B.a C.a D.a
5.(2023·辽宁实验中学高一期中)如图所示，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知小球c位于圆环最高点，ac连线与竖直方向成60°角，bc连线与竖直方向成30°角，三个小球均处于静止状态，均可视为质点。下列说法正确的是(　　)
A．a、b小球可能带异种电荷
B．a、c小球可能带同种电荷
C．a、b小球所带电荷量之比为
D．a、b小球所带电荷量之比为
6．(13分)(2024·南京市栖霞中学高二月考)如图所示，质量为m的小球A穿在绝缘细杆上，杆的倾斜角为α，小球A带正电，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷。将小球A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求：
(1)(6分)A球刚释放时的加速度大小；
(2)(7分)当A球的速度最大时，A球与B点的距离。
7～9题每题10分，共30分
7.(多选)(2023·抚州市乐安县第二中学开学考试)如图所示，同一直线上的三个自由点电荷q1、q2、q3，恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知q1、q2间的距离是q2、q3间距离的2倍。下列说法正确的是(　　)
A．若q1、q3为正电荷，则q2为负电荷
B．若q1、q2为负电荷，则q3为正电荷
C．q1∶q2∶q3＝36∶4∶9
D．q1∶q2∶q3＝9∶4∶36
8.(2023·大理市高二期末)如图所示，带电小球M固定在光滑绝缘水平面上，与M带同种电荷的小球N以速度v0从P点沿直线远离M，M、N均可视为质点且带电量保持不变，则小球N的速度v随时间t变化的图像可能是(　　)
9.水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量均为Q的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球(可视为点电荷)放置在O点，OABC恰构成一棱长为L的正四面体，如图所示。已知静电力常量为k，重力加速度为g，为使小球能静止在O点，小球所带的电荷量为(　　)
A. B.
C. D.
10、11题每题11分，共22分
10.(多选)(2023·衡阳市高二期末)如图所示，在一倾角为45°的绝缘斜面C上有一带正电的小物体A处于静止状态，现将一带正电的小球B沿以A为圆心的圆弧缓慢地从P点移到A正上方的Q点处，已知P、A在同一水平线上，且在此过程中物体A和C始终保持静止不动，A、B可视为质点。关于此过程，下列说法正确的是(　　)
A．地面对斜面C的摩擦力一定逐渐减小
B．地面对斜面的支持力一定一直增大
C．物体A受到斜面的摩擦力可能一直增大
D．物体A受到斜面的支持力可能一直增大
11.(多选)(2024·安徽郎溪中学高二期中)如图所示，A、B、C三个带电小球在同一竖直平面内，A、B固定且在同一水平线上，AC、BC间用长l的绝缘细线(细线有张力)连接，连线夹角为90°。C球质量为m，重力加速度为g，三个球带电荷量大小相等，A、B带正电荷。初始时C球静止，当剪断其中一根细线的瞬间，C球加速度大小为g，不计小球的大小，静电力常量为k，下列说法正确的是(　　)
A．细线未断时，细线上拉力大小为mg
B．细线未断时，细线上拉力大小为mg
C．C球的带电荷量大小为l
D．C球的带电荷量大小为l
专题强化练1　库仑定律的应用
1．D　[欲使小球a静止，需要让小球a受力平衡。小球a所受重力竖直向下，则半圆环对小球a的支持力和小球b对小球a的库仑力的合力方向应为竖直向上。由于圆环对小球a的支持力方向与OP共线，若小球b放在O点，则库仑力方向也与OP共线，此时无论小球b带正电还是负电都不可能使合力方向竖直向上，所以小球b不可能放在O点，故A、C错误；若小球b放在B点，则支持力方向为OP方向，库仑力方向为PB方向时才可能满足平衡条件，此时小球b对小球a是引力，小球b带正电，故B错误，D正确。]
2．A　[根据题意可知，A、B相互靠近的过程中，释放瞬间A球加速度大小为B球的两倍，则A、B间距离越来越小，相互作用力越来越大，所以加速度都增大，并且A、B球所受静电力的大小一直相等，则A球加速度大小总是B球的两倍，根据牛顿第二定律F＝ma可知，B球的质量是A球的2倍，故B错误，A正确；A球受到的静电力与B球受到的静电力是一对相互作用力，大小相等，方向相反，故C、D错误。]
3．BD　[根据电荷间的相互作用规律可知，A球带负电，B球带正电，A球才能受到固定球的向左的吸引力和B球向右的吸引力而平衡，B球受到固定球向右的排斥力和A球向左的吸引力而平衡，A错误；A球与两边带电小球的间距相等，根据库仑定律可知，两边带电小球的电荷量相等，即B球的电荷量与固定球的电荷量相等，对于B球，因为A离B较近，故要使A对B的库仑力与固定球对B的库仑力大小相等，A球的电荷量需要比固定球的电荷量少，B正确；改变B球的质量，影响的是B球的重力，不会影响三个球之间的库仑力，故三个球仍可保持平衡，B不会移动，C错误，D正确。]
4．C　[设在B点时，两个小球之间的库仑力大小为F1，在C点时，两个小球之间的库仑力大小为F2，设小球1距离地面的高度为h，根据库仑定律有F1＝，F2＝，设小球2的质量为m，在C点的加速度大小为a′，则根据牛顿第二定律有F1sin 30°＝ma，F2sin 60°＝ma′，联立可得a′＝a，故选C。]
5．D　[对a小球进行受力分析可知，要使a小球处于平衡状态，小球a、c之间的库仑力一定为引力，故a、c小球带异种电荷，B错误；对c小球进行受力分析，根据B选项的结论可得，小球a对c的库仑力为引力，方向为左下，小球c位于圆环最高点，则支持力方向竖直向上，重力方向竖直向下，小球c处于平衡状态，则小球b对小球c的库仑力方向为右下，为引力，所以a、b小球带同种电荷，A错误；因为ac连线与bc连线的夹角为90°，根据几何关系可知，ab的连线过圆心，则ac＝2Rsin 30°＝R，bc＝2Rcos 30°＝R，小球c处于平衡状态，则Facsin 60°＝Fbcsin 30°，Fac＝，Fbc＝，可得＝，C错误，D正确。]
6．(1)gsin α－sin2α　(2)
解析　(1)根据牛顿第二定律有mgsin α－k＝ma，得a＝gsin α－sin2α
(2)当A球的速度最大时，加速度为零，即mgsin α＝k，得r＝。
7．AC　[三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，两大夹小，近小远大”，所以q1和q3是同种电荷，q2与它们是异种电荷，故A正确，B错误；根据库仑定律和矢量的合成，则有k＝k＝k，解得q1∶q2∶q3＝36∶4∶9，故C正确，D错误。]
8．D　[由题可知，两带电小球间的库仑力为F＝k，根据牛顿第二定律可知a＝＝k，随着距离的增加，加速度逐渐减小，故小球N做加速度逐渐减小的加速度运动。故选D。]
9．C　[设AO、BO、CO三条棱与水平面的夹角为θ，由几何关系可知sin θ＝，对带正电的小球根据平衡条件可得3ksin θ＝mg，解得q＝，故选C。]
10．ABC　[对A、C组成的系统进行整体受力分析如图甲，由于B移动的过程中，A、B之间的距离不变，F库的大小不变，正交分解有F库cos α＝f地，
Mg＋F库sin α＝N，
由于B移动的过程中，α角增大，可得f地减小，N增大，A、B正确；
隔离A受力分析如图 乙，由于B移动的过程中，A、B之间的距离不变，F库的大小不变，若F库＝mg，θ角在初始时刻是45°，当θ＝45°时，库仑力与重力的合力刚好与N1等大反向，此时摩擦力为零，此后随着B的移动，摩擦力沿斜面向上持续增大，C正确；
正交分解有mgcos 45°＋F库sin θ＝N1，由题意可知45°≤θ≤135°，可知，当θ＝90°时，支持力有最大值，故支持力是先增大，后减小，D错误。]
11．BD　[由于剪断细线的一瞬间，C球加速度的大小为g，大于重力加速度g，说明C球受斥力，所以C球带正电荷，剪断的细线方向上，根据牛顿第二定律，有mgcos 45°＋F库＝ma，解得F库＝mg，由F库＝k，得q＝l，故C错误，D正确；细线未断时，对C球，根据平衡条件，有2Fcos 45°＝mg＋2F库cos 45°，可得细线上拉力大小为F＝mg，故B正确，A错误。]专题强化1　库仑定律的应用
[学习目标]　1.学会利用库仑定律分析同一直线上三个点电荷的平衡问题(重点)。2.学会利用库仑定律分析非共线力作用下带电体的平衡问题(重点)。3.学会处理库仑力作用下带电体的动力学问题(难点)。
一、同一直线上三个点电荷的平衡问题
A、B两个点电荷，相距为r，A带有9Q的正电荷，B带有4Q的正电荷：(如图)
(1)A和B固定，如何放置一个电荷量为q的正点电荷C，才能使点电荷C处于平衡状态？若将C换成等量负电荷C′，C′平衡的位置是否发生变化？
(2)如果A和B是自由的，要求放置第三个点电荷D，使系统处于平衡状态，求D的位置、电性和电荷量。
(3)如图，A、B是两个自由的点电荷，相距为r，A带有9Q的正电荷，B带有－4Q的负电荷，放置第三个点电荷E，使系统处于平衡状态，求E的位置、电性和电荷量。
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1．两个电荷固定，第三个电荷平衡问题
只需要确定第三个电荷位置即可，对其电性和所带电荷量没有要求。
2．三个自由电荷的平衡问题
(1)模型构建：由三个自由电荷组成的系统，且它们仅靠彼此间的静电作用而处于平衡状态，该系统即为三电荷平衡模型。
(2)同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时，每个电荷受到的合力均为零。根据平衡条件可得，电荷间的关系为：
“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；
“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
(3)对于三个自由电荷的平衡问题，只需对其中两个电荷列平衡方程，不必再对第三个电荷列平衡方程。但选取的两个点电荷不同，往往求解难度不同，要根据不同题目进行选取。
例1　(2023·江苏省清源中学高一期中)如图所示，光滑绝缘的水平桌面的同一直线上，放置三个可视为点电荷的小球M、N和P，其中M和N固定，带电量分别为＋q1和－q2，若小球P能保持静止，则(　　)
A．P一定带正电，q1＝q2
B．P一定带正电，q1>q2
C．P可能带正电，q1＝q2
D．P可能带正电，q1>q2
例2　(2023·乐山市高二期中)相距为L的点电荷A、B带电荷量分别为＋4q和－q，如图所示，今引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是(　　)
A．－q，在A左侧距A为L处
B．－2q，在A左侧距A为处
C．＋2q，在B右侧距B为处
D．＋4q，在B右侧距B为L处
二、非共线力作用下带电体的平衡问题
例3　(多选)(2023·洛阳市孟津一中月考)如图所示，两质量分别为m1和m2、带电荷量分别为q1和 q2的小球，用长度不等的绝缘轻丝线悬挂起来，两丝线与竖直方向的夹角分别是α和β(α>β)，若两小球恰在同一水平线上，那么(　　)
A．两球一定带异种电荷
B．q1一定不等于q2
C．m1一定小于m2
D．两球所受静电力大小一定不相等
针对训练1　(2023·四川罗江中学高二阶段练习)如图，一根竖直立在水平地面上的细杆，其上端固定一个光滑的小滑轮A，一质量为m、带电荷量为＋q的可视为质点的小球B通过细绳绕过滑轮A，并用水平力F拉住，在细杆上某点C处固定一个带电荷量为＋Q的点电荷，此时小球B处于静止状态，且AB＝AC＝BC。现缓慢向左拉绳，使细绳AB的长度减为原来一半，同时改变小球B所带的电荷量＋q的大小，且细绳AB与细杆的夹角保持不变，在此过程中，下列说法正确的是(　　)
A．细绳拉力F逐渐增大
B．细绳拉力F逐渐减小
C．小球B所带的电荷量逐渐增大
D．小球B所带的电荷量先减小后增大
分析不在同一条直线上电荷的平衡问题的步骤
1．根据题干条件，恰当选取研究对象，进行受力分析；
2．利用F＝k求出每个电荷受到的静电力；
3．根据平衡条件，利用图解法、正交分解法、相似三角形法等列式求解。
三、含库仑力的动力学问题
例4　如图所示，在光滑绝缘的水平面上从左向右依次放着三个质量都是m、间隔为l的带电小球A、B、C。其中A球电荷量为＋10q，B球电荷量为＋q，现用水平向右的力F拉C球，使三球在运动中保持距离不变。(静电力常量为k)求：
(1)C球的电性和带电荷量；
(2)F的大小。
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针对训练2　(2023·河北唐县第一中学高二阶段练习)如图所示，A、B两个带电小球用长为L的绝缘细线连接，A球固定，B球悬空，B球质量为m，重力加速度为g，两球带电量相等，剪断细线的一瞬间，B球加速度大小为0.6g，不计小球的大小，静电力常量为k，则(　　)
A．A、B两球带同种电荷
B．细线未断时，细线上拉力大小为0.4mg
C．B球的带电量大小为L
D．未剪断细线时释放A球，释放的一瞬间，A球加速度大小为g
分析静电力作用下点电荷的动力学问题的步骤
1．确定研究对象，适当采用“整体法”或“隔离法”；
2．对研究对象进行受力分析，画示意图(受力和运动过程)；
3．根据牛顿第二定律列方程求解。
专题强化1　库仑定律的应用
一、
(1)放在A、B的连线上距离A右侧处　不发生变化
(2)放在A、B的连线上距离A右侧处　负电荷　
(3)放在A、B连线上距离B右侧2r处　正电荷　36Q
例1　D　[根据题意可知，若小球P能保持静止，则小球M、N对P的作用力等大、反向，由同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引可知，由于小球M、N带异种电荷，无论P带何种电荷，小球M、N对P的作用力方向都相反，设小球P的带电量为q，P与M的距离为r1，P与N的距离为r2，由库仑定律有＝，由r1>r2可得q1>q2，故选D。]
例2　D　[因为点电荷A、B带异种电荷，若点电荷C放在中间位置，受到的库仑力同向，合力不可能为零，所以不符合题意。又因为点电荷A所带电荷量大，根据库仑定律F＝k，可知点电荷C应放在靠近带电荷量小的点电荷，设点电荷在B右侧距B为x处，对点电荷C进行受力分析有k＝k，解得x＝L，再对点电荷B进行受力分析有k＝k，解得qx＝4q，点电荷B受到A的库仑力向左，所以点电荷C对点电荷B的库仑力向右，所以点电荷C带正电，故D正确。]
例3　AC　[两球均带电且相互吸引，则必定带异种电荷，故A正确；两球间的静电力为一对相互作用力，根据牛顿第三定律，无论两球的电荷量大小关系如何，两球间的静电力大小都相等，故无法判断两球所带电荷量的大小关系，B、D错误；设两球间静电力大小为F，对左球受力分析如图，得到F＝m1gtan α，同理对右球受力分析有F＝m2gtan β，则m1tan α＝m2tan β，因为α>β，得到m1]
针对训练1　B　[对小球B受力分析，小球B受重力mg、库仑力F库、细绳拉力F，三个力作用下小球B平衡，开始时三个力构成等边矢量三角形，受力分析如图所示，由受力图可知，当细绳AB长度减小且夹角不变时，细绳拉力F逐渐减小，故A错误，B正确；细绳AB长度逐渐减小为原来的一半过程中，库仑力减小，两点电荷之间的距离也逐渐减小，根据库仑定律有F库＝k，可知，小球B所带的电荷量逐渐减小，故C、D错误。
]
例4　见解析
解析　(1)(2)三个球做加速度相同的加速运动，每个球受到的合力是相同的，水平方向受力情况如图所示，
三个球均以加速度a向右做匀加速直线运动，对三个球组成的系统，彼此间库仑力为内力，由牛顿第二定律有F＝3ma，因A、B球带正电，易判断出C球必带负电
对A球，有k－k＝ma
对B球，有k＋k＝ma
联立各式得qC＝－，F＝。
针对训练2　C　[由于剪断细线的一瞬间，B球加速度大小为0.6g，小于重力加速度g，说明两球相互吸引，所以带异种电荷，根据牛顿第二定律，有mg－F库＝ma，解得F库＝0.4mg，故A错误；
细线未断时，对B球，根据平衡条件，有F＋F库＝mg，可得细线上拉力大小为F＝0.6mg，故B错误；
由库仑力公式，有0.4mg＝k，解得q＝L，故C正确；
未剪断细线时释放A球，释放的一瞬间，A球受到向下的重力、库仑力，因此A球加速度大小大于g，故D错误。]

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