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四川师大附中2024-2025学年度（下期）二诊模拟考试试题
高2022级数学
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设为虚数单位，则复数的共轭复数是
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. 1 D. 0
5. 设点，分别是双曲线（）的左、右焦点，过点且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若的面积为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ）
A 事件M与事件N相互独立 B. 事件X与事件Y相互独立
C. 事件M与事件Y相互独立 D. 事件N与事件Y相互独立
8. 在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（ ）
A. B.
C. 2 D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下面命题中是真命题的有（ ）
A. 中，若，则
B. 若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为2弧度，则扇形的周长为4
C. 函数的最小值为4
D. 函数在上单调递减，则实数的取值范围为.
10. 已知椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点（为坐标原点），且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线AB与OM垂直
B. 若点M的坐标为，则直线AB的方程为
C. 若直线AB的方程为，则点M的坐标为
D. 若直线AB方程为，则
11. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，为底面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当为的中点时，
B. 若在线段上运动，三棱锥的体积为定值
C. 存在点，使得平面截正方体所得的截面面积为
D. 当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位：），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为__________.
13. 等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为______．
14. 已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则______；除以17的余数是______.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15 已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若，，讨论函数的单调性.
16. 已知数列满足，，为数列的前项和．
（1）求证：数列等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列前项和．
17. 某乒乓球运动员练习接发球，陪练教练每次发球有的概率发左旋球，有的概率发右旋球，且该运动员可以通过陪练教练的发球动作，准确地判断发出的是左旋球还是右旋球.根据以往训练数据，该乒乓球运动员能成功接左旋球的概率是，能成功接右旋球的概率是.在某次训练的连续两次接发球中，设该运动员成功接到左旋球的次数为随机变量，成功接到右旋球的次数为随机变量.
（1）若，求该运动员两次接发球均成功的概率；
（2）若，求的取值范围.
18. 如图，圆柱的体积为，侧面积也为，AB为的直径，C，D分别为上、下底面圆周上的点，且直线CD与交于点O．
（1）求圆柱的高；
（2）证明：；
（3）若直线AC与下底面所成角的正切值为，求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值．
19. 已知A B为椭圆=1(a>b>0)和双曲线=1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足，设直线AP BP AQ BQ的斜率分别为k1 k2 k3 k4.
（1）求证：点P Q O三点共线；
（2）当a=2，b=时，若点P Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为，求△BPQ的面积S；
（3）若F1 F2分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF1PF2，求k12+k22+k32+k42的值.
四川师大附中2024-2025学年度（下期）二诊模拟考试试题
高2022级数学
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. C
2. A
3. B.
4. B
5. D.
6. B.
7. C．
8. B.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. AD.
10. BD．
11. ACD．
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 90.
13.
14. ①. ②. 0
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 解：（1），，则，
则，即切线斜率，
故切线方程为，即；
（2）函数的定义域为，，
，
当时，，由，可得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，，
①当时，，当或时，，
即函数在和上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减；
②当时，则对任意的，即函数在上单调递增；
③当时，，
当或时，，即函数在和上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减.
综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.
16. 解：（1）对整理有：，
等式两边同时除以可得，
等式两边再同时减得，即，
又由，可得，故，
则数列是首项为，公比为等比数列．
（2）由（1）得的通项公式为，
得，所以．
（3）由（2）知，
所以
．
17. 解：（1）设该运动员两次接发球均成功为事件，则
（2）易知，则
，
且，
所以，
因为，所以，所以，即的取值范围为.
18. 解：（1）设圆柱的高为，的半径为，
因为圆柱的体积为，侧面积也为，
所以，
所以，
所以圆柱的高为.
（2）连接，如图所示，
因为线段与线段交于点，所以，四点共面，
又因为圆柱的上下底面平行，圆平面，圆平面，所以，
因为，所以四边形为平行四边形，
所以；
（3）延长交于点，连接，因为在上，为的直径，
所以，因为，所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面，
所以为直线与下底面所成的角，直线AC与下底面所成角的正切值为，
因为，所以，所以.
因为两两垂直，如图所示，以为坐标原点，
的方向分别为轴，轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系.
所以，，
所以，
设平面的法向量为，
，则，
令，则，
设平面的法向量为，
则有，则，
令，则，
设平面与平面所成的锐角为，
所以，
即平面与平面所成锐角的余弦值为.
19. 解：（1）证明：因为A，B为椭圆与双曲线的公共点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，
又因为，
所以，即
所以点P，Q，O三点共线.
（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线PQ的方程为
联立，解得x=±，y=±，
所以P(，)，
同理，解得x=±，y=±，
解得Q(，)，
则|PQ|=3﹣，
又因为a=2，b=，
联立，解得B(±2，0)，
所以点B到直线PQ的距离d=，
则.
（3）因为，设，，
所以，
因为，所以
又， ，
因为QF1PF2，
所以|OF1|=λ|OF2|，
所以λ2=，
所以= =，
所以
同理(k3+k4)2=4，
而k1k2=，又x12=a2+y12，所以k1k2=，
同理k3k4=﹣，所以k12+k22+k32+k42=8.

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