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2025届成都市高中毕业班第二次诊断性检测 数学试卷
（考试时间：120分钟 考试总分：150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.居民消费价格指数(Consumer Price Index，简称CPI)，是度量一定时期居民消费商品和服务价格水平总体变动情况的相对数，综合反映居民消费商品和服务价格水平的变动趋势和变动程度.下图是2024年11月9日国家统计局公布的2024年10月各类商品及服务价格同比和环比涨跌幅情况
(同比，环比)，下列结论正确的是( )
A.2024年10月份食品烟酒类价格低于2023年10月份食品烟酒类价格；
B.2024年10月份教育文化娱乐类价格低于2024年9月份教育文化娱乐类价格；
C.2024年9月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格；
D.2024年10月份居住类价格低于2023年10月份居住类价格.
4.已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个白球.从袋中不放回地依次随机取出2个球，则这2个求颜色相同的概率为( )
A. B. C. D.
6.在天体学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的右焦点为F，若F关于直线的对称点P在C上，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
8.若函数有极值，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选泽题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则( )
A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称
C.在上单调递减 D.在上有2个零点
10.数列的通项公式，前n项和为，则( )
A.数列为等差数列 B.存在，使得
C.当n=8时，取得最小值 D.数列的最大项的值为
11.如图，在直棱柱中，，,，M是中点，过作与平面平行的平面，若，，则( )
A. 四点共面 B.棱柱没有外接球
C.直线所成的角为 D.四面体与四面体的公共部分的体积为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角的终边过点，则__________.
13.设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过P，则
__________.
14.对于一个平面图形，如果存在一个圆能够完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆.则曲线的最小覆盖圆的半径为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(13分)在中，角的对边分别是，已知.
(1)求A；(2)若，且的周长为，求.
16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱，，E是PC的中点，作EFPB交PB于F.
(1)求证：PA//平面EDB；(2)求证：PB平面EFD；(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
17.(15分)已知椭圆C上的动点M(x,y)总满足关系式，且椭圆C与抛物线有公共的焦点F，P是椭圆C与抛物线的一个公共点，.
(1)求抛物线的方程和椭圆C的标准方程；
(2)过点F的直线交抛物线于M,N两点，交椭圆C于A,B两点，若，求直线的方程.
18.(17分)某答题挑战赛规则如下：比赛按轮次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续2轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为，已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立.
(1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率；
(2)记该选手在第n轮答题结束时挑战依然未终止的概率为，
(i)求；(ii)证明：存在实数，使得数列为等比数列.
19.(17分)对于给定集合，若存在非负实数，对任意满足：成立，则称集合A具有性质.
(1)证明：集合具有性质；
(2)若集合具有性质，求的最小值；
(3)若集合具有性质，求的最大值.2025届成都市高中毕业班第二次诊断性检测 数学试卷
（考试时间：120分钟 考试总分：150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.若，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
3.居民消费价格指数(Consumer Price Index，简称CPI)，是度量一定时期居民消费商品和服务价格水平总体变动情况的相对数，综合反映居民消费商品和服务价格水平的变动趋势和变动程度.下图是2024年11月9日国家统计局公布的2024年10月各类商品及服务价格同比和环比涨跌幅情况
(同比，环比)，下列结论正确的是( )
A.2024年10月份食品烟酒类价格低于2023年10月份食品烟酒类价格；
B.2024年10月份教育文化娱乐类价格低于2024年9月份教育文化娱乐类价格；
C.2024年9月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格；
D.2024年10月份居住类价格低于2023年10月份居住类价格.
【答案】C
4.已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
【答案】C
5.袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个白球.从袋中不放回地依次随机取出2个球，则这2个求颜色相同的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
6.在天体学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为( )
A. B. C. D.
【答案】D
7.已知双曲线的右焦点为F，若F关于直线的对称点P在C上，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
8.若函数有极值，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
二、多项选泽题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则( )
A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称
C.在上单调递减 D.在上有2个零点
【答案】ACD
10.数列的通项公式，前n项和为，则( )
A.数列为等差数列 B.存在，使得
C.当n=8时，取得最小值 D.数列的最大项的值为
【答案】ABD
11.如图，在直棱柱中，，,，M是中点，过作与平面平行的平面，若，，则( )
A. 四点共面 B.棱柱没有外接球
C.直线所成的角为 D.四面体与四面体的公共部分的体积为
【答案】ABD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角的终边过点，则__________.
【答案】10
13.设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过P，则
__________.
【答案】
14.对于一个平面图形，如果存在一个圆能够完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆.则曲线的最小覆盖圆的半径为__________.
【答案】2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(13分)在中，角的对边分别是，已知.
(1)求A；(2)若，且的周长为，求.
16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱，，E是PC的中点，作EFPB交PB于F.
(1)求证：PA//平面EDB；(2)求证：PB平面EFD；(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
17.(15分)已知椭圆C上的动点M(x,y)总满足关系式，且椭圆C与抛物线有公共的焦点F，P是椭圆C与抛物线的一个公共点，.
(1)求抛物线的方程和椭圆C的标准方程；
(2)过点F的直线交抛物线于M,N两点，交椭圆C于A,B两点，若，求直线的方程.
18.(17分)某答题挑战赛规则如下：比赛按轮次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续2轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为，已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立.
(1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率；
(2)记该选手在第n轮答题结束时挑战依然未终止的概率为，
(i)求；(ii)证明：存在实数，使得数列为等比数列.
19.(17分)对于给定集合，若存在非负实数，对任意满足：成立，则称集合A具有性质.
(1)证明：集合具有性质；
(2)若集合具有性质，求的最小值；
(3)若集合具有性质，求的最大值.

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