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17.2勾股定理逆定理
一、单选题
1．下列线段能组成直角三角形的一组是（　　）
A．1，2，2 B．3，4，5 C．，2， D．5，6，7
2．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．3，4，7 B．0.5，1.2，1.4
C．6，8，10 D．32，42，52
3．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
B．∠A﹣∠B＝∠C
C．AB：BC：AC＝1：2：
D．AB＝0.7，BC＝2.4，AC＝2.5
4．若3、4、a为勾股数，则a的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣5或 D．5或
5．如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（　　）
A．20米 B．18米 C．16米 D．15米
6．如图，在四边形ABCD中，，BC＝2，CD＝1，，且∠BCD＝90°，则四边形ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为h cm，则h的取值范围是（　　）
A．5≤h≤12 B．12≤h≤19 C．11≤h≤12 D．12≤h≤13
8．如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A，B，C三点，且A，D，E，C四点在同一条直线上，∠C＝90°，已测得AB＝100m，BC＝60m，AD＝20m，EC＝10m，则池塘的宽度DE是（　　）
A．80m B．60m C．50m D．40m
9．山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知AC＝9km，BC＝12km，那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（　　）
A．7km B．6km C．5km D．2km
10．边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（　　）
A．90° B．150° C．135° D．120°
二、填空题
11．若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC的形状为　 　．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，AB＝17，AD平分∠CAB，则△ABD的面积为 　 　．
13．如图，长方体盒内长、宽、高分别是8cm、6cm、，盒内可放木棒最长的长度是 　 　．
14．如图，一个梯子AB长25米，斜靠在竖直的墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为7米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得AE的长4米，则梯子底端B向右滑动了 　 　米．
15．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　 　米．
三、解答题
16．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）
17．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．
18．学校有一块四边形ABCD的空地，A，C之间有一条垂直于BC的小路AC，如图．学校计划在这块空地上种植花卉．已知：AB＝13米，BC＝12米，CD＝4米，DA＝3米．
（1）这块空地ABCD的面积是多少平方米？（小路AC的面积忽略不计）
（2）顶点D到小路AC的距离是多少米？
19．党的十八大以来，各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山、某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图，∠ABC＝90°，AB＝12m，BC＝9m，AD＝17m，CD＝8m．
（1）为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点A直通点C的小路，求小路AC的长度；
（2）若该空地的改造费用为每平方米150元，试计算改造这片空地共需花费多少元？
20．随着共享单车与城市生活的深度融合，骑车绿色出行已成为市民日常．如图是某市公共自行车车桩的截面示意图如示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80cm，AD＝24cm，BC＝25cm．
（1）求CD的长；
（2）该市拟建A、B两类自行车位共100组，建A类车位每组需要3万元，建B类车位每组需要2.2万元，若该市建设A、B两类自行车位共投入资金不少于234万元，则至少建A类自行车位多少组？
21.某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离BC的长为15米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD．请完成以下任务．
（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17．求线段AD的长．
（2）如果小明想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米线？
答案
一、单选题
1．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：A、∵12+22≠22，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；
B、∵32+42＝52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故能组成直角三角形；
C、∵（）2+22≠（）2，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；
D、∵52+62≠72，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形．
故选：B．
2．
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、32+42≠72，不能构成直角三角形，不合题意；
B、0.5，1.2，1.4都不是正整数，不合题意；
C、62+82＝102，符合勾股数的定义，符合题意；
D、32+42≠52，不能构成直角三角形，不合题意．
故选：C．
3．
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得：∠C＝×180°＝75°，△ABC是锐角三角形，符合题意；
B、∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵AB：BC：AC＝1：2：，12+（）2＝4＝22，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、由AB＝0.7，BC＝2.4，AC＝2.5得，AB2+BC2＝AC2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
故选：A．
4．
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数求解即可．
【解答】解：∵3、4、a为勾股数，
∴当a最大时，此时a＝＝5，
当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数，
故选：B．
5．
【分析】利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：设大树在折断之前的高是x m，
由勾股定理得：（x﹣5）2＝122+52，
解得：x＝18或x＝﹣8（不符合题意，舍去），
∴大树在折断之前的高是18m；
故选：B．
6．
【分析】根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出∠ABD＝90°，根据三角形的面积公式分别求出△ABD和△BCD的面积，即可得出答案．
【解答】解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝＝，
∵，BD＝，，
∴AB2+BD2＝AD2，
∴∠ABD＝90°，
∴四边形ABCD的面积：
S＝S△ABD+S△BCD
＝AB BD+BC CD
＝××+×2×1
＝+1．
故选：A．
7．
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：AB＝＝＝13cm，
故h＝24﹣13＝11cm．
故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．
故选：C．
8．
【分析】根据已知条件在直角三角形ACB中，利用勾股定理求得AC的长，用AC减去AD、CE求得DE即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝100m，BC＝60m，
∴AC＝＝＝80（m），
∴DE＝AC﹣AD﹣EC＝80﹣20﹣10＝50（m），
∴池塘的宽度DE为50米．
故选：C．
9．
【分析】由勾股定理求出AB＝＝15（km），因此AC+BC﹣AB＝6（km），即可得到答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝9km，BC＝12km，
∴AB＝＝15（km），
∴AC+BC﹣AB＝9+12﹣15＝6（km），
∴从A村到B村比原来减少的路程为6km．
故选：B．
10．
【分析】过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，由勾股定理得72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，得出CD＝4，则CD＝AC，再证∠CAD＝30°，则∠C＝60°，然后由三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，
过点A作AD⊥BC于D，
设CD＝x，
则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
故选：D．
二、填空题
11．
【分析】因为a，b，c为三边，根据（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，可找到这三边的数量关系．
【解答】解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a＝b或a2+b2＝c2．
当只有a＝b成立时，是等腰三角形．
当只有第二个条件成立时：是直角三角形．
当两个条件都成立时：是等腰直角三角形．
综上所述，△ABC是等腰三角形或直角三角形．
12．
【分析】过D作DP⊥AB于P，证明△ABC为直角三角形，再利用角平分线的性质定理得出CD＝DP，然后利用等面积法求出DP，即可求得△ABD的面积．
【解答】解：如图，作DP⊥AB于P．
∵AC＝8，BC＝15，AB＝17，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，即DC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DP⊥AB，
∴DC＝DP，设DC＝DP＝x，
∵S△ABC＝S△ACD+S△ABD，
∴，即AC BC＝AC DC+AB DP，
∴15×8＝8x+17x，
∴x＝4.8，
∴．
故答案为：40.8．
13．
【分析】两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决．
【解答】解：长和宽组成的长方形的对角线长为．
这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形．
盒内可放木棒最长的长度是．
故答案为：11cm．
14．
【分析】由勾得到股定理求出AC的长，得到CE的长，由勾股定理求出CD的长，即可得到BD的长．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝25米，BC＝7米，
∴AC＝＝24（米），
∴CE＝AC﹣AE＝24﹣4＝20（米），
∵DE＝AB＝25米，
∴CD＝＝15（米），
∴BD＝CD﹣BC＝8（米），
∴梯子底端B向右滑动了8米．
故答案为：8．
15．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）
故答案为：1.5．
三、解答题
16．解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝15（米），
∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，
∴CD＝17﹣1×7＝10（米），
∴AD＝＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米．
17．解：设OA＝OB＝x尺，
∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，
∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，
在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，
根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，
整理得：8x＝116，即2x＝29，
解得：x＝14.5．
则秋千绳索的长度为14.5尺．
18．解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°
由勾股定理，得（米），
∵CD＝4米，DA＝3米
∴CD2+DA2＝42+32＝25
∵AC2＝52＝25
∴CD2+DA2＝AC2
∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形，
∴空地ABCD的面积＝S+＝（平方米），
答：空地ABCD的面积为36平方米．
（2）如图，过点D作DE⊥AC于E，
由（1）知△ACD是直角三角形，
∴S，
∴DE＝＝＝2.4（米），
答：顶点D到小路AC的距离是2.4米．
19．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC＝＝＝15（m），
答：小路AC的长度为15m；
（2）∵AC2+CD2＝152+82＝172＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝＝＝114（m2），
114×150＝17100（元）．
答：改造这片空地共需花费17100元．
20．（1）解：过点C作CM⊥AB于M，
因为AB⊥AD，AD⊥DC，
所以四边形ADCM是矩形，
所以AD＝CM＝24cm，
因为BC＝25cm，
所以，BM＝＝7（cm），
∴CD＝AM＝AB﹣BM＝80﹣7＝73（cm），
即CD的长为73cm．
（2）解：设至少建A类自行车位x组，根据题意列不等式得，
3x+2.2（100﹣x）≥234，
解得，x≥17.5，
所以，至少建A类自行车位18组．
21.解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17，
由勾股定理得：AC＝＝＝8，
则AD＝AC+CD＝8+1.7＝9.7；
（2）风筝沿DA方向再上升12米后，风筝的高度为20米，
则此时风筝线的长为：＝25（米），
25﹣17＝8（米），
答：他应该再放出8米线．

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