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18.2.2菱形
一、单选题
1．下列选项中，菱形不具有的性质是（　　）
A．四边相等
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
2．在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．∠A＝∠B D．AC⊥BD
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点F，E是AB的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的边长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝3，DB＝4，则点A到BC的距离为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝6，BD＝2，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．24 B．8 C． D．
6．如图，菱形ABCD，∠B＝60°，E，F分别是CB，CD上两点，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，则下列说法错误的是（　　）
A．∠CEF＝α B．∠FAD＝60°﹣α
C．∠EFC＝60°﹣α D．∠AFD＝90°﹣α
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝120°，BD＝4，则对角线AC的长为（　　）
A． B． C．4 D．8
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，在条件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD中，选择一个条件，使得四边形ABCD是菱形，可选择的条件是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．如图，在给定的平行四边形上，作一个菱形，甲、乙二人的做法如下：
甲：分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点M，交BC于点N，连接MN，则四边形ABNM为菱形；
乙：以A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点E，连接BE，作BE的垂直平分线交BC于点H，则四边形ABHE为菱形；
根据两人的做法可判断（　　）
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是AC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，若AC＝8，BD＝6，则PE+PF的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：　 　，使四边形ABCD成为菱形．
12．在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝6，则菱形ABCD的周长是 　 　．
13．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为10和24，求阴影部分的面积为 　 　．
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝45°，E，F分别是过CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为 　 　．
15．如图，菱形ABCD的边长为26，对角线AC的长为48，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为 　 　．
三、解答题
16．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．
（1）判断四边形AEDF的形状，并证明；
（2）当AB＝9，AC＝6时，求DF的长．
17．如图，在直角△AEC中，∠AEC＝90°，B是边AE上一点，连接BC，O为AC的中点，过C作CD∥AB交BO延长线于D，且AC平分∠BCD，连接AD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）连接OE交BC于F，∠ACD＝27°，求∠CFO的度数．
18.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠CEB＝60°，DC＝4，求△ABC的面积．
19.如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE＝OD，BF⊥AE于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长．
20.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；
（2）如图2，当D是AB的中点时，
①四边形ADCE的形状是 　 　；请说明理由．
②若AB＝5，ED＝4，则四边形ADCE的面积为 　 　．
21．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，点F在AD上，且AF＝AB，连接BF交AE于点G，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BF＝10，AB＝10，求菱形ABEF的面积．
22．如图，在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝10，AC＝16，BD＝12．
①求证： ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD．求的值．
23．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作 ECFG．
（1）证明 ECFG是菱形；
（2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．
答案
一、单选题
1．
【解答】解：∵菱形不具有的性质是对角线相等，
∴选项C符合题意，
故选：C．
2．
【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
A、∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD为菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
3．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∴∠AFB＝90°，
∵E为AB的中点，且EF＝2，
∴AB＝2EF＝4，
即菱形ABCD的边长是4，
故选：B．
4．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC垂直平分BD，
∴BC＝＝，菱形的面积为＝6，
设点A到BC的距离为h，
∴×h＝6，
解得h＝，
∴点A到BC的距离为．
故选：C．
5．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AC＝6，BD＝2，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝1，OA＝OC＝AC＝3，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4，
故选：D．
6．
【解答】解：连接AC，EF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD．
∴∠B+∠BCD＝180°．
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°．
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．
∴∠ACF＝∠B＝60°．∠CAD＝60°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．
∴∠BAE＝∠CAF＝α．
∴△ABE≌△ACF（ASA）．∠FAD＝60°﹣α，
∴∠B＝∠ACF＝60°，AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFE＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFE＝60°，
∵∠AFC＝∠FAD+∠D，
∴∠EFC＝∠FAD＝60°﹣α，
∴∠CEF＝α，
不能证出∠AFD＝90°﹣α，
故选：D．
7．
【解答】解：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝120°，BD＝4，
∴∠BAD＝60°，AD＝AB，
则△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝4，∠DAC＝BAD＝30°，
故AO＝4cos30°＝2，
∴AC＝2AO＝4．
故选：A．
8．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
∵点O是BD的中点，
∴OD＝OB，
在△DAO和△BCO中，
，
∴△DAO≌△BCO（ASA），
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
④∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
综上所述：选择①③④，使得四边形ABCD是菱形，
故选：C．
9．
【解答】解：甲：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
由作图可知，AM＝AB，BN＝AB，
∴AM＝BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵AM＝AB，
∴平行四边形ABNM为菱形，故甲的作法正确；
乙：如图，设AH交BE于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠BHO，
∵AH垂直平分BE，
∴BO＝EO，
又∵∠AOE＝∠HOB，
∴△AOE≌△HOB（ASA），
∴AE＝HB，
∴四边形ABHE为平行四边形，
又∵AE＝AB，
∴平行四边形ABHE为菱形，故乙的作法正确；
故选：C．
10．
【解答】解：过P作PM⊥CD于M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD，AC平分∠BCD，
∵PF⊥BC于F，
∴PF＝PM，
∵PE⊥AB于，PM⊥CD，CD∥AB，
∴P、E、M共线，
∴PE+PF＝PE+PM＝ME，
∵AC＝8，BD＝6，
∴OA＝×8＝4，OB＝×6＝3，
∴AB＝＝5，
∵菱形ABCD的面积＝AB EM＝AC BD，
∴5EM＝×6×8，
∴EM＝．
∴PE+PF的值为．
故选：C．
二、填空题
11．
【解答】解：当添加“AD∥BC”时，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
当添加：“AB＝CD”时，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
当添加“OB＝OD”时，
∵AD＝BC，AC⊥BD，
∴Rt△ADO≌Rt△CBO（HL），
∴AO＝CO，DO＝BO，
∴四边形ABCD是菱形；
当添加：“∠ADB＝∠CBD”时，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD 或ADB＝∠CBD等 ）．
12．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的边长＝＝，
∴菱形ABCD的周长是4，
故答案为：4．
13．
【解答】解：∵菱形是中心对称图形，
∴由图得：阴影的面积等于菱形面积的一半，
∵菱形的两条对角线的长分别为10和24，
∴菱形的面积为×10×24＝120，
∴阴影部分的面积为60，
故答案为：60．
14．
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝8，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即GH的最小值为，
故答案为：．
15．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD与AC互相垂直平分，
∴OA＝OC＝24，
∴OB＝OD＝＝10，
∵DA∥CB，
∴∠DAB＝∠CBE，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB＝DAB，
∵BF平分∠CBE，
∴∠FBE＝CBE，
∴∠CAB＝∠FBE，
∴AC∥FB，
∴S△CBG＝S△ABG，
∴S△ACG＝S△ABC＝×AC OB＝×48×10＝240，
则△ACG的面积为240．
故答案为：240．
三、解答题
16．解：（1）四边形AEDF是菱形，理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO＝FO，
∵EF垂直平分AD，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形；
（2）由（1）知四边形AEDF为菱形，
∴DF∥AB，DF＝AF，
∴＝，
∴＝，
∵AB＝9，AC＝6，
即＝，
解得：DF＝．
17．（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠OAB＝∠OCD，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOB和△OCD中，
，
∴△AOB≌△OCD（ASA），
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵CD∥AB，∠AEC＝90°，
∴∠DCE+∠AEC＝180°，
∴∠DCE＝90°，
∴∠OCE＝90°﹣∠ACD＝90°﹣27°＝63°，
由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB＝∠ACD＝27°，∠BCD＝2∠ACD＝54°，
∴∠ECF＝90°﹣∠BCD＝90°﹣54°＝36°，
∵∠AEC＝90°，OA＝OC，
∴OE＝AC＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE＝63°，
∴∠CFO＝∠OEC+∠ECF＝63°+36°＝99°，
即∠CFO的度数为99°．
18.（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB＝2AE，
∵AB＝2CD，
∴2AE＝2CD，
∴AE＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵∠DCA＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC，
∴四边形AECD为菱形．
（2）解：∵AE＝CE＝DC＝4，
∴AE＝BE＝CE＝4，
∵∠CEB＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，BC＝BE＝4，
∵∠ACE＝∠CAE，
∴∠CEB＝∠ACE+∠CAE＝2∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝30°+60°＝90°，
∵AB＝2AE＝8，
∴AC＝＝＝4，
∴S△ABC＝BC AC＝×4×4＝8，
∴△ABC的面积为8．
19.（1）证明：∵AD＝CD，BD⊥AC，
∴OA＝OC，
∵OE＝OD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：∵四边形AECD是菱形，
∴OE⊥OA，
∵CF⊥AE，AB平分∠EAC，
∴BF＝OB，
∴Rt△AFB≌Rt△AOB（HL），
∴AF＝OA＝OC，
∵BF＝OB＝3，BE＝5，
∴EF＝，
∴OE＝OB+BE＝3+5＝8，
∵∠EFB＝∠AOE＝90°，∠∠FEB＝∠∠AEO，
∴△AEO∽△EBF，
∴，
即，
∴AE＝10，
∴AD＝AE＝10．
20.（1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AC＝ED．
（2）①解：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴AD＝CD＝BD，
∴四边形ADCE是菱形，
故答案为菱形；
②∵四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，
又∵AC⊥BC，
∴DE∥BC，
∵CE∥AB，
∴四边形ECBD是平行四边形，
∴DE＝BC＝4，
∵AB＝5，
∴AC＝＝3，
∴四边形ADCE的面积为．
故答案为6．
21.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∵AF＝AB，
∴BE＝AF，
又∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF＝AB，
∴平行四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵四边形ABEF为菱形，
∴AF＝AB＝10，AG⊥BF，
又∵BF＝10，
∴BG＝FG＝5，
∴＝，
∴，
∴菱形ABEF的面积．
22.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝16，BD＝12，
∴AO＝CO＝AC＝8，BO＝DO＝BD＝6，
∵AD＝10，
∴AO2+DO2＝AD2，
∴△AOD是直角三角形，且∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：如图，过点O作OG∥CD，交BC于点G，
则＝＝1，
∴BG＝CG，
由（1）可知， ABCD是菱形，
∴BC＝AD＝CD＝10，∠ACD＝∠ACB，
∴BG＝CG＝BC＝5，
∵∠E＝∠ACD，∠ACB＝∠E+∠COE，
∴∠ACB＝∠ACD＝2∠E＝∠E+∠COE，
∴∠E＝∠COE，
∴OC＝CE＝8，
∵OG∥CD，
∴＝＝．
23.解：（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，
∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，
∵EG∥DF，
∴∠BEG＝120°＝∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠CGE，
∵CG＝GE＝CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，
∴∠BGD＝60°，
∵BG＝DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF＝∠DAF，
∴BE＝AB＝DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM＝∠ECM＝45°，
∴∠BEM＝∠DCM＝135°，
在△BME和△DMC中，
∵，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB＝MD，
∠DMC＝∠BME．
∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形．
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∴DM＝BD＝5．

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