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18.2.3正方形
一、单选题
1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．四条边相等，四个角相等
D．两组对边分别平行且相等
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形
B．当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形
C．当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形
D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列三个结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是矩形；③当∠ABC＝90°时，它是正方形．其中结论正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6cm，BC＝8cm，则四边形EFGH的面积是（　　）
A．48cm2 B．32cm2 C．24cm2 D．12cm2
5．随着科技的进步，机器人在各个领域的应用越来越广泛．如图为正方形形状的擦窗机器人，其边长是28cm．在某次擦窗工作中，PM、PN为窗户的边缘，擦窗机器人的两个顶点A、B分别落在PM、PN上，PA＝14cm，将擦窗机器人绕中心O逆时针旋转一定的角度，使得AD∥PM，则旋转角度是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．如图，正方形ABCD的边长为10，且AE＝FC＝8，BF＝DE＝6，则EF的长为（　　）
A．2 B． C． D．
7．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），∠DAB＝60°，则图2中对角线AC的长为（　　）
A．20cm B． C． D．
8．如图，正方形ABCD的边长为9，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中不正确的是（　　）
A．矩形DEFG是正方形 B．∠CEF＝∠ADE
C．CG平分∠DCH D．
9．如图，P为正方形ABCD内一点，过P作直线PD交BC于点E，过P作直线GH交AB、DC于G、H，且GH＝DE．若∠APD＝∠DEC，∠EDC＝15°．以下结论：
①△ABP为等边三角形；
②PG＝PD
③S△PBE＝PD2
④BP＝PE+PG
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，④号箭头处可以添加的条件是 　　．（写出一种即可）
12．已知正方形ABCD，分别以BC，DC为边长作等边△BEC和等边△DCF，连接EF，则∠CEF＝　 　°．
13．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形A'B'C'O的一个顶点．若两个正方形的边长均为2，则图中阴影部分图形的面积为　 　．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段AC上以1cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为t s．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为6cm的等边三角形，当t＝　 　s时，四边形DEBF为正方形．
15．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，则GE的长为 　 　．
三、解答题
16．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠PAE＝∠E，PE交CD于点F．
（1）求证：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数．
17．定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题．
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在CB边的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，请根据定义判断四边形AFCE是否是“直等补”四边形，并说明理由．
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝AD，若AB＝20，CD＝4，求BC的长．
18．已知四边形ABCD和AEFG均为正方形．
（1）如图①，当点A，B，G三点在一条直线上时，连接BE，DG，请判断线段BE与DG的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图②，当点A，B，G三点不在一条直线上时，则（1）的结论是否成立？请说明理由．
19．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝　45　°（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．
20．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
21.如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求点F到线段AE的距离．
22.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
23.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OF的长．
答案
一、单选题
1．
【解答】解：A、矩形的对角线不一定互相垂直，故本选项不符合题意；
B、菱形的对角线不一定相等，故本选项不符合题意；
C、矩形的四条边不一定相等，菱形的四个角不应当相等，故本选项不符合题意；
D、菱形、矩形、正方形的两组对边分别平行且相等，故本选项符合题意；
故选：D．
2．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形，故选项A正确，不符合题意；
当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形，故选项B正确，不符合题意；
当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形，故选项C正确，不符合题意；
当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
3．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
故A正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD不一定是矩形，
故B错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD不一定是正方形，
故C错误，
故选：B．
4．
【解答】解：∵E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AE＝AB＝3cm，AH＝AD＝4cm，AE＝DG，
∴S△EAH＝×3×4＝6（cm2），
在△EAH和△GDH中，
，
∴△EAH≌△GDH（SAS），
同理可得：△EAH≌△GDH≌△GCF≌△EBH，
∴四边形EFGH的面积为：6×8﹣6×4＝24（cm2），
故选：C．
5．
【解答】解：如图，连接A'O，连接AO交A'D'于点E，
∵PA＝14cm，AB＝28cm，
∴cos∠PAB＝＝，
∴∠PAB＝60°，
∴∠PAO＝105°，
∵A'D'∥PM，
∴∠PAO＝∠A'EO＝105°，
∴∠A'OA＝180﹣105°﹣45°＝30°，
∴旋转角为30°，
故选：B．
6．
【解答】解：延长BF交AE于点G，如图所示：
∵AE＝FC，BF＝DE，AD＝CB，
∴△ADE≌△CBF（SSS），
∴∠DAE＝∠BCF，∠ADE＝∠CBF，∠DEA＝∠BFC，
∵AD＝10，DE＝6，AE＝8，102＝62+82，
∴∠DEA＝90°＝∠BFC，
∵∠DAE+∠BAG＝∠DAE+∠ADE＝90°，∠CBF+∠ABG＝∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠BAG＝∠ADE，∠ABG＝∠BCF，
∴∠ADE＝∠CBF＝∠BAG，∠DAE＝∠BCF＝∠ABG，
∵AD＝CB＝BA，
∴△ADE≌△CBF≌△BAG（SAS），
∴∠AGB＝90°，AG＝DE＝BF＝6，BG＝AE＝FC＝8，
∴∠EGF＝90°，EG＝AE﹣AG＝2，GF＝BG﹣BF＝2，
∴．
故选：C．
7．
【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，AC＝10cm，
∴AB＝AD＝AC＝10cm，
在图2中，连接BD交AC于O，
∵∠ABC＝60°，AB＝AD＝10cm，
∴△ABD是等边三角形，则BD＝10cm，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝＝5cm，AO＝CO，AC⊥BD，
∴AO＝＝＝5（cm），
∴AC＝2AO＝10（cm），
故选：C．
8．
【解答】解：如图，作EK⊥BC于点K，EL⊥CD于点L，则∠EKF＝∠ELD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，AD＝CD，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，∠DCA＝∠DAC＝45°，
∴∠BCA＝∠DCA，
∴EK＝EL，
∵∠EKC＝∠ELC＝∠KCL＝90°，
∴四边形EKCL是矩形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠KEL＝∠FED＝90，
∴∠FEK＝∠DEL＝90°﹣∠FEL，
∴△FEK≌△DEL（ASA），
∴DE＝FE，
∴矩形DEFG是正方形，故A正确；
∵∠EDG＝∠ADC＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE，
∵CD＝AD，GD＝ED，
∴△CDG≌△ADE（SAS），
∴CG＝AE，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC，
∵∠B＝90°，AB＝CB＝9，
∴AC＝AB＝9，
∴CE+CG＝9，故D正确；
∵△CDG≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴CG平分∠DCH，故C正确；
∵∠ADE＝∠DEL＝∠FEK，≠∠CEF，
∴∠CEF≠∠ADE，故B不正确，
故选：B．
9．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝AD，AD∥BC，∠BAD＝∠ADC＝∠DCE＝90°，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵∠APD＝∠DEC，
∴∠ADE＝∠APD，
∴AP＝AD，
∴AP＝AB
∵∠EDC＝15°，
∴∠ADP＝90°﹣15°＝75°＝∠APD，
∴∠DAP＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠BAP＝90°﹣30°＝60°，
∴△ABP是等边三角形；故①正确．
②如图，过点G作GK∥AD交CD于K，连接DG，
则∠GKH＝∠ADC＝90°＝∠DKG，
∴∠GKH＝∠DCE，
∵∠BAD＝∠ADC＝∠DKG＝90°，
∴四边形ADKG是矩形，
∴GK＝AD＝CD，
∵GH＝DE，
∴Rt△GHK≌Rt△DEC（HL），
∴∠GHK＝∠DEC，
∵∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠GHK+∠EDC＝90°，
∴∠DPH＝90°，
∴∠DPG＝180°﹣∠DPH＝90°，
∵∠DPG+∠BAD＝180°，
∴四边形ADPG是圆内接四边形，
∴∠DGP＝∠DAP＝30°，
∴DG＝2PD，
在Rt△DGP中，PG＝＝＝PD，
故②正确；
③如图，过点P作PL⊥AD于L，交BC于J，过点E作EM⊥BP于M，
则四边形BALJ是矩形，
∴AL＝BJ，∠BJP＝∠ALP＝90°，
∵AP＝BP，
∴Rt△APL≌Rt△BPJ（HL），
∴PL＝PJ，
在△PEJ和△PDL中，
，
∴△PEJ≌△PDL（ASA），
∴PJ＝PD，
∵EM⊥BP，
∴∠BME＝∠PME＝90°，
∵LJ∥AB∥CD，
∴∠BPJ＝∠ABP＝60°，∠EPJ＝∠EDC＝15°，
∴∠EPM＝∠BPJ﹣∠EPJ＝45°，
∴△PEM是等腰直角三角形，
∴PM＝EM＝PE＝PD，
∵∠ABP＝60°，
∴∠EBM＝30°，
∴BE＝2ME＝PD，
∴BM＝＝＝PD，
∴BP＝BM+PM＝PD+PD＝PD，
∴S△PBE＝BP EM＝×PD PD＝PD2，
故③错误；
④过点B作BN⊥BP，交PG的延长线于N，连接DG，
∵∠GBN+∠GBP＝90°，∠GBP+∠EBP＝90°，
∴∠GBN＝∠EBP，
∵∠EBG+∠BGP+∠EPG+∠BEP＝360°，
∴∠BGP+∠BEP＝360°﹣（∠EBG+∠EPG）＝180°，
∵∠BGP+∠BGN＝180°，
∴∠BGN＝∠BEP，
由②知，∠DGP＝30°，
∴∠GDP＝60°，
∴∠ADG＝90°﹣60°﹣15°＝15°＝∠EDC，
∴△DGA≌△DEC（ASA），
∴AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴△BGN≌△BEP（ASA），
∴BN＝BP，GN＝PE，
∴△BPN是等腰直角三角形，
∴PN＝BP，
∵PN＝PG+GN＝PE+PG，
∴BP＝PE+PG，故④正确；
故选：C．
10．
【解答】解：已知第一个矩形的面积为1；
第二个矩形的面积为原来的（）2×2﹣2＝；
第三个矩形的面积是（）2×3﹣2＝；
…
故第n个矩形的面积为：（）2n﹣2＝（）n﹣1．
故选：D．
二、填空题
11．
【解答】解：有一组邻边相等的矩形是正方形，
故答案为：有一组邻边相等（答案不唯一）．
12．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵△BEC和△DCF都是等边三角形，
∴BC＝EC，CD＝CF，∠BCE＝∠DCF＝60°，
∴EC＝FC，∠ECF＝360°﹣∠BCD﹣∠BCE﹣∠DCF＝150°，
∴∠CEF＝15°，
故答案为：15．
13．
【解答】解：设A′O与AB交于点E，C′O与BC交于点F，
因为四边形ABCD是正方形，
所以AO＝BO，∠AOB＝90°，∠EAO＝∠FBO．
∴∠AOE+∠BOE＝90°．
又∠BOF+∠BOE＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF．
所以△AEO≌△BFO（ASA）．
∴四边形EBFO面积＝△BEO面积+△BFO面积＝△BEO面积+△AEO面积＝△ABO面积．
因为正方形ABCD边长为2，
∴正方形面积为4，
∴△ABO面积为1．
所以阴影部分面积为1．
故答案为1．
14．
【解答】解：由题意得OE＝OF＝t cm，
∴EF＝2t cm，
∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB＝OD，AC⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形，
∴当EF＝BD时，四边形DEBF是正方形，
∵△ABD是边长为6cm的等边三角形，
∴BD＝6cm，
∴由EF＝BD得2t＝6，
解得t＝3，
∴当t＝3s时，四边形DEBF是正方形，
故答案为：3．
15．
【解答】解：如图，作EP垂直于GA，交GA的延长线于点P．
∵∠CAB+∠PAB＝90°，
∠PAB+∠PAE＝90°，
∴∠CAB＝∠PAE．
在△BCA和△EPA中，
∠BCA＝∠EPA，
∠CAB＝∠PAE，
BA＝EA，
∴△BCA≌△EPA（AAS），
即PE＝BC＝＝3，
AP＝AC＝4．
∴GE＝＝．
故答案为：．
三、解答题
16．（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，
在△ADP和△CDP中
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴PA＝PC，
∵∠PAE＝∠E，
∴PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）∵在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，
∴∠EDF＝90°，
由（1）知，△ADP≌△CDP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF＝∠EDF＝90°．
17．解：（1）四边形AFCE是“直等补”四边形，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90°，
在△ABF与△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠FAE＝90°，
∴∠FAE+∠C＝180°，
∴四边形AFCE是“直等补”四边形；
（2）连接BD，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝AD，
∴∠BAD＝90°，
∴∠C+∠BAD＝180°，
∴∠C＝90°，
∵AB＝AD＝20，
∴BD＝＝20，
∵CD＝4，
∴BC＝＝28．
18．解：（1）BE＝DG，BE⊥DG．理由：
延长BE交DG于点N．如图：
∵四边形ABCD和AEFG均为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，AE＝AG．
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG．
∵∠ABE+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠DEN，
∴∠ADG+∠DEN＝90°．
即∠DNE＝90°．
∴BE⊥DG．
（2）解：当点A，B，G三点不在一条直线上时，（1）的结论仍然成立．理由：
∵四边形ABCD和AEFG均为正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°．
∴∠BAD+∠DAE＝∠EAG+∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAG．
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG．
∵∠ABE+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠DON，
∴∠ADG+∠AOB＝∠ADG+∠DON＝90°．
即∠DNO＝90°．
∴BE⊥DG．
∴（1）的结论仍然成立．
19．（1）解：∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF，
∴∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF）＝270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45；
（2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②解：设DF＝x，
∵BE＝EC＝3，
∴BC＝6，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝6，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即32+（6﹣x）2＝（x+3）2，
解得：x＝2，
∴DF的长为2．
20．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，
∵EC＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．
（3）①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，
则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示：
∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝30°，
综上所述，∠EFC＝120°或30°．
21.（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，
∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，
∵BE＝DF，
∴BO＝DO，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ADO＝45°，
∴∠DAO＝∠ADO＝45°，
∴AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵正方形ABCD的面积为72，
∴AC BD＝72，
∴×4BO2＝72，
∴BO＝DO＝CO＝AO＝6，
∴AC＝12，
∵BF＝4，
∴OF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EF＝2EO＝2OF＝4，AC⊥EF，
∴菱形AFCE的面积＝AC EF＝24，
在Rt△AOE中，AE＝＝2，
设点F到线段AE的距离为h，
∴AE h＝24，
即2h＝24，
∴h＝．
即点F到线段AE的距离为．
22.解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．
23.（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，
，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，
∴四边形ABEF是正方形；
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∴AD＝，∠DAG＝∠ADG＝45°，
∴DF＝﹣1，
∵EF⊥AD，
∴∠FDO＝∠FOD＝45°，
∴DF＝OF＝﹣1．
∴OF＝﹣1．

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