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专题四　代数推理题(2024年新增题型)
1.若n为任意整数,如果(n+2)2-kn2的值总能被4整除,那么整数k不能取 ( )
A.-3 B.1 C.2 D.5
2.1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数:1,1,2,3,5,….这一列
数满足:从第三个数开始,每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2024个数中,奇数的个数为 ( )
A.676 B.674 C.1348 D.1350
3.请你利用不等式的基本性质1和2证明不等式的基本性质3.
已知:a>b,c<0.求证:ac4.设a,b,c是不全相等的任意实数,若x=b2-ac,y=c2-ab,z=a2-bc.
求证:x,y,z至少有一个大于零.
5.阅读材料:已知方程p2-p-1=0,1-q-q2=0且pq≠1,求的值.
解:由p2-p-1=0及1-q-q2=0可知p≠0,q≠0.
又∵pq≠1,
∴p≠.
∵1-q-q2=0可变形为--1=0,
根据p2-p-1=0和--1=0的特征,
∴p,是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根,
则p+=1,即=1.
根据阅读材料所提供的方法,完成下面的解答.
已知:2m2-5m-1=0,+-2=0,且m≠n,求:
(1)mn的值.
(2)+的值.
6.若一个三位自然数各个数位上的数字均不相同且后一位减去前一位的差都是一个固定的常数,则称这个三位自然数为“等差数”,并且称这个固定的常数为这个“等差数”的公差,如:123,2-1=3-2=1,则123为“等差数”,这个等差数的公差为1,如321,2-3=1-2=-1,则321也是“等差数”,这个“等差数”的公差为-1;125,2-1≠5-2,则125不是“等差数”.
(1) 248　　　　“等差数”,246　　　　“等差数”.(选填“是”或“不是”)
(2)求能被9整除并且公差为正整数的所有三位“等差数”.
7.材料一:杨辉三角(如图1),出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》中,是我国数学史上一颗璀璨的明珠,是居于世界前列的数学成就.杨辉三角两腰上的数都是1,其余每个数为它的上方(左右)两数之和,揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的相关规律,蕴含很多有趣的数学性质,运用规律可以解决很多数学问题.
材料二:斐波那契数列是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中引入的一列神奇数字,用an表示这一列数中的第n个,则数列为a1=1,a2=1,a3=2,
a4=3,a5=5,…,数列从第三项开始,每一项都等于其前两项之和,即=+an(n为正整数).
结合材料,回答以下问题:
(1)多项式(a+b)5展开式共有　　　　项,各项系数和为　　　　,利用展开式的规律计算:-5×+10×-10×+5×-1=　　　.
(2)我们借助杨辉三角中第三斜行的数:1,3,6,10,…记b1=1,b2=3,b3=6,b4=10,…
则b8=　　　　,bn=　　　　(用n表示);+++…+=　　　　.
(3)如图2,把杨辉三角左对齐排列,将同一条斜线上的数字求和,计算可得a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,…若Tn=a1+a2+a3+…+an,且T2 024=k,结合材料二,
求a2 026的值(用k表示).
参考答案
1.C
2.D　解析:这一列数为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…
可以发现每三个数为一组,每一组前2个数为奇数,第三个数为偶数.
由于2 024÷3=674……2,
即前2 024个数共有674组,且余2个数,
∴奇数有674×2+2=1350个.
故选D.
3.证明:∵a>b,c<0,
∴a-(a+b)>b-(a+b),-c>0,
即-b>-a,-c>0,
∴(-b)·(-c)>(-a)·(-c),>,
即ac综上所述,若a>b,c<0,则ac4.证明:假设x,y,z都小于零,
则b2-ac+c2-ab+a2-bc<0,
∴2b2-2ac+2c2-2ab+2a2-2bc<0,
∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2<0,
这与偶次方的非负性相矛盾,
∴假设不成立,
∴x,y,z至少有一个大于零.
5.解析:由2m2-5m-1=0知m≠0,
∴+-2=0.
∵m ≠n,∴≠.
∵+-2=0,
∴和是方程x2+5x-2=0的两个根.
(1)由和是方程x2+5x-2=0的两个根,得·=-2,
∴mn=-.
经检验:mn=-是原方程的根,且符合题意.
(2)由和是方程x2+5x-2=0的两个根,得+=-5,·=-2,
∴+=-=25+4=29.
6.解析:(1)不是;是.
(2)设百位上的数字为a,十位上的数字为b,个位上的数字为c,则“等差数”为,由题意得b-a=c-b,
即a+c=2b,表示为100a+10b+c=99a+12b.
∵为能被9整除的三位等差数,公差为正整数,
∴=11a+b,c>b,
∴b只能为3或6.
①当b=3时,a+c=6,
∵为三位“等差数”,且公差为正整数,
∴当b=3时,
此时等差数为135,234,
②当b=6时,a+c=12,
为三位等差数,且公差为正整数,
∴当b=6时,此时等差数为369,468,567,
综上所述,能被9整除并且公差为正整数的所有三位“等差数”有135,234,369,468,567.
7.解析:(1)6;32;-.
提示:∵多项式(a+b)展开式共有1+1=2项,各项系数和为1+1=2=21;
多项式(a+b)2展开式共有1+2=3项,各项系数和为1+2+1=4=22;
多项式(a+b)3展开式共有1+3=4项,各项系数和为1+3+3+1=8=23;
多项式(a+b)4展开式共有1+4=5项,各项系数和为1+4+6+4+1=16=24;
多项式(a+b)5展开式共有1+5=6项,各项系数和为1+5+10+10+5+1=32=25.
令(a+b)5中,a=,b=-1,由展开式得
=-5×+10×-10×+5×-1
∴-5×+10×-10×+5×-1==-.
(2)36;;.
提示:b1=1,
b2=1+2=3=,
b3=1+2+3=6=,
b4=1+2+3+4=10=,
……
∴b8==36,bn=.
+++…+
=+++…+
=+++…+
=2
=2=2×=.
(3)∵a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,
∴a3=2=a1+a2,a4=3=a2+a3,a5=5=a3+a4,a6=8=a4+a5,
……
∴an=an-2+an-1,
∵Tn=a1+a2+a3+…+an,T2 024=k,
∴T2 024=a1+a2+a3+…+a2 024=k,
∴a1+a2+a3+…+a2 024+a2=k+a2,
a2+a3+a3+…+a2 024=k+a2,
a3+a4+a4+…+a2 024=k+a2,
……
a2 024+a2 025=k+1,∴a2 026=k+1.

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