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3 函数
说明:共有三个大题,25个小题,满分150分,作答时间120分钟.
中考对接点 平面直角坐标系,正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数的图象、性质及应用,函数与方程、不等式的联系
一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,将正确答案的代号填在下表中.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.已知点P的坐标为(2,-3),则点P位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.大美中国,山河锦绣.暑假期间,武夷山景区游客数逐日增多,在上述游客人数随日期变化的过程中,自变量是 (　　)
A.日期 B.游客 C.天气 D.景区
3.下列图象中,表示y是x的函数的是 (　　)
4.在平面直角坐标系中,点P(3+a,a-5)在y轴上,则点P的坐标是 (　　)
A.(3,0) B.(8,0) C.(0,-8) D.(0,8)
5.下列函数中,函数值y随x的增大而减小的是 (　　)
A.y=2x B.y=-2x2
C.y=- D.y=-
6.关于函数y=-x-2的图象,下列结论错误的是 (　　)
A.图象经过第二、三、四象限
B.图象与x轴的交点坐标为(2,0)
C.当x<-2时,函数y>0
D.图象与两坐标轴相交所形成的直角三角形的面积为2
7.一次函数y=ax+b的图象如图所示,则一次函数y=bx+a与反比例函数y=的图象可能是 (　　)
8.若函数y=ax2-2x+1的图象与x轴只有一个交点,则a的值为 (　　)
A.0 B.1 C.-1 D.0或1
9.某市举行中学生党史知识竞赛,如图,用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况,其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上,则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最少的是 (　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
10.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+2ax+c(a≠0)的部分图象如图所示,一元二次方程ax2+2ax+c=0(a≠0)的两根为x1,x2(x1A.--1
B.-3
C.--1
D.-+1
二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分.
11.一个函数图象过点(3,1),且y随x增大而增大,请写出一个符合上述条件的函数解析式:　　　　.
12.在五子棋比赛中,黑白双方轮流落子,率先在横、竖、斜任一方向上成连续五枚同色棋子的一方为胜.如图,黑方为占得先机,锁定胜局,黑方下一步最佳落子位置的坐标是　　　　.
13.如图,直线y1=2x+m和y2=-x+n的交点是A,过点A分别作x轴、y轴的垂线,则关于x的不等式2x+m<-x+n的解集为　　　　.
14.将抛物线y=-2x2向上平移2个单位长度,向左平移1个单位长度后,所得抛物线的解析式为　　　　　　　　.
15.如图1,在△ABC中,∠B=90°,动点P从点A出发,沿折线A—B—C方向匀速运动,速度为1cm/s,连接PC,图2表示△APC的面积y(单位: cm2)与运动时间x(单位:s)之间的关系图象,则图2中a表示的数为　　　　.
16.若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过(1,0)和(0,3)两点,且顶点在第二象限,设P=a-b+c,则P的取值范围是　　　　.
三、解答题:本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(8分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=-3x的图象交于点P(m,3),与y轴相交于点B(0,2),与x轴相交于点A.
(1)求一次函数的解析式.
(2)求△AOP的面积.
18.(8分)在平面直角坐标系中,如果点A(x1,y1)与点B(x2,y2)满足|x1-x2|=|y1-y2|,那么点A与点B互为等距点,例如:点M(-1,3)与点N(2,0)满足|-1-2|=|3-0|,则点M与点N互为等距点.
(1)下面各组点中,互为等距点的有　　　　　.(填序号)
①(2,-2)与(-2,2);②(0,3)与(-2,-1);③(5,-1)与(4,0)
(2)若点P(3,m+2)与点Q(2m,5)互为等距点,求m的值.
19.(8分)如图,正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(a,4),B为x轴正半轴上一点,过点B作BD⊥x轴,交反比例函数的图象于点C,交正比例函数的图象于点D.
(1)求a,k的值.
(2)连接AC,如果BD=6,求△ACD的面积.
20.(8分)乐乐从家出发骑自行车去上学,当他以往常的速度骑了一段路后,突然想起要买文具,于是又折回到刚经过的文具店,买到文具后继续骑车去学校.如图,这是他本次上学所用的时间与离家的距离之间的关系图.根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)乐乐在文具店停留了　　　　min,文具店到学校的距离是　　　　m.
(2)求乐乐买完文具后继续骑车去学校的函数解析式.
(3)如果乐乐不买文具,以往常的速度去学校,需要多长时间
21.(8分)数字经济助力乡村振兴,某电商平台准备销售一批地方特色农产品,该农产品进货价格为每件50元,经过试营销发现,每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间满足如图所示的函数关系.
(1)求每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间的函数关系式.(不用写出x的取值范围)
(2)物价部门规定,该农产品每件的利润不允许高于进货价的40%.设销售该农产品每月的总利润为W(元),那么售价定为多少元可获得最大利润 最大利润是多少
22.(10分)如图,二次函数y=ax2+bx-3(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,且BO=OC=3AO.一次函数y=kx+t(k≠0)的图象经过点B,C.
(1)求二次函数的解析式.
(2)根据图象,请直接写出ax2+bx-3>kx+t的x的取值范围.
23.(10分)科学课上,同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时,浸在液体中的高度h(单位:cm)是液体的密度ρ(单位:g/cm3)的反比例函数,当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时,h=30 cm.
(1)求h关于ρ的函数解析式.
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时,h=25 cm,求该液体的密度ρ.
24.(12分)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,已知点A(-8,0),B(-3,0),点C在y轴的正半轴上,点D在第二象限内,P为边BC的中点.
(1)求点D的坐标.
(2)将菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿x轴向右平移t秒,若存在某一时刻t,使在第一象限内,D,P两点的对应点D',P'正好落在某反比例函数的图象上,请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式.
(3)在(2)的情况下,反比例函数图象上是否存在一点Q,使得点Q到点A',B'的距离相等 若存在,请求出符合题意的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
25.(14分)如图1,抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点C,与x轴交于点A,B,且OA=OC=4OB,点C,D关于该抛物线的对称轴对称,直线l经过点B,D.
(1)求抛物线和直线l的解析式.
(2)若P是直线l上方该抛物线上的一点(不与点D,B重合),当△PBD的面积最大时,求点P的坐标及△PBD的面积最大值.
(3)如图2,线段EF在直线BD上移动,且EF=,设点E的横坐标为m,过点E作y轴的平行线与抛物线交于点P,过点F作y轴的平行线与x轴交于点Q.以点E,F,P,Q为顶点的四边形能否为平行四边形 若能,请你直接写出m的值;若不能,请说明理由.
参考答案
1.D　2.A　3.B　4.C　5.D　6.B　7.C　8.D　9.A　10.C
11.y=x-2(答案不唯一)　12.(3,4)　13.x<-1　14.y=-2(x+1)2+2　15.24
16.0∴a+b+c=0,c=3,
∴b=-a-3,
∴P=a-b+c=a-(-a-3)+3=2a+6.
∵顶点坐标为(-,-),且顶点在第二象限,
∴-<0,
当抛物线开口向上时,a>0,则b=-a-3<0,->0,与顶点在第二象限矛盾,
∴抛物线开口向下,则a<0.
∵-<0,
∴b<0,则b=-a-3<0,解得a>-3,
∴-3∴0<2a+6<6,即017.解:(1)在y=-3x中,令y=3,解得x=-1,∴P(-1,3).
∵点P(-1,3),点B(0,2)在y=kx+b上,
∴解得
∴一次函数解析式为y=-x+2. 4分
(2)在y=-x+2中,令y=0,∴-x+2=0, 解得x=2,∴A(2,0).
又∵点P(-1,3),O(0,0) ,∴S△AOP=×2×3=3. 8分
18.解:(1)①③. 3分
(2)∵点P(3,m+2)与点Q(2m,5)互为等距点,
∴|3-2m|=|m+2-5|, 6分
∴3-2m=m+2-5或3-2m+m+2-5=0,
∴m=2或m=0. 8分
19.解:(1)在y=中,令y=4,解得 a=2, 2分
∴A(2,4).
∵点A(2,4)在y=kx上,∴2k=4,解得k=2. 4分
(2)令B(m,0).∵BD⊥x轴,∴D(m,2m),
∴BD=2m=6, ∴m=3,∴D(3,6). 6分
在y=中,令x=3,则y=,∴C(3,),
∴S△ACD=×(6-)×(3-2)=. 8分
20.解:(1)4;900. 2分
(2)设乐乐买完文具后继续骑车去学校的函数解析式为y=kx+b,
根据图象,将点(12,600),(14,1500)代入解析式,
得解得
∴乐乐买完文具后继续骑车去学校的函数解析式为y=450x-4800. 5分
(3)乐乐往常的速度为1200÷6=200(m/min),
去学校需要花费的时间为1500÷200=7.5(min).
答:乐乐不买文具,以往常的速度去学校,需要7.5 min. 8分
21.解:(1)设每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间的函数关系式为 y=kx+b,
∴解得
∴ y=-2x+300. 3分
(2)∵农产品每件的利润不允许高于进货价的40%,
∴x-50≤50×40%,
∴x≤70. 4分
W=(x-50)×(-2x+300)=-2(x-100)2+5000. 6分
∵-2<0且x≤70,
∴当x=70时, Wmax=-2×(70-100)2+5000=3200(元),
即当售价定为70元时,可获得最大利润,最大利润是3200元. 8分
22.解:(1)在y=ax2+bx-3中,令x=0,则y=-3,
∴C(0,-3),∴OC=3.
∵BO=OC=3OA,
∴BO=3,OA=1,∴B(3,0),A(-1,0). 3分
∵点B(3,0),A(-1,0)在二次函数y=ax2+bx-3的图象上,
∴解得
∴y=x2-2x-3. 6分
(2)x<0或x>3. 10分
23.解:(1)设h关于ρ的函数解析式为 h=,
把ρ=1,h=30代入解析式,得k=1×30=30,
∴h关于ρ的函数解析式为 h=. 5分
(2)把 h=25 代入 h=,得 25=,
解得ρ=1.2.
答:该液体的密度ρ为1.2 g/cm3. 10分
24.解:(1) ∵A(-8,0), B(-3,0),∴AB=5, OB=3.
∵四边形ABCD为菱形,∴DC=BC=AB=5,DC∥AB.
在Rt△BOC中,OC===4,
∴D(-5,4). 4分
(2)∵P为边BC的中点,∴点P(-,2).
由平移可知,平移后点D'(-5+2t,4),P'(-+2t,2).
∵点D',P' 正好落在某反比例函数的图象上,
∴(-5+2t)×4=(-+2t)×2,解得t=, 6分
∴D'(,4),
∴反比例函数的解析式为y=. 8分
(3)存在.当t=时,可知 A'(,0),B'(,0).
∵点Q到点A',B'的距离相等,
∴点Q在直线x=×(+)=3上,
令x=3,y=,
∴Q(3,). 12分
25.解:(1)在y=ax2+bx+4中,令x=0,则y=4,
∴C(0,4), OC=4.
∵OA=OC=4OB,
∴OB=1, OA=4,∴B(1,0),A(-4,0).
∵点B(1,0), A(-4,0)在抛物线y=ax2+bx+4上,
∴解得
∴抛物线的解析式为y=-x2-3x+4. 3分
抛物线对称轴为直线x=-=-=-.
∵点C,D关于该抛物线的对称轴对称,∴D(-3,4).
设直线l的解析式为y=kx+n,
∴解得
∴直线l的解析式为y=-x+1. 6分
(2)如图1,过点P作PH⊥x轴交BD于点H,连接PD,PB.
设点P(c,-c2-3c+4),H(c,-c+1) ,-3S△PBD=S△PDH+S△PBH=×PH×|xB-xD |=×[(-c2-3c+4-(-c+1)]×|1-(-3)|
=-2c2-4c+6=-2(c+1)2+8. 8分
∵-3∴当c=-1时, Smax=-2×(-1+1)2+8=8.
即当点P(-1,6)时,△PBD的面积取最大值8. 10分
(3)m1=,m2=,m3=,m4=. 14分
提示:∵D(-3,4), B(1,0),∴∠DBA=45°.
∵EF=, ∴xF-xE=1,
点E(m,-m+1),则点P(m,-m2-3m+4), F(m+1,-m), Q(m+1,0),
PE=|-m2-3m+4-(-m+1)|=|-m2-2m+3|, FQ=|-m-0|=|-m|.
∵以E,F,P,Q为顶点的四边形为平行四边形,
∴PE∥FQ,PE=FQ,
∴|-m2-2m+3|=|-m|,
∴-m2-2m+3=-m(如图2,图3)或-m2-2m+3=m(如图4,图5),
解得m1=,m2=或 m3=,m4=.

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