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8.3实数及其简单运算人教版（ 2024）初中数学七年级下册同步练习（含详细答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是，则输出的的值是( )
A. B. C. D.
2.对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，对进行如下操作：，即对进行次操作后变为，对整数进行次操作后变为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
3.公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比分数表示后来这一学派中的希帕索斯发现，边长为的正方形对角线的长度不能用整数或整数的比表示，这令毕达哥拉斯学派感到惊恐不安，由此引发了第一次数学危机这类“不能用整数或整数的比表示的数”指的是( )
A. 有理数 B. 无理数 C. 零 D. 负数
4.下列关于数轴的叙述，正确的有 个．
实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则，；
数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为；
数轴上有、、、四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数轴上有一点，点所表示的数为，且，则点的位置介于、之间；
A. B. C. D.
5.实数，在数轴上的对应点的位置如图，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，如果数轴上，两点之间的距离是，点表示数，且点在原点左侧，那么点表示的数是( )
A. B. C. D.
7.在，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个中，无理数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.下列计算结果为负数的是( )
A. B. C. D.
9.下列各数中，与的和为有理数的是( )
A. B. C. D.
10.如图，数轴上，两点表示的实数分别是，若点关于点的对称点为点，则点表示的实数为( )
A. B. C. D.
11.无理数的大小在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
12.最接近的正整数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若，，则 ．
14.的相反数是 ．
15.已知是小于的整数，且，那么的所有可能值是 ．
16.已知的立方根是，是的整数部分，则的算术平方根是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即
例如：比较与的大小．
解：，
，即，．
请根据上述方法解答以下问题：比较与的大小．
18.本小题分
如图，长方形内两个正方形的面积分别为，．
求长方形的周长；
求图中两块阴影部分的面积和．
19.本小题分
实数、、在数轴上的位置如图所示，其中为的立方根，求代数式的值．
20.本小题分
请阅读下面材料，并完成相应的任务．
设、是有理数，且满足，求的值．
解：由题意，得．
，都是有理数，
，也是有理数．
是无理数，
，，即，．
．
根据阅读材料，解决问题：
设，都是有理数，且满足，求的值．
21.本小题分
如图，张师傅先在一张长方形铁皮上剪下一个边长与宽相等的正方形铁皮，再在剩下的长方形铁皮中剪下一个最大的圆形铁皮．已知正方形铁皮的周长为，圆形铁皮的面积为求原长方形铁皮的周长．
22.本小题分
请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来，再把下列各数用“”连接起来．
，，，，，．
23.本小题分
如图，计划在空地上设计块并排的正方形基地做厂房存放生产物资，基地总面积为，则每块正方形基地的边长为 ；
计划在厂房的东边围一个面积为的长方形基地，做仓库存放设备，仓库一边靠在正方形的边上计划与厂房共一面墙，且共用部分不超过正方形的边长，不考虑门窗，另外三边用材料围成，并且它的长与宽之比为若可以围成，请通过计算设计出方案，并简要画出设计图；若不能围成，请通过计算说明理由．
24.本小题分
计算．
解下列二元一次方程组
；
；
计算；
解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
25.本小题分
阅读与思考
下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务．
通过解一元二次方程分成某些二次三项式，我们把形如是常数，的多项式叫做关于的二次三项式通过初中学习可知，利用因式分解可解某些一元二次方程反过来，是否可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式分解因式呢？根据下面代数推理，可以得出结果，设一元二次方程的两个实数根为，，直接计算：下面是代数推理过程：
解：
．
即
这就是说，在因式分解二次三项式时，可先求一元二次方程的两个实数根，然后写成即通过解一元二次方程可以将某些二次三项式分解因式．
任务：
已知，是两个常数，一元二次方程的两个实数根为，，则二次三项式分解因式的结果是______；
因式分解：的结果是______；
请用阅读内容中的方法，因式分解：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】本题考查无理数，算术平方根及立方根，根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数为止，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键．
【详解】解：若开始输入的的值是，则其立方根为，它是有理数；
然后求得的算术平方根是，它是有理数；
则的立方根为，它是无理数，输出答案．
故选：．
2.【答案】
【解析】由的定义为不大于的最大整数，进行次操作后变为，进行次操作后变为，据此可得出的最大值．
【详解】解：，，，
对只需进行次操作后变为．
，，，
只需进行次操作后变为的所有正整数中，最大的是．
的最大值为．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：整数属于有理数，整数的比是分数，属于有理数，故“不能用整数或整数的比表示的数”指的是无理数．
故选：．
根据无理数的概念作答．
此题主要考查了实数的分类和性质，解答此题应熟知以下概念：实数包括有理数和无理数，分数和整数属于有理数．
4.【答案】
【解析】先由点，在数轴上的位置确定，的取值范围，再比较即可；
由题意可知数和数相等或是互为相反数，进而求出答案；
根据、、、四点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论．
【详解】解：由数轴，可得，且，
，，
，故错误．
由题意，得，
或，
，故错误．
由数轴，可知，，，，
，
点介于、之间，故错误．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了实数与数轴，观察数轴得出、的范围是解题的关键．
由数轴得，，，于是有，，逐一判断即可．
【解答】
解：由数轴得，，，
，，
选项不符合题意，
选项不符合题意，
选项不符合题意，
选项符合题意；
故选D．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了无理数．判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像两个之间依次多一个，等有这样规律的数．
根据无理数的概念进行判断即可．
【解答】
解：，，，属于有理数；
，是分数，属于有理数；
无理数有，，相邻两个之间依次多一个共个．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了实数的性质，算术平方根，立方根．
先化简实数，然后找出比小的实数即可．
【解答】
解：，为正数，不符合题意；
B.，为负数，符合题意；
C.，为正数，不符合题意；
D.，为正数，不符合题意．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：，不是有理数，故选项A不符合题意；
，是有理数，故选项B符合题意；
，不是有理数，故选项C不符合题意；
，不是有理数，故选项D不符合题意．
故选：．
根据实数的加法法则以及有理数的定义判断即可．
本题考查了实数的加法和有理数的概念，熟练掌握实数的加法法则是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了数轴上两点间的距离的计算方法以及中心对称的性质，解题关键利用对称的性质及数轴上两点间的距离解决问题．
设点所对应的实数是根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解．
数轴上两点间的距离等于数轴上表示两个点的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数．
【解答】解：设点所对应的实数是．
则有，
．
故选A．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了无理数的估算能力．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力．
由于，，由此可得的近似范围，然后分析选项可得答案．
【解答】
解：，，
，
即无理数的大小在和之间，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近无理数的整数是解题关键．
直接得出，得出与最接近的整数为，再求与最接近的整数即可．
【解答】
解：，，
最接近的整数是，
最接近的正整数是．
故选B．
13.【答案】或
【解析】先根据，求出、的值，再代入计算即可．
【详解】，解得或．
，解得．
当，时，．
当，时，．
故答案为或．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】、、、
【解析】略
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】解：，
，
，
，
．
【解析】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键．
根据已知作差法判断两式大小即可．
18.【答案】【小题】
解：由两个正方形的面积分别为，，知两个正方形的边长分别为，．
所以长方形的长、宽分别为，，
长方形的周长为．
【小题】
两块阴影部分的面积和为．

【解析】 见答案
见答案
19.【答案】解：为的立方根，
，
，，，，
原式．

【解析】略
20.【答案】解：，
，
，
，都是有理数，
，也是有理数，
是无理数，
，，
解得：，，
当，时，

【解析】略
21.【答案】解：正方形铁皮的周长为，
正方形铁片的边长为，即原长方形的宽为，
设圆形铁片的半径为，则可得，
解得，
圆形铁片的直径为，
原长方形铁片的长为，
原长方形铁皮的周长为．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
22.【答案】解：由数轴可知对应，对应，对应，对应，对应，对应由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得．
【解析】略
23.【答案】【小题】
【小题】
若可以围成，设长方形基地的长为，宽为，
，，或舍
则长方形基地的长为，宽为．，
，，，，
可以围成，如图所示．

【解析】 略
略
24.【答案】解：，
将代入得，
，
解得，
将代入得，
，
所以方程组的解为．
，
由得，
，
将代入得，
，
解得，
将代入得，
，
所以方程组的解为．
原式
．
，
解不等式得，，
解不等式得，，
所以不等式组的解集为．
数轴表示如下：
．
【解析】根据解二元一次方程组的步骤，对所给二元一次方程组进行求解即可．
根据解二元一次方程组的步骤，对所给二元一次方程组进行求解即可．
根据实数的运算法则进行计算即可．
根据解一元一次不等式组的步骤进行计算，并按要求将解集在数轴上表示出来即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组、实数的运算、解二元一次方程组及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式组及解二元一次方程组的步骤是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：由题意可得：，
故答案为：；
由条件可得：
，
，
，
故答案为：；
解方程得，
，
，，
．
读懂题目根据题意并进行因式分解即可得到答案；
读懂题目根据题意先解一元二次方程，在结合题意分解因式即可得到答案；
读懂题目根据题意进行因式分解即可得到答案．
本题考查因式分解，一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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