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第二课时　杨辉三角与二项式定理的应用
课标要求　1.了解杨辉三角. 2.掌握二项式系数的性质.
1.思考　根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数.可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.填空　(1)杨辉三角的性质
①每一行都是________的，且两端的数都是________；
②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之________.
(2)二项式系数的性质
①对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数____________，即C＝________；
②增减性与最大值：
?增减性：当k<________时，二项式系数是逐渐增大的；当k>________时，二项式系数是逐渐减小的.
?最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数____________最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数______________，______________相等，且同时取得最大值.
3.做一做　判断正误
(1)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.(　　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(　　)
(3)二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同.(　　)
(4)当n是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数Cn，Cn相等且同时取得最大值.(　　)
题型一　与杨辉三角有关的问题
例1 如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解.注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.
训练1 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14个与第15个数的比为2∶3.
第0行1
第1行1　1
第2行1　2　1
第3行1　3　3　1
第4行1　4　6　4　1
第5行1　5　10　10　5　1
…　…　…
题型二　二项式系数性质的应用
例2 已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的.求展开式系数最大的项，如求(a＋bx)n(a，b∈R)展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法.设展开式各项系数分别为A1，A2，…An＋1，且第r项系数最大，应用解出r来，即得系数最大的项.
训练2 写出(x－y)11的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)项的系数绝对值最大的项；
(3)项的系数最大的项和系数最小的项；
(4)二项式系数的和；
(5)各项系数的和.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型三　整除问题
例3 求9192除以100的余数.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和或差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.
训练3 (多选)设a∈N，且0≤a<26，若512 024＋a能被13整除，则a的值可以为(　　)
A.0 B.11
C.12 D.25
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型四　利用二项式定理证明不等式
例4 求证：2≤<3(n∈N＋).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　利用二项式定理可以证明不等式，注意观察原不等式的形式或通过构造两项和的形式，对原不等式进行恒等变形或适当应用放缩法，最终证明命题.
训练4 请利用二项式定理证明：3n>2n2＋1(n≥3，n∈N＋).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，称之为“杨辉三角”，该表中第10行第7个数是(　　)
A.120 B.210
C.84 D.36
2.若的二项展开式中，常数项为，则二项式系数最大的项为________.
3.求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N＋)能被31整除.
第二课时　杨辉三角与二项式定理的应用
知识探究
1.提示　1，7，21，35，35，21，7，1.
2.(1)①对称　1　②和　(2)①相等　C
②(ⅰ)　　(ⅱ)Cn　Cn　Cn
3.(1)×　[二项式系数不同于某一项的系数.]
(2)×　[二项式系数最大的项为中间一项或中间两项.]
(3)×　[不同.二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数.实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等.]
(4)√
题型剖析
例1　解　由图知，数列中的首项是C，
第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，
第17项是C，第18项是C，
第19项是C.
∴S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝C＋C＋C＋…＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－C＋C＝C－1＋C＝274.
训练1　34　[设第n行从左至右第14个与第15个数之比为2∶3，则C∶C＝2∶3.
∴3C＝2C，
即＝，
得＝，∴n＝34.]
例2　解　(1)令x＝1，则二项展开式中各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.
由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍)，或2n＝32，∴n＝5.
由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，
T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.
(2)展开式的通项公式为
Tr＋1＝C3r·x(5＋2r).
假设Tr＋1项系数最大，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C·3r≥C·3r－1，,C·3r≥C·3r＋1，))
∴
∴∴≤r≤.
∵r∈N，∴r＝4.
∴展开式中系数最大的项为
T5＝C·34x＝405x.
训练2　解　(1)二项式系数最大的项为中间两项：T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.
(2)(x－y)11展开式的通项为
Tk＋1＝Cx11－k(－y)k＝C(－1)kx11－kyk，
∴项的系数的绝对值为
|C·(－1)k|＝C，
∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，
T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.
(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，
又∵第6项系数为负，第7项系数为正，
故项的系数最大的项为T7＝Cx5y6，
项的系数最小的项为T6＝－Cx6y5.
(4)展开式中，二项式系数的和为
C＋C＋C＋…＋C＝211.
(5)令x＝y＝1，得展开式中各项的系数和为C－C＋C－…－C＝(1－1)11＝0.
例3　解　法一　9192＝(100－9)92＝10092－C×10091×9＋C×10090×92－…－C×100×991＋992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是992除以100的余数即为所求.
∵992＝(10－1)92
＝1092－C×1091＋C×1090－…＋C×102－C×10＋(－1)92
＝1092－C×1091＋C×1090－…＋C×102－920＋1
＝(1092－C×1091＋C×1090－…＋C×102－1 000)＋81，
∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.
法二　由9192＝(90＋1)92＝C×9092＋C×9091＋…＋C902＋C×90＋1，
可知前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C×90＋1＝8 281＝8 200＋81，故9192除以100的余数为81.
训练3　CD　[512 024＋a＝(52－1)2 024＋a
＝C522 024(－1)0＋C522 023(－1)1＋C522 022(－1)2＋…＋C521(－1)2023＋C(－1)2 024＋a，又52能被13整除，
需使C(－1)2 024＋a能被13整除，
即1＋a能被13整除，∴1＋a＝13k，k∈Z，
又0≤a<26，∴a＝12或25.故选CD.]
例4　证明　因为当n＝1时，＝2；
当n>1时，＝1＋C·＋C·＋C·＋…＋C·
＝1＋1＋C·＋…＋C·>2，
所以≥2成立.
因为C·＝≤，
所以＝1＋C·＋C·＋…＋C·≤1＋1＋＋＋…＋
<2＋＋＋…＋
＝2＋＝2＋1－
＝3－<3.
所以2≤<3成立.
训练4　证明　当n≥3，n∈N＋时，3n＝(1＋2)n＝1＋C·2＋C·22＋…＋2n>1＋C·2＋C·22＝1＋2n＋·4＝1＋2n＋2n(n－1)＝2n2＋1，所以结论成立.
课堂达标
1.C　[由题意，第10行的数就是(a＋b)9的展开式的各项的二项式系数，所以第10行第7个数是C＝C＝84.]
2.x3或－x3　[二项展开式的通项为
Tr＋1＝C·(x2)6－r＝Ca－rx12－3r，
令12－3r＝0，得r＝4，
∴Ca－4＝，解得a＝±2，
当a＝2时，二项式系数最大的项为
C(x2)3＝x3.
当a＝－2时，二项式系数最大的项为
C(x2)3＝－x3.]
3.证明　∵1＋2＋22＋…＋25n－1
＝＝25n－1＝32n－1
＝(31＋1)n－1
＝C×31n＋C×31n－1＋…＋C×31＋C－1
＝31(C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，
显然C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C为整数，∴原式能被31整除.(共49张PPT)
第二课时　杨辉三角与二项式定理的应用
第三章 3.3　二项式定理与杨辉三角
课标要求
1.了解杨辉三角. 2.掌握二项式系数的性质.
知识探究
题型剖析
课时精练
内容索引
知识探究
1.思考　根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数.可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？
提示　1，7，21，35，35，21，7，1.
2.填空　(1)杨辉三角的性质
①每一行都是______的，且两端的数都是____；
②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之____.
对称
1
和
3.做一做　判断正误
(1)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.( )
提示　二项式系数不同于某一项的系数.
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( )
提示　二项式系数最大的项为中间一项或中间两项.
×
×
(3)二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同.( )
提示　不同.二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数.实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等.
×
√
题型剖析
题型一　与杨辉三角有关的问题
例1
如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值.
思维升华
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解.注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.
如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14个与第15个数的比为2∶3.
训练1
34
第0行1
第1行1　1
第2行1　2　1
第3行1　3　3　1
第4行1　4　6　4　1
第5行1　5　10　10　5　1
…　…　…
题型二　二项式系数性质的应用
例2
令x＝1，则二项展开式中各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.
由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍)，或2n＝32，∴n＝5.
由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
(2)求展开式中系数最大的项.
∵r∈N，∴r＝4.
思维升华
写出(x－y)11的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)项的系数绝对值最大的项；
训练2
(3)项的系数最大的项和系数最小的项；
(4)二项式系数的和；
(5)各项系数的和.
(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，
又∵第6项系数为负，第7项系数为正，
题型三　整除问题
例3
求9192除以100的余数.
思维升华
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和或差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.
(多选)设a∈N，且0≤a<26，若512 024＋a能被13整除，则a的值可以为
A.0 B.11 C.12 D.25
训练3
√
√
题型四　利用二项式定理证明不等式
例4
思维升华
利用二项式定理可以证明不等式，注意观察原不等式的形式或通过构造两项和的形式，对原不等式进行恒等变形或适当应用放缩法，最终证明命题.
请利用二项式定理证明：3n>2n2＋1(n≥3，n∈N＋).
训练4
当n≥3，n∈N＋时，
课堂达标
1.下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，称之为“杨辉三角”，该表中第10行第7个数是
√
A.120 B.210 C.84 D.36
3.求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N＋)能被31整除.
课时精练
一、基础巩固
√
1.已知(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝
A.11 B.10 C.9 D.8
∵(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，
∴二项展开式共有9项，即n＋1＝9，∴n＝8.
√
2.在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是
A.第6项 B.第5项 C.第5，6项 D.第6，7项
√
3.(多选)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想正确的有
第0行1
第1行1　1
第2行1　2　1
第3行1　3　3　1
第4行1　4　6　4　1
第5行1　5　10　10　5　1
…　　　　　…
√
√
√
4.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“0－1”三角，在“0－1”三角中，从第1行起，设第n次(n∈N＋)出现全行为1时，1的个数为an，则a3＝
A.26 B.27 C.7 D.8
√
5.设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中二项式系数最大的项是
A.15x2 B.20x3 C.21x3 D.35x3
令x＝0，可得a0＝1.
7.如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列{an}，则数列的第10项为________.
由题意知，a1＝1，a2＝1，a3＝2，
a4＝1＋2＝3，a5＝2＋3＝5，a6＝3＋5＝8，
a7＝5＋8＝13，a8＝8＋13＝21，
a9＝13＋21＝34，a10＝21＋34＝55.
55
9.已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项.
设第r＋1项的系数的绝对值最大，
√
11.(多选)下列关于(a－b)10的说法正确的是
A.展开式中的二项式系数之和是1 024
B.展开式的第6项的二项式系数最大
C.展开式的第5项或第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最小
二、综合运用
√
√
7
13.在杨辉三角中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和.
(1)试用组合数表示这个一般规律；
(2)在数表中试求第n行(含第n行，n∈N)之前所有数之和；
(3)试探究在杨辉三角中的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论.
能，理由：
三、创新拓展
14.1.026的近似值(精确到0.01)为
A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.20
√3.3　二项式定理与杨辉三角
第一课时　二项式定理、二项式系数的性质
课标要求　1.能用计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 3.会用“赋值法”求系数和.
一、二项式定理
1.思考　根据多项式乘法法则分析(a＋b)2的展开过程：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a(a＋b)＋b(a＋b)
＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b
＝a2＋2ab＋b2.
可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，只要从第一个(a＋b)中取一字母(取a或b)，再从第二个(a＋b)中取一字母(取a或b)，就得到展开式的一项.
根据上述规律，你能得到(a＋b)3的展开式吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.填空　二项式定理及相关概念
一般地，当n是正整数时，有(a＋b)n＝________________________________.
上述公式称为二项式定理，等式右边的式子称为(a＋b)n的展开式，它共有________项，其中Can－kbk是展开式中的第________项(通常用Tk＋1表示)，C称为第k＋1项的________系数，我们将Tk＋1＝________称为二项展开式的通项公式.
温馨提示　(1)每一项中a与b的指数和为n；
(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止；
(3)a与b的位置不能交换；
(4)Can－kbk表示的是第k＋1项；
(5)二项式系数与二项展开式项的系数不同.
3.做一做　(1)的展开式中的第4项是(　　)
A.56x3 B.84x3
C.56x4 D.84x4
(2)在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则(1＋x)n的展开式为____________________________________________________________________.
二、二项式系数的和
1.思考　在二项式定理(a＋b)n的展开式中，令a＝1，b＝1，可得到什么结论？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.填空　(1)C＋C＋C＋…＋C＝________；
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝________.
温馨提示　注意二项式系数和展开式的项的系数的区别.
3.做一做　(1)C＋C＋C＋…＋C＝(　　)
A.2n B.2n＋1
C.2n－1 D.2n－1
(2)(2x－1)6的展开式中各项的二项式系数的和为________.
题型一　二项式定理
角度1　二项式定理的正用
例1 写出的展开式.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　写出形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.
训练1 写出的展开式.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　二项式定理的逆用
例2 化简：(1)1＋2C＋4C＋…＋2nC.
(2)(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10·(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式.
训练2 化简：(1)1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC.
(2)C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型二　二项展开式通项的应用
例3 已知在的展开式中，第9项为常数项，求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　求二项展开式的特定项的常见题型
①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；
④求有理项.
训练3 在的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
题型三　二项展开式的系数和问题
例4 在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和；
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思维升华　赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项.一般地，对于多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]，a0＝f(0).
训练4 设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值.
(1)a0；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【课堂达标】
1.(多选)(x－1)(ax＋1)4的展开式中含x3项的系数为2，则a可以是(　　)
A.1 B.
C.－1 D.－
2.设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________.
3.已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.
第一课时　二项式定理、二项式系数的性质
知识探究
一、1.提示　(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2.Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn
n＋1　k＋1　二项式　Can－kbk
3.(1)B　[T4＝Cx6＝84x3.]
(2)1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn
二、1.提示　可得到C＋C＋C＋…＋C＝2n.
2.(1)2n　(2)2n－1
3.(1)C　(2)64　[(1)二项式定理的展开式(a＋b)n中，令a＝b＝1，则C＋C＋…＋C＝2n，
∴C＋C＋…＋C＝2n－1，故选C.
(2)各二项式系数之和为26＝64.]
题型剖析
例1　解　＝C(3)4＋
C(3)3·＋C(3)2·＋
C(3)＋C·
＝81x2＋108x＋54＋＋.
训练1　解　＝C(2x)5＋C(2x)4·＋C(2x)3＋
C(2x)2＋C(2x)·
＋C
＝32x5－120x2＋－＋－.
例2　解　(1)原式＝C·1n·20＋C·1n－1·2＋C·1n－2·22＋…＋C2n＝(1＋2)n＝3n.
(2)原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C·(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0
＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
训练2　解　(1)逆用二项式理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，
可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k·(－1)k＋…＋C(－1)n
＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
例3　解　已知二项展开式的通项为
Tk＋1＝C·
＝(－1)kCx2n－k.
(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，
2n－k＝0，解得n＝10.
(2)令2×10－k＝5，得k＝(20－5)＝6.
所以x5的系数为(－1)6C＝.
(3)要使20－k为整数，需k为偶数，
由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项.
训练3　解　(1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)4＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)Tk＋1＝C(2)6－k
＝(－1)k26－kCx3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
例4　解　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)
各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10，
奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，
偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，
x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，
x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.
由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.
(1)二项式系数的和为
C＋C＋…＋C＝210.
(2)令x＝y＝1，
各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(3)奇数项的二项式系数和为
C＋C＋…＋C＝29，
偶数项的二项式系数和为
C＋C＋…＋C＝29.
(4)令x＝y＝1，得到
a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，
得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②
①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，
∴奇数项系数和为；
①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，
∴偶数项系数和为.
(5)x的奇次项系数和为
a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；
x的偶次项系数和为
a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.
训练4　解　(1)令x＝0，则a0＝2100.
(2)令x＝1，
可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，(*)
∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.
(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.
与(2)中(*)式联立相减得
a1＋a3＋…＋a99＝.
(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)
＝[(2－)·(2＋)]100＝1100＝1.
(5)∵Tr＋1＝(－1)rC2100－r()rxr，
∴a2k－1<0(k∈N＋).
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100
＝(2＋)100.
课堂达标
1.AD　[(x－1)(ax＋1)4＝(x－1)·(a4x4＋4a3x3＋6a2x2＋4ax＋1)的展开式中含x3项的系数为6a2－4a3＝2，即2a3－3a2＋1＝0，
∴a＝1或a＝－.故选AD.]
2.－15　[令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.①
又Tk＋1＝C(－3)4－k(2x)k，
∴当k＝4时，x4的系数a4＝16.②
由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15.]
3.解　(1)因为T3＝C()n－2＝4Cx，
T2＝C()n－1＝－2Cx，
依题意得4C＋2C＝162，
所以2C＋C＝81，
所以n2＝81，n∈N＋，故n＝9.
(2)设第k＋1项含x3项，
则Tk＋1＝C()9－k
＝(－2)kCx，所以＝3，k＝1，
所以含x3的项为T2＝－2Cx3＝－18x3.
二项式系数为C＝9.(共54张PPT)
第一课时　二项式定理、二项式系数的性质
第三章 3.3　二项式定理与杨辉三角
课标要求
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
3.会用“赋值法”求系数和.
知识探究
题型剖析
课时精练
内容索引
知识探究
1.思考　根据多项式乘法法则分析(a＋b)2的展开过程：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a(a＋b)＋b(a＋b)
＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b
＝a2＋2ab＋b2.
可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，只要从第一个(a＋b)中取一字母(取a或b)，再从第二个(a＋b)中取一字母(取a或b)，就得到展开式的一项.
根据上述规律，你能得到(a＋b)3的展开式吗？
提示　(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
一、二项式定理
n＋1
k＋1
二项式
温馨提醒
√
1.思考　在二项式定理(a＋b)n的展开式中，令a＝1，b＝1，可得到什么结论？
二、二项式系数的和
温馨提醒
注意二项式系数和展开式的项的系数的区别.
√
64
题型剖析
题型一　二项式定理
例1
角度1　二项式定理的正用
思维升华
写出形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.
训练1
例2
角度2　二项式定理的逆用
思维升华
逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式.
训练2
(1)逆用二项式理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，
可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
题型二　二项展开式通项的应用
例3
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数.
思维升华
训练3
题型三　二项展开式的系数和问题
例4
在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)
各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10，
奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，
偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，
x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，
x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.
由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(4)奇数项系数和与偶数项系数和；
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，
得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②
①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，
思维升华
训练4
(1)令x＝0，则a0＝2100.
(2)令x＝1，
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…＋a100)－
(a1＋a3＋…＋a99)]
课堂达标
√
(x－1)(ax＋1)4＝(x－1)·(a4x4＋4a3x3＋6a2x2＋4ax＋1)的展开式中含x3项的
系数为6a2－4a3＝2，即2a3－3a2＋1＝0，
√
－15
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.①
2.设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________.
设第k＋1项含x3项，
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.
课时精练
一、基础巩固
√
√
√
√
√
√
5.在(1＋x)n(n为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1－x2)n的值为
A.0 B.AB C.A2－B2 D.A2＋B2
将(1＋x)n直接展开，有(1＋x)n＝A＋B，将x换成－x，有(1－x)n＝A－B，
∴(1－x2)n＝(1＋x)n(1－x)n＝(A＋B)·(A－B)＝A2－B2.
6.若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N＋)，且a∶b＝3∶1，则n＝________.
11
7
3
由题意知A0(0，1)，A1(1，3)，A2(2，4).
(2)问展开式中第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数，并证明你的结论.
展开式共有9项，
根据展开式中间项的二项式系数最大，
故展开式第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.
10.已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
√
11.(多选)若(x2－2x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则下列选项正确的是
A.a0＝32 B.a2＝320
C.a1＋a2＋…＋a10＝32 D.|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝3 093
二、综合运用
令x＝0，a0＝25＝32，A正确；
五项相同的因式相乘，要得到含x2的项，可以是五个因式中，一个取x2，
其他四个因式取2；
或两个因式取－2x，其他三个因式取2，
√
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，
∴a1＋a2＋…＋a10＝1－32＝－31，
C不正确；
(x2＋2x＋2)5展开式的所有项系数和为
|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|，
令x＝1，得
|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝55＝3 125，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝3 125－32＝3 093，D正确.
12.在(x＋y)5(1＋x)6展开式中，含x4y4的项的系数是________.(用数字作答)
100
(x＋y)5(1＋x)6中只有(x＋y)5的展开式中才含有y4，
三、创新拓展
14.已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N＋).
(1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项.
当m＝3，n＝4时，f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4.
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.
∵h(x)的展开式中含x的项的系数为12，课时精练7　二项式定理、二项式系数的性质
(分值：100分)
单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共12分.
一、基础巩固
1.若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝(　　)
33 29 23 19
2.若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　)
2 1
3.若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于(　　)
32 －32 1 024 512
4.(多选)对于二项式(n∈N＋)，下列判断正确的有(　　)
存在n∈N＋，展开式中有常数项
对任意n∈N＋，展开式中没有常数项
对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项
存在n∈N＋，展开式中有x的一次项
5.在(1＋x)n(n为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1－x2)n的值为(　　)
0 AB
A2－B2 A2＋B2
6.若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N＋)，且a∶b＝3∶1，则n＝________
7.二项式的展开式中的常数项是________.
8.设a≠0，n是大于1的自然数，的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图所示，则a＝________.
9.(10分)已知的展开式中，前三项的二项式系数之和为37.
(1)求x的整数次幂的项.
(2)问展开式中第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数，并证明你的结论.
10.(10分)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
二、综合运用
11.(多选)若(x2－2x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则下列选项正确的是(　　)
a0＝32
a2＝320
a1＋a2＋…＋a10＝32
|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝3 093
12.在(x＋y)5(1＋x)6展开式中，含x4y4的项的系数是________.(用数字作答)
13.(13分)已知(n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中含x的项.
三、创新拓展
14.(15分)已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N＋).
(1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项.
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
课时精练7　二项式定理、二项式系数的性质
1.B　[∵(1＋)4＝1＋4＋12＋8＋4＝17＋12＝a＋b，
又∵a，b为有理数，∴a＝17，b＝12.
∴a＋b＝29.]
2.C　[二项式的展开式的通项为
Tr＋1＝C(2x)7－r·＝C27－rarx7－2r，
令7－2r＝－3，得r＝5.
故展开式中的系数是C22a5＝84，
解得a＝1.]
3.A　[a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝(a－2)10，当a＝2－时，(a－2)10＝32.]
4.AD　[二项式的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项可知，
当n＝4k(k∈N＋)和n＝4k－1(k∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和x的一次项，
故选AD.]
5.C　[将(1＋x)n直接展开，有(1＋x)n＝A＋B，将x换成－x，有(1－x)n＝A－B，
∴(1－x2)n＝(1＋x)n(1－x)n＝(A＋B)·(A－B)＝A2－B2.]
6.11　[a＝C，b＝C.
∵a∶b＝3∶1，
∴eq \f(C,C)＝eq \f(C,C)＝，即＝3，
解得n＝11.]
7.7　[该二项式的展开式的通项公式为
Tr＋1＝Cx＝Cx.
令＝0，解得r＝2，
∴所求常数项为C×＝7.]
8.3　[由题意知A0(0，1)，A1(1，3)，A2(2，4).
故a0＝1，a1＝3，a2＝4.
又的展开式的通项公式
Tr＋1＝C(r＝0，1，2，…，n)，
故eq \f(C,a)＝3，eq \f(C,a2)＝4，解得a＝3.]
9.解　(1)展开式的前三项的二项式系数之和为C＋C＋C＝37，解得n＝8.
∴＝的展开式的通项为
Tr＋1＝C(x)8－r＝Cx12－.
当r＝0，6时，x的指数为整数.
∴x的整数次幂的项有x12，28x.
(2)展开式共有9项，
根据展开式中间项的二项式系数最大，
故展开式第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.
证明如下：∵展开式第5项的二项式系数为
C＝＝70.
展开式第4项的二项式系数为C，
展开式第6项的二项式系数为C，
∵C＝C＝＝56<70.
故展开式中第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.
10.解　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)∵a0＝C＝1，
∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，
得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，
得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
(4)法一　∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)
＝1 093－(－1 094)＝2 187.
法二　|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
11.AD　[令x＝0，a0＝25＝32，A正确；
五项相同的因式相乘，要得到含x2的项，可以是五个因式中，一个取x2，
其他四个因式取2；
或两个因式取－2x，其他三个因式取2，
∴a2＝C×1×24＋C×(－2)2×23＝400，
B错误；
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，
∴a1＋a2＋…＋a10＝1－32＝－31，
C不正确；
(x2＋2x＋2)5展开式的所有项系数和为
|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|，
令x＝1，得
|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝55＝3 125，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝3 125－32＝3 093，D正确.]
12.100　[(x＋y)5(1＋x)6中只有(x＋y)5的展开式中才含有y4，
故由(x＋y)5中的项Cxy4与(1＋x)6展开式中含x3的项相乘得到，
(1＋x)6展开式中x3项的系数为Cx3，故x4y4的项的系数为C·C＝100.]
13.解　由题意知，第五项系数为C(－2)4，
第三项的系数为C(－2)2，
则有eq \f(C（－2）4,C（－2）2)＝，
化简得n2－5n－24＝0，
解得n＝8或n＝－3(舍).
(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.
(2)二项式的通项公式Tr＋1＝C()8－r·＝C(－2)rx，
令＝，得r＝1，
故展开式中含x的项为T2＝－16x.
14.解　(1)当m＝3，n＝4时，
f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4.
(1＋x)3展开式的通项为Cxr，
(1＋2x)4展开式的通项为C(2x)r，
f(x)g(x)的展开式含x2的项为
1×C(2x)2＋Cx×C(2x)＋Cx2×1＝51x2.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.
∵h(x)的展开式中含x的项的系数为12，
∴C＋2C＝12，
即m＋2n＝12，所以m＝12－2n.
x2的系数为C＋4C＝C＋4C
＝(12－2n)(11－2n)＋2n(n－1)
＝4n2－25n＋66＝4＋，n∈N＋，
∴n＝3，m＝6时，x2的项的系数取得最小值.课时精练8　杨辉三角与二项式定理的应用
(分值：100分)
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共12分.
一、基础巩固
1.已知(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝(　　)
11 10 9 8
2.在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　　)
第6项 第5项
第5，6项 第6，7项
3.(多选)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想正确的有(　　)
第0行1
第1行1　1
第2行1　2　1
第3行1　3　3　1
第4行1　4　6　4　1
第5行1　5　10　10　5　1
…　　　　　…
由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C＝C＋C
C＋C＋C＋…＋C＝165
第34行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3
由“第n行所有数之和为2n”猜想：C＋C＋C＋…＋C＝2n
4.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“0－1”三角，在“0－1”三角中，从第1行起，设第n次(n∈N＋)出现全行为1时，1的个数为an，则a3＝(　　)
26 27 7 8
5.设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中二项式系数最大的项是(　　)
15x2 20x3 21x3 35x3
6.的展开式中二项式系数最大的项为________.
7.如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列{an}，则数列的第10项为________.
8.设的展开式中，各项的二项式系数和为256，且二项式系数最大项的值为1 120，则实数x的值是________.
9.(13分)已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项.
10.(15分)求的展开式中系数的绝对值最大的项.
二、综合运用
11.(多选)下列关于(a－b)10的说法正确的是(　　)
展开式中的二项式系数之和是1 024
展开式的第6项的二项式系数最大
展开式的第5项或第7项的二项式系数最大
展开式中第6项的系数最小
12.二项式(＋)8的展开式中的常数项是________，二项式系数最大的项是________.
13.(15分)在杨辉三角中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和.
(1)试用组合数表示这个一般规律；
(2)在数表中试求第n行(含第n行，n∈N)之前所有数之和；
(3)试探究在杨辉三角中的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论.
三、创新拓展
14.1.026的近似值(精确到0.01)为(　　)
1.12 1.13 1.14 1.20
课时精练8　杨辉三角与二项式定理的应用
1.D　[∵(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴二项展开式共有9项，即n＋1＝9，∴n＝8.]
2.A　[由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C＝C，
由组合数的性质，得n＝10.
∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项.]
3.ACD　[由C＝C＋C，故A正确；
C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1＝C－1＝164，故B错误；
第n行，第k个数是C，则第34行中从左到右第14与第15个数分别为C，C，
所以eq \f(C,C)＝＝，故C正确；
第n行所有数之和为2n，
即C＋C＋C＋…＋C＝2n，D正确.]
4.D　[第1行和第3行全是1，已经出现了2次，依题意，第6行原来的数是C，
而C＝6为偶数，不合题意，第7行原来的数是C，即1，7，21，35，35，21，7，1，全为奇数，一共有8个，全部转化为1，故选D.]
5.B　[令x＝0，可得a0＝1.
令x＝1，则(1＋1)n＝1＋a1＋a2＋…＋an＝64，
∴n＝6.∴(1＋x)6的展开式中二项式系数最大的项为T4＝Cx3＝20x3.]
6.　[∵n＝8，∴展开式中二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4
＝C·24x4··
＝C·24··＝·.]
7.55　[由题意知，a1＝1，a2＝1，a3＝2，
a4＝1＋2＝3，a5＝2＋3＝5，a6＝3＋5＝8，
a7＝5＋8＝13，a8＝8＋13＝21，
a9＝13＋21＝34，a10＝21＋34＝55.]
8.或10　[依题意有C＋C＋…＋C＋C＝2n＝256，所以n＝8，
∴二项式系数最大的项是第5项，
即T4＋1＝C(2x)4
＝1 120 lg4x＝1 120，
∴lg4x＝1，
∴lg x＝±1，∴x＝，或x＝10.]
9.解　由题意知C＋C＋C＝121，
即C＋C＋C＝121，
∴1＋n＋＝121，
即n2＋n－240＝0，
解得n＝15或－16(舍).
∴在(1＋3x)15展开式中二项式系数最大的项是第8，9两项，且T8＝C(3x)7＝C37x7，
T9＝C(3x)8＝C38x8.
10.解　设第r＋1项的系数的绝对值最大，
则Tr＋1＝C·(2x)10－r·
＝(－1)r·C·210－r·x10－2r，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C·210－r≥C·210－r＋1，,C·210－r≥C·210－r－1，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C≥2C，,2C≥C，))
即
∴≤r≤，∴r＝3，
故系数的绝对值最大的是第4项，
即T3＋1＝(－1)3·C·210－3·x4
＝－15 360x4.
11.ABD　[由二项式系数的性质知C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024，故A正确.
二项式系数最大的项为C，是展开式的第6项，故B正确.
由展开式的通项为Tk＋1＝Ca10－k(－b)k＝(－1)kCa10－kbk知，第6项的系数－C最小，D正确.故选ABD.]
12.7　x－　[∵Tr＋1＝C()8－r
＝Cxx－r＝Cx，
令＝0，解得r＝2，
∴T3＝C＝×＝7，二项式系数最大的项是
T5＝Cx＝x－.]
13.解　(1)C＝C＋C.
(2)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.
(3)能，理由：
设C∶C∶C＝3∶4∶5，
由eq \f(C,C)＝得＝，
即3n－7r＋3＝0，①
由eq \f(C,C)＝得＝，
即4n－9r－5＝0，②
①②联立，解得n＝62，r＝27，
即C∶C∶C＝3∶4∶5.
14.B　[1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023＋…＋0.026
≈1＋0.12＋0.006≈1.13.]

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