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江苏无锡市东林中学2024-2025学年八下数学第4周阶段性训练模拟练习
一．选择题（共8小题）
1．如图，有一个 ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上．若∠ECD＝49°，∠AEF＝34°，则∠B＝（　　）
A．55° B．65° C．75° D．60°
2．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠ABD＝60°，则∠E＝（　　）
A．45° B．30° C．20° D．15°
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′，当点A′与点C重合时，S菱形ABCD＝32，AB′＝10，则△AB′O′周长是（　　）
A．24 B．36 C．22 D．26
4．正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　）
A．先变大后变小 B．先变小后变大
C．一直变大 D．保持不变
5．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（﹣4，3），将矩形OABC绕点O顺时针旋转α度得到矩形OA'B'C'（0≤α≤90），线段OA'与线段BC交于点P，线段B'C'与直线BC交于点Q．下列说法：
①当点B'落在y轴上时，B'坐标为（0，5）；
②当点A'落在BC上时，PQ＝；
③△BA'B'的面积最大值为，
④当BP＝BQ时，＝7：24．
其中正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA上的中点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是（　　）
A．四边形MNPQ一定为平行四边形
B．若四边形ABCD是菱形，四边形MNPQ为正方形
C．当AC＝BD时，四边形MNPQ为菱形
D．当AC⊥BD时，四边形MNPQ为矩形
7．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF，交AC于点M，连接DE，BO．若BO＝BC，OM＝CM，则下列结论中：
①△OBC为等边三角形；
②AE＝CF；
③四边形BFDE是菱形；
④BE＝2AE．正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合）且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：
①在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；
②点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
③无论点M运动到何处，都有DM＝HM；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．
以上结论正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．③④
二．填空题（共7小题）
9．如图在 ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于E，AB＝3，BC＝5，则DE＝　 　．
10．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°．以AB为边向右侧作正方形ABDE，过E作EF⊥CB交AD于点G，连接BG，则△BGF的周长是 　 　．
11．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段AD的延长线上，连接BE交CD于点F，∠BEC＝2∠AEB，点G是BF的中点，若DE＝1，BF＝8，则AB的长为 　 　．
12．如图，菱形ABCD中，E、F、G分别为AD、AB、BC上的点，将△AEF沿直线EF折叠得到△GEF，其中点A的对应点是点G，DE＝1，CG＝4，当EG⊥CG时，菱形ABCD的边长为 　 　，AF的长为 　 　．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，已知BO＝6，S菱形ABCD＝96，则DH＝　 　．
14．如图，将△ABC绕点C（0，﹣2）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣6，﹣5），则点A′的坐标为 　 　．
15．如图正方形ABCD中，AB＝12，点E在CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至AFE，延长EF交BC于点G，连接AG、CF，则BG＝　 　．
三．解答题（共2小题）
16．如图，在 ABCD中，O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°．
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC，若AB＝2，，求OC的长．
17．如图，E为菱形ABCD对角线AC上一点，直线DE交射线AB于点F，AD＝10，AC＝8．
（1）求此菱形的面积；
（2）当△BEF是直角三角形时，求AE的长．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A D B B D B
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：∵四边形CEFG是正方形，
∴∠CEF＝90°，
∴∠CED＝180°﹣∠AEF﹣∠CEF＝180°﹣34°﹣90°＝56°，
∴∠D＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝180°﹣49°﹣56°＝75°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D＝75°．
故选：C．
2．【解答】解：连接AC，AC，BD相交于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OB＝OC，
∵∠ABD＝60°，
∴∠OBC＝30°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵CE＝BD
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝30°，
∴2∠E＝30°，
∴∠E＝15°，
故选：D．
3．【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴∠AOB＝90°，OA＝OC，
∵将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′，
∴OA＝O′C＝OC，OB＝O′B′，∠O′＝∠AOB＝90°，
设OA＝O′C＝OC＝x，OB＝O′B′＝y，
∴AC＝2x，BD＝2y，AO′＝3x，
∵S菱形ABCD＝32，
∴，则2xy＝32，
整理得：xy＝16，
在Rt△AO′B′中，根据勾股定理可得：AO′2+O′B′2＝AB′2，
即（3x）2+y2＝102，
∴（3x+y）2＝（3x）2+y2+6xy＝100+6×16＝196，
∴3x+y＝14，
∴△AB′O′周长＝AO′+O′B′+AB′＝3x+y+10＝24．
故选：A．
4．【解答】解：连接DE，
∵，
，
∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．
故选：D．
5．【解答】解：∵四边形ABCO是矩形，点A（﹣4，0），点B（﹣4，3），
∴OA＝4，AB＝3，∠OAB＝90°，
如图1所示，当B'在y轴上时，连接OB，
在Rt△ABO中，由勾股定理得 ，
由旋转的性质可得OB'＝OB＝5，
∴B'（0，5），故①正确；
如图2所示，当点A落在BC上时，此时A'、P重合，
由旋转的性质可得OA'＝OA＝4，A'B'＝AB＝3，
∵∠OA'B'＝∠A'CO＝∠B′＝90°，
∴∠B'A'Q+∠CA'O＝90°＝∠CA'O+∠COA'，
∴∠B'A'Q＝∠COA'，
又∵OC＝A'B'＝3，
∴△A'B'Q≌△OCA'（ASA），
∴A'Q＝OA'＝4，即PQ＝4，故②错误；
如图3所示，当A'在BB'上方时，过点B作BE垂直于直线A'B'于E，
在旋转过程中，BE一直在增大（直线A'B'逐渐远离点B），则当点A'落在y轴上时，BE有最大值，最大值为1，
∴此时S△BA'B'有最大值，最大值为×3×1＝；
如图4所示，当A'在BB'下方时，过点B作BE垂直于直线A'B'于E，
在旋转过程中，BE一直在减小（直线A'B'逐渐靠近点B），则当点A'落在OB上时，BE有最大值，最大值为1，
∴此时S△BA'B'有最大值，最大值为×3×1＝，
而线段OA'与线段BC有交点，则当点A'落在BC上时，此时S△BA'B'有最大值，即此时S△BA'B'的最大值小于；
综上所述，S△BA'B'最大值为，故③正确；
过点Q作QH⊥OA′于点H，连接OQ，如图5所示，则QH＝OC'＝OC，
∵，，
∴PQ＝OP，
设BP＝x，则BQ＝2x，
∴OP＝PQ＝BQ﹣BP＝x，PC＝4﹣x，
在Rt△PCO中，由勾股定理得PC2+OC2＝OP2，
即（4﹣x）2+32＝x2，
解得，
∴，
∴A'P＝，
∴，故④错误；
∴正确的有2个，
故选：B．
6．【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵M、N、P、Q分别为AB、BC、CD、AD的中点，
∴MN、NP、PQ分别是△ABC、△BCD、△ADC的中位线，
∴MN＝AC，MN∥AC，PQ＝AC，PQ∥AC，NP＝BD，NP∥BD，
∴MN＝PQ，MN∥PQ，
∴四边形MNPQ为平行四边形，故A选项结论正确，不符合题意；
当四边形ABCD是菱形时，AC⊥BD，
∴MN⊥NP，
∴平行四边形MNPQ为矩形，不一定是正方形，故B选项结论错误，符合题意；
当AC＝BD时，MN＝NP，
∴平行四边形MNPQ为菱形，故C选项结论正确，不符合题意；
当AC⊥BD时，四边形MNPQ为矩形，故D选项结论正确，不符合题意；
故选：B．
7．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，DC＝AB，AD＝BC，
∵O为AC中点，
∴BO＝AC，
∴OB＝OC，
∵OB＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
故①符合题意；
∵DC∥AB，
∴∠OCF＝∠OAE，∠OFC＝∠OEA，
∵OC＝OA，
∴△OCF≌△OAE（ASA），
∴AE＝CF，
故②符合题意；
∵△OBC是等边三角形，OM＝CM，
∴BF垂直平分OC，
∴四边形BOFC是轴对称图形，
∴∠BOF＝∠BCD＝90°，
∵△OCF≌△OAE（ASA），
∴OF＝OE，
∴BO垂直平分FE，
∴BF＝BE，
∵DC＝AB，CF＝AE，
∴DF＝EB，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵BE＝BF，
∴四边形BFDE是菱形，
故③符合题意；
∵△BOC是等边三角形，CM＝OM，
∴∠CBF＝∠OBC＝30°，
∵∠BCF＝90°，
∴BF＝2CF，
∵BF＝BE，CF＝AE
∴BE＝2AE，
故④符合题意，
∴正确结论的个数是4个．
故选：D．
8．【解答】解：由题可得，AM＝BE，
∴AB＝EM＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，
∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，
∴EH＝AH，
∴△MEH≌△DAH（SAS），
∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，
∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，
∴DM＝HM，故③正确；
当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，
∴Rt△ADM中，DM＝2AM，
即DM＝2BE，故②正确；
∵CD∥EM，EC∥DM，
∴四边形CEMD是平行四边形，
∵DM＞AD，AD＝CD，
∴DM＞CD，
∴四边形CEMD不可能是菱形，故①错误，
∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，
∴∠AHM＜∠BAC＝45°，
∴∠CHM＞135°，故④正确；
由上可得正确结论的序号为②③④．
故选：B．
二．填空题（共7小题）
9．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
10．【解答】解：过点A作AH⊥EF于点H，
∵∠C＝90°，EF⊥CB，AH⊥EF，
∴四边形ACFH为矩形，
∴AC＝FH＝4，∠CAH＝90°，
∴∠BAC+∠BAH＝90°，
∵四边形ABDE为正方形，
∴AE＝AB＝5，∠BAE＝90°，
∴∠EAH+∠BAH＝90°，
∴∠EAH＝∠BAC，
在△ABC和△AEH中，
，
∴△ABC≌△AEH（AAS），
∴EH＝BC＝3，AC＝AH＝4，
∴CF＝AH＝4，
∴BF＝CF﹣BC＝1，EF＝EH+FH＝3+4＝7，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠EAG＝∠BAG，AE＝AB，
在△AEG和△ABG中，
，
∴△AEG≌△ABG（SAS），
∴BG＝EG，
∴△BGF的周长＝BF+BG+GF＝BF+EG+GF＝BF+EF＝1+7＝8，
故答案为：8．
11．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCF＝90°，
∵点G是BF的中点，
∴BG＝FG＝GC＝BF＝4，
∴∠GBC＝∠GCB，
∵AD∥BC，
∴∠GBC＝∠AEB，
∴∠CGE＝∠GBC+∠GCB＝2∠GBC＝2∠AEB，
∵∠BEC＝2∠AEB，
∴∠BEC＝∠CGE，
∴CE＝CG＝4，
在Rt△CDE中，DE＝1，
∴CD＝＝＝．
∴AB＝CD＝．
故答案为：．
12．【解答】解：作DM⊥BC于M，作FN⊥AD于N，如图，
设AE＝x，则AD＝x+1＝DC，
由折叠得，EC＝AE＝x，
∵EG⊥CG，
∴四边形DMGE为矩形，
∴DM＝EC＝x，GM＝DE＝1，
∴CM＝4﹣1＝3，
在Rt△DCM中，CM2+DM2＝DC2，即32+x2＝（x+1）2，
∴x＝4，
∴AD＝5，即棱形边长为5；
∵∠A＝∠C，
∴△AFN∽△DCM，
∴AN：CM＝FN：DM，
设AN＝3y，则FN＝4y，AF＝5y，
由折叠得，∠AEF＝∠GEF＝45°，
∴EN＝4y，
∵AE＝4，即AN+EN＝4，
∴y＝，
∴AF＝5×＝．
故答案为：5；．
13．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝6，AO＝CO，AC⊥BD，
∴BD＝2BO＝12，
∵S菱形ABCD＝AC×BD＝96，
即：×AC×12＝96，
∴AC＝16，
∴CO＝AC＝×16＝8，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝10，
∵S菱形ABCD＝AB×DH＝96，
即：10×DH＝96，
∴DH＝9.6；
故答案为：9.6．
14．【解答】解：过点A和A′作y轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，
AC＝A′C，
∵AN⊥y轴，A′M⊥y轴，
∴∠ANC＝∠A′MC．
在△ACN和△A′CM中，
，
∴△ACN≌△A′CM（AAS），
∴A′M＝AN，MC＝NC．
∵点C坐标为（0，﹣2），点A坐标为（﹣6，﹣5），
∴A′M＝AN＝6，MC＝NC＝3．
∴MO＝3﹣2＝1，
∴点A′的坐标为（6，1）．
故答案为：（6，1）．
15．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝AD＝12，∠B＝∠D＝∠BCD＝90°，
由于折叠，∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD，EF＝DE，
∴∠AFG＝∠B＝90°，AF＝AB，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AFG（HL），
∴FG＝BG，
∵CD＝3DE，
∴DE＝4，CE＝8，
∵在Rt△CGE中，GE2＝CG2+CE2，
∴（FG+4）2＝（12﹣FG）2+82，
解得：FG＝6，
∴BG＝6，
故答案为：6．
三．解答题（共2小题）
16．【解答】（1）证明：∵O为AD的中点，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴平行四边形ABDE是矩形；
（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，
∵四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝2，OD＝AD，OB＝OE＝BE，AD＝BE，
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE，
∴DF＝EF＝DE＝1，
∴OF为△BDE的中位线，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，
∴CF＝CD+DF＝3，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC＝＝＝，
即OC的长为．
17．【解答】解：（1）连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，AO＝AC＝4，AC⊥BD，
∴OD＝＝＝2，
∴BD＝4，
∴菱形的面积＝ 8 4＝80；
（2）①当∠EFB＝90°时，如图1，
∵∠EFB＝90°，
∴菱形的面积＝10 DF＝80，
∴DF＝8，
∴AF＝＝＝6，
∴BF＝4，
∵AC垂直平分BD，
∴DE＝BE，
∵BE2＝FE2+BF2，
∴EF2+42＝（8﹣EF）2，
得EF＝3，
在△AEF中，AE＝＝3，
②当∠BEF＝90°时，如图2，连接BD交AC于O，当点E在AO上时，
则△EDB是等腰直角三角形，BD＝4，
∴OE＝2，
∴AE＝2；
当点E在OC上时，同理可求AE＝6，
③当∠FBE＝90°时，如图3，
∵AE2＝BE2+AB2，AE OB＝BA BE，
∴AE2＝BE2+100，2AE＝10BE，
∴AE2＝（AE）2+100，
∴AE＝5，
综上：AE的长为3或2或6或5．面同

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