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微专题4　题型应用　平行四边形中的折叠问题
与折叠有关的计算常用性质 模型归类
1.折叠问题的本质是全等变换,折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形; 2.折痕可看作垂直平分线(对应点之间的连线被折痕垂直平分); 3.折痕可看作角平分线(对应线段所在的直线与折痕的夹角相等). 计算角度大小
计算线段长度
计算最值
计算面积
针对训练
一、求角的度数
1.如图,将 ABCD沿AC所在直线折叠,点D恰好落在DA延长线上的点D'处,CD'交AB于点E,若∠BAD=130°,则∠BCD'的度数为(A)
　　　　　 　　　　　　　　　　
A.50° B.45° C.40° D.35°
2.如图,将 ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,则∠BAC的度数为　60°　.
二、求线段的长度
3.如图,在 ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B=60°,AB=2,则△ADE的周长为(C)
A.6　　 B.9 C.12 D.15
4.(2023·宜昌中考)如图,小宇将一张平行四边形纸片折叠,使点A落在长边CD上的点A'处,并得到折痕DE,小宇测得长边CD=8,则四边形A'EBC的周长为　16　.
5.如图,在 ABCD中,AB=5,∠B=60°,E,F分别是边AD,BC上一点,且AE=AB,将 ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,求BF的长.
【解析】设点D的对应点为点G,
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=5,∠B=60°,
∴AD∥BC,AB∥DC,∠D=∠B=60°,CD=AB=5,
∴∠BAD=∠C=180°-∠B=120°,
由折叠得AG=CD,∠G=∠D=60°,∠FAG=∠C=120°,
∴AG=AB,
∵AE=AB,
∴AG=AE,
∴△AEG是等边三角形,
∴∠GAE=60°,
∵∠BAF=∠GAE=120°-∠FAE,
∴∠BAF=60°,
∴∠AFB=∠BAF=∠B=60°,
∴△ABF是等边三角形,
∴BF=AB=5.
三、计算最值
6.如图,有一张平行四边形纸片ABCD,AB=5,AD=7,将这张纸片折叠,使得点B落在边AD上,点B的对应点为点B',折痕为EF,若点E在边AB上,则DB'长的最小值等于　2　.
7.已知四边形ABCD是平行四边形,∠ABC=60°,AB=4,BC=6,点E是AD边上一个动点,连接BE,沿BE将△ABE翻折至△BEF(如图1),EF所在的直线与BC交于点H.
(1)当点E与点D重合时(如图2),CH的长为　　　　;
(2)当CH取最大值时,求EH的长.
【解析】(1)如图所示,过D作DG⊥BC的延长线于G,
设CH=x,则BH=6-x,
由折叠可得∠ADB=∠FDB,∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD=∠FDB,
∴DH=BH=6-x,
∵∠ABC=60°,CD∥AB,
∴∠DCG=60°,∠CDG=30°,
∴CG=CD=2,DG==2,
∴HG=2+x,由勾股定理得DG2+HG2=DH2,即+(x+2)2=(6-x)2,
解得x=.
答案:
(2)由折叠可得∠AEB=∠FEB,
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠CBE=∠FEB,
∴EH=BH,
∴CH=CB-BH=CB-EH=6-EH,
∴当EH最短时,CH最大,
如图所示,当EH⊥BC时,CH有最大值,
由(1)可得AD,BC之间的距离为2,
∴当EH⊥BC时,EH=2.
四、计算面积
8.如图,将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠,使点A与点C重合,点D落在点G处,折痕为EF.已知BC=4,BE=2,∠B=60°,那么△FCG的面积为　2　.
9.在探究折叠问题时,小华进行了如下操作:如图,F为直角梯形ABCD边AB的中点.将直角梯形纸片ABCD分别沿着EF,DE所在的直线对折,点B,C恰好与点G重合,点D,G,F在同一直线上.若四边形BCDF为平行四边形,且AD=6,求四边形BEGF的面积.
【解析】由折叠性质得BE=GE=CE,BF=GF,CD=DG,
∵四边形BCDF为平行四边形,
∴CD=BF,DF=BC,
∵AF=BF,
∴AF=BF=FG=DG,
∴2AF=DF,
∵DF2-AF2=AD2,
即4AF2-AF2=62,
∴AF=2,
∴BF=2,∵AD=6,
∴S BCDF=BF·AD=12,
∵DG=FG,∴S△EDG=S△EFG,
由折叠性质知S△CDE=S△EDG,S△EFG=S△BEF,
∴S四边形BEGF=S BCDF=6.微专题4　题型应用　平行四边形中的折叠问题
与折叠有关的计算常用性质 模型归类
1.折叠问题的本质是全等变换,折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形; 2.折痕可看作垂直平分线(对应点之间的连线被折痕垂直平分); 3.折痕可看作角平分线(对应线段所在的直线与折痕的夹角相等). 计算角度大小
计算线段长度
计算最值
计算面积
针对训练
一、求角的度数
1.如图,将 ABCD沿AC所在直线折叠,点D恰好落在DA延长线上的点D'处,CD'交AB于点E,若∠BAD=130°,则∠BCD'的度数为( )
　　　　　 　　　　　　　　　　
A.50° B.45° C.40° D.35°
2.如图,将 ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,则∠BAC的度数为 .
二、求线段的长度
3.如图,在 ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B=60°,AB=2,则△ADE的周长为( )
A.6　　 B.9 C.12 D.15
4.(2023·宜昌中考)如图,小宇将一张平行四边形纸片折叠,使点A落在长边CD上的点A'处,并得到折痕DE,小宇测得长边CD=8,则四边形A'EBC的周长为 .
5.如图,在 ABCD中,AB=5,∠B=60°,E,F分别是边AD,BC上一点,且AE=AB,将 ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,求BF的长.
三、计算最值
6.如图,有一张平行四边形纸片ABCD,AB=5,AD=7,将这张纸片折叠,使得点B落在边AD上,点B的对应点为点B',折痕为EF,若点E在边AB上,则DB'长的最小值等于 .
7.已知四边形ABCD是平行四边形,∠ABC=60°,AB=4,BC=6,点E是AD边上一个动点,连接BE,沿BE将△ABE翻折至△BEF(如图1),EF所在的直线与BC交于点H.
(1)当点E与点D重合时(如图2),CH的长为 ;
(2)当CH取最大值时,求EH的长.
四、计算面积
8.如图,将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠,使点A与点C重合,点D落在点G处,折痕为EF.已知BC=4,BE=2,∠B=60°,那么△FCG的面积为 .
9.在探究折叠问题时,小华进行了如下操作:如图,F为直角梯形ABCD边AB的中点.将直角梯形纸片ABCD分别沿着EF,DE所在的直线对折,点B,C恰好与点G重合,点D,G,F在同一直线上.若四边形BCDF为平行四边形,且AD=6,求四边形BEGF的面积.

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