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第19讲　尺规作图
A层·基础过关
1.观察图中尺规作图的痕迹,可得线段BD一定是△ABC的(B)
A.角平分线 B.高线
C.中位线 D.中线
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,适当长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D.若△ACD的面积为8,则△ABD的面积是(B)
A.8 B.16 C.12 D.24
3.如图,已知△ABC,点D在AB边上,AB=3BD,请用尺规作图法,在AC边上找一点E,使AC=3CE(不写作法,保留作图痕迹).
【解析】如图,点E即为所求.
由作图知:∠ADE=∠ABC,∴DE∥BC,
∴=,
∵AB=3BD,∴AC=3CE.
4.已知∠A=90°,作出△ABC的外接圆☉M(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
【解析】如图所示,☉M即为所求.
5.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,DE平分∠ADC,交BC于点E.用尺规作图法在AD上求作一点F,使得BF∥DE.(不写作法,保留作图痕迹)
【解析】如图,点F为所作.
理由:在四边形ABCD中,
∵∠A=∠C=90°,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∵DE平分∠ADC,BF平分∠ABC,
∴∠CBF+∠CDE=(∠ABC+∠ADC)=90°,
∵∠C=90°,
∴∠CED+∠CDE=90°,
∴∠CED=∠CBF,
∴BF∥DE.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,在AC上求作一点D,使得△BCD∽△ACB.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
【解析】作边AB的垂直平分线交AC于D,交AB于E,连接BD即为所求;
∵AB=AC,∠C=72°,∴∠C=∠ABC=72°,∠A=36°,
∵DE是AB的垂直平分线,∴AD=BD,
∴∠A=∠ABD=36°,则∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°,∠BDC=72°,
∴△BCD∽△ACB.
B层·能力提升
7.如图,已知平行四边形ABCD.
(1)尺规作图:请用无刻度的直尺和圆规,作∠A的平分线交CD于点E;(要求:不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,求证:△ADE是等腰三角形.
【解析】(1)如图,AE即为所求.
(2)∵AE为∠BAD的平分线,∴∠BAE=∠DAE.
∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD,
∴∠BAE=∠DEA,
∴∠DAE=∠DEA,∴DA=DE,
∴△ADE是等腰三角形.
8.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,BE∥DC交AC的延长线于点E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM,使∠ECM=∠A,且射线CM交BE于点F(保留作图痕迹,不写作法).
(2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形.
【解析】(1)如图,∠ECM即为所求;
(2)由(1),得∠ECF=∠A,∴CF∥AB.
∵BE∥DC,∴四边形CDBF是平行四边形,
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴CD=BD,∴ CDBF是菱形.
9.如图,在△ABC中,∠A=45°,AC>BC.
(1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线l,分别交AB,AC于点D,E;(要求:保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)在(1)所作的图中,连接BE,若AB=8,求BE的长.
【解析】(1)图形如图所示:
(2)∵DE垂直平分线段AB,∴EB=EA,
∴∠EBA=∠A=45°,∴∠BEA=90°,
∵BD=DA,∴DE=DB=DA=AB=4,
∴BE=BD=4.
C层·素养挑战
10.如图,在Rt△ABC中.
(1)尺规作图:以边BC上一点O为圆心,线段OB的长为半径作☉O,使得☉O与边AC相切于点D;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,连接BD,记☉O与边BC的另一交点为E,CE=2,CD=4.
①求sin C的值;
②求BD的长.
【解析】(1)如图所示,作∠BAC的平分线,交边BC于点O,以O为圆心,线段OB的长为半径作☉O,则☉O与边AC相切于点D;
(2)①如图所示,设OB=r,
由(1)可知OD⊥AC,∵CE=2,CD=4.
在Rt△ODC中,OC=OE+EC=2+r,DO=r,
∴OD2+CD2=OC2,
即r2+42=(r+2)2,解得:r=3,
∴sin C===,
②∵BC=BE+EC=8,tanC====,
∴AB=6,
在Rt△ABO中,AO==3,
∵AB,AD是☉O的切线,∴AO⊥BD,
∴AO×BD=2×AB×BO,
∴BD===.第19讲　尺规作图
A层·基础过关
1.观察图中尺规作图的痕迹,可得线段BD一定是△ABC的( )
A.角平分线 B.高线
C.中位线 D.中线
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,适当长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D.若△ACD的面积为8,则△ABD的面积是( )
A.8 B.16 C.12 D.24
3.如图,已知△ABC,点D在AB边上,AB=3BD,请用尺规作图法,在AC边上找一点E,使AC=3CE(不写作法,保留作图痕迹).
4.已知∠A=90°,作出△ABC的外接圆☉M(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
5.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,DE平分∠ADC,交BC于点E.用尺规作图法在AD上求作一点F,使得BF∥DE.(不写作法,保留作图痕迹)
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,在AC上求作一点D,使得△BCD∽△ACB.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
B层·能力提升
7.如图,已知平行四边形ABCD.
(1)尺规作图:请用无刻度的直尺和圆规,作∠A的平分线交CD于点E;(要求:不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,求证:△ADE是等腰三角形.
8.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,BE∥DC交AC的延长线于点E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM,使∠ECM=∠A,且射线CM交BE于点F(保留作图痕迹,不写作法).
(2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形.
9.如图,在△ABC中,∠A=45°,AC>BC.
(1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线l,分别交AB,AC于点D,E;(要求:保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)在(1)所作的图中,连接BE,若AB=8,求BE的长.
C层·素养挑战
10.如图,在Rt△ABC中.
(1)尺规作图:以边BC上一点O为圆心,线段OB的长为半径作☉O,使得☉O与边AC相切于点D;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,连接BD,记☉O与边BC的另一交点为E,CE=2,CD=4.
①求sin C的值;
②求BD的长.

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