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等腰三角形(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　等腰三角形的判定
1.下列能断定△ABC为等腰三角形的是( )
A.∠A=40°,∠B=50°
B.∠A=2∠B=70°
C.∠A=40°,∠B=70°
D.AB=3,BC=6,周长为14
2.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D,E分别是AB,AC上的点,AE=2 cm,且DE∥BC,则AD= cm.
3.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,则图中等腰三角形的个数是 .
4.如图,已知:在△ABC中,点D,E在BC边上,且∠1=∠B,∠2=∠C,BC=10 cm,求△ADE的周长.
5.已知OC是∠AOB的平分线,将直尺DEMN如图摆放,使EM边与OB边重合,顶点D落在OA边上,DN边与OC交于点P.则△DOP是 三角形.
6.如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,B,C,G在同一直线上,CF平分∠ACG,EF∥BC交AC于点D,求证:DE=DF.
知识点2　反证法
7.牛顿曾说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”那么我们用反证法证明“在同一平面内,若a⊥b,c⊥b,则a∥c”时,首先应假设( )
A.a与c相交 B.a与b相交
C.a∥b D.c∥b
8.(2023·泰州期中)用反证法证明命题“是无理数”时,应假设 .
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,AB=8,过点A的直线DE∥BC,∠ABC与
∠ACB的平分线分别交DE于E,D,则DE的长为( )
A.14 B.16 C.18 D.20
10.如图,把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点D的对应点为点F,CF与AB交于点E,若长方形ABCD的周长为16,则△CBE的周长为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
11.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】如图,∠AOB=60°,OP平分∠AOB,C为射线OP上一点.如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形,那么∠OEC的度数为 .
12.如图,等边△ABC的边长为12 cm,M,N两点分别从点A,B同时出发,沿△ABC的边顺时针运动,点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s,当点N第一次到达点B时,M,N两点同时停止运动,则当M,N运动时间t= s时,△AMN为等腰三角形.
13.将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠,若折叠角∠FEC=64°.
(1)求∠1的度数;
(2)求证:△GEF是等腰三角形.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(运算能力、模型观念、推理能力)如图①,△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于O点,过O点作BC平行线分别交AB,AC于E,F.
(1)请写出图①中线段EO和BE的大小关系: .
(2)请写出图①中线段EF与BE,CF间的关系: .
(3)如图②,若∠ABC的平分线与∠ACG的平分线交于O,过点O作BC的平行线交AB于E,交AC于F.请写出EF与BE,CF的关系,并说明理由.等腰三角形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　全等三角形的性质和判定
1.如图,在△ACD与△ABD中,∠C=∠B,再添加一个下列条件,能判断△ADC≌
△ADB的是(B)
A.AC=AB B.∠ADC=∠ADB
C.CD=BD D.AC⊥CD
2.如图,AC=DC,AB=DE,请你添加一个适当的条件:　CB=CE(答案不唯一)　,使得△ABC≌△DEC.
3.将下面证明中每一步的理由写在括号内.
已知:如图,∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC,求证:AD=BC.
证明:∵∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC(　已知　),
∴∠CAB+∠DAC=∠DBA+∠CBD(　等式的性质　),
即∠DAB=∠CBA(　等量代换　),
在△ADB和△BCA中,
∴△ADB≌△BCA(　ASA　),
∴AD=BC(　全等三角形的对应边相等　).
知识点2　等腰三角形的性质
4. (2023·包头中考)如图,直线a∥b,直线l与直线a,b分别相交于点A,B,点C在直线b上,且CA=CB.若∠1=32°,则∠2的度数为(C)
A.32° B.58° C.74° D.75°
5.(2023·淮安中考)若等腰三角形的周长是20 cm,一腰长为7 cm,则这个三角形的底边长是　6　cm.
知识点3　实际问题中的等腰三角形
6.莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光,其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”.“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC,AB=AC,D是边BC上的一点.下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是(C)
A.∠ADB=∠ADC B.BD=CD
C.BC=2AD D.S△ABD=S△ACD
7.如图1是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图2所示,AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°,求∠D的大小.
【解析】∵∠BAD=∠EAC,∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD,即∠BAC=
∠EAD,
在△BAC与△EAD中,,
∴△BAC≌△EAD(SAS),
∴∠D=∠C=50°.
【B层 能力进阶】
8.如图,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若
∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为　34°　.
9.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】若(a-3)2+=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为　11或13　.
10.定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特值”.若等腰△ABC中,k=,则顶角为　36°　.
11.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,且点D在线段BC上,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
【解析】(1)∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,即∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(SAS);
(2)若∠EAC=60°,求∠CED的度数.
【解析】(2)∵△ABD≌△ACE,∴∠ACE=∠ABD,
∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,
即△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴∠ACE=∠ABD=∠AED=45°,
∵∠EAC=60°,∴∠AEC=180°-∠ACE-∠EAC=180°-45°-60°=75°,
∴∠CED=∠AEC-∠AED=75°-45°=30°.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(运算能力、模型观念、推理能力)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:设∠BAC=θ(0°<θ<90°).现把小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在射线AB,AC上.
活动一:如图甲所示,从点A1开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直,A1A2为第1根小棒.
数学思考:
(1)小棒能无限摆下去吗 答: 能.(填“能”或“不能”)
【解析】(1)∵根据已知条件∠BAC=θ(0°<θ<90°),小棒两端分别落在两射线上,
∴小棒能继续摆下去.
(2)设AA1=A1A2=A2A3,θ=22.5°;
【解析】(2)∵A1A2=A2A3,A1A2⊥A2A3,
∴∠A2A1A3=45°,∴∠AA2A1+θ=45°,
∵∠AA2A1=θ,∴θ=22.5°.
活动二:如图乙所示,从点A1开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且A1A2=AA1.
数学思考:
(3)若已经摆放了3根小棒,用含θ的式子表示θ3.
【解析】(3)∵A1A2=AA1,
∴∠A1AA2=∠AA2A1=θ,
∴∠A2A1A3=θ1=θ+θ,∴θ1=2θ,
同理可得:θ2=3θ,θ3=4θ.等腰三角形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　等腰三角形中重要的线段
1.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=40°.中线AD与角平分线CE交于点F,则∠CFD的度数为( )
A.25° B.35° C.45° D.55°
2.如图,在△ABC中,AB=AC.若∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,且BD=3,则CE的长为 ,若∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,则BD与CE (填“相等”或“不相等”).
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点G是BA延长线上一点,点F是AC上一点,AG=AF,连接GF并延长交BC于点E.若∠B=55°,
(1)求∠AFG的度数;
(2)求证:GE⊥BC.
知识点2　等边三角形的性质
4.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,点E是AD延长线上一点,若AE=AC,则∠AEC的度数为( )
A.45° B.60° C.65° D.75°
5.如图,△ABC和△ADE均为等边三角形,D,E分别在边AB,AC上,连接BE,CD,若
∠ACD=15°,则∠CBE= .
6.如图,已知等边△ABC,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,连接BE,AD交于点F.求证:∠AFE=60°.
【B层 能力进阶】
7.如图,已知CE和BD分别是△ABC的角平分线和高线,且AE=CE,若∠ABC=75°,则∠BOE的度数为( )
A.30° B.60° C.55° D.45°
8.如图,已知△ABC中,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是( )
A.AE=EC B.AE=BE
C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE
9.如图所示,在等边△ABC中,AD⊥BC,E为AD上一点,∠CED=50°,则∠ABE等于( )
A.10° B.15° C.20° D.25°
10.如图,A,C,B三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是等边三角形,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.下列结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中正确的是 .(填序号)
11.如图,A,C,E三点共线,△ABC与△CDE是等边三角形,AD⊥BC于点M,EB平分∠DEC交CD于点N,AD与BE相交于点O,则∠BDE= .
12.如图1,△ABC为等边三角形,点M是线段BC上任意一点,点N是线段CA上任意一点,且BM=CN,BN与AM相交于点Q.
(1)求证:AM=BN.
(2)求∠BQM的度数.
(3)如图2,若M,N两点分别在线段BC,CA的延长线上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立 如果成立,请加以证明;如果不成立,请说明理由.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(运算能力、模型观念、推理能力)如图,P为等边三角形ABC内的一点,它到三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高AM=h,则h与h1,h2,h3之间有何数量关系 写出你的猜想并加以证明.等腰三角形(第4课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　等边三角形的判定
1.△ABC是等边三角形,D,E,F为各边中点,则图中共有等边三角形( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
2.因为木质衣架没有柔性,所以在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm.若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是( )
A.9 cm B.16 cm
C.18 cm D.20 cm
3.已知△ABC,D是BC上一点,连接AD,下列条件中能判定△ABC是等边三角形的是( )
A.AB=AC,∠B=∠C
B.AD⊥BC,BD=CD
C.BC=AC,∠B=∠C
D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD
4.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置.已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为 .
5.如图,在△ABC中,点D是AB上的一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC是等边三角形.
知识点2　含30°角的直角三角形的性质
6.如图,在等腰三角形ABC中,BA=BC,∠ABC=120°,点D为AC边的中点.若BC=6,则BD的长为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
7.如图,在等边三角形ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE=2,则AB的长为 .
8.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=30°.若AB=10,则S△ABC= .
【B层 能力进阶】
9.(2023·贵州中考)5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是( )
A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m
10.如图,△ABC是等边三角形,AB=4,D是AB的中点,DF⊥AC于点F,FE⊥BC于点E,则EF的长是( )
A. B.2 C.3 D.3
11.【易错警示题·概念不清】如图,这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图,双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为8 cm,双翼的边缘AC=BD=60 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为( )
A.60 cm B.68 cm
C.60 cm D.(60+8) cm
12.(与物理学科融合)如图,CD是平面镜,光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B,若入射角为α,反射角为β(反射角等于入射角),AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D,且∠α=60°,OB=10,则BD= .
13.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于E,两线相交于点F.
(1)若∠BAC=60°,∠C=70°,求∠AFB的大小;
(2)若D是BC的中点,∠ABE=30°,求证:△ABC是等边三角形.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(运算能力、模型观念、推理能力)如图,△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,按图中箭头指向沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时,M,N同时停止运动.
(1)点M,N运动几秒时,M,N两点重合
(2)点M,N运动几秒时,可得到等边三角形AMN 等腰三角形(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　等腰三角形的判定
1.下列能断定△ABC为等腰三角形的是(C)
A.∠A=40°,∠B=50°
B.∠A=2∠B=70°
C.∠A=40°,∠B=70°
D.AB=3,BC=6,周长为14
2.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D,E分别是AB,AC上的点,AE=2 cm,且DE∥BC,则AD=　2　cm.
3.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,则图中等腰三角形的个数是　3　.
4.如图,已知:在△ABC中,点D,E在BC边上,且∠1=∠B,∠2=∠C,BC=10 cm,求△ADE的周长.
【解析】∵∠1=∠B,∠2=∠C,
∴BD=AD,AE=CE,
∵C△ADE=AD+DE+AE,
∴C△ADE=BD+DE+CE=BC=10(cm).
5.已知OC是∠AOB的平分线,将直尺DEMN如图摆放,使EM边与OB边重合,顶点D落在OA边上,DN边与OC交于点P.则△DOP是　等腰　三角形.
6.如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,B,C,G在同一直线上,CF平分∠ACG,EF∥BC交AC于点D,求证:DE=DF.
【证明】∵CE是△ABC的角平分线,
∴∠ACE=∠BCE.
∵CF为外角∠ACG的平分线,
∴∠ACF=∠GCF.
∵EF∥BC,
∴∠GCF=∠F,∠BCE=∠CEF,
∴∠ACE=∠CEF,∠F=∠DCF,
∴CD=ED,CD=DF(等角对等边),
∴DE=DF.
知识点2　反证法
7.牛顿曾说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”那么我们用反证法证明“在同一平面内,若a⊥b,c⊥b,则a∥c”时,首先应假设(A)
A.a与c相交 B.a与b相交
C.a∥b D.c∥b
8.(2023·泰州期中)用反证法证明命题“是无理数”时,应假设 是有理数　.
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,AB=8,过点A的直线DE∥BC,∠ABC与
∠ACB的平分线分别交DE于E,D,则DE的长为(A)
A.14 B.16 C.18 D.20
10.如图,把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点D的对应点为点F,CF与AB交于点E,若长方形ABCD的周长为16,则△CBE的周长为(B)
A.4 B.8 C.16 D.32
11.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】如图,∠AOB=60°,OP平分∠AOB,C为射线OP上一点.如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形,那么∠OEC的度数为　120°或75°或30°　.
12.如图,等边△ABC的边长为12 cm,M,N两点分别从点A,B同时出发,沿△ABC的边顺时针运动,点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s,当点N第一次到达点B时,M,N两点同时停止运动,则当M,N运动时间t=　4或16　s时,△AMN为等腰三角形.
13.将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠,若折叠角∠FEC=64°.
(1)求∠1的度数;
【解析】(1)∵一张长方形纸条ABCD折叠,
∴∠GEF=∠FEC=64°,∵AD∥BC,∴∠1=∠GEB=180°-64°-64°=52°.
(2)求证:△GEF是等腰三角形.
【解析】(2)由(1)知∠GEF=64°,
∵AD∥BC,∴∠GFE=∠FEC=64°,
∴∠GEF=∠GFE,∴△GEF是等腰三角形.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(运算能力、模型观念、推理能力)如图①,△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于O点,过O点作BC平行线分别交AB,AC于E,F.
(1)请写出图①中线段EO和BE的大小关系: BE=OE.
【解析】(1)EO=BE,
理由:∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,
∵BO是∠ABC的平分线,∴∠EBO=∠OBC,
∴∠EBO=∠EOB,∴BE=OE.
(2)请写出图①中线段EF与BE,CF间的关系: EF=BE+CF.
【解析】(2)EF=BE+CF,理由如下:
∵EF∥BC,∴∠FOC=∠OCB,
∵CO是∠ACB的平分线,∴∠FCO=∠OCB,
∴∠FCO=∠FOC,∴CF=OF,
由(1)得BE=OE,∴EF=OE+OF=BE+CF.
(3)如图②,若∠ABC的平分线与∠ACG的平分线交于O,过点O作BC的平行线交AB于E,交AC于F.请写出EF与BE,CF的关系,并说明理由.
【解析】 (3)EF=BE-CF,理由如下:
∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,
∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠OBC,
∴∠ABO=∠EOB,∴OE=BE,
∵EF∥BC,∴∠FOC=∠OCG,
∵CO平分∠ACG,∴∠FCO=∠OCG,∴∠FOC=∠FCO,∴OF=CF,∴EF=
OE-OF=BE-CF.等腰三角形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　等腰三角形中重要的线段
1.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=40°.中线AD与角平分线CE交于点F,则∠CFD的度数为(D)
A.25° B.35° C.45° D.55°
2.如图,在△ABC中,AB=AC.若∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,且BD=3,则CE的长为　3　,若∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,则BD与CE　相等　(填“相等”或“不相等”).
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点G是BA延长线上一点,点F是AC上一点,AG=AF,连接GF并延长交BC于点E.若∠B=55°,
(1)求∠AFG的度数;
【解析】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C=55°,
∴∠GAF=∠B+∠C=110°,
∵AG=AF,∴∠AFG=×(180°-110°)=35°;
(2)求证:GE⊥BC.
【解析】(2)∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°,
∴∠BAD=∠CAD=90°-55°=35°,
∴∠DAC=∠AFG,∴AD∥EG,
∴∠GEB=∠ADB=90°,∴GE⊥BC.
知识点2　等边三角形的性质
4.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,点E是AD延长线上一点,若AE=AC,则∠AEC的度数为(D)
A.45° B.60° C.65° D.75°
5.如图,△ABC和△ADE均为等边三角形,D,E分别在边AB,AC上,连接BE,CD,若
∠ACD=15°,则∠CBE=　45°　.
6.如图,已知等边△ABC,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,连接BE,AD交于点F.求证:∠AFE=60°.
【证明】∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠ABD=∠BCE=60°.
在△ABD和△BCE中,
∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴∠BAD=∠CBE.
∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠ABC,∴∠BFD=∠ABC=60°,∴∠AFE=∠BFD=60°.
【B层 能力进阶】
7.如图,已知CE和BD分别是△ABC的角平分线和高线,且AE=CE,若∠ABC=75°,则∠BOE的度数为(C)
A.30° B.60° C.55° D.45°
8.如图,已知△ABC中,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是(C)
A.AE=EC B.AE=BE
C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE
9.如图所示,在等边△ABC中,AD⊥BC,E为AD上一点,∠CED=50°,则∠ABE等于(C)
A.10° B.15° C.20° D.25°
10.如图,A,C,B三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是等边三角形,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.下列结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中正确的是　①②　.(填序号)
11.如图,A,C,E三点共线,△ABC与△CDE是等边三角形,AD⊥BC于点M,EB平分∠DEC交CD于点N,AD与BE相交于点O,则∠BDE=　120°　.
12.如图1,△ABC为等边三角形,点M是线段BC上任意一点,点N是线段CA上任意一点,且BM=CN,BN与AM相交于点Q.
(1)求证:AM=BN.
【解析】(1)∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠C=60°,AB=BC.
又∵BM=CN,
∴△AMB≌△BNC(SAS),
∴AM=BN.
(2)求∠BQM的度数.
【解析】(2)∵△AMB≌△BNC,∴∠MAB=∠NBC,
∴∠BQM=∠MAB+∠ABQ=∠NBC+∠ABQ=∠ABC=60°.
(3)如图2,若M,N两点分别在线段BC,CA的延长线上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立 如果成立,请加以证明;如果不成立,请说明理由.
【解析】(3)成立.理由如下:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°.
又∵BM=CN,
∴△AMB≌△BNC(SAS),
∴AM=BN.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(运算能力、模型观念、推理能力)如图,P为等边三角形ABC内的一点,它到三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高AM=h,则h与h1,h2,h3之间有何数量关系 写出你的猜想并加以证明.
【解析】猜想:h1+h2+h3=h.证明:连接PA,PB,PC.∵S△PAB=AB·h1,S△PAC=AC·h2,
S△PBC=BC·h3,S△ABC=BC·h,S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC,
∴AB·h1+AC·h2+BC·h3=BC·h.
∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,
∴BC(h1+h2+h3)=BC·h.
∴h1+h2+h3=h.等腰三角形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　全等三角形的性质和判定
1.如图,在△ACD与△ABD中,∠C=∠B,再添加一个下列条件,能判断△ADC≌
△ADB的是( )
A.AC=AB B.∠ADC=∠ADB
C.CD=BD D.AC⊥CD
2.如图,AC=DC,AB=DE,请你添加一个适当的条件: ,使得△ABC≌△DEC.
3.将下面证明中每一步的理由写在括号内.
已知:如图,∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC,求证:AD=BC.
证明:∵∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC( ),
∴∠CAB+∠DAC=∠DBA+∠CBD( ),
即∠DAB=∠CBA( ),
在△ADB和△BCA中,
∴△ADB≌△BCA( ),
∴AD=BC( ).
知识点2　等腰三角形的性质
4. (2023·包头中考)如图,直线a∥b,直线l与直线a,b分别相交于点A,B,点C在直线b上,且CA=CB.若∠1=32°,则∠2的度数为( )
A.32° B.58° C.74° D.75°
5.(2023·淮安中考)若等腰三角形的周长是20 cm,一腰长为7 cm,则这个三角形的底边长是 cm.
知识点3　实际问题中的等腰三角形
6.莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光,其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”.“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC,AB=AC,D是边BC上的一点.下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是( )
A.∠ADB=∠ADC B.BD=CD
C.BC=2AD D.S△ABD=S△ACD
7.如图1是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图2所示,AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°,求∠D的大小.
【B层 能力进阶】
8.如图,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若
∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为 .
9.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】若(a-3)2+=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为 .
10.定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特值”.若等腰△ABC中,k=,则顶角为 .
11.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,且点D在线段BC上,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)若∠EAC=60°,求∠CED的度数.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(运算能力、模型观念、推理能力)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:设∠BAC=θ(0°<θ<90°).现把小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在射线AB,AC上.
活动一:如图甲所示,从点A1开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直,A1A2为第1根小棒.
数学思考:
(1)小棒能无限摆下去吗 答: .(填“能”或“不能”)
(2)设AA1=A1A2=A2A3,θ= ;
活动二:如图乙所示,从点A1开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且A1A2=AA1.
数学思考:
(3)若已经摆放了3根小棒,用含θ的式子表示θ3.等腰三角形(第4课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　等边三角形的判定
1.△ABC是等边三角形,D,E,F为各边中点,则图中共有等边三角形(D)
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
2.因为木质衣架没有柔性,所以在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm.若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是(C)
A.9 cm B.16 cm
C.18 cm D.20 cm
3.已知△ABC,D是BC上一点,连接AD,下列条件中能判定△ABC是等边三角形的是(C)
A.AB=AC,∠B=∠C
B.AD⊥BC,BD=CD
C.BC=AC,∠B=∠C
D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD
4.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置.已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为　2 cm　.
5.如图,在△ABC中,点D是AB上的一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC是等边三角形.
【证明】∵DC=DB,∠B=30°,
∴∠DCB=∠B=30°,
∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°,
又∵AD=DC,
∴△ADC是等边三角形.
知识点2　含30°角的直角三角形的性质
6.如图,在等腰三角形ABC中,BA=BC,∠ABC=120°,点D为AC边的中点.若BC=6,则BD的长为(A)
A.3 B.4 C.6 D.8
7.如图,在等边三角形ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE=2,则AB的长为　8　.
8.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=30°.若AB=10,则S△ABC=　25　.
【B层 能力进阶】
9.(2023·贵州中考)5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是(B)
A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m
10.如图,△ABC是等边三角形,AB=4,D是AB的中点,DF⊥AC于点F,FE⊥BC于点E,则EF的长是(A)
A. B.2 C.3 D.3
11.【易错警示题·概念不清】如图,这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图,双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为8 cm,双翼的边缘AC=BD=60 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为(B)
A.60 cm B.68 cm
C.60 cm D.(60+8) cm
12.(与物理学科融合)如图,CD是平面镜,光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B,若入射角为α,反射角为β(反射角等于入射角),AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D,且∠α=60°,OB=10,则BD=　5　.
13.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于E,两线相交于点F.
(1)若∠BAC=60°,∠C=70°,求∠AFB的大小;
【解析】(1)∵∠BAC=60°,∠C=70°,
∴∠ABC=180°-60°-70°=50°.
∵BE平分∠ABC,∴∠FBD=∠ABC=25°.
∵AD⊥BC,∴∠BDF=90°,
∴∠AFB=∠FBD+∠BDF=115°.
(2)若D是BC的中点,∠ABE=30°,求证:△ABC是等边三角形.
【解析】(2)∵∠ABE=30°,BE平分∠ABC,
∴∠ABC=60°.
∵BD=DC,AD⊥BC,∴AB=AC,
∴△ABC是等边三角形.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(运算能力、模型观念、推理能力)如图,△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,按图中箭头指向沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时,M,N同时停止运动.
(1)点M,N运动几秒时,M,N两点重合
【解析】(1)设点M,N运动x s时,M,N两点重合.则x+12=2x,解得x=12.即点M,N运动12 s时,M,N两点重合.
(2)点M,N运动几秒时,可得到等边三角形AMN
【解析】(2)由题可知△ABC是等边三角形,由(1)可知当点M在边AC上,点N在边AB上,且AM=AN时,△AMN是等边三角形.
设点M,N运动t s时,可得到等边三角形AMN,则AM=t×1=t,AN=AB-BN=12-2t.
∵△AMN是等边三角形,∴t=12-2t,解得t=4,
∴点M,N运动4 s时,可得到等边三角形AMN.

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