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第三周 双曲线
——2025届高考考前每周拔高练
【答题技巧】
1.求解与双曲线性质有关的范围（或最值）问题的方法
（1）几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.
（2）代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围（或最值）问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围（或最值）问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解.
（3）不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解.
2.解决与双曲线性质有关的范围（或最值）问题时的注意点
（1）双曲线上本身就存在最值问题，如异支双曲线上两点间的最短距离为2a（实轴长）；
（2）由直线和双曲线的位置关系，求直线或双曲线中某个参数的范围，常把所求参数作为函数中的因变量来求解；
（3）所构建的函数关系式中变量的取值范围往往受到双曲线中变量范围的影响.
【练习应用】
1.已知双曲线的左右焦点分别为，，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率e为( )
A. B. C. D.
2.若直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
3.已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，，则点P的纵坐标为( )
A.1 B.2 C. D.
4.已知双曲线的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数( )
A. B.2 C. D.4
5.直线l过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，P为双曲线右支上的一个动点，则的最小值为( )
A. B.1 C.2 D.0
6.设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点作平行于双曲线C的一条渐近线的直线l交双曲线C于点P，若，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.3
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径作圆O，交C的左支于点P，连接，过作，交C的右支于点Q（P，Q在x轴同侧），直线与C的右支有两个不同的交点，若是等腰三角形，则实数k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.双曲线的左、右焦点分别为，，Q为线段上一点，P为双曲线上第一象限内一点，，与的周长之和为，且它们的内切圆半径相等，则双曲线的离心率为( )
A.2 B.4 C.5 D.6
9.（多选）已知平面上两点和，若直线上存在点P使，则称该直线为“单曲型直线”.下列直线中是“单曲型直线”的有( )
A. B. C. D.
10.（多选）已知O为坐标原点，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，直线与双曲线E交于A，B两点，.M为双曲线E上异于A，B的点，且MA，MB与坐标轴不垂直，过作平分线的垂线，垂足为N，则下列结论正确的是( )
A.双曲线E的离心率为 B.双曲线E的渐近线方程是
C.直线MA与MB的斜率之积为4 D.若，则的面积为4
11.已知P，Q分别为双曲线右支与渐近线上的动点，F为左焦点，则的最小值为___________.
12.设双曲线的右顶点为F，且F是抛物线的焦点.过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为_________________.
13.已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线上且在x轴上方，若线段PF的中点在以O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率为__________.
14.已知双曲线（，）实轴端点分别为，，右焦点为F，离心率为2，过点且斜率为1的直线l与双曲线C交于另一点B，已知的面积为.
（1）求双曲线C的方程.
（2）若过F的直线与双曲线C交于M，N两点，试探究直线与直线的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.
15.在平面直角坐标系中，点在双曲线（，）上，渐近线方程为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点作直线l与双曲线C交于A，B两点，在x轴上是否存在一定点Q，使得直线QA与QB的斜率之和为定值？若存在，请求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由题设可得双曲线渐近线为，且，所以，即，又，所以，所以.故选D
2.答案：D
解析：因为双曲线的焦点在y轴上，且直线即为，
由双曲线的渐近线方程是，所以，即，
所以离心率.故选D.
3.答案：C
解析：因为，所以.由双曲线的定义可得，所以，解得，故的面积为.
设点P的纵坐标为h，则的面积为，解得.
所以点P的纵坐标为.故选C.
4.答案：C
解析：因为的面积为4，所以的面积为8.
又，所以，
所以为直角三角形，且.
设，，所以，，
所以，所以，
又，所以.故选C.
5.答案：D
解析：圆，圆心，半径为1.如图，设，，则，函数的图象的对称轴为直线，开口向上，又，所以当时，取最小值，最小值为.故选D.
6.答案：C
解析：设，依题意，，双曲线（，）的渐近线方程为，不妨设直线l的方程为，联立解得，代入直线l的方程得，即.
因为，平方得.又在中，由有，则，两式相减，整理得，所以，又，所以，即，所以双曲线C的离心率，故选C.
7.答案：D
解析：由题知，，延长与双曲线交于点，连接，，如图所示.，，又是等腰三角形，.根据对称性可知，，，设，则，，，在中，，.在中，，即，.又，，双曲线，将代入上式，消去y整理得，
解得或，故选D.
8.答案：A
解析：记与的周长分别为与，
设与的内切圆半径为r，
则，，
根据，得，
又与的周长之和为，
所以，.
因为，
又，所以可得.又，
所以，.
由可得，
即，化简得，
所以离心率.
故选：A.
9.答案：AB
解析：因为，所以点P在以M，N为焦点的双曲线的右支上，即点P的轨迹方程为.根据题意得“单曲型直线”与双曲线的右支存在交点，下面依次联立方程，消去y，判断所得方程有无正根即可.对于A，联立得消y得，因为，且，所以直线是“单曲型直线”.对于B，联立得消y得，所以直线是“单曲型直线”.对于C，联立得整理得，显然不成立，所以直线不是“单曲型直线”.对于D，联立得消y得，因为，所以直线不是“单曲型直线”.综上，是“单曲型直线”的有AB.
10.答案：BCD
解析：依题意得直线与双曲线两交点A，B关于原点对称，不妨设A在第一象限，因为，所以.
设，则，由直线l的斜率为可知，则，，则，代入双曲线方程有，即，化简得，即，又，解得，则，故A错误；
因为，所以，所以双曲线E的渐近线方程是，故B正确；
由，则双曲线方程可化为，
设，，根据对称性得，
根据点A，M在双曲线E上，得
得，
即，，故C正确；
作点关于的平分线MN的对称点G，则点G在的延长线上，连接，，故，
又ON是的中位线，
故，
因为，所以，所以双曲线方程为，
所以，则，又，
所以，故D正确.
故选BCD.
11.答案：4
解析：设双曲线的右焦点为，则，所以，所以，当且仅当Q，P，三点共线且P在线段上时，等号成立.
12.答案：
解析：抛物线的焦点，直线l不垂直于y轴，设其方程为，
由消去x得：，设，，则，
由，得，由对称性不妨令点A在第一象限，解得，，
由点在双曲线上得，，又，解得，
所以双曲线C的离心率.
故答案为：.
13.答案：或
解析：由双曲线可知，，.若点P在第一象限，如图，设线段PF的中点为M，双曲线的右焦点为A，连接OM，PA，则，，则，，
可得，且为锐角，则，可得，所以直线PF的斜率为.
若点P在第二象限，设（，），
则PF的中点为，
由解得故此时直线PF的斜率为.
14.答案：（1）
（2）点Q在定直线上，且定直线方程为
解析：（1）设直线l的方程为，
由得，
又，，代入上式得，即，
所以，解得，从而，
故双曲线C的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，，
直线的方程为，直线的方程为，
由得即.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
由得，则有，.
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得，
两边平方得，
又，在双曲线上，
所以，，
所以
，
所以，解得或（舍去）.
综上，点Q在定直线上，且定直线方程为.
15.答案：（1）
（2）存在定点，使得为定值
解析：（1）由题意，得解得
双曲线C的方程为.
（2）由题意可知直线l的斜率存在.
设直线l的方程为.
将点的坐标代入，得.
设，.
联立直线l与双曲线C的方程，得方程组
消去y，得.
整理，得，
，.
若存在定点Q，设，
则
.
要使为定值，只需上式中对应分子、分母对应项系数成比例，且分母中的系数为0，即，解得.
此时分子、分母中k的系数也为0，.
在x轴上存在定点，使得为定值.

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