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4.1 课时1
三角形与三角形的内角和
1.观察具体实例，说出三角形的概念及基本要素，会用符号表示三角形.
2.通过剪拼、平移等操作，说出三角形内角和定理，并能利用其知识来解决简单实际问题.
3.观察三角形图形，会按角的大小关系对三角形分类，并掌握直角三角形的相关性质.
观察下列图片，你发现了都有什么共同点
为什么设计成三角形
探究点1：三角形的相关概念
观察下图，回答下列问题：
（1）你能从图中找出几个不同的三角形吗
（2）这些三角形有什么共同的特点
10个
斜梁
斜梁
横梁
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
概念生成
三角形的特点：
①有三条边；
②有三个内角；
③有三个顶点.
A
B
C
1.三角形包含哪些元素？这些元素如何表示？
2.我们在前面学习了角、平行等，为了书写方便，使用了角、平行的符号.那么三角形可以用什么样的符号表示呢？
提出问题
A
B
C
c
a
b
三角形的三要素：
边：三边AB，BC，AC，也可以用a，b，c来表示。
顶点：三个顶点，顶点A，顶点B，顶点C。
内角：三个内角，∠A，∠B，∠C。
三角形的表示法：用符号“△”表示，如图的三角形记作：△ABC（或△BCA或△CBA等）。
例1 如图，以CD为公共边的三角形是_______________；
∠EFB是△______的内角；
在△BCE中，BE所对的角是________，
∠CBE所对的边是________；
以∠A为公共角的三角形是_______________________．
△ABD，△ACE和△ABC
△CDF与△BCD
BEF
∠BCE
CE
互动探究
在纸上任意画一个三角形，将它的内角撕下拼合在一起.
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
还有其他的拼接方法吗？
探究点2：三角形的内角和
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
已知：△ABC ，
证法1：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA，
所以 ∠A =∠1，
(两直线平行，内错角相等)
∠B =∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又因为∠1 +∠2 +∠ACB = 180°，
所以 ∠A +∠B +∠ACB = 180°.
C
B
A
E
D
1
2
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
已知：△ABC ，
证法2：过点 A 作 l∥BC，
所以 ∠B =∠1，∠C =∠2
(两直线平行，内错角相等).
因为∠1 +∠2 +∠BAC = 180°，
所以∠B +∠C +∠BAC = 180°.
1
2
证明思路：借助的平行线“移角”的功能，将三个角的和转化成一个平角.
探究点3：三角形的分类及直角三角形的性质
下图中三角形被遮住的两个内角是什么角？
思考:按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
三个内角都是锐角
有一个内角是直角
归纳总结
通常，我们用“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”，把直角所对的边称为斜边，夹直角的两条边称为直角边.
斜边
直角边
直角边
思考：直角三角形中两个锐角有什么关系？
根据“ 三角形的内角和为 180° ”易得“ 直角三角形的两个锐角余 ”.
(1)任意一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角.
(2)判断一个三角形是何种三角形，只需看最大内角是什么角.
(3)若三角形的最大内角是∠A，则 60°≤∠A<180.
小贴士
例2 一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形
(1) 30°和 60°； (2) 40°和 70°； (3)50°和 20°.
解：(1) 180°-30°-60°=90°，直角三角形；
(2) 180°-40°-70°=70°，锐角三角形；
(3) 180°-50°-20°=110°，钝角三角形。
三角形
三角形的概念
三角形按角分类
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形的内角和等180°
直角三角形的两个锐角互余
1.下面是用三根木棒拼成的图形，其中属于三角形的是( )
D
2. 如图，图中共有 个三角形，
其中以AB为一边的三角形有 ，
以∠C为一个内角的三角形有 .
5
△ABD，△ABC，△ABE
△CBE，△CBA
3.在△ABC 中，∠A = 80°，∠B = ∠C， 则∠C= .
4.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角为 .
20°
50°

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