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河北省2025届高三下学期省级联测考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，其中是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.高相同的圆柱与圆台的体积分别为，，且圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，则与的关系为( )
A. B. C. D. 不确定
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则是( )
A. 偶函数，有最小值 B. 偶函数，有最大值
C. 奇函数，在上单调递增 D. 奇函数，在上单调递减
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，则下列结论正确的是( )
A. B. 若，则的最小值为
C. D.
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 若在上单调递减，则的最大值为
B. 当时，
C. 当时，
D. 存在直线，使得与的图象有个交点
11.已知常见“对勾函数”的图象也是双曲线，其渐近线分别为与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线设双曲线的一条渐近线与双曲线的实轴夹角为，其离心率为，双曲线的实轴长为，离心率为，则下列结论正确的是( )
A. B. 点是的一个顶点
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若抛物线上一点到其焦点的距离为，则 ．
13.已知数列中，，，，则的前项和 ．
14.已知集合，是集合的含两个元素的子集，且，则中两元素之差的绝对值等于中两元素之差的绝对值的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，是的中点，且．
求四棱柱的外接球的表面积
求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于另一点，且．
求椭圆的方程
已知点在椭圆上，过向直线引垂线交于点，若，求直线的方程．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，，为边上一点．
若，，求的值
若，是角的平分线，且，求的值．
18.本小题分
已知，，曲线与曲线在它们的交点处的切线相互垂直．
求，的值
当时，求证：．
19.本小题分
已知函数．
求函数图象的对称中心
设方程的两个实数根为，，求证：为常数
在数列中，，，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：取的中点，连接，，
底面是正方形，且该四棱柱是直四棱柱，平面，
又平面，，
，，、平面，平面，
又平面，，
∽，
，即，．
四棱柱的外接球直径就是其体对角线，
外接球半径，
故四棱柱的外接球的表面积．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，
设平面的法向量为，
则
令，，
而平面就是平面，
其一个法向量是，
设平面与平面的夹角为，
则，，
平面与平面夹角的余弦值为．
16.解：设，，．
，，
代入椭圆的方程，得，整理得，
又，，，
故椭圆的方程为．
由知，易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，，
代入椭圆方程中，整理得，
，，
，且，
∽，
，
，
，
解得，
直线的方程为或．
17.解：设，，，
在中，由正弦定理得，
，
即，
解得，即．
由余弦定理，得，即，
由，得，
又，，
，解得或舍，
故．
18.解：交点的横坐标为，
，即，
又，
将代入，得，
，
由，得，
，，，若，则为无理数，
，则，．
由知，
，
要证成立，
可试证在时成立，
即证在上成立．
设，
则，
当时，当时，，
在处取得最大值，
即在上恒成立，
原不等式成立．
19.解：，
其图象是由的图象平移而得到的，对称中心为，
函数图象的对称中心为
由已知，，，
常数，结论成立．
由已知，设，解得，，
由知，则，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，即．
当为偶数时，，
当为大于的奇数时，，
，
，

当时，也成立，
综上所述，结论成立．
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