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人教版（2024）七年级数学下册 第七章 相交线与平行线
7.1 相交线
7.1.3 两条直线被第三条直线所截
学习目标
1. 理解同位角、内错角、同旁内角的概念.
2. 结合图形识别同位角、内错角、同旁内角.
3. 从复杂图形分解为基本图形的过程中，体会化繁为简、化难为易的化归思想.
情景导入
直线 AB 和 EF 相交，能形成具有什么关系的角？
B
A
F
E
1
4
2
3
情景导入
邻补角：
B
A
F
E
1
2
B
A
F
E
1
4
B
A
F
E
2
3
B
A
F
E
4
3
对顶角：
B
A
F
E
4
2
B
A
F
E
1
3
新知探究
前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的情形，接下来，我们进一步研究同一平面内一条直线与两条直线分别相交的情形．
B
A
F
E
1
4
2
3
D
C
5
8
6
7
如图，直线AB，CD与EF相交（也可以说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截）， 构成八个角.我们已经学习了有公共顶点的角的关系，下面我们看那些没有公共顶点的两个角的关系．
新知探究
B
A
F
E
1
4
2
3
D
C
5
8
6
7
先看图中的∠1和∠5，这两个角分别 在直线AB，CD的同一侧（上方），并且都在直线EF的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫作同位角.
(1) ∠2和∠6是同位角吗？
(2) 图中还有没有其他同位角？
(1) ∠2和∠6是同位角.
(2) ∠3和∠7 ，∠4和∠8是同位角.
新知探究
B
A
F
E
1
4
2
3
D
C
5
8
6
7
再看∠3和∠5，这两个角都在直线AB，CD 之间，并且分别在直线EF的两侧（∠3在直线EF的左侧，∠5在直线EF的右侧），具有这种位置关系的一对角叫作内错角．
∠3和∠6虽然也都在直线AB，CD之间，但是它们在直线EF的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角.
图中还有没有其他内错角与同旁内角？
内错角：∠4 和∠6.
同旁内角：∠4 和∠5.
例题讲解
例3 如图，直线DE，BC 被直线AB所截.
（1）∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位置关系的角？
解：（1）∠1和∠2是内错角，
∠1和∠3是同旁内角，
∠1和∠4是同位角.
（2）如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？
解：（2）如果∠1=∠4，又由对顶角相等，可得∠2=∠4，因此∠1=∠2.
因为∠4和∠3互补，所以∠4+∠3=180°.
又因为∠1=∠4，所以∠1+∠3=180°，
即∠1和∠3互补.
课堂练习
1. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.
a
b
c
c
a
b
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
8
7
（1）
（2）
课堂练习
1. 分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.
同位角：
内错角：
同旁内角：
∠1与∠5，
∠2与∠6，
∠3与∠7，
∠4与∠8；
∠3与∠5，
∠4与∠6；
∠3与∠6，
∠4与∠5；
（1）
a
b
c
1
2
3
4
5
6
8
7
（1）
c
a
b
1
2
3
4
（2）
同位角：
同旁内角：
∠1与∠3，
∠2与∠4，
∠2与∠3;
（2）
2. 如图，∠B与哪个角是内错角？与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？对∠C进行同样的讨论.
A
B
C
D
E
∠B与∠DAB是内错角；
∠B与∠C，∠BAE，∠BAC 是同旁内角.
∠C与∠EAC是内错角，
∠C与∠DAC，∠BAC，∠B是同旁内角.
分层练习
1. 如图，直线,被直线所截，则与 是( )
A
（第1题）
A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 邻补角
2. 如图，下列说法中，不正确的是( )
A
（第2题）
A. 和 是同位角
B. 和 是对顶角
C. 和 是同旁内角
D. 和 是内错角
3. 下列数字中，与 是内错角的是( )
C
A. B. C. D.
4.下列手势表示的角分别是__________________________.
同位角、内错角、同旁内角
5. 看图填空：
（1）和 是直线_________被直线
____所截得的________；
和
同位角
（2）和 是直线_________被直线____所截得的________；
（3）和 是直线_________被直线____所截得的__________.
和
内错角
和
同旁内角
6. 如图所示，把一根筷子
的一端放在水里，一端露出水面，筷子变
弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光
的折射现象，光从空气中射入水中，光的
传播方向发生了改变.
（1）请指出与 是同位角的有哪些角？
【解】，， .
（2）请指出与 是同旁内角的有哪些角？
【解】，， .
（第7题）
7. 阳江风筝，流传于广东省阳江市的传统手
工技艺，已有1400余年的历史.如图所示的风
筝骨架中，与 构成同旁内角的是( )
A
A. B. C. D.
（第8题）
8.在如图所示的6个角中，同位角 对，内错角
对，同旁内角对，则 的值为___.
0
【点拨】在题图的6个角中，同位角有 与
，与，共2对，即,内错角有 与
，与,共2对，即,同旁内角有与， 与
，与，与,共4对，即 ,所以
.
9.两条直线被第三条直线所截，是的同旁内角， 是
的内错角.
（1）画出示意图，标出，， ；
【解】如图所示：
（2）若，，求，， 的度数.
【解】因为， ，
所以设，则， .
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ， .
10.如图，已知直线与交于点,与 交
于点,平分,若 ,
.
（1）求 的度数；
【解】因为 ,
所以 .
因为平分 ,
所以 .
（2）写出与 互为同位角的角；
【解】与互为同位角的角是 .
（3）求 的度数.
【解】因为 ,
所以 .
因为 ,
所以 ,
所以 .
11. 如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一
个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角.跳动时，
每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，
例如：写出从起始位置跳到终点位置 的两种不同路径:
路径同旁内角内错角 ;
路径内错角内错角同位角
同旁内角 .
试一试：
（1）写出从起始位置跳到终点位置 的一种路径；
【解】内错角同旁内角 .（答案不唯一）
（2）从起始位置 依次按同位角、内错
角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位
置 ？若能，请写出其路径.
【解】能.其路径为：
同位角内错角 同旁内
角 .
12. 观察下面表格，并阅读相关文字：
示意图 _________________ _________________ _________________ …
相交 情况 1条直线与2条 互不相交的直 线相交 1条直线与3条 互不相交的直 线相交 1条直线与4条 互不相交的直 线相交 …
同位角 对数 对 对 对 …
内错角 对数 对 对 对 …
同旁内 角对数 对 对 对 …
续表
则由上述规律可知：
（1）1条直线与6条互不相交的直线相交产生____对同位角，
____对内错角；
（2）1条直线与 条互不相交的直线相交产生
__________对同位角，_________对内错角；
60
30
（3）利用（2）中的结论，解决下列问题：三条直线两两相
交（不交于同一点），可构成同位角的对数是( )
A
A. 12对 B. 8对 C. 6对 D. 4对
习题
1. 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O.
（1）写出∠AOC，∠BOE 的邻补角；
（2）写出∠DOA，∠EOC 的对顶角；
（3）如果∠AOC = 50°，求∠BOD，∠COB的度数.
解：（1）∠AOC 的邻补角是 ∠AOD、∠COB；∠BOE 的邻补角是 ∠AOE、∠BOF；
（2）∠DOA 的对顶角是 ∠BOC；∠EOC 的对顶角是 ∠DOF；
（3）因为∠BOD 与∠AOC 是对顶角，
所以∠BOD =∠AOC = 50°.
因为∠COB 与∠AOC 互为邻补角，
所以∠COB +∠AOC = 180°.
则∠COB = 180°-∠AOC = 180°-50°= 130°.
2. 如图，在一张半透明的纸上画一条直线 l ，在 l 上任取一点 P，在 l 外任取一点 Q，折出过点P 且与 l 垂直的直线.这样的直线能折出几条？为什么？过点 Q 呢？
解：过点 P 且与 l 垂直的直线只能折出一条，因为过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
过点 Q 且与 l 垂直的直线也只能折出一条， 理由同上.
3. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，EO ⊥ AB，垂足为 O，∠EOC = 35°.求∠AOD 的度数.
解：因为EO⊥AB，所以∠AOE = 90°，
所以∠AOC +∠EOC =∠AOE = 90°，
所以∠AOC = 90°-∠EOC
= 90°-35°= 55°，
又因为∠AOC +∠AOD = 180°，
所以∠AOD = 180°-∠AOC = 125°.
4. 如图，画 AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F.
解：AE 和 CF 如图中虚线所示.
E
F
A
B
C
D
5. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC.
（1）若∠EOC = 70°，求∠BOD 的度数；
（2）若∠EOC∶∠EOD = 2∶3，求∠BOD 的度数.
解：（1）因为 OA 平分∠EOC 且∠EOC = 70°，
所以∠AOC = ∠EOC = ×70°= 35°.
因为直线 AB、CD 相交于点 O，
所以∠BOD 与∠AOC 是对顶角.
故∠BOD = ∠AOC = 35°.
（2）因为∠EOC∶∠EOD = 2∶3，
又因为∠EOC +∠EOD = 180°，
所以∠EOC = 180°× = 72°，
因为 OA 平分∠EOC，
所以∠AOC = ∠EOC =36°，
所以∠BOD =∠AOC = 36°.
6. 如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少（比例尺为1∶160）？
解：经测量起跳线到右脚后跟的距离为 2.5 cm，设李明实际跳了 x cm，依题意，得
2.5∶x = 1∶160，
x = 400.
因为 400 cm = 4 m.
所以李明的跳远成绩是 4 m.
7.如图，∠1 和∠2，∠3 和∠4 各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么位置关系的角？
解：（1）∠1 和∠2 是直线 AB、CD 被直线BD 所截形成的，是内错角；∠3 和∠4 是直线 AD、BC 被直线 BD 所截形成的，是内错角.
（2）∠1 和∠2 是直线 AB、CD 被直线 BC 所截形成的，是同旁内角；∠3 和∠4 是直线 AD、BC 被直线 AE 所截形成的，是同位角.
8. 如图，AB⊥l ，CB⊥l ，B 为垂足，那么A，B，C 三点在同一条直线上吗？请说明理由.
解：A、B、C 三点在同一条直线上. 因为过一点 B 有且只有一条直线与 l 垂直.
9.直线 AB，CD 相交于点 O.
（1）OE，OF 分别是∠AOC，∠BOD 的平分线. 画出这个图形.
（2）射线 OE，OF 在同一条直线上吗？为什么？
解：（1）如图所示.
（2）射线 OE、OF 在同一条直线上.理由如下：由角的平分线定义可知
∠COE = ∠AOC，∠DOF = ∠DOB.
由对顶角相等，可得∠AOC =∠DOB，
所以∠COE =∠DOF.
由平角的定义，可知∠COD = 180°，即∠EOC +∠EOD = 180°.
所以∠DOF + ∠EOD = 180°，
即∠EOF = 180°，
所以射线 OE、OF 在同一条直线上.
课堂小结
同位角、内错角、同旁内角
图中判断三线八角(描图法)
把两个角描出来
找到两个角的公共直线
结构特征
内错角：___型
同旁内角：___型
同位角：___型
“F ”
“Z ”
“U ”
观察判断两个角类型

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