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2024-2025 学年贵州省铜仁市高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = { ∈ ∣ ≤ 6}, = {1,3,5}，则 =( )
A. {0,6} B. {2,4,6} C. {0,2,4} D. {0,2,4,6}
2.已知 = (2 )，则 =( )
A. 1 + 2 B. 1 2 C. 2 D. 2 +
3.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0)的部分图象如图所示，则 =( )
1 1
A. B. C. D.
4 2 4 2
4.已知 = (1,2), = (2, )，则 ⊥ 是| | = | |成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在某校高一年级参加的一次质量检测中，共有1500名学生参加数学考试.为了解本次考试考生的数学成绩
情况，本中抽取了100名学生的成绩(成绩均为正整数，满分为100分)作为样本进行统计，成绩均在[40,100)
内，按照[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)的分组作出频率分布直方图(如图所示)，据图中
数据，则( )
A. 该样本中学生成绩的中位数一定大于75
B. 该样本中学生成绩的极差介于40至50之间
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C. 该样本中学生成绩的平均值介于70至80之间
D. 若成绩不低于60分为及格，估计该校高一年级学生数学及格人数不超过1300
3
6.已知sin( + ) = , tan = 2tan ，则sin( ) =( )
4
1 1 9 9
A. B. C. D.
4 4 16 16
7.已知矩形 中， = 6, = 8，将△ 沿 折起至 ′ ，使二面角 ′是直二面角，
则三棱锥 ′ 的外接球的表面积等于( )
500 4000
A. 100 B. 400 C. D.
3 3
8.已知函数 ( ) = ln( + 1) + ( ∈ )是偶函数，则( )
A. ( 0.20.3) > ( 20.3) > ( ) B. ( ) > ( 20.3) > ( 0.20.3)
C. ( 20.3) > ( 0.20.3) > ( ) D. ( 0.20.3) > ( ) > ( 20.3)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆 : 2 + 2 = 4，直线 : = + 2，则( )
A. 当 = 0时， 与圆 相切
B. 当 = 1时， 被圆 所截得的弦长为2√ 2
C. 对任意 ∈ ， 与圆 均有公共点
D. 设 与圆 相交于不同两点 ( 1, 1), ( 2, 2)，且 1 > 0, 2 > 0，则 ∈ [ 1,1]
10.在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若sin √ 3cos = 0，3sin = 2sin ， = √ 7，则( )
√ 21
A. = B. 外接圆半径 =
3 3
√ 19
C. = 3， = 2 D. 若 是边 中点，则 =
2
11.已知函数 ( ) = 3 + 3 2 + 2( 2) + .则( )
A. 当 = 2时，若 ( )有两个零点，则 的值是 8或0
1 4
B. 若 > 0， > 0，且 (1) = 1，则 + 的最小值是4

C. 对任意 ∈ 恒有 ( ) + ( 2 ) = 2 + 8
D. 若 ( )存在极值点 0，且 ( 0) = ( 1)，其中 0 ≠ 1，则 1 + 2 0 = 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 是等差数列{ }的前 项和，目 1 + 3 = 2, 4 + 8 = 6，则 11 = ．
13.一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数.在不超过30的质数中任
取两个不同数，则其和是偶数的取法有 种.
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14.已知边长为8√ 3的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 : 2 = 2 ( > 0)上，则
的方程是 ；设点 在直线 = 2 + 1上，过点 的两条直线分别与 相切于 , 两点，记直线 , 的斜
率分别为 1, 2，则
2
1 +
2
2的最小值是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在数列{ }中，点( , )在直线2 4 = 0上；在等比数列{ }中， 2 = 3， 5 = 10．
(1)求数列{ }, { }的通项公式；
(2)设 = + ，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题12分)
2 2 1
在平面直角坐标系 中，椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率是 ， 上的点 到两焦点 2
1( , 0), 2( , 0)( > 0)的距离之和等于4．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过焦点 1作斜率为1的直线 与椭圆 相交于 , 两点.求△ 2的面积．
17.(本小题12分)
如图，在三棱台 中， , 分别是 , 的中点， = 2 ．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 ⊥ , = , = = = 4,∠ = 60 ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值．
18.(本小题12分)
ln
已知函数 ( ) = ．

(1)求 ( )的最值；
(2)求正整数 , ，使其满足 = 且 > ≥ 2；
1
(3)若0 < < ≤ 1，求证：( ) > 0．

19.(本小题12分)
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现有 张形状相同的卡片，上而分别写有数字 + 1, + 2, , + ( ∈ , ∈ )，将这 张卡片充分混
合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次．
(1)若 = 6，求抽到的4个数字互不相同的概率；
(2)在统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义 ( )为随机变量 的 阶矩，其中1阶矩就是
的期望 ( )，利用 阶矩进行估计的方法称为矩估计．
( )记每次抽到的数字为随机变量 ，计算随机变量 的1阶矩 ( )和2阶矩 ( 2)；(参考公式：12 + 22 + +
2 ( +1)(2 +1) = )
6
( )知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为11,14,15,24，试利用这组样本并结合( )中的结果来计算 的估计
值 . ( 的计算结果通过四舍五入取整数)
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】33
13.【答案】36
14.【答案】 2 = 4 ； ； ； ； ；
；3
15.【答案】解：(1)易知2 4 = 0 = 2 4
∵ 2 = 3, 5 = 10 ∴ 2 = 2, 5 = 16
∴ = 2, 41 1 = 16 1 = 1, = 2
∴ = 2 1
故求数列{ }, { }的通项公式分别为
1 = 2 4, ∈ +, = 2 , ∈ +．
(2)由(1)知：
1 = + = 2 4 + 2
设数列{ }的前 项和为 ，数列{ }的前 项和为 ，则
( 1+ ) (2 6)
= = =
2 3
2 2
1(1

) 1 2
= = = 2 1 1 1 2
则数列{ }的前 项和
= 1 + 2 + + = + = 2
+ 2 3 1．
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16.【答案】解：(1)由椭圆的定义知2 = 4，则 = 2
1
由 = = = ，得 = 1，故 2 = 2 2 = 3．
2 2
2 2
∴椭圆 的方程为 + = 1．
4 3
(2)设 ( 1, 1), ( 2, 2)，由(1)知 1( 1,0)，则 的方程为 = + 1，
2 2
由{ + = 14 3 得7 2 + 8 8 = 0，
= + 1
8 8
显然 > 0， 1 + 2 = , 1 7 2 = ， 7
∴ | | = √ 1 + 2
64 32 24
√ ( 1 +
2
2) 4 1 2 = √ 2 × √ + = ． 49 7 7
|1 0+1|
∵点 2(1,0)到直线 的距离 = = √ 2， √ 1+1
1 1 24 12√ 2 12√ 2
∴ = | | = × × √ 2 = ，故 2 的面积为 ． 2 2 2 7 7 7
17.【答案】解：(1)在三棱台 中，连接 , ，令 ∩ = ，连接 ，
1
由 = 2 ，得 = 2 ，由 为 中点，得 = = ，而 // ，
2
则四边形 为平行四边形， 为 中点，又 为 中点，因此 // ，
而 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
(2)在 中， ⊥ , = , = 4， 为 中点，则 ⊥ ， = 2，
1
在 中， = 4,∠ = 60 ，由余弦定理得 2 = 16 + 4 2 × 4 × 2 × = 12，
2
于是 2 + 2 = 16 = 2, 2 + 2 = 16 = 2，则 ⊥ , ⊥ ，
即直线 , , 两两垂直，以 为原点，直线 , , 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，
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(0, 2,0), (0,0,0), (1,1,2√ 3), (0,2,2√ 3)， = (0,4,2√ 3), = ( 1,1,0)，
= (0,2,2√ 3)，
= + = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ ，取 = 2，得 = (√ 3,√ 3, 2)，
= 4 + 2√ 3 = 0
= + = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ ，取 = 1，得 = (√ 3, √ 3, 1)，
= 2 + 2√ 3 = 0
| | 8 8
设平面 与平面 所成角为 ，则cos = |cos , | = = = ，
| || | √ 7 √ 10 √ 70
√ 105
所以平面 与平面 所成角的正弦值sin = √ 1 2 = ．
35
ln 1 ln
18.【答案】解：(1)函数 ( ) = 的定义域为(0,+∞)，求导得 ′( ) = ，
2
当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0，当 ∈ ( ,+∞)时， ′( ) < 0，
函数 ( )的递增区间是(0, )，递减区间是( , +∞)，
1
所以 ( )的最大值是 ( ) = ，无最小值．

(2)当 = 2时， ≥ 3且 = 2 + 2 = 2 ，
令 ( ) = 2 2 + 2, ≥ 3，显然 (3) = 0，即 = 3, = 2是方程的一组解，
当 ∈ [4,+∞)时，求导得 ′( ) = 2 ln2 2 + 1，令 ( ) = 2 ln2 2 + 1, ≥ 4， ′( ) = 2 (ln2)2 2，
当 ∈ [4,+∞)时， ′( ) ≥ 24(ln2)2 2 = (4ln2)2 2 > 22 2 > 0，
函数 ′
1
( )在[4,+∞)上单调递增， ′( ) ≥ 24ln2 7 > 16 × 7 > 0，
2
函数 ( )在[4,+∞)上单调递增，则 ( ) ≥ (4) = 2 > 0，因此当 = 2且 ≥ 4时，方程无解；
当 > > 2时，由(1)知 ( )在( , +∞)上单调递减，
ln ln
> ≥ 3 ( ) < ( ) < < ，因此 = < 0与 > > 2矛盾，

于是 > > 2时，方程无解，
所以 = 3, = 2是方程的唯一一组正整数解．
ln 1 ln 1 2 ln
(3)设 ( ) = , ∈ (0,1]，求导得 ′( ) = 2 1 = 2 + 2 ≥ 0，当且仅当 = 1时取等号，
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ln ln
函数 ( )在(0,1]上递增，由0 < < ≤ 1，得 ( ) > ( )，即 > ，

ln ln ln ln 1 1
则 > ，即 > ln > ln( ) > ，
1 1
所以(

) > ，即( ) > 0．

19.【答案】解：(1)记抽到的4个数字互不相同为事件 ，
则事件 包含的基本事件个数是 46 = 360．
甲同学随机抽取4次的不同结果个数是64
4 5
故抽到的4个数字互不相同的概率 ( ) = 64 = ； 6 18
(2)( )依题意 的可能取值为 + 1, + 2, , + ( ∈ , ∈ )
1
且 ( = + ) = (1 ≤ ≤ 且 ∈ )，

1 1 1 1
所以 ( ) = [( + 1) + ( + 2) + + ( + )] = [ + ( + 1)] = + ( + 1)，..
2 2
依题意 2的可能取值为( + 1)2, ( + 2)2, , ( + )2( ∈ , ∈ )
1
且 ( 2 = ( + )2) = (1 ≤ ≤ 且 ∈ )，

1
所以 ( 2) = [( + 1)2 + ( + 2)2 + + ( + )2]

1
= [ 2 + 2( + 2 + + ) + (12 + 22 + + 2)]

1 1
= [ 2 + ( + 1) + ( + 1)(2 + 1)]
6
2 1= + ( + 1) + ( + 1)(2 + 1)．
6
1
( )依题意样本数据11,14,15,24为期望(平均数)为 (11 + 14 + 15 + 24) = 16，
4
1
则121,196,225,576为期望(平均数)为 (121 + 196 + 225 + 576) = 279.5
4
1
( ) = + ( + 1) = 16
2
1
( 2){ =
2 + ( + 1) + ( + 1)(2 + 1) = 279.5
6
1 2 1 1
消去 得[16 ( + 1)] + [16 ( + 1)] ( + 1) + ( + 1)(2 + 1) = 279.5
2 2 6
整理得( + 1)2 2( + 1) 278 = 0 2 = 279
又因为162 = 256 < 279 < 289 = 172
第 8 页，共 9 页
所以 ≈ 17
第 9 页，共 9 页

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