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广东省华附、省实、广雅、深中四校2025届高三上学期期末联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知向量满足，则( )
A. B. C. D.
5.对任意的且恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知是等比数列的前项和，则“依次成等差数列”是“依次成等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7.已知函数在内单调递增，则在内的零点个数最多为( )
A. B. C. D.
8.三棱锥的所有棱长均为，是的中心，在三棱锥内放置一个以直线为轴的圆柱，则圆柱的体积不能超过( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个袋子中有个大小相同的球，其中红球个，白球个，现从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中红球的个数，用随机变量表示第次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是( )
A. 的分布列为
B. 的方差
C.
D.
10.已知函数，则下列结论中正确地是( )
A. 当时， B. 的图象关于中心对称
C. 若，则 D. 在上单调递减
11.已知直线其中与双曲线：的上支相交于两点，为线段的中点过点斜率为的两条直线分别与双曲线相交于两点则下列结论中正确地是( )
A. 点的坐标满足．
B. 方程表示的图形是直线和直线
C. 直线与直线始终保持平行
D. 直线恒过某个定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，为奇函数，其中，则
13.已知数列满足其前项的和为，则 ．
14.绝大多数比赛都采用“局胜制”的规则，但也有一些项目，比如冰壶运动，其整个比赛通常是进行偶数局 现有甲、乙两名同学进行一项趣味项目的比赛，两人约定比赛规则为：共进行局，谁赢的局数大于局，谁就获得最终胜利 已知每局比赛中，甲获胜的概率均为乙获胜的概率均为 记甲赢得整个比赛的概率为 若则 ，若则当 时，最大．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角的对边分别为，且
求；
已知为的中点，于于，若求的面积．
16.本小题分
已知直三棱柱中，，分别为和的中点，为棱上的动点，为棱上一点，且四点共面若
证明：平面平面；
设是否存在实数，使得平面与平面所成的角的余弦值为若存在，求出实数，若不存在，请说明理由．
17.本小题分
已知抛物线的焦点为，过点的动直线与相交于两点，其中点位于第一象限当时，以为直径的圆与轴相切于点．
求抛物线的方程；
若点在抛物线上，且在点处的切线与直线平行，求面积的最小值以及此时直线的方程．
18.本小题分
已知函数．
若函数在其定义域上单调递减，求实数的最小值．
若函数存在两个零点，设
求实数的取值范围；
证明：．
19.本小题分
“外观数列”是一类很有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是对它前一项的“外观描述”例如：取数列第一项为，将其外观描述为“个”，则第二项即为；将第二项描述为“个”，则第三项即为；将第三项描述为“个，个”，则第四项即为；将第四项描述为“个，个，个”，则第五项即为，将第五项描述为“个，个，个”，则第六项即为，，这样每次从左往右将连续相同的数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的每一项若数列是外观数列，将第项的各位数字中相同数字连续出现的最大次数记为例如：外观数列的首项为时，
若数列是首项为的外观数列，请直接写出以及．
设集合，若外观数列的首项．
探究的最大值，并证明你的结论；
求所有的，使得存在有
参考答案
1.
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13.
14.

15.解：方法一：由以及正弦定理可得．
因为，所以．
因为，所以．
因为，所以．
方法二：由余弦定理可得．
故有，所以．
因为，所以．
由题，并结合的结论易得．
因为，所以．
方法一：因为为的中点，故与的面积相等，均为面积的一半．
即，
所以．
所以，解得．
所以面积．
方法二：在直角三角形中，同理，．
故有，即．
由正弦定理可知．
所以面积．

16.解：因为平面平面，
所以平面．
因为平面，平面平面，所以．
因为为的中点，故为的中点．
在正方形，因为，故．
所以．
因为，故，故．
因为，故平面，
所以平面．
因为平面，所以平面平面．
因为三棱柱为直三棱柱，故．
因为平面，
所以平面，平面，所以，故．
又因为平面，故以为原点，分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设则，
．
据题设有，显然，此时．
设为平面的法向量，则．
则，令，从而．
显然，平面的法向量可取．
此时平面与平面所成的角的余弦值为
故，即，解得，
所以存在，使得平面与平面所成的角的余弦值为．

17.解：由题，记的中点为，
因为以为直径的圆与轴相切于点，
所以垂直于轴，故点的横坐标为，故，
因为，故，
解得，即，故抛物线的方程为．
设，
直线的斜率，
抛物线在点处的切线的斜率为，所以，
将直线与抛物线联立
得，所以，
故点到直线的距离，
所以的面积，
方法一：因为，
所以，
令，
当，函数单调递减；，函数单调递增．
所以，
所以面积的最小值为，
此时斜率，直线的方程为．
方法二：由求根公式可得，
故的面积，
令，则，
令，
当，函数单调递减；，函数单调递增，
所以，
即面积的最小值为，
此时斜率，直线的方程为．

18.解：函数的定义域为，由在上单调递减，
得，恒成立，即恒成立，
而当时，，当且仅当时取等号，因此，
所以的最小值为．
函数的定义域为，，
令，求导得，函数在上单调递减，
而，则当时，，即；当时，，即，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，，
而当时，，当时，，
由函数存在两个零点，得，解得，
所以实数的取值范围是．
(ⅱ)由知当时，，当时，，
由(ⅰ)知，则，，
由，得，
，整理得，
两式相减得，因此；
记，令，求导得，
函数在上单调递增，，即，
整理得，而
，即，
因此，即，
所以．

19.解：．
方法一：当时，，故．
下证．
反证法：若存在，使得，记，
由于，故定义是最高位到最低位依次为到的十进制数，
不妨设，由的性质知存在，使得，因此的十进制表示中至少出现了个连续的．
若，则的十进制表示中至少出现了个连续数字，故，这与的定义矛盾．
若，则的十进制表示中至少出现了个连续数字，亦矛盾，因此．
综上所述，．
方法二：当时，，故．
下面用数学归纳法证明：．
因为，所以的相同数字连续出现的最大次数不超过，即．
假设时，，下证．
设，由归纳假设知，
则的十进制表示可以写作．
因为，因此的各位数字中，相同数字连续出现的最大次数不超过，
也即故对于，命题也成立，命题得证．
综上所述，．
(ⅱ)方法一：设，不妨设，，
由(ⅰ)知和均为不超过的自然数，因此恰有位，所以不能是一位数或者三位数，所以只能是两位数．
设，若的各位数字中有两个不同的数字，则为了描述出这两个不同的数字，
至少是一个四位数且它的各位数字中仍有两个不同的数字．
由此可知，如果，则至少是一个四位数，矛盾，所以．
若，则，且，这与(ⅰ)的结论矛盾．
若，则，故，但不能是一位数，矛盾
若，则，故，但不能是三位数，矛盾
若，则恒为，符合题意．
综上，．
方法二：设，不妨设，，
由(ⅰ)知和均为不超过的自然数，因此恰有位，
所以不能是一位数或者三位数，
所以只能是两位数．显然，否则，矛盾
若，则且，这与(ⅰ)的结论矛盾．
若，则，故，但不能是一位数，矛盾
若，则，故，但不能是三位数，矛盾
若，则．
若，则，所以由个构成，矛盾．
若，则，因此，所以，
所以，但不能是一位数，矛盾
若，则，因此，所以，
所以，但不能是三位数，矛盾
若恒等于，符合题意．
综上，．

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