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2025二轮复习专项训练12
三角函数的概念与三角恒等变换
[考情分析]　三角函数的概念与三角恒等变换是高考常考内容，主要考查三角函数的概念、同角三角函数关系式、诱导公式，以及三角恒等变换的综合应用，给值求值问题．试题难度中等，常以选择题、填空题的形式出现．
【练前疑难讲解】
一、三角函数的定义、诱导公式及基本关系式
1．同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
二、两角和与差的三角函数
两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α±β)＝cos αcos β sin αsin β；
tan(α±β)＝.
三、三角恒等变换
1．二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan 2α＝.
2．半角公式：sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝.
3．辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·广东·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的最大值为2
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）在上有4个零点
D．把f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称
4．（2023·广东深圳·模拟预测）若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增
C．函数图象关于对称 D．函数的图象关于点对称
三、填空题
5．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）若、是关于的方程的两个根，则 .
6．（22-23高三下·湖北孝感·阶段练习）若两个锐角，满足，则 .
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·北京延庆·一模）“”是“为第一或第三象限角”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·湖北武汉·三模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东江苏·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东济南·一模）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）函数的图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
6．（2004·广东·高考真题）函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
二、多选题
7．（2023·辽宁·模拟预测）设为第一象限角,,则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知，且是方程的两根，下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·广东广州·三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象的对称轴方程为
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
三、填空题
10．（2023·湖北武汉·一模）锐角满足，则 .
11．（2023·山东烟台·二模）已知，则的值为 ．
12．（2023·广东江门·一模）已知，，则的值为 .
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（ ）

A． B．
C． D．
2．（2023·广东广州·一模）已知为第一象限角.，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽安庆·三模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北·二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·河南新乡·模拟预测）设，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·甘肃兰州·一模）已知、是方程的两个根，且，则等于（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、多选题
9．（2023·江苏常州·模拟预测）已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·湖南邵阳·三模）下列说法正确的有（ ）
A．若角的终边过点，则角的集合是
B．若，则
C．若，则
D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是
11．（22-23高三上·吉林·阶段练习）2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．在区间上单调
三、填空题
12．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知且，则 ．
13．（2023·陕西西安·一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为 .
14．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为 .
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三角函数的概念与三角恒等变换
[考情分析]　三角函数的概念与三角恒等变换是高考常考内容，主要考查三角函数的概念、同角三角函数关系式、诱导公式，以及三角恒等变换的综合应用，给值求值问题．试题难度中等，常以选择题、填空题的形式出现．
【练前疑难讲解】
一、三角函数的定义、诱导公式及基本关系式
1．同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
二、两角和与差的三角函数
两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α±β)＝cos αcos β sin αsin β；
tan(α±β)＝.
三、三角恒等变换
1．二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan 2α＝.
2．半角公式：sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝.
3．辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·浙江·阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·广东·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的最大值为2
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）在上有4个零点
D．把f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称
4．（2023·广东深圳·模拟预测）若函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递增
C．函数图象关于对称 D．函数的图象关于点对称
三、填空题
5．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）若、是关于的方程的两个根，则 .
6．（22-23高三下·湖北孝感·阶段练习）若两个锐角，满足，则 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D D ACD BCD
1．D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
2．D
【分析】
先对两式进行平方，进而可求出的值，根据二倍角公式求出结论.
【详解】解：因为，，
所以平方得，，，
即，，
两式相加可得，
即，
故，
.
故选：D.
3．ACD
【分析】先对函数化简变形得，然后利用余弦函数的性质逐个分析判断即可
【详解】因为，所以A正确；
当时， ，函数在上先增后减，无单调性，故B不正确；
令，得，故，因为，所以，故C正确；
把的图象向右平移个单位长度，得到的图象，当时． 取得最小值－2，故D正确．
故选：ACD
4．BCD
【分析】利用三角恒等变换、诱导公式化简得，根据正弦型函数的性质判断A、B，代入法验证函数的对称轴、对称中心判断C、D.
【详解】由，
所以最小正周期为，A错误；
当，则，故在上递增，B正确；
由，故是的一条对称轴，C正确；
由，故是的一个对称点，D正确.
故选：BCD
5．/
【分析】先根据韦达定理得到，进而求得，，再结合诱导公式化简求值即可.
【详解】由题意得，，则或，
又，即，解得或（舍去），
则，
所以
.
故答案为：.
6．
【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简可得角，的关系，代入即可求解.
【详解】因为，
所以
所以，
因为，为锐角，所以有，
所以，即，
所以，即，
因为，为锐角，所以有，即，
所以
故答案为：
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·北京延庆·一模）“”是“为第一或第三象限角”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·湖北武汉·三模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东江苏·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东济南·一模）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）函数的图象的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
6．（2004·广东·高考真题）函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
二、多选题
7．（2023·辽宁·模拟预测）设为第一象限角,,则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知，且是方程的两根，下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·广东广州·三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象的对称轴方程为
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
三、填空题
10．（2023·湖北武汉·一模）锐角满足，则 .
11．（2023·山东烟台·二模）已知，则的值为 ．
12．（2023·广东江门·一模）已知，，则的值为 .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C C A A A A BD AD AB
1．C
【分析】由二倍角公式、充分必要条件的定义即可得解.
【详解】因为或，
所以“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件.
故选：C.
2．C
【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.
【详解】，，，，，
，所以.
故选：C
3．A
【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.
【详解】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选：A.
4．A
【分析】由题设条件和正弦定理化边为角，再利用和角公式进行拆角化简，即可得到，利用三角形内角范围即得.
【详解】由以及正弦定理可得：，
因，代入整理得，
因,则得，又因，故.
故选：A.
5．A
【分析】利用两角和的正弦公式、降幂公式，辅助角公式，化简可得，令，即可求得对称中心，对k赋值，即可求得答案.
【详解】函数
=
令，解得，即对称中心为.
令，可得一个对称中心为，
无论k取任何整数，，故BCD错误.
故选：A
6．A
【分析】利用三角函数恒等变换公式对函数化简，然后再求其最小正周期，判断奇偶性即可.
【详解】因为，所以，
所以
，
最小正周期为，
，
所以函数是最小正周期为的奇函数．
故选：A
7．BD
【分析】首先由题意得是第一象限角,所以,再利用诱导公式和同角三角函数关系式对选项逐个计算确定正确答案.
【详解】由题意得,
则,
若在第四象限,则,
所以也是第一象限角,即,,A项错误;
,B项正确;
,C项错误;
,D项正确.
故选:BD.
8．AD
【分析】由方程解出，利用两角和与差的正弦余弦正切公式和同角三角函数的商数关系，求解各选项中的算式，验证选项.
【详解】是方程的两根，又，
解得，
，A选项正确；
，B选项错误；
，C选项错误；
，，则，有，
，
，D选项正确.
故选：AD.
9．AB
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的性质逐项判断作答.
【详解】
，故A正确；
函数的最小正周期为，故B正确；
由，得，故C错误；
由的图象向左平移个单位长度，
得
，故D错误.
故选：AB
10．
【分析】利用二倍角公式和诱导公式实现角之间的转化，代入数值即可求得结果.
【详解】由题意可知，，
又，且为锐角，所以，
即.
故答案为：
11．
【分析】根据利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.
【详解】因为，
所以
.
故答案为：
12．
【分析】根据二倍角的余弦公式，结合角的范围，即可求得结果．
【详解】因为，所以，即，
又，所以.
故答案为：.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（ ）

A． B．
C． D．
2．（2023·广东广州·一模）已知为第一象限角.，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽安庆·三模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北·二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·河南新乡·模拟预测）设，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·甘肃兰州·一模）已知、是方程的两个根，且，则等于（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、多选题
9．（2023·江苏常州·模拟预测）已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·湖南邵阳·三模）下列说法正确的有（ ）
A．若角的终边过点，则角的集合是
B．若，则
C．若，则
D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是
11．（22-23高三上·吉林·阶段练习）2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．在区间上单调
三、填空题
12．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知且，则 ．
13．（2023·陕西西安·一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为 .
14．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，则的值为 .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D B C D B AC ABC
题号 11
答案 BC
1．C
【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知，，，然后结合新定义简单计算可判断各个选项.
【详解】根据题意，易得，
对于A，因为，即，故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段.
2．D
【分析】根据给定条件，两边平方求出，判断的正负并求出，再利用同角公式计算作答.
【详解】因为为第一象限角，，则，，
，即，解得，，
所以.
故选：D
3．B
【分析】利用二倍角正切公式求得，再利用拆角的方法结合两角差的正切公式，即可求得答案.
【详解】由得，，
而，
故
，
故选：B
4．D
【分析】首先根据公式化解条件等式，再结合二倍角和两角差的正弦公式，即可化解求值.
【详解】由条件等式可知，，
整理为，则，
又，，
所以，，
所以
.
故选：D
5．B
【分析】利用降幂公式降幂，结合余弦函数的图象特征，可得关于的不等式，即可求得实数得取值范围.
【详解】函数，
由，得，
要使函数在上有且仅有两个零点，
所以，则，得，
即的取值范围是.
故选：B.
6．C
【分析】先“切化弦”，再利用和角公式和倍角公式化简即可.
【详解】.
故选：C
7．D
【分析】先由辅助角公式得，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.
【详解】由得，即，
所以，
故选：D
8．B
【分析】根据给定条件，利用韦达定理、和角的正切求解作答.
【详解】方程中，，则，
于是，显然，
又，则有，，
所以.
故选：B
9．AC
【分析】点代入单位圆的方程求出点可得，再由弦化切可得答案.
【详解】角的终边与单位圆交于点，
，，，
当时，；
当时，．
故选：AC.
10．ABC
【分析】由三角函数的定义判断A，根据诱导公式判断B，根据“1”的代换和弦切互化求解判断C，根据扇形弧长公式求解判断D.
【详解】因为角的终边过点，为第一象限角，
所以由三角函数的定义知，所以角的终边与终边相同，
所以角的集合是，故A选项正确；
因为，所以B选项正确；
因为，所以C选项正确；
设扇形的半径为，圆心角为，因为扇形所对的弧长为，
所以扇形周长为，故，所以D选项不正确．
故选：ABC
11．BC
【分析】
由，求得， 由题意得，由，，解出，由破碎的涌潮的波谷为-4，解得，得到和解析式，逐个判断选项.
【详解】
，则， 由题意得，即，故，因为，，所以，所以，则选项A错误；
因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以，则， 故选项B正确；
因为，所以，所以为偶函数 ，则选项C正确；
，由， 得， 因为函数在 上单调递增，在 上单调递减，所以在区间上不单调，则选项D错误.
故选：BC
12．
【分析】利用同角的三角函数关系结合诱导公式化简得，再利用二倍角公式化简得出，即可求得答案.
【详解】由得，
即，
由于，故，则，
故，即，
则，即，即，
故答案为：
13．
【分析】根据已知利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得，从而可表示出的表达式，利用辅助角公式化简结合三角函数的性质，即可求得答案.
【详解】由题意在中，满足，即,
即，而，
故，又,
则，同理，
故
，
又,故，
则，
故答案为：
14．
【分析】根据同角的基本关系可得，再根据正弦的二倍角公式，可得，再根据诱导公式可得，由此即可求出结果.
【详解】因为，，,又因为，
所以
所以,
所以,
.
故答案为：.
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