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2024-2025学年七年级2024-2025学年八级下册期中考试（人教版）
数学
考试范围：第十六章-第十七章 考试时间：100分钟 分值;120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1．函数的自变量 x 取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．＝﹣9
3．如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图， 在 中， 分别为 上的点， 且 ， 则下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列四个命题中不正确的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
6．如图，四边形是菱形，对角线交于点O，E是边的中点，过点E作，点F，G为垂足，若，则的长为（　　）
A．5 B．6.5 C．10 D．12
7．2022 年央视虎年春晚国潮舞剧《只此青绿》引人入胜， 图 1 是舞者“青绿腰”动作， 引得观众争相模仿． 舞者上半身 长为 ， 下半身 长为 ， 下半身与水平面的夹角为 ）， 与上半身 的夹角为 120 度 （即 ）， 如图 2， 则此时舞者的铅直高度 的长为（　　）
A． B．
C． D．
8．若，且、是两个连续整数，则的值是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接，．则下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，四边形是菱形，边长为，．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，同时点沿射线的方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点运动到达点时，点也立刻停止运动，连接．的面积为，点运动的时间为秒，则能大致反映与之间的函数关系的图像是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
11．如果最简根式与 是同类根式，则　 　．
12．如图，在中，请添加一个条件：　 　，使得成为矩形．
13．如图，在等腰中，，，点是边上一点，且，连结，过点作的角平分线交于点．若点是边的中点，连结，则的长为　 　．
14．如图，在中，，点D是BC的中点，连接AD．分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作于点F．若，，则DF的长为　 　．
15．设的面积为，如图①，分别是、的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，分别是、的等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，分别是、的等分点，，相交于点，与，的面积差记为，依此类推，则的值为　 　．
三、解答题(共7题；共70分)
16．计算：
（1）；
（2）．
17．如图，在11×7的长方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点叫做格点，线段DE和三角形ABC的顶点都在格点上.根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
⑴△ABC的面积为 ▲；
⑵在DE的右侧找一点F，使得△DEF与△ABC全等；
⑶画△ABC中BC边上的高AH.
18．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简：
且，．
（1）填上适当的数：｜__________｜__________；
（2）当时，化简．
19．如图， 与等边 的边 ， 分别交于点 ， ， 是直径，过点 作 于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 ，当 是 的切线时，求 的半径 与等边 的边长 之间的数量关系．
20．拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm.点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，
（1）转动连杆BC，手臂CD，使 ， ，如图2，求手臂端点D离操作台 的高度DE的长（精确到1cm，参考数据： ， ）.
（2）物品在操作台 上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由.
21．如图，有一张四边形纸片，．经测得，，，．
（1）求、两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
22．如图，四边形ABCD中，，，BD为对角线．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形．
（2）已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．
23．在四边形中，，分别是，边上的点，．
（1）如图1，若四边形是正方形，，，则________．
（2）如图2，若四边形是菱形，，，，求的值．
（3）如图3，若四边形是矩形，是的中点，，，求的值．
答案解析部分
1．C
2．A
3．B
4．D
解：∵EF//BC，
∴
∵DF//AB，
∴
A.，，
∴，故选项A错误，不符合题意；
B.∵，
∴，
∴四边形EFDB是平行四边形，
∴EF=BD，BE=DF.
∴，即，故选项B错误，不符合题意；
C.，即，故选项C错误，不符合题意；
D.，
∴，故选项D正确，符合题意.
故答案为：D.
根据平行线分线段成比例可得利用等量代换即可判断AD；证明四边形EFDB是平行四边形，可得EF=BD，BE=DF.利用等量代换即可判断BC.
5．B
解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，本项不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误，本项符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，正确，本项不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，本项不符合题意；
故答案为：B.
根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定定理逐项分析即可.
6．B
7．B
解：过点B作于点E，作于点F，如图所示：
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：B
过点B作于点E，作于点F，先根据矩形的判定与性质得到，，进而进行角的运算即可得到，从而根据正弦函数结合题意解直角三角形即可得到，，再根据AD=DF+AF即可求解。
8．B
9．C
10．B
解：①当在上时，作，如图所示：
由题知，，
，
，
，则，解得，
故，
②当在上时，即时，，
③当在上不与重合，且Q在上时，作，如图所示：
，，
，
，
则，
④当Q在延长线上时，
．
故答案为：B
根据题意分类讨论：①当在上时，作，②当在上时，即时，③当在上不与重合，且Q在上时，作，④当Q在延长线上时，进而结合勾股定理运用三角形的面积公式结合题意即可求解。
11．7
12．（答案不唯一）
13．
解：在等腰中，，，
∴
∵，
∴
∵AE平分∠BAC，
∴，
在和中
∴
∴
∴点E为BD中点，
∵点是边的中点，
∴EF为中位线，
∴
故答案为：.
根据勾股定理求出AC的长，结合已知条件即可求得DC的长，然后利用“SAS”证明：，得到：最后根据三角形中位线定理即可求解.
14．
解：∵∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD=CD，AE=EC=AD=CD，
∴四边形ADCE为菱形.
过A作AH⊥BC于点H，
∵AB=12，AC=16，
∴BC==20，
∴AH==.
∵四边形ADCF为菱形，
∴CD=CE，
∴SADCE=EC·DF=CD·AH，
∴DF=AH=.
故答案为：.
由直角三角形斜边上中线的性质可得AD=CD，结合题意可得AE=EC=AD=CD，则四边形ADCE为菱形，过A作AH⊥BC于点H，由勾股定理可得BC的值，利用等面积法可得AH，根据菱形的面积公式可得EC·DF=CD·AH，则DF=AH，据此解答.
15．
16．（1）
（2）
17．解：⑴8
⑵如图，点F即为所求；
⑶如图，线段AH即为所求.
解：（1）△ABC的面积＝3×6- ×1×6- ×2×4- ×2×3＝8，
故答案为：8；
（1）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个三角形的面积，即可求出△ABC的面积；
（2）根据全等三角形的性质：三边对应相等进行作图；
（3）根据高线的作法进行作图.
18．（1），，
（2）
19．（1）证明：连接OD，如图所示：
∵等边 ，
∴∠A=∠B=60°，
∵ ，
∴△AOD为等边三角形，
∴ ，
∴OD∥BC，
∵ ，
∴∠CFD=∠FDO=90°，
∵OD是半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：连接DE，如图所示：
由（1）可得 是 的切线，∠FDO=90°，△AOD为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴△FDE是等边三角形，
∴DE=DF，
∵ ， 是直径，
∴ ，
∴△CDF≌△AED（AAS），
∴AE=CD=2r，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
(1)连接OD， 根据题意可得出 △AOD为等边三角形 ，利用∠AOD=∠B可得出 OD∥BC ，由平行线的性质结合 得出 ∠CFD=∠FDO=90°， 即可得证；
(2)连接DE，由（1） 及题意可知 ， ， 可得 △FDE是等边三角形， 进而DE=DF， 然后由 △CDF≌△AED 可知 AE=CD=2r， 即可得出结论。
20．（1）解：过点C作 于点P，
过点B作 于点Q，如图1，
，
，
在 中， ， .
，
.
∴手臂端点D离操作台 l 的高度DE的长为106cm.
（2）解：能.
理由：当点B，C，D共线时，如图2，
， ，
在 中， ，
.
手臂端点D能碰到点M
（1） 过点C作 于点P，先求出∠CBQ的度数， 在 中， 利用三角函数定义求出CQ，然后根据线段间的关系求出DE即可；
（2） 当点B，C，D共线时， 手臂达到最长， 在 中， 利用勾股定理求出AD，然后比较即可判断.
21．（1）解：如图所示，连结．
∵在中，．
∴由勾股定理，得．
∴．
（2）解：∵，，
∴．
∴．
∴四边形的面积．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）利用，，代入计算即可。
22．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠ABC+∠C=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD还平行四边形；
（2）解：如图，四边形BEDF就是所求作的菱形，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BF=DF，BE=DE，BO=DO，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
在△DFO与△BEO中，
∵∠DOF=∠BOE，BO=DO，∠ADB=∠CBD，
∴△DOF≌△BEO，
∴DF=BE，
∴BE=DE=DF=BF，
∴四边形BEDF是菱形.
（1）由二直线平行，同角互补得∠A+∠ABC=180°，由等量代换可得∠ABC+∠C=180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行得AB∥CD，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出结论；
（2）利用尺规作图法，作出线段BD的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，连接DE与BF，则四边形BEDF是菱形，理由如下：由垂直平分线的性质得BF=DF，BE=DE，BO=DO，从而用ASA判断出△DOF≌△BEO，得DF=BE，则BE=DE=DF=BF，根据四边相等的四边形是菱形得出结论.
23．（1）
（2）解：过作，如图1：
∵四边形是菱形，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：延长交延长线于点，如图2：
∵四边形是矩形，
∴，
∵是中点，
∴，
在与中，
，
，
，
，
，
∴是的角平分线，
如下图所示，过点作，
则有，
在和中
，
，
，
在与中
，
，
，
在中，，
，
，
．
（1）解：∵四边形是正方形，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（1）根据正方形性质可得，，再根据角之间的关系可得，再根据含30°的直角三角形性质可得，根据正切定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
（2）过作，根据菱形性质可得，再根据角之间的关系可得，由正弦，余弦定义，特殊角的三角函数值可得BG，EG，再根据边之间的关系可得BC，再根据余弦定义，特殊角的三角函数值可得DF，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）延长交延长线于点，根据矩形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线判定定理可得是的角平分线，过点作，则有，根据全等三角形判定定理可得，则，，则，根据勾股定理可得ME，再根据相似三角形判定定理可得，再根据其性质即可求出答案.
（1）解：∵四边形是正方形，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：过作，如图1：
∵四边形是菱形，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：延长交延长线于点，如图2：
∵四边形是矩形，
∴，
∵是中点，
∴，
在与中，
，
，
，
，
，
∴是的角平分线，
如下图所示，过点作，
则有，
在和中
，
，
，
在与中
，
，
，
在中，，
，
，
．

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