资源简介

模型27 蚂蚁爬行(最短路径问题)
基础模型
中小学教育资源及组卷应用平台
模型拓展
类型 正方体 异侧半圆柱
图示
已知 在棱长为a的正方体中，一只蚂蚁沿着正方体的表面爬行，求蚂蚁从点 A 到点B的最短路径 在底面半径为r，高为h的圆柱中，求蚂蚁从点P沿圆柱表面螺旋爬行到点 Q的最短路径
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结论 在正方体中，蚂蚁爬行的最短路径为AB= 蚂蚁在圆柱异侧爬行的最短路径为PQ=
模型解题三步法
例1 如图，一只蚂蚁在长为3，宽为2，高为4的长方体台面上寻找食物，蚂蚁从A点出发，蜂蜜在点 B处，则蚂蚁寻找食物爬行的最短路径长为 .
例2 如图，圆柱形容器高为0.9m，底面周长为1.6m，在容器内壁距底部0.2m 的点Q处有一块食物，此时在与食物相对的内壁点P处有一只蚂蚁， ，蚂蚁沿圆柱体侧面爬到点Q处吃食物，则蚂蚁爬行的最短距离为 m.
题以类解
1.如图，长方体盒子的长、宽、高分别为2，2，4，若一只蚂蚁想从盒底的点 A 处沿盒子的表面爬行一周到达点 B处，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .
2.如图，在棱长为2 的正方体中，蚂蚁从正方体下方一边 AB 的中点 P 出发爬到顶点( 处，若蚂蚁选择的路径是最短的，则最短路径长为 .
3.如图，已知圆锥的母线长为6，底面圆的半径为3，在圆锥的底面边缘上点A处有一只蚂蚁，想吃到与点A 相对的母线的中点B处的食物，这只蚂蚁从点 A 出发，沿着曲面爬到点 B，则最短路线长是 .
4.如图，是一个四级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5,1.5 和1.5,A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点，B点上有一只蚂蚁，想到A点去觅食，则蚂蚁从 B 点出发，沿着台阶面爬到A点，最短路径长为 .
5.如图，有一个高为8cm ，底面周长为6 cm的圆柱形容器，在外壁距下沿3c m的点A处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的内壁距上沿4 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从A 处到蜂蜜 B 处所走的最短路径长为 .
例 1 【解析】根据“蚂蚁爬行”模型作展开图如解图，如解图①，当展开前面和右面时，最短路径长为 如解图②，当展开前面和上面时，最短路径长为 如解图③，当展开左面和上面时，最短路径长为 ∴蚂蚁寻找食物爬行的最短路径长为
例2 圆柱 点P 点Q PQ
1 【解析】根据蚂蚁爬行模型作展开图如解图,连接 PQ,过点 Q 作QE⊥BB'于点 E,∵ 圆柱底面周长为1.6m ，∴ AB = 0.8m,∵ QA =0.2m,∴ BE =QA = 0.2m,∵ 圆柱体高为0.9m,PB'=0. 1m ,∴ PE=0.9-0.2-0.1=0.6m,在 Rt△PQE 中,∵ QE=AB=0. 8 m, =1m ，∴蚂蚁爬行的最短距离为1m.
题以类解
1. 4 【解析】找模型：是否存在立体图形：长方体，立体图形上是否存在两点：点A 和点 B，是否求两点间的最短路径：AB 的最短路径.抽离模型：如解图.用模型：最短路径长为
【解析】找模型：是否存在立体图形：
正方体，立体图形上是否存在两点：点P 和点 C'，是否求两点间的最短路径：PC'的最短路径.抽离模型：如解图.用模型：如解图①，最短路径为 如解图②，根据勾股定理得 ∴最短路径长为
3. 3 【解析】根据蚂蚁爬行模型作展开图如解图，由题意知，底面圆的直径AC=2×3=6，∴底面周长为6π，设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为n°，则 解得n=180,∴展开图中 ..最短路线长是3
4. 13 【解析】如解图,将台阶展开,∴ AC=4× ∴蚂蚁爬行的最短路径长为13(两点之间，线段最短).
【解析】如解图，作点A 关于CD的对称点 A'，连接A'B，∵圆柱底面周长为6cm,∴CD=3cm,此时A'B为最短的路径,h

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