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模型综合练四 轴对称———将军饮马
基础过关
1. 如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=5,AD=6,CD=3,点 P 是 AD 上一动点,则 PC+PB的最小值为 .
2. 如图,在边长为2的等边△ABC中,点 P,M,N分别是 BC,AB,AC 上的动点,则△PMN周长的最小值为 .
3.如图,AB 是半圆 O 的直径,C,D 是圆上两点,CO⊥AB,若CD=2,OC=3,P 是AB 上一动点,则 PC+PD 的最小值为 .
4. 如图,在平面直角坐标系中,A(1,6),B(7,2)，点C是x轴正半轴上一点，点D 是y轴正半轴上一点,连接AB,BC,CD,DA.当四边形 ABCD 的周长最小时,∠ODC 的度数为 .
5. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=4,点 E,F 分别为边AD,BC上的点,且AE=1,BF=2. P,M 是AB 边上两动点,且PM=2,则EP+PM+MF 的最小值为 .
能力提升
6.阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：
对称是一种解题方法，即解题时充分利用问题自身条件的某些对称性分析问题，在探求几何最值方面有着广泛的应用.如图①,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD⊥BC 于点 D,点 P,Q 分别是 AD,AC 上的动点，求CP+PQ的最小值.
解题思路:如图①,连接BP,由AB=AC,AD⊥BC 可知，AD 所在直线是该等腰三角形的对称轴，根据等腰三角形的对称性可知：BP=CP,则 CP+PQ=BP+PQ≥BQ,当 BQ⊥AC时,BQ 最短(依据),BQ 与 AD 的交点即为点 P 的位置，此时 BP+PQ 的值最小,即CP+PQ的值最小.
任务：
(1)上述解题思路中的“依据”是 ；CP+PQ的最小值为 ;
(2)如图②,河流 AB 与公路 CD 相交于点O,∠BOD=30°,∠BOD 的内部有一牧马点P，且OP=6km，牧民驱马需先将一封信送到公路边，然后再去河边饮马，饮完马后回到牧马点，请你帮牧民设计出所走的最短路径，并计算最短路径的长.
模型综合练四 轴对称——将军饮马 模型综合练四
1. 10 2. 3 3. 4
4. 45° 5. 7
6. 解:(1)垂线段最短;
【解法提示】∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD= 即 即 CP+PQ 的最小值为
(2)如解图，分别作点 P 关于AB，CD的对称点 E,F,连接EF,分别交AB,CD 于点 M,N,连接PM,PN,则折线 PN-NM-MP 即为最短路径(“一点两线”模型)；
连接OE,OF,由作图可知：AB 垂直平分 PE,CD 垂直平分PF,
∴OP=OE=OF=6km,MP=ME,NP=NF,又∵AB⊥PE,CD⊥PF,
∴∠POE=2∠POB,∠POF=2∠POD,
.. ∠EOF = ∠POE + ∠POF = 2 ∠POB +
2∠POD=2(∠POB+∠POD)=2∠BOD=2×
又∵OE=OF=6km,
∴△EOF 是等边三角形,
∴EF=OE=OF=6km,
∴ PN+NM+MP=FN+NM+ME=EF=6km.

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