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第三章 函数
3.4二次函数综合
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次函数与方程、不等式 ☆☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，二次函数与几何综合在中考中较为常见，这类考题通常以压轴题形式考查，难度一般较大，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，需要考生在做题过程中更为细心对待。
考点2 二次函数的实际应用 ☆☆
考点3 二次函数与几何图形综合题 ☆☆
二次函数的综合运用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为选填题，出题率不是特别高，一般需要根据题意自行建立二次函数模型；而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题；而二次函数与几何图形综合问题，则难度较大。
1
3
■考点一　二次函数与方程、不等式 3
■考点二　二次函数的实际应用 9
■考点三　二次函数与几何图形综合题 19
40
63
■考点一　二次函数与方程、不等式
1、二次函数与一元二次方程的关系
1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标。
3）（1）b2–4ac>0 方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。
2、二次函数与不等式的关系（以a>0为例）:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象
与x轴交点 2 个交点 1 个交点 0 个交点
ax2＋bx＋c>0的解集情况 xx2 取任意实数
ax2＋bx＋c<0的解集情况 x1■考点二　二次函数的实际应用
1.用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1）审：仔细 审题 ，理清 题意 ；
2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的 未知数 ；
3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的 解析式 ；
4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
2.利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
3.利用二次函数解决拱桥（门）/隧道/喷泉/球类运行轨迹类问题的方法：先建立适当的 平面直角坐标系 ，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线的解析式 ，最后根据图象信息解决实际问题。
4.利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量及范围 ，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。
5.利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的 坐标 或表示出与动点有关的线段 长度 ，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
■考点三　二次函数与几何图形综合题
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立 二次函数 的模型，从而使问题得到解决解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。
1.二次函数与几何图形的长度（面积）问题
二次函数与几何图形的长度（面积）问题一般是利用距离或面积公式表示出图形长度（面积）的函数关系式（一般是二次函数的表达式），再利用函数的解析式的特点求长度（面积）的最值问题；此外还会涉及到长度（面积）相等、给出长度（面积）的值等问题，其核心处理方法都是表示出长度（面积）的表达式，再去研究相关的性质。
2.二次函数与特殊三角形或四边形
1）在二次函数的图象中研究等腰三角形的问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准顶确与底角分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段；
2）在二次函数的图象中研究直角三角形的问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条件是常用的处理手段。
3）在二次函数的图象中研究平行四边形的问题常会用到平行四边形的一些性质之间的转化，同时此类问题也会涉及到矩形、菱形、正方形的确定，其分析思想是互通的。
3.二次函数与线段和、差的最值问题
在二次函数的图象中研究线段的和、差最值问题,一般会用到将军饮马、胡不归、阿氏圆、瓜豆原理等来解决相关最值问题。
■考点一　二次函数与方程、不等式
◇典例1：（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，二次函数与一次函数为的图象相交于，两点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】解：，，
由图象可得，当时，则有，
不等式的解集为．故答案为：．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点A、B的坐标分别为，，
∴当时，x的取值范围是或，故选：C．
2.（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的下方，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，
∵和两点都在直线的下方，且，
∴,∴，考虑函数，当时，，
∴的解集表示位于横轴下方的图象的自变量的取值，∴①，
∵数（a是常数，）的图象上有和两点，
∴，∴，∵，∴，∴②，
由①②得，．故选：B．
◇典例2：（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）若满足的任意实数，都能使不等式成立，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，而双曲线分布在第一、三象限，
∵，，∴时，，解得：
时，，解得：，∴实数的取值范围是．故选：B．
◆变式训练
1．（2025九年级·浙江·学业考试）已知三条抛物线中至少有一条与轴相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且或
【答案】D
【详解】由题意，得．当时，；当时，或；
当时，．综上，实数的取值范围是且或故选：D．
2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）小华同学根据学习二次函数的经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】观察函数的图象可知，
图象与直线有3个交点，∴方程的实数根有3个故选：C
3．（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是 ．
【答案】或
【详解】解：Ⅰ抛物线的顶点坐标为，过点， ，，
当时，显然，“整点”，，符合题意下面讨论抛物线经过，的两种情况∶
①当拋物线经过时，，解得此时， ， ，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，共4个，
②当抛物线经过时，，解得，此时，，，，如图所示，满足题意的“整点”有， ，，，，，共6个，的取值范围是；
Ⅱ抛物线的顶点坐标为，过点， ，，，
当时，显然，“整点”，，符合题意下面讨论抛物线经过，的两种情况∶①当拋物线经过时，，解得，此时 ， ，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，共4个，
②当抛物线经过时，，解得，此时，，，，如图所示，满足题意的“整点”有，，，，，共5个，
的取值范围是； 故答案为：或 ．
3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非．”这里一语成偈，道出了“数”和“形”不可分割的特点．仔细体会这段话所包含的数学思想方法，并解答下列问题：
(1)如图1，画出了二次函数的部分图象，则关于x的方程的解为______；(2)已知关于x的方程有两个实数根m，n，且，若，求k的取值范围；(3)已知方程．①直接回答此方程有几个实数根；②探究此方程实数根的近似值（精确到0.1，只写答案不给分！）【友情提示：图2已给出函数的图象】
【答案】(1)，(2)(3)①有1个实数根；②1.2
【详解】（1）解：由图可知该抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴与x轴的另一个交点为，∴关于x的方程的解为，；
（2）解：设，则此抛物线的对称轴为直线，
∵关于x的方程有两个实数根m，n，且，
的图象与x轴有两个不同交点，如图：
∵，∴时，；时，， ∴且，∴；
（3）解：①∵，∴，令，，画出大致图象如下，
∴的图象与的图象有一个交点，∴方程有1个实数根；
②由图象可知：直线与函数的图象交点的横坐标t就是方程的解，
由图象可知：当时，当时．
当时，，，，当时，，，，∴．
当时，，，，当时，，，，∴．
当时，，，，∴．
当时，，，，∴，∴，故方程的近似解为1.2．
■考点二　二次函数的实际应用
◇典例3：（24-25九年级上·浙江温州·期末）一超市销售某种水果，收集每日该水果所得的利润（元）与售出质量（）的数据，并描点如图所示，发现与满足函数关系式．
(1)求，的值．(2)当每日售出多少该水果时，所得利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)(2)当每日售出该水果时，所得利润最大，最大利润为元．
【详解】（1）解：图像过点，．
解得；
（2）解：把，代入得：，
，当时，y有最大值，最大值为．
答∶ 当每日售出该水果时，所得利润最大，最大利润为元．
◆变式训练
1．（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同．
(1)两种型号电脑每台进价各是多少？(2)随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润销售总价总进价)
【答案】(1)型电脑每台进价元，型电脑每台进价元
(2)型电脑总共购进台，型电脑总共购进台
【详解】（1）解：设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元，
根据题意得，，解得，经检验，是原方程的解，符合题意，
∴，
答：型电脑每台进价元，型电脑每台进价元；
（2）解：∵销售量台，∴型电脑购进台 ，∴型电脑购进台，
∴型电脑的利润为万元，
由图象可知，当时，与的函数解析式为，
把代入得，，∴，∴，
把代入得，，解得，
∴，∴，设总利润为万 元，
当时，总利润，
∵，∴随的增大而增大，∴当时，有最大值，(万元)；
当时，总利润，
∵，对称轴，∴当时，有最大值，(万元)；
∵，∴型电脑总共购进台，型电脑总共购进台时，利润最大．
2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）经市场调查发现，某商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，该商品的售价x（元/件），周销售量y（件），周销售利润w（元）三者对应值如下表：
售价x（元/件） 30 40 60 80
周销售量y（件） 210 120 60
周销售利润w（元） 2100 4800 3600
(1)________，________；(2)因该商品原材料上涨，进价提高了6元/件，商场为稳定销量，规定该商品售价x不得超过60，求进价提高后周销售利润的最大值．
【答案】(1)180，3600(2)4080
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出函数关系式是解
【详解】（1）设根据题意得，解得
∴∴当时，；
∵该商品的进价为元/件，∴
∴当时，；
（2）根据题意得，∵∴开口向下
∵规定该商品售价x不得超过60，∴当时，．
∴当售价为60元时，周销售利润的最大值为4080元．
◇典例4：（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：如图所示，设交于点，
∵菱形，，∴又∵，∴是等边三角形，
∵，，∴∴
∴当时，重合部分为，如图所示，
依题意，为等边三角形，运动时间为，则，
∴
当时，如图所示，依题意，，则
∴∴∵∴当时，
当时，同理可得，
当时，同理可得，
综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D．
◆变式训练
1.（2023年黑龙江省大庆市中考真题）如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意可得：，，设，则，
作交的延长线于点，作交的延长线于点，
，
，，，，
，
由图象可得的最大值为3，，解得：或（舍去），，
，平行四边形的面积为：，故选：C．
◇典例5：（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）蛇年贺岁，千盏花灯邂逅千年古桥（图1）．我校项目学习小组计划用3D打印三洞桥模型，作为元宵灯会的奖品，图2是其设计示意图．设计过程如下：整座桥呈轴对称结构，用抛物线，构造桥面形状（长度单位：），三个桥洞均为圆弧形且弧的度数相等，相邻圆弧间隔20，每个桥洞最高点到桥面的竖直距离均为4，若中间大桥洞宽度（弦长）为两侧小桥洞宽度的2倍，则大圆弧所在圆的半径为 ．
【答案】
【详解】解：根据题意，当，代入，得
∴中间大桥洞最高点对应的值为把代入，
解得：，则中间大桥洞的宽度为，
设大圆弧所在圆的圆心为，半径为，圆心到弦的距离为
∴，，∴ 解得：
综上，大圆弧所在圆的半径为故答案为：．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面．
(1)请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
(2)若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？
【答案】(1)作图见解析，(2)能通过
【详解】（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一），
设抛物线解析式为：，把代入，得，解得：，．
（2）解：当时，，能通过．
2．（22-23九年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计高架桥的限高及车道宽方案？
素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，抛物线跨度，顶点离地面，桥的两端点M，Q距离地面．
素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，每条机动车道宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）
素材3 如图4，由于城市道路中行人安全的需求，道路规划部门重拟新方案：非机动车道的宽定为，在非机动车道左侧增加一条人行道，中间绿化带宽度不变，每条机动车道宽均不小于且相等，机动车道一的最低高度不小于．
问题解决
任务1 确定模型 在图2中建立适当的坐标系，求得抛物线的函数表达式．
任务2 探究原计划限高 在图3中标注好数据，计算确定机动车道一的限高高度．
任务3 拟定新方案中每条机动车道的最大宽度 在图4中做上标注，计算确定新方案中每条机动车道的最大宽度．（，结果精确到）
【答案】任务一：（答案不唯一）；任务二：；任务三：
【详解】解：任务一：如图，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
由题意得，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，
由图可得，，，，，
代入到，得，解得：，
抛物线的函数表达式为（答案不唯一）．
任务二：如图，由题意得，，，
点在任务一中所在坐标系的横坐标为，当时，，
，答：机动车道一的限高高度为．
任务三：如图，
由任务二的数据可得，，由题意得，当时，每条机动车道有最大宽度，令，则，解得：，（不符合题意，舍去），
，，
每条机动车道的最大宽度为．
答：每条机动车道的最大宽度为．
◇典例6：（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式；(2)求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴可设上边缘抛物线解析式为，
又∵抛物线过点，∴，∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为；
（2）解：在中，令，则，解得或，∴；
∵上边缘抛物线的对称轴为直线，∴在上边缘抛物线上点的对称点为，
∵下边缘抛物线是有上边缘抛物线向左平移得到的，且下抛物线经过，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点B是点C向左平移得到的，∴点B的坐标为；
（3）解：∵，∴点F的纵坐标为，
对于上边缘抛物线，当时，则，解得，
∵，∴，当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，则，
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，∴d的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）二级火箭的始祖“火龙出水”的第一级火箭点燃后，会推动整个装置飞行，形成一个抛物线轨迹．当第一级火箭燃料耗尽时，火箭会下降到某个高度（这个高度低于最高点），此时自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．可用函数图像模拟火箭的运行过程：如图，以发射点为原点，地平线为x轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为．(1)求出a，k的值；(2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
【答案】(1)， (2)
【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为，
∴抛物线和直线均经过点，
∴，，解得：，；
（2）解：由①知：，，
∴，∴最大值，
当时，，解得：，，
又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．
而火箭第二级的引发点的高度为，∴不合题意舍去；
∴当火箭第二级高度时，在第二级则，解得：，
∴，∴这两个位置之间的距离为．
■考点三　二次函数与几何图形综合题
◇典例7：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交点C，连接，顶点为M．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)已知点P是抛物线上的一点，连接，若，求点P的坐标；(3)如图2，若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，当的值最大时，求点D的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为
(2)当时，点P的坐标为或(3)
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、两点，
∴，解得：，∴抛物线的解析式为，
∵，∴顶点的坐标为；
（2）解：在中，当时，，则，如图，当点在上方时，连接，∵，∴，∴，
，
在中，令，则，解得：或（不符题意，舍去），
∴此时；如图，当点在下方时，连接，交轴于，
∵，∴，设，则，
在中，由勾股定理可得：，
∵，，∴，∴，解得：，∴，
设直线的解析式为，将，代入解析式为，解得：，
∴直线的解析式为，联立得，
解得：或（不符合题意，舍去）当时，，∴此时；
综上所述，当时，点P的坐标为或；
（3）解：设直线的解析式为，将，代入解析式可得，
解得：，∴直线的解析式为，
如图，作轴，交于，设，则，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴当时，取得最大值，此时，即．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点．其顶点为．直线与抛物线交于，两点．
(1)求、的值；(2)求三角形的面积；(3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，直接写出的面积的最大值．

【答案】(1)1,3(2)3(3)
【详解】（1）当时，，解得，∴点.
∵直线经过点A，∴，解得，∴一次函数关系式为.
将两个函数关系式联立，得，解得，∴点.所以；
（2）二次函数，∴点.
当时，，∴点.所以；
（3）设点，则点，∴，，
∴，当时，的面积最大值为．

2．（2025九年级下·浙江宁波·学业考试）阅读下列材料：
我们知道，一次函数的图象是一条直线，而经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：是常数，且不同时为0）．如图1，点到直线：的距离计算公式是：．
例：求点到直线的距离时，先将化为，再由上述距离公式求得．解答下列问题：如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线上的一点．(1)求点到直线的距离．
(2)抛物线上是否存在一点，使得的面积最小？若存在，求出点的坐标及面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)6(2)存在，
【详解】（1）解：依题意，直线可化为
，点到直线的距离．
（2）解：存在．设点的坐标为，
则点到直线的距离，
在中，，
中函数值恒大于0，．
当时，最小，则为，
，此时点的坐标为．
在中，令，得，令，得，
在中，，的最小值为．
◇典例8：（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线经过点、、，点是抛物线在轴上方图象上一点，动直线分别交轴、轴于点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当以为顶点的三角形面积为6时，求出点的坐标；
(3)当，点在抛物线上运动时，是否存在点，使得以为直角顶点的与相似，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)点的坐标为或；(3)存在点Q，t的值为或
【详解】（1）解：∵抛物线经过点、、，
∴，解得：，∴抛物线的解析式为：；
（2）设直线的解析式为，
∴，解得：，直线的解析式为，
设，过点P作轴，交于点H，则，如图所示：
∴，
∵，
解得：，∴点的坐标为或；
（3）∵直线分别交轴、轴于点．
∴当时，，当时，，∴，且，，
，，
，，∴即，∴，∴，
同理得：直线的解析式为，联立得：，
解得：，，
∴，，
∴，
同理：，在中，，
当时，如图所示：
∴，∴即，
解得：或，经检验：或均是原方程的解，∵，∴；
当时， ∴，
∴即，解得：，
经检验：是原方程的解，综上可得：存在点Q，t的值为或．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线交轴于，两点（在的左边），交轴于点．(1)直接写出，，三点的坐标；(2)如图1，作直线，分别交轴，线段，抛物线于，，三点，连接．若与相似，求的值；(3)如图2，过的中点作动直线（异于直线）交抛物线于，两点，若直线与直线交于点．证明：点在一条定直线上运动．
【答案】(1)，，(2)或(3)见详解
【详解】（1）解：对于，当时，得，故，
当时，即，解得：或，故，，
（2）解：∵，，∴，而，∴，
∵直线与轴垂直，∴，
①当时，，如图：
此时轴，由得到对称轴为直线，∴，∴；
当时，，如图：
过点作于点G，则可得，为等腰直角三角形，∴，
∵，，∴四边形为矩形，∴，，
∴，而,∴，解得：或（舍），
综上所述：或；
（3）证明：∵，，∴的中点为，
设，直线表达式为：，
将代入得：，解得：，
∴直线表达式为，代入点得：，
同理可求直线，直线，
联立直线表达式得：，解得，
∴，设经过点P的直线为，
代入得：，
比较系数得：，解得：，
∴当，无论为何值，该式子恒成立，
∴点P在直线上运动．
2．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，．(1)求抛物线的解析式；(2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及；(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)二次函数的解析式为：； (2)；
(3)存在，点的坐标为或或或
【详解】（1）解：点，，，，
，， 把和代入二次函数中得：
，解得：， 二次函数的解析式为：；
（2）解：如图1，直线经过点和，设直线的解析式为，
，解得：，直线的解析式为：，
二次函数，设点，则，
， 当时，的最大值为，
点的坐标为，；
（3）解：存在，，对称轴为直线，
设，分三种情况：点为直角顶点时，由勾股定理得：，
，解得：，；
点为直角顶点时，由勾股定理得：，
，解得：，；
点为直角顶点时，由勾股定理得：，
，解得：或，或，
综上，点的坐标为或或或．
◇典例9：（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）综合与实践：如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；(3)小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)或
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴，解得：，∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交线段于点，垂足为点，
∵抛物线与轴交于点，当时，，∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，解得：，∴直线的表达式为，
设点，则点，∴，
∴，
∴，
∵，∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为；
（3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时，
∵，∴，∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为，
当时，则，解得，，，∴，
如图3，当点在直线的下方的抛物线上时，设交轴于点，
∵，∴，设，∴，
在中，，∴，解得：，
∴，∴，设直线的解析式为，过点，，
∴，解得：，∴直线的解析式为，
联立，解得：， ，∴，
综上所述，点D的坐标为或．
◆变式训练
1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．
(1)请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；(2)若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为，与直线交于点．当时，求点的坐标；
(3)若点是轴上的点，且，求点的坐标．
【答案】(1)，，；(2)；(3)点的坐标为或．
【详解】（1）解：令，得：，解得，，，，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，解得：，直线的解析式为：；
（2）解：如图，设点的坐标为（其中），则，．
当时，此时，点是的中点，则，
解得：（负值已舍去），即点；
当时，此时，不符合题意，舍去，综上，；
（3）解：直线与轴交于点，点坐标为．
分两种情况：①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为．
在中，，在中，，
，，，．
又，，，，．
连接，点，点为抛物线上的对称点，轴，，，，．．点的坐标为；
②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作，垂足为，
在中，，在中，，
，，．
又，，，，
．由①可知，．，，
．，点的坐标为．
综上所述：点的坐标为或
◇典例11：（24-25九年级上·浙江杭州·期末）等腰直角三角形对称、美丽，若抛物线与轴有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则称这种抛物线为“美丽抛物线”．(1)已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与轴的两个交点坐标为，，则此抛物线的顶点是_____；(2)如图，抛物线是“美丽抛物线”，顶点，与轴交于两点，在轴上方的抛物线上找一点，且，请求出点的坐标；(3)在（2）的条件下，点是平面内一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2) (3)存在，或或，理由见详解
【详解】（1）解：抛物线与轴的两个交点坐标为，，
∴中点为，对称轴直线为，
∵抛物线是“美丽抛物线”，∴顶点坐标为，故答案为：；
（2）解：根据题意可得的中垂线为直线，∴，即，
解得，，∴，
设抛物线解析式为，把顶点坐标代入得，，
解得，，∴二次函数解析式为，
∵点是轴上方抛物线上一点，∴设，
如图所示，过点作轴于点，∴，，
∵，∴，∴，整理得，，解得，，
∴，则，∴；
（3）解：存在，理由如下，已知，设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，∴对角线的中点坐标相同，
第一种情况，以为对角线，∴，解得，，∴；
第二种情况，以为对角线，∴，解得，，∴；
第三种情况，以为对角线，∴，解得，，∴；
综上所述，或或．
◆变式训练
1．（23-24九年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点．(1)求抛物线的表达式；(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标；(3)在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)(2)周长的最大值，此时点
(3)以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或
【详解】（1）把、代入得，，
解得，∴抛物线的表达式为；
（2）延长交轴于，

过点P作于点，过点作轴的平行线交直线于点，
∴，，∴，∴，
∴，∴当最大时周长的最大
∵抛物线的表达式为，∴，
∴直线解析式为，
设，则
∴，
∴当时最大，此时∵周长为，
∴周长的最大值为，此时，
即周长的最大值，此时点；
（3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，
∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线，
∴设， ∵，
∴，，，
当为对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且；∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，此时；
当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且，∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，此时或；
同理，当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴和互相平分，且；，此方程无解；
综上所述，以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或；
◇典例11：（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，两点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点．(1)填空：____；____；_____．(2)将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值．(3)在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围．
【答案】(1)；；(2)(3)
【详解】（1）解：点坐标为，直线经过点，，．
二次函数图象的对称轴是直线，是二次函数图象是的点，
，，联立组成方程组为，解得．故答案为：；；．
（2）解：由题意知：抛物线解析式为，即．
将的图象向右平移个单位后得到，其顶点坐标为．
∵顶点恰好落在直线上，，．
（3）解：由题意知：平移后的抛物线解析式为，顶点．
设抛物线对称轴与轴交于点．，为等腰直角三角形．
点在轴上，则外接圆的圆心必在边的中垂线上．
设该中垂线交抛物线于点，．由可知线段的中点坐标为，
，故可求得该中垂线解析式为．
∴解方程组解得：．即，两点的横坐标分别为．
过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，则，两点的横坐标分别为．
．．
从而点的横坐标为．同理．．
从而点的横坐标为．的取值范围是．
◆变式训练
1．（23-24九年级下·浙江·自主招生）如图，已知双曲线，抛物线和直线．设直线与双曲线的两个交点为，与抛物线的两个交点为．(1)若线段与线段的中点重合，求证：；(2)是否存在直线，使得为线段的三等分点？若存在，求出直线的解析式，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析 (2)存在，或或
【详解】（1）证明：设、、、．显然．
联立，得，∴，．
联立，得，∴，．
若线段与的中点重合，则．∴；
（2）解：若A、B为线段的三等分点，则线段与的中点重合，且，
∴，∴．且，∴．
将代入上式得．解得或．
对应的或．经检验均符合题意．
∴直线的解析式为或或．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图象经过、、三点．
(1)求该抛物线的顶点坐标；(2)结合图象，当时，求出的取值范围；
(3)点是该抛物线对称轴上一点，当周长最小时，求点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：，抛物线的顶点坐标为；
（2）当时，，解得或，
抛物线的顶点坐标为，观察图象可知，当时，；
（3）如图，连接交抛物线的对称轴于点，连接．
抛物线的对称轴是直线 又，关于直线对称，
，此时，此时的值最小，即的周长最小，
，，设的解析式为，
则解得：直线的解析式为，当时，，．
1．（2024·四川达州·中考真题）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：依题意，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为
依题意，∵，抛物线开口向下，∴当时，，即
∴，故A选项正确，符合题意；若对称轴为，即，
而，不能得出对称轴为直线，故B选项不正确，不符合题意；
∵抛物线与坐标轴有2个交点，∴方程有两个不等实数解，即，又
∴，故C选项错误，不符合题意；无法判断的符号，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：当与重合时，设，由题可得：∴，，
在中，由勾股定理可得：，∴，
∴，∴当时，，∵，∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当在下方时，设，由题可得：∴，，
∵，,∴，
∴，∴，∴，
∴当时，，
∵，∴图象为开口向下的抛物线的一部分，综上所述：A正确，故选：A．
3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，
四边形是正方形，、互相平分，，，
，，．
，，．，．
点、的横坐标分别为、，，．
，，，设，则，，
，，，．
又，，，．．
．．
点、在轴的同侧，且点在点的右侧，．．故选：B．
4．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵抛物线的图象经过点，
∴当时，，故①正确；
∵抛物线的图象交x轴于点、，
∴抛物线对称轴为直线，∴，∴，
∴，即，∴，
∵，∴，故②正确；∵对称轴为直线，∴；
∵、，∴，∴；在中，当时，，
∴，∴，当时，则由勾股定理得，
∴，∴或（舍去）；同理当时，可得；
综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误；
当时，，则，如图所示，取点，连接，则，

∴，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴，
∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，
在中，由勾股定理得，故④正确，
∴正确的有3个，故选：C．
5．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【详解】解：∵，，∴，
在中，当时，，
∵，∴可判定货车能完全停到车棚内，故答案为：能．
6．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．
【答案】450
【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，
又墙长为40米，∴．∴．
菜园的面积，
∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．故答案为：450．
7．（2024·四川甘孜·中考真题）在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据，，…，，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为 ．
【答案】
【详解】解：由题意，a与各个测量数据的差的平方和
，
时，有最小值，青稞穗长的最佳近似长度为．故答案为：．
8．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ．
【答案】
【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．
设抛物线解析式为：，把点代入得：，解得：，
∴抛物线解析式为：；当时，，
解得，（舍去），，即此次实心球被推出的水平距离为．故答案为：
9．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，∴没有实数根，
∴，．故答案为：．
10．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点．
(1)求抛物线的表达式；(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；(3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)，点在抛物线上
(3)存在，点的坐标为：或
【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
则抛物线的表达式为：．
（2）解：由题意得：，
当时，，故点在抛物线上．
（3）解：存在，理由如下：
①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形，
，，，
，，∴，，∴点，
当时，，即点在抛物线上，∴点即为点；
②当为直角时，如图2，同理可得：，∴，，
∴点，当时，，
∴点在抛物线上，∴点即为点；
③当为直角时，如图3，设点，同理可得：，
∴且，解得：且，∴点，
当时，，即点不在抛物线上；
综上，点的坐标为：或．
11．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件；②“正”服装：48元/件；③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润
【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，∴加工“正”服装的有人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，∴，整理得：；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，
∴，
整理得：∴
任务3：由任务2得，∴当时，获得最大利润，
，∴，∵开口向下，∴取或，
当时，，不符合题意；当时，，符合题意；∴，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
12．（2024·四川甘孜·中考真题）【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______．
【思考与探究】（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．

【答案】（1）2；；（2）①；②或
【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，∴点在的伴随抛物线上，
代入得：，，解得：，，故答案为：2；；
（2）①，
∴顶点坐标为：，
∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴，整理得：，∴；
②∵与x轴有两个不同的交点，，
由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴顶点坐标在图像上滑动，顶点为，
当时，解得：或，抛物线与x轴交两个点，
当顶点在下方时，抛物线有两个交点，，
∵若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
∴在 上，当顶点在下方时，；综上可得：或．
13．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点．
(1)直接写出点，，的坐标；(2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交y轴于点．若平分线段，求点的坐标；(3)如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式．
【答案】(1)，，(2)(3)
【详解】（1）解：由，当时，，则
当， 解得： ∵在的右边∴，，
（2）解：设直线的解析式为将，代入得，
解得：∴直线的解析式为
∵设直线的解析式为
∵在第三象限的抛物线上设，
∴∴∴
设的中点为，则 由，，设直线的解析式为，
将代入得，，解得： ∴直线的解析式为，
∵平分线段，∴在直线上，∴解得：（舍去）
当时，∴；
（3）解：如图所示，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴∴
∴∴即∵点与原点关于点对称，∴,
设直线的解析式为，直线的解析式为
联立直线与抛物线解析式可得，，即
联立直线与抛物线解析式可得，即
设，， ∴，，，∴
，
∵∴，
将代入得：∴，∴，∴直线解析式为．
14．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．
(1)若火箭第二级的引发点的高度为．①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过．
【答案】(1)①，；②(2)
【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为
∴抛物线和直线均经过点
∴，解得，．
②由①知，，∴∴最大值
当时，则解得，
又∵时，∴当时，则解得
∴这两个位置之间的距离．
（2）解：当水平距离超过时，火箭第二级的引发点为，
将，代入，得，
解得，∴．
15．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似
【详解】（1）解：把，，代入，
得，解得，∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，则，解得，∴直线解析式为，
当时，，∴；
（2）解：①设，则，
∴，∴当时，有最大值为；
②∵，，∴，又，∴，
又轴，∴轴，∴，
当时，如图，∴，∴轴，∴P的纵坐标为3，
把代入，得，解得，，∴，
∴，∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，则，，
又，∴，∴，∴，
∴，∴，解得，（舍去），
∴，∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
16．（2024·天津·中考真题）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点．
(1)当时，求该抛物线顶点的坐标；(2)当时，求的值；
(3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值．
【答案】(1)该抛物线顶点的坐标为(2)10(3)1
【详解】（1）解：，得．又，该抛物线的解析式为．
，该抛物线顶点的坐标为；
（2）解：过点作轴，垂足为，则．
在中，由，．
解得（舍）．点的坐标为．
，即．抛物线的对称轴为．
对称轴与轴相交于点，则．
在中，由，．解得负值舍去．
由，得该抛物线顶点的坐标为．该抛物线的解析式为．
点在该抛物线上，有．；
（3）解：过点作轴，垂足为，则．
．在中，．
过点作轴，垂足为，则．
，又，
．∴，，∴点的坐标为．
在中，，，即．
根据题意，，得．
在的外部，作，且，连接，
得．．∴．．
当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，即．
在中，，．得．
．解得（舍）．点的坐标为，点的坐标为．
点都在抛物线上，得．．
17．（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标；(3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
【答案】(1)；(2)最大值为，C的坐标为；
(3)点G的坐标为，，．
【详解】（1）解：，代入，
得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：如图1，过点C作x轴的垂线交于点M．
∴轴，∴，∴，设的解析式为，
把，代入解析式得，解得：，∴．
设，则，∴，
∵，，∴当时，最大，最大值为．
∴的最大值为，此时点C的坐标为．
（3）解：由中心对称可知，抛物线F与的公共点E为直线与抛物线F的右交点，
∴，∴（舍），，∴．
∵抛物线F：的顶点坐标为，∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线．
如图2，当为对角线时，由题知，∴，∴．
如图3，当为边时，由题知，∴，∴．
如图4，由题知，∴，∴，
综上：点G的坐标为，，．
18．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
【答案】(1)(2)①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析(3)这条钢架的长度为米
【详解】（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，
将代入，得：，即，，
水滑道所在抛物线的解析式为；
（2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即或（舍去，不符合题意），
点，，，，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）解：根据题意可得点的纵坐标为4，令，即，
（舍去，不符合题意）或，，设所在直线的解析式为，
将代入得：，解得：，所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，，
即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，
，，，，
这条钢架的长度为米．
19．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；(3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)抛物线的解析式为(2)的坐标为或
(3)的坐标为或或或
【详解】（1）解：把，代入得：，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：

由，得直线解析式为，设，则，
，的面积为3，，即，
解得或，的坐标为或；
（3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，解得或，，，
由，得直线解析式为，设，，
过作轴于，过作轴于，
①，当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：此时；

②当在第一象限，在第四象限时， 是以为斜边的等腰直角三角形，
，，，
，，，，
，解得（小于0，舍去）或，
，的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：是以为斜边的等腰直角三角形，
，，，
，，，，
同理可得，解得或（大于0，舍去），
，的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：

是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，
，，，
，解得（舍去）或，
，的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
20．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点．
(1)求二次函数的表达式；(2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；(3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，最小值为
【详解】（1）解：把，代入得，
，解得，∴二次函数的表达式为；
（2）解：如图：由得抛物线对称轴为直线，
∵两点关于抛物线对轴对称，∴，设，
∵，∴，
∴，
整理得，，解得，（舍去），∴，∴；
（3）存在，理由：当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，
设点，则点，设直线交轴于点，
设直线表达式为：，代入，
得：，解得：，
∴直线的表达式为：，令，得
则，则，
则
，即存在最小值为；
当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，
同上可求直线表达式为：，令，得
则，则，则
即存在最小值为；当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求，即存在最小值为，
综上所述，的面积是否存在最小值，且为．
1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）定义符号的含义为：当时；当时．如：．则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【详解】解：依题意在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示．设它们交于点、．令，即，解得：或，
把代入，得出，把代入，得出，
，，观察图象可知：
①当时，，函数值随的增大而增大，其最大值为；
②当时，，函数值随的增大而减小，其最大值为小于；
③当时，，函数值随的增大而减小，最大值为．
综上所述，，的最大值是．故选：A．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】C
【详解】解：与的图象相交于，，
当时，由图象可知的图像在的图象的下方，
关于的不等式的解集为．故选：C．
3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作线段的垂线，垂足为点、．若点坐标为，四边形的邻边之比为：时，则线段的长为（ ）
A．4或 B．或 C．或 D．
【答案】B
【详解】解：依题意是矩形；把点代入中得，解得，∴，
∵点， ∴，∴， ∵四边形的邻边之比为：时，
当时，则，设点A横坐标为m，则，
代入得，解得或（舍去）．∴．
当时，则设点A横坐标为m，则，代入得，
解得或（舍去）．∴．
综上所述线段的长为或 故选：B．
4．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【详解】解：根据题意，抛物线的对称轴为，且经过点，
则有，解得，∴该抛物线的解析式为，
∵，∴该抛物线顶点的坐标为，
∵的长度，且是定值，所以只需取最小值，即可使得的周长最小，如图1，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点，
则，，设直线的解析式为，将点和点代入，
可得，解得，故该直线的解析式为，
当时，，即，∵，
且，∴此时的周长；
同理，如图2，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点，
则，设直线的解析式为，将点和点代入，
可得，解得，故该直线的解析式为，当时，，即，
∵，且，
∴此时的周长；∵，∴，
∴点在轴上时，的周长最小，此时点的坐标是．故选：A．
5．（2023·四川自贡·模拟预测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：二次函数中，令，则，
解得，，，，过点作轴于点，
，，是等腰直角三角形，，设，
，点在二次函数的图象上，
，解得，（舍去），，故选：．
6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，当时，解集是，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．的解集为{或}
【答案】BC
【详解】解：∵，当时，解集是，
∴抛物线的开口向上，抛物线与轴的两个交点坐标为，
∴，抛物线的对称轴为直线，，
∴，∴，故选项A错误；，故选项B正确；
∵抛物线与轴的两个交点坐标为，
∴的两个根为，∴，∴，
∴，故选项C正确；∴，∴，
当时，，∴当时，或；故选项D错误；故选BC．
7．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】如图，连接、、，过点作于点，过点作于点，
当时，，解得：，，，，
，，，
，是等边三角形，，
，，，，
垂直平分，，，
当、、共线时，的值最小，最小值为的长，
又，的最小值为，故答案为：．
8．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，已知直线经过点，抛物线W：与y轴交于点C．点E、F分别是抛物线对称轴和直线l上的动点，连结，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，设点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得，
，当、、三点一线且与垂直时，最小，
由题意可得，解得，直线解析式为；
对于，当时，，，
，抛物线W：的图象关于直线对称，，
设点的坐标，，
中，，当，有最小值，最小值为，
即的最小值为．故答案为：．
9．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知抛物线与直线交于，两点，点坐标为，轴于点，，则的面积为 ．
【答案】
【详解】解：作轴于点D，如下图．，．．
点坐标为，，．
．点坐标为．轴于点，点横坐标为1．
抛物线与直线交于点，点坐标为，，解得．则．
当时，，即点坐标为．．
轴于点， 轴于点．．是的高．
故答案为：．
10．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）对于三个函数，若无论取何值，总取中的最大值，则的最小值为 ．
【答案】1
【详解】解：如图：把和联立方程组得：，解得：，
∴交点B的坐标为，把和联立方程组得：，
解得或，∴交点C的坐标为，交点D的坐标为，
把和联立方程组得：，解得或，
∴交点A的坐标为，交点G的坐标为，
∴当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，．
总取，，中的最小值，的最小值为1，故答案为：1．
11．（2025九年级下·浙江·学业考试）已知函数．(1)求证：函数的图象与x轴一定有交点．(2)若方程的两个根均大于且小于1，求a的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：，∴函数的图象与x轴一定有交点．
（2）解：解得：，，，解得．
∴，．
12．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）已知函数的图象如图所示，请根据函数图象回答下列问题．(1)方程的解为______；
(2)方程有四个不同的实数根，则的取值范围为______；
(3)若函数的图象与直线有三个交点，求的值．
【答案】(1)(2)(3)或
【详解】（1）解：通过观察图象可得的解为，
故答案为：；
（2）解：当时，直线与函数有三个交点，即有三个不同的实数根，
当 时，直线与函数有两个交点，即有两个不同的实数根，
当方程有四个不同的实数根时，，故答案为：；
（3）解：把点代入得，，令，整理得，
则，解得，
当函数的图象与直线有三个交点时，的值为或．
13．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）将抛物线（a为常数）的图象向上平移1个单位后，图象经过点．(1)求原抛物线的函数表达式．(2)已知点，在抛物线上．①求证：；②若，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)；(2)①见解析；②．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴图象向上平移1个单位后，可得新抛物线为．
又∵图象经过点，∴．∴．∴原抛物线的函数表达式为；
（2）①证明：由（1）抛物线为，∵点，在上，
∴，．
∴．
∵对于任意的实数m都有，∴；
②解：∵抛物线为，∴抛物线的对称轴是直线．
∵，∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
∵，且当时，，∴．∴．
14．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，设函数（，是常数，）．(1)若该函数的图象经过和两点，则函数的表达式为________．
(2)当时，写出一个的值，使函数图象的顶点坐标始终在直线的下方，并说明理由．(3)当，时，函数图象上有点，直线上有点，若，试求的取值范围．
【答案】(1)(2)或(3)或
【详解】（1）解：函数的图象经过和两点，，且．，．
二次函数的表达式为．故答案为：．
（2）解：由题意，当时，函数为．
对称轴是直线．顶点为，．
又顶点坐标始终在直线的下方，．．或．
（3）解：由题意，当，时，函数为．．
又，．．
或．或．
15．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）某专卖店销售一种特产，经调查发现，销售这种特产（千克）（）时，其销售单价（元/千克）可表示为；所需的总成本（元）关于销售量（千克）的函数关系如图所示，图中曲线部分是顶点坐标为的抛物线的一部分．(1)求关于的函数表达式；(2)设该专卖店销售这种特产所获得的利润是（元）．
①求与之间的函数表达式；②该特产的销售量是多少时，所获得的利润最大，最大值是多少？
【答案】(1)
(2)①；②当销售量为50千克时，所获得的利润最大，最大值为500元
【详解】（1）解：当时，设，把代入，得，解得，∴，
当时，设，把代入，得，解得，
∴，∴；
（2）解：①当时，；
当时，
∴；
②①当时，，w随x的增大而增大，∴当时，w有最大值为；
当时，∴当时，w有最大值为500，
∵，∴w的最大值为500，∴当销售量为50千克时，所获得的利润最大，最大值为500元．
16．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）如图，已知是抛物线上的四个不同的点．(1)试用表示直线的解析式．(2)已知过点过点过点．①证明：三点共线．②若点在第一象限，且，求直线的解析式．
【答案】(1)(2)①见解析；②
【详解】（1）解：点都在抛物线上，．
设直线的解析式为，则解得，；
（2）①证明：由（1）得，直线，的解析式为，
同理可得，直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，∵点分别在上，
∴在中，当时，，
∴直线经过点，即三点共线．
②解：如图，过点作于点，过点作的延长线于点．
由①，得直线的解析式为，
又，，
，，，．
，，，，．
点在第一象限，∴直线的解析式为．
17．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，顶点为C的抛物线与x轴交于A、B两点，连结，直线，垂足为E交y轴于点D，且．
(1)求A、B两点的坐标及a的值；(2)过点B作x轴的垂线与直线交于点F，把（1）中的抛物线向右平移K个单位，使抛物线与线段有交点，试求K的取值范围；(3)与关于x轴成轴对称，如图2，把沿y轴以每秒1个单位向上平移，当Q点与D点重合时，停止运动，记运动时间为t，设与重叠部分的面积为S，求S与运动时间t的函数关系式．问S是否有最大值，若有，求出S的最大值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)点A、B的坐标分别为：，
(2)或；(3)有，S的最大值为
【详解】（1）解：对于，当时，，令，则，
则点A、B的坐标分别为：，点，则，
∵，则t，则，
则，解得：（经检验是方程的根）；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：，则平移后的抛物线表达式为：，
则点，则，则，
则，即点，
将点F的坐标代入平移后得抛物线表达式得：，
解得：，而，则或；
（3）连接，设平移后交于点N，交x轴于点T，交于点M，过点N作，
由（2）知，则，则为等边三角形，
∴，∴，
∴，∴，由题意得：，则，
则，，
则
，∴S的最大值为．
18．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)，(3)存在，；
【详解】（1）解：对于，当时，，当时，，
∴点A的坐标为，点C的坐标为，
又∵对称轴是直线：，∴，解得：，∴抛物线的表达式为：；
（2）解：对于，当时，，解得：，，
∴点B的坐标为，又∵点，点，∴，，，
过D作轴于E，交于E，
∵点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m，，
，，
，，
，当时，S有最大值，，
当时，；
（3）存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下：
∵点P在抛物线的对称轴上，∴可设点P的坐标为：，
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
∴，与互相垂直平分，
设直线与x轴交于点F，过点P作轴，与交于点K，
∵点，∴，，，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，，∴，解得：，
∴点P的坐标为，设点K的坐标为，
∵点K为的中点，∴，，设点Q的坐标为，
∵点K为的中点，∴，，
解得：，，∴点Q的坐标为．
19．（2024·广东江门·一模）如图，抛物线经过，两点，于轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点．
(1)求抛物线的解析式；(2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；(3)是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】(1)(2)或(3)
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，解得：，∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，∴．令，则，∴．
∵，，∴，，∴，
∴．设，∴，
∴或，∴或
（3）解：存在，点的坐标是． 理由：过点作轴于点，

∵∴．∵，∴．
∵，∴．
∵，∴，∴．
设点，∴，，
∴，整理得，解得或（不符合题意），∴ ．
20．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，已知抛物线的顶点为D点，且与x轴交于B，A两点（B在A的左侧），与y轴交于点C．点E为抛物线对称轴上的一个动点：(1)当点E在x轴上方且时，求的值；(2)若点P在抛物线上，是否存在以点B，E，C，P为顶点的四边形是平行四边形？请求出点P的坐标；(3)若抛物线对称轴上有点E，使得取得最小值，连接AE并延长交第二象限抛物线为点M，从请直接写出的长度．
【答案】(1)(2)存在 或或使得点B，E，C，P为顶点的四边形是平行四边形 (3)
【详解】（1）解：令时，，解得，∴．
把代入中，得，即．
∵，∴对称轴是直线，顶点，
设对称轴与x轴交于点F，如图1，∴
∵，∴，在中，；
（2）∵点P在抛物线上，点E在对称轴上，∴可设，
由题意知：．
①以为对角线时，由平行四边形的对角线互相平分；则，
∴，解得，即；同理②以为对角线时，，
解得，即；
③以为对角线时，，解得，即；
综上所述，存在，，，使得点B，E，C，P为顶点的四边形是平行四边形；
（3），理由如下：如图2，过点A作于点H，交对称轴于点E，连接并延长交第二象限抛物线为点M，
在中，，∴．
∴．∴要取得最小值，即要最小，
∴当点A，E，H三点共线且垂直时最小，此时最小．
在，中， ，∴．
∴，即．∵，设的解析式为：，
则，解得，可求得的解析式为：．
联立和抛物线，解得．∴．
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第三章 函数
3.4二次函数综合
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次函数与方程、不等式 ☆☆☆ 浙江中考数学（省卷）中，二次函数与几何综合在中考中较为常见，这类考题通常以压轴题形式考查，难度一般较大，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，需要考生在做题过程中更为细心对待。
考点2 二次函数的实际应用 ☆☆
考点3 二次函数与几何图形综合题 ☆☆
二次函数的综合运用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为选填题，出题率不是特别高，一般需要根据题意自行建立二次函数模型；而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题；而二次函数与几何图形综合问题，则难度较大。
1
3
■考点一　二次函数与方程、不等式 3
■考点二　二次函数的实际应用 5
■考点三　二次函数与几何图形综合题 11
18
26
■考点一　二次函数与方程、不等式
1、二次函数与一元二次方程的关系
1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标。
3）（1）b2–4ac>0 方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。
2、二次函数与不等式的关系（以a>0为例）:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
图象
与x轴交点 个交点 个交点 个交点
ax2＋bx＋c>0的解集情况 xx2 取任意实数
ax2＋bx＋c<0的解集情况 x1■考点二　二次函数的实际应用
1.用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1）审：仔细 ，理清 ；
2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的 ；
3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的 ；
4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论。
2.利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。
3.利用二次函数解决拱桥（门）/隧道/喷泉/球类运行轨迹类问题的方法：先建立适当的 ，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线的 ，最后根据图象信息解决实际问题。
4.利用二次函数解决面积最值的方法：先找好 ，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。
5.利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的 或表示出与动点有关的线段 ，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
■考点三　二次函数与几何图形综合题
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立 的模型，从而使问题得到解决解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。
1.二次函数与几何图形的长度（面积）问题
二次函数与几何图形的长度（面积）问题一般是利用距离或面积公式表示出图形长度（面积）的函数关系式（一般是二次函数的表达式），再利用函数的解析式的特点求长度（面积）的最值问题；此外还会涉及到长度（面积）相等、给出长度（面积）的值等问题，其核心处理方法都是表示出长度（面积）的表达式，再去研究相关的性质。
2.二次函数与特殊三角形或四边形
1）在二次函数的图象中研究等腰三角形的问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准顶确与底角分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段；
2）在二次函数的图象中研究直角三角形的问题，需要注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条件是常用的处理手段。
3）在二次函数的图象中研究平行四边形的问题常会用到平行四边形的一些性质之间的转化，同时此类问题也会涉及到矩形、菱形、正方形的确定，其分析思想是互通的。
3.二次函数与线段和、差的最值问题
在二次函数的图象中研究线段的和、差最值问题,一般会用到将军饮马、胡不归、阿氏圆、瓜豆原理等来解决相关最值问题。
■考点一　二次函数与方程、不等式
◇典例1：（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，二次函数与一次函数为的图象相交于，两点，则不等式的解集为 ．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C．或 D．
2.（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的下方，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）若满足的任意实数，都能使不等式成立，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025九年级·浙江·学业考试）已知三条抛物线中至少有一条与轴相交，则实数的取值范围是
A． B．且 C． D．且或
2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）小华同学根据学习二次函数的经验，用描点法画出了函数的图象．由图象可知，方程的实数根有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线（a为常数）与直线交于M、N两点，若线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是 ．
3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非．”这里一语成偈，道出了“数”和“形”不可分割的特点．仔细体会这段话所包含的数学思想方法，并解答下列问题：
(1)如图1，画出了二次函数的部分图象，则关于x的方程的解为______；(2)已知关于x的方程有两个实数根m，n，且，若，求k的取值范围；(3)已知方程．①直接回答此方程有几个实数根；②探究此方程实数根的近似值（精确到0.1，只写答案不给分！）【友情提示：图2已给出函数的图象】
■考点二　二次函数的实际应用
◇典例3：（24-25九年级上·浙江温州·期末）一超市销售某种水果，收集每日该水果所得的利润（元）与售出质量（）的数据，并描点如图所示，发现与满足函数关系式．
(1)求，的值．(2)当每日售出多少该水果时，所得利润最大？最大利润为多少元？
◆变式训练
1．（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同．
(1)两种型号电脑每台进价各是多少？(2)随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润销售总价总进价)
2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）经市场调查发现，某商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，该商品的售价x（元/件），周销售量y（件），周销售利润w（元）三者对应值如下表：
售价x（元/件） 30 40 60 80
周销售量y（件） 210 120 60
周销售利润w（元） 2100 4800 3600
(1)________，________；(2)因该商品原材料上涨，进价提高了6元/件，商场为稳定销量，规定该商品售价x不得超过60，求进价提高后周销售利润的最大值．
◇典例4：（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1.（2023年黑龙江省大庆市中考真题）如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以1m/s的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．
◇典例5：（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）蛇年贺岁，千盏花灯邂逅千年古桥（图1）．我校项目学习小组计划用3D打印三洞桥模型，作为元宵灯会的奖品，图2是其设计示意图．设计过程如下：整座桥呈轴对称结构，用抛物线，构造桥面形状（长度单位：），三个桥洞均为圆弧形且弧的度数相等，相邻圆弧间隔20，每个桥洞最高点到桥面的竖直距离均为4，若中间大桥洞宽度（弦长）为两侧小桥洞宽度的2倍，则大圆弧所在圆的半径为 ．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面．
(1)请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
(2)若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？
2．（22-23九年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计高架桥的限高及车道宽方案？
素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，抛物线跨度，顶点离地面，桥的两端点M，Q距离地面．
素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，每条机动车道宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）
素材3 如图4，由于城市道路中行人安全的需求，道路规划部门重拟新方案：非机动车道的宽定为，在非机动车道左侧增加一条人行道，中间绿化带宽度不变，每条机动车道宽均不小于且相等，机动车道一的最低高度不小于．
问题解决
任务1 确定模型 在图2中建立适当的坐标系，求得抛物线的函数表达式．
任务2 探究原计划限高 在图3中标注好数据，计算确定机动车道一的限高高度．
任务3 拟定新方案中每条机动车道的最大宽度 在图4中做上标注，计算确定新方案中每条机动车道的最大宽度．（，结果精确到）
◇典例6：（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式；(2)求出下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）二级火箭的始祖“火龙出水”的第一级火箭点燃后，会推动整个装置飞行，形成一个抛物线轨迹．当第一级火箭燃料耗尽时，火箭会下降到某个高度（这个高度低于最高点），此时自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．可用函数图像模拟火箭的运行过程：如图，以发射点为原点，地平线为x轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为．(1)求出a，k的值；(2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
■考点三　二次函数与几何图形综合题
◇典例7：（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交点C，连接，顶点为M．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)已知点P是抛物线上的一点，连接，若，求点P的坐标；(3)如图2，若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，当的值最大时，求点D的坐标．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点．其顶点为．直线与抛物线交于，两点．
(1)求、的值；(2)求三角形的面积；(3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，直接写出的面积的最大值．

2．（2025九年级下·浙江宁波·学业考试）阅读下列材料：
我们知道，一次函数的图象是一条直线，而经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：是常数，且不同时为0）．如图1，点到直线：的距离计算公式是：．
例：求点到直线的距离时，先将化为，再由上述距离公式求得．解答下列问题：如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线上的一点．(1)求点到直线的距离．
(2)抛物线上是否存在一点，使得的面积最小？若存在，求出点的坐标及面积的最小值；若不存在，请说明理由．
◇典例8：（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线经过点、、，点是抛物线在轴上方图象上一点，动直线分别交轴、轴于点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当以为顶点的三角形面积为6时，求出点的坐标；
(3)当，点在抛物线上运动时，是否存在点，使得以为直角顶点的与相似，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
◆变式训练
1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线交轴于，两点（在的左边），交轴于点．(1)直接写出，，三点的坐标；(2)如图1，作直线，分别交轴，线段，抛物线于，，三点，连接．若与相似，求的值；(3)如图2，过的中点作动直线（异于直线）交抛物线于，两点，若直线与直线交于点．证明：点在一条定直线上运动．
2．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，．(1)求抛物线的解析式；(2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及；(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
◇典例9：（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）综合与实践：如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；(3)小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标．
◆变式训练
1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．
(1)请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；(2)若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为，与直线交于点．当时，求点的坐标；
(3)若点是轴上的点，且，求点的坐标．
◇典例11：（24-25九年级上·浙江杭州·期末）等腰直角三角形对称、美丽，若抛物线与轴有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则称这种抛物线为“美丽抛物线”．(1)已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与轴的两个交点坐标为，，则此抛物线的顶点是_____；(2)如图，抛物线是“美丽抛物线”，顶点，与轴交于两点，在轴上方的抛物线上找一点，且，请求出点的坐标；(3)在（2）的条件下，点是平面内一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
◆变式训练
1．（23-24九年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点．(1)求抛物线的表达式；(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标；(3)在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
◇典例11：（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的对称轴是直线，图象与轴交于，两点，点坐标为，直线经过点，且与轴交于点．(1)填空：____；____；_____．(2)将该二次函数图象向右平移个单位，使抛物线顶点落在直线上，试求的值．(3)在（2）的条件下，设是轴上的一动点，若外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求的取值范围．
◆变式训练
1．（23-24九年级下·浙江·自主招生）如图，已知双曲线，抛物线和直线．设直线与双曲线的两个交点为，与抛物线的两个交点为．(1)若线段与线段的中点重合，求证：；(2)是否存在直线，使得为线段的三等分点？若存在，求出直线的解析式，若不存在，请说明理由．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图象经过、、三点．
(1)求该抛物线的顶点坐标；(2)结合图象，当时，求出的取值范围；
(3)点是该抛物线对称轴上一点，当周长最小时，求点的坐标．
1．（2024·四川达州·中考真题）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
6．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．
7．（2024·四川甘孜·中考真题）在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长．同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据，，…，，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为 ．
8．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ．
9．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ．
10．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点．(1)求抛物线的表达式；(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；(3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件；②“正”服装：48元/件；③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
12．（2024·四川甘孜·中考真题）【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______．
【思考与探究】（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．

13．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点．
(1)直接写出点，，的坐标；(2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交y轴于点．若平分线段，求点的坐标；(3)如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式．
14．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．
(1)若火箭第二级的引发点的高度为．①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过．
15．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2024·天津·中考真题）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点．
(1)当时，求该抛物线顶点的坐标；(2)当时，求的值；
(3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值．
17．（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标；(3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
18．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
19．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；(3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点．
(1)求二次函数的表达式；(2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；(3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）定义符号的含义为：当时；当时．如：．则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0
2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B． C． D．或
3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作线段的垂线，垂足为点、．若点坐标为，四边形的邻边之比为：时，则线段的长为（ ）
A．4或 B．或 C．或 D．
4．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（2023·四川自贡·模拟预测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　
A． B． C． D．
6．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，当时，解集是，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．的解集为{或}
7．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为 ．
8．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，已知直线经过点，抛物线W：与y轴交于点C．点E、F分别是抛物线对称轴和直线l上的动点，连结，则的最小值为 ．
9．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知抛物线与直线交于，两点，点坐标为，轴于点，，则的面积为 ．
10．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）对于三个函数，若无论取何值，总取中的最大值，则的最小值为 ．
11．（2025九年级下·浙江·学业考试）已知函数．(1)求证：函数的图象与x轴一定有交点．(2)若方程的两个根均大于且小于1，求a的取值范围．
12．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）已知函数的图象如图所示，请根据函数图象回答下列问题．(1)方程的解为______；
(2)方程有四个不同的实数根，则的取值范围为______；
(3)若函数的图象与直线有三个交点，求的值．
13．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）将抛物线（a为常数）的图象向上平移1个单位后，图象经过点．(1)求原抛物线的函数表达式．(2)已知点，在抛物线上．①求证：；②若，直接写出m的取值范围．
14．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，设函数（，是常数，）．(1)若该函数的图象经过和两点，则函数的表达式为________．
(2)当时，写出一个的值，使函数图象的顶点坐标始终在直线的下方，并说明理由．(3)当，时，函数图象上有点，直线上有点，若，试求的取值范围．
15．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）某专卖店销售一种特产，经调查发现，销售这种特产（千克）（）时，其销售单价（元/千克）可表示为；所需的总成本（元）关于销售量（千克）的函数关系如图所示，图中曲线部分是顶点坐标为的抛物线的一部分．(1)求关于的函数表达式；(2)设该专卖店销售这种特产所获得的利润是（元）．
①求与之间的函数表达式；②该特产的销售量是多少时，所获得的利润最大，最大值是多少？
16．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）如图，已知是抛物线上的四个不同的点．(1)试用表示直线的解析式．(2)已知过点过点过点．①证明：三点共线．②若点在第一象限，且，求直线的解析式．
17．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，顶点为C的抛物线与x轴交于A、B两点，连结，直线，垂足为E交y轴于点D，且．
(1)求A、B两点的坐标及a的值；(2)过点B作x轴的垂线与直线交于点F，把（1）中的抛物线向右平移K个单位，使抛物线与线段有交点，试求K的取值范围；(3)与关于x轴成轴对称，如图2，把沿y轴以每秒1个单位向上平移，当Q点与D点重合时，停止运动，记运动时间为t，设与重叠部分的面积为S，求S与运动时间t的函数关系式．问S是否有最大值，若有，求出S的最大值；若没有，请说明理由．
18．（23-24九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2024·广东江门·一模）如图，抛物线经过，两点，于轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点．
(1)求抛物线的解析式；(2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；(3)是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．

20．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，已知抛物线的顶点为D点，且与x轴交于B，A两点（B在A的左侧），与y轴交于点C．点E为抛物线对称轴上的一个动点：(1)当点E在x轴上方且时，求的值；(2)若点P在抛物线上，是否存在以点B，E，C，P为顶点的四边形是平行四边形？请求出点P的坐标；(3)若抛物线对称轴上有点E，使得取得最小值，连接AE并延长交第二象限抛物线为点M，从请直接写出的长度．
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