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第1章 整式的乘法
1.2 乘法公式
1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理
学习目标：
理解并掌握乘法公式.（重点）
会灵活选用合适的乘法公式解决问题.（难点）
一、复习导入
我们已经学了哪些乘法公式？
（1）平方差公式： .
（2）完全平方公式： .
注意：公式中的 a 与 b 既可以是数，也可以是单项式或多项式.
要点探究
探究点一：运用乘法公式进行计算
怎样计算下列各题？
（1）(x + 1)(x2 + 1)(x－1)；
（2）(a + 3)2 (a－3)2；
（3）(x + y + 4)(x + y－4).
注意：把 (x + y) 看作一个整体，那么 (x + y) 就相当于平方差公式中的 a，4 就相当于平方差公式中的 b.
典例精析
例1 用乘法公式计算下列各题
(x－3) (x2 +9) (x + 3).
(2) (2x + 3)2(2x－3)2
总结：要根据具体情况灵活运用运算律、乘法公式、幂的运算法则（正用与逆用）.
例2 运用乘法公式计算：
（1）(a + b + c)2；
（2）(a + b－c)2.
例3 运用乘法公式计算：(a – b + c)(a + b – c).
方法总结：1.选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. 2. 式子变形添括号时注意符号的变化.
针对训练
计算：(1)(a－b＋c)2；
(1－2x＋y)(1＋2x－y) .
例4 运用乘法公式计算: (x + y)3.
思考
先填空：(1) 152 = 100×1×___ ＋ 25；
(2) 252 = 100×2× ＋ 25；
(3) 352 = 100× × ＋ .
由此猜测：十位数字是 a、个位数字是 5 的两位数可以表示为 ，它的平方可表示为100× × ＋ .
例5 一个正方形花圃的边长增加到原来 2 倍还多 1 m，它的面积就增加到原来的 4 倍还多 21 m2 ，求这个正方形花圃原来的边长.
二、课堂小结
1.运用乘法公式计算 ：
（1）(x－2)(x + 2)(x2 + 4)
（2）(x－1)2－ (x + 1)2
（3）(x + 1)2(x－1)2
（4）(a + 2b－1)(a + 2b + 1)
（5）(a－b－c) 2
2.一个正方形的边长增加了 2 cm，它的面积就增加了 16 cm2，求这个正方形原来的边长.
3.先化简，再求值： 2b2 + (a + b)(a－b)－(a－b)2，其中 a = －3，b = .
参考答案
一、复习导入
(a + b)(a－b) = a －b
(a + b)2 = a + 2ab + b (a－b) = a －2ab + b
要点探究
探究点一：运用乘法公式进行计算
（1）(x + 1)(x2 + 1)(x－1)；
解：原式 = (x + 1)(x－1)(x2+ 1)
= (x2－1)( x2 + 1 ) = x4－1.
（2）(a + 3)2 (a－3)2 .
原式 = [(a + 3)(a－3)]2
= (a2－9)2
= a4－18a2 + 81.
（3）(x + y + 4)(x + y－4) .
解：原式 = [(x + y) + 4] [(x + y)－4]
= (x + y)2－16
= x2+ 2xy + y2－16.
典例精析
例1
(x－3) (x2 +9) (x + 3).= x4－81.
(2) (2x + 3)2(2x－3)2= 16x4－72x2 + 81.
例2 （1）解：(a + b + c)2
= [(a + b) + c]2= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
（2） 解： (a + b－c)2
= [(a + b)－c]2
= (a + b)2－2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2－2ac－2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab－2ac－2bc.
例3 解：原式= [ a – (b – c)][a + (b – c)]
= a2 – (b – c)2
= a2 – (b2 – 2bc + c2)
= a2 – b2 + 2bc – c2.
针对训练
解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2
=(a－b)2＋c2＋2(a－b)c
=a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc.
(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]
= 12－(－2x＋y)2
= 1－4x2＋4xy－y2 .
例4 解：(x + y) = (x + y)( x + y)
= (x + y)(x + 2xy + y2)
= x + 2x y + xy2 + yx + 2xy + y3
= x + 3x y + 3xy + y .
思考
(1) 2 (2) 3 (3) 3 4 25
10a + 5 a a＋1 25
例5 解 ：设正方形花圃原来的边长为 x m.
由数量关系，得 (2x +1)2= 4x2 + 21，
化简，得 4x2 + 4x +1 = 4x2 +21，
即 4x = 20，
解得 x = 5.
答: 这个正方形花圃原来的边长为 5 m.
二、课堂小结
如何运用乘法公式进行计算：
1. 先观察式子的特点，选取适当的乘法公式；
2. 有时会结合其它运算法则；
3. 灵活运用公式进行求值计算.
当堂检测
1.答：（1）x4－16
（2）－4x
（3）x4－2x2 + 1
（4）a2 + 4ab + 4b2－1
（5）a2 + b2 + c2－2ab－2ac + 2bc
2.解：设正方形原来的边长为 x cm.
列方程，得 (x + 2)2 = x2 + 16，
x2 + 4x + 4 = x2 + 16，
4x = 12， 解得 x = 3.
答：这个正方形原来的边长为 3 cm.
3.解：原式 = 2b2 + a2－b2－a2 + 2ab－b2 = 2ab.
当 a = －3，b = 时，
原式 = 2×(－3)× =－3.

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