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第1章 整式的乘法
1.2 乘法公式
1.2.1 平方差公式
学习目标：
1. 理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点）
2. 理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算.（难点）
一、复习导入
多项式与多项式是如何相乘的？
( a + b )( m + n )= .
(x＋3)( x＋5)= .
情境导入
从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少 5 米，相邻的另－边增加 5 米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊．
你觉得张老汉是否吃亏了
要点探究
探究点一：平方差公式
合作探究
算一算：看谁算得又快又准.
① (x + 1)( x－1)；
② (m + 2)( m－2)；
③ (x + y)(x－y)；
④ (5y + z)(5y－z).
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？
知识要点
平方差公式：(x + y)(x y) = x2 y2 .
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
公式变形：
(x –y) (x + y) = x2 y2 ， (y + x)( y + x ) = x2 y2 .
典例精析
例1 计算：(1) ( 2x＋1)( 2x－1 )； (2) (x＋2y)(x－2y).
例2 运用平方差公式计算: (－2x－ y)(－2x＋ y).
练一练：口答下列各题：
(l) (－x + y)(x + y) =_________.
(2) (x－y)(y + x) = _________.
(3) (－x－y)(－x + y) = ________.
(4) (x－y)(－x－y) = _________.
填一填：
(x + y)(x－y) x y x2－y2
(1 + x)(1－x)
(－3 + a)(－3－a)
(1 + a)(－1 + a)
(0.3x－1)(1 + 0.3x)
例3 运用平方差公式计算：(4a＋b)(－b＋4a).
方法总结：将括号内的式子转化为平方差公式 的形式
练一练
利用平方差公式计算：
(1) (－7m＋8n)(－8n－7m)；
(2) (x－2)(x＋2)(x2＋4) .
探究点二：平方差公式的几何验证
合作探究
将长为 (a + b)，宽为 (a－b) 的长方形，剪下宽为 b 的长方形条，拼成一个有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
探究点三：平方差公式的几何验证
自主探究
想一想：
(1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8 = . 14×16 = . 69×71 = .
7×7 = . 15× 15 = . 70×70 = .
(2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母
表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
典例精析
例4 计算：(1) 1002×998；
注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用.
例5 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中 x ＝1，y ＝2.
方法总结：利用平方差公式先化简再求值，一般不要先直接代入数值计算．
例6 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
二、课堂小结
1.下列式子可用平方差公式计算吗 为什么
如果能够，怎样计算
(1) (a + b)( a b)；
(2) (a b)(b a)；
(3) (a + 2b)(2b + a)；
(4) (a b)(a + b)；
(5) ( 2x + y)(y 2x).
2. 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1) (x + 2)(x－2) = x2－2；
(2) (－3a－2)(3a－2) = 9a2－4.
3. 已知 a = 7202 ，b = 721×719 ，则 ( )
A. a = b B. a＞b
C. a＜b D. a≤b
4. 97×103 = ( )×( ) = ( ).
5. (x + 6)(x－6)－x(x－9) = 0 的解是 .
6. 利用平方差公式计算：
(1) (a + 3b)(a－3b)；
(2) (3 + 2a)(－3 + 2a)；
(3) (－2x2－y)(－2x2 + y)；
(4) (－5 + 6x)(－6x－5).
7. 利用平方差公式计算：
(1) 51 ×49； (2) 13.2×12.8；
(3) (3x + 4)(3x－4)－(2x + 3)(3x－2).
能力拓展：
计算：(x－y)(x + y)(x2 + y2).
若 A ＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) ，则 A 的值是 .
参考答案
一、复习导入
( a + b )( m + n )=am + an + bm + bn
(x＋3)( x＋5)= x2＋5x＋3x＋15= x2＋8x＋15.
要点探究
探究点一：平方差公式
算一算：
① (x + 1)( x－1) = x2－1 = x2－12
② (m + 2)( m－2) = m2－4 = m2－22
③ (x + y)(x－y) = x2－y2 = x2－y2
④ (5y + z)(5y－z) = 25y2－z2 = (5y)2－z2
想一想：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差.
典例精析
例1
解：(1) 将平方差公式中的 x 用2x 代替，y 用 1 代替， 可得
(2x＋1)(2x－1)＝(2x)2－12 ＝4x2－1.
将平方差公式中的y 用2y 代替，可得
(x＋2y)(x－2y) ＝ x2－(2y)2＝x2－4y2 .
例2
解：将平方差公式中的 x 用 －2x 代替，y 用 1/2 y 代替，可得
(－2x－ y)(－2x＋ y)＝(－2x)2－(－ y)2＝4x2－ y2.
练一练：口答下列各题：
答：(l) y2－x2
(2) x2－y2
(3) x2－y2
(4) y2－x2
填一填：
(x + y)(x－y) x y x2－y2
(1 + x)(1－x) 1 x 12－x2
(－3 + a)(－3－a) －3 a (－3)2－a2
(1 + a)(－1 + a) a 1 a2－12
(0.3x－1)(1 + 0.3x) 0.3x 1 (0.3x)2－12
例3
解：由平方差公式得
(4a＋b)(－b＋4a) ＝(4a＋b)(4a－b) =(4a)2－b2
= 16a2－b2 .
练一练
解：(1) 原式＝(－7m)2－(8n)2 =49m2－64n2 .
(2) 原式＝(x2－4)(x2＋4)
=x4－16.
探究点二：平方差公式的几何验证
(a + b)(a b) = a2 b2
探究点三：平方差公式的几何验证
自主探究
想一想：
(1)
6×8 =48 14×16 = 224 69×71 = 4899
7×7 =49 15× 15 = 225 70×70 = 4900
(2) (a 1)(a + 1) = a2 1
典例精析
例4 解：由于1002×998 = (1000＋2)(1000－2)
于是由平方差公式得
(1000＋2)(1000－2) = 10002－22= 1000000－4
= 999996
因此 1002×998 = 999996.
例5 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) =4x2－y2－(4y2－x2)
=4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2 .
当 x ＝1，y ＝2 时，原式＝5×12－5×22 ＝－15.
例6 解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2，
改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16.
因为a2＞a2－16，所以李大妈吃亏了．
二、课堂小结
当堂检测
1.答：(1) 不能
(2) 不能
(3) 不能
(4) 能 (a2 b2) = a2 + b2
(5) 不能
2. (1) 不对 改正：x2－4
(2)不对
改正方法①：原式 = －[(3a + 2)(3a－2)]
= －(9a2－4) = －9a2 + 4.
改正方法②：原式 = (－2－3a)(－2 + 3a)
= (－2)2－(3a)2 = 4－9a2 .
3. B
4. 100－3 100 + 3 1002－32
5. x = 4
6. 解：(1) (a + 3b)(a－3b)= a2－(3b)2 = a2－9b2 .
(2) (3 + 2a)(－3 + 2a) = (2a + 3)(2a－3) = (2a)2－32= 4a2－9.
(3) (－2x2－y)(－2x2 + y)= (－2x2 )2－y2 = 4x4－y2 .
(4) (－5 + 6x)(－6x－5) = (－5 + 6x)(－5－6x) = (－5)2－(6x)2
= 25－36x2 .
7. 解：(1) 51 ×49＝(50＋1)(50－1) ＝502－12 =2500－1 ＝2499.
(2) 13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2) ＝132－0.22 = 169－0.04 ＝168.96.
(3) (3x + 4)(3x－4)－(2x + 3)(3x－2)＝(9x2－16)－(6x2＋5x－6) =3x2－5x－10.
能力拓展：
1. 解：原式＝(x2－y2)(x2 + y2)＝x4－y4 .
255
解析：A ＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)
=(2－1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) =(22－1)(22 + 1)(24 + 1)
=(24－1)(24 + 1)
=28－1
＝256－1
＝255 .

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