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第11章 不等式与不等式组
11.2 不等式的性质
【学习目标】
1. 通过活动探究和实例操作，经历观察、分析，理解并掌握不等式的性质，培养自主学习的习惯和观察推理能力.
2. 会用不等式的基本性质解简单的不等式，培养学生的应用意识；在解题的过程中发展数感和运算能力，渗透数形结合思想.
3. 理解“≤”“≥”的含义，并掌握它们与“＜” 和“＞”的区别.
4. 掌握不等式的解集如何在数轴上表示以及能利用不等式解决简单的实际问题.
【学习重点】不等式的性质，不等式性质的应用
【学习难点】不等式的性质的应用
【自主学习】
1. 什么是不等式
2. 等式有哪些性质
小明和小丽在学习不等式之后对不等式提出了一些问题：
(1) 若 a＞b，则有 b＜a.
(2) 若 a＞b，b＞c，则有 a＞b＞c.
请同学举例说明他们的说法是否正确
要点归纳：交换不等式两边，不等号的方向改变：如果 a＞b，那么 b＜a.
不等关系可以传递：如果 a＞b，b＞c，那么 a＞b＞c.
【合作探究】
探究点一、不等式的性质 1
活动1：用不等号填空：
(1) 5 ____－3，5＋2 _____－3＋2，5－2_____－3－2；
(2) 2 ____ 4，2＋1 _____ 4＋1，2－1_____4－1.
(3) 水果店的小王从水果批发市场购进 100 kg 梨和84 kg 苹果，在卖出 a kg 梨和 a kg 苹果后，又购进了梨和苹果各 b kg ，请用 “＜” 或 “＞” 填空：
100－a ______84－a 100－a＋b______84－a＋b
问题1：观察上面的式子，你发现了什么规律
一般地，不等式有如下性质：不等式的性质1 当不等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，不等号的方向不变.
数学语言：如果 a > b，那么 a ± c > b±c .
活动 2：用不等号填空：
(1) 6____4 6×2____4×2 6÷2____4÷2
(2)－4 ____－2 －4×2____－2×2 －4÷2____－2÷2
(3) 已知苹果的价格是 a 元/kg，梨的价格是 b 元/kg，且a＞b. 小李买了苹果和梨各 3 kg ，则买哪种水果花钱较多 用不等号填空：3a ____ 3b.
(4) 在某次知识抢答赛中，甲乙两队的总得分分别为 a，b，其中 a＜b. 已知每队人数均为 3 名，则哪队的平均得分高 用不等号填空：a÷3 ____ b÷3.
问题2：你发现了什么规律
活动 3：用不等号填空：
(1) 6____4 6×(－2)____4×(－2) 6÷(－2)____4÷(－2)
(2)－4____－2 －4×(－2)____－2×(－2) －4÷(－2)____－2÷(－2)
不等式的性质 2，3
不等式的性质 2 当不等式两边乘 (或除以) 同一个正数，不等号的方向不变.即：如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc (或 ＞ ).
不等式的性质 3 当不等式两边乘 (或除以) 同一个负数，不等号的方向改变.即：如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc (或 ＜ ).
【典型例题】
例1 已知 a＞b，比较下列两个式子的大小，并说明依据.
(1) a + 3 与 b + 3 ； (2) －2a 与 －2b.
思考：不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？
例2 利用不等式的性质解下列不等式.
(1) x－7＞26； (2) 3x＜2x＋1； (3) 2/3x＞50； (4) －4x＞3.
【练一练】
1. 已知实数 a，b 满足 a＋1＞b＋1，则下列选项错误的是( )
A.a＞b B. a＋2＞b＋2 C. a－3＞b－3 D. 2a＞3b
2. 已知 m＜n，利用不等式的性质比较 －2m－1 和 －2n－1 的大小.
探究点二、不等式的性质应用
活动1 一辆轿车在一条规定车速不低于 60 km/h，且不高于 100 km/h 的高速公路上行驶，假设轿车的行驶速度为 x km/h.
问题1：不低于，不高于是什么意思 用什么符号表示
问题 2：用不等号表示情境中的不等关系.
追问：问题2 中的“≥”“≤”与“＞”“＜”有什么区别
活动 2：(1) x－1＜－2；(2) 2/3x≤－1；(3)－2x≤6.
(1) 根据不等式性质_____，不等式两边都加上 1，不等号的方向________，得__________.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图：
(2) 根据不等式的性质_______，不等式两边都乘以 3/2 (或除以 2/3 )，不等号的方向_______，得___________.
用数轴表示为：
(3) 根据不等式的性质______，不等式两边同时乘以-1/2 (或除以_____)，不等号的方向_________，得__________.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图：
要点归纳
① 在数轴上，若边界点表示的数是不等式的解，则用实心圆点；若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈.
② 利用不等式的性质解不等式首先利用性质1 移项并合并同类项，再利用性质 2、3 将未知数系数化为1 即可求解.
【练一练】
3. 当 x 取何值时，代数式－1/3x＋2 的值大于或等于 0 . ( )
A. x＜6 B. x≤6 C. x＞6 D. x≥6
【典型例题】
例3 如图，一个长方体形状的鱼缸长 10 dm，宽3.5 dm，高 7 dm. 若鱼缸内已有水的高度为 1 dm，现准备向鱼缸内继续注水. 用 V（单位：dm3）表示新注入水的体积，写出 V 的取值范围并在数轴上表示.
课堂检测
1. 已知x＞y，则下列不等式成立的是(　　 )
A. x＋5＜y＋5 B. x－5＜y－5 C. x/5 ＜y/5 D. －5x＜－5y
2. 如果a＜b，c＜0，那么下列不等式中不成立的是(　 　)
A. a＋c＜b＋c B . ac2＞bc2 C. ac＞bc D. ac＋1＞bc＋1
3.（教材P125练习T2变式）若x＞－2，则下列不等式中错误的是(　　)
A. 3x＞－6 B. x＋9＞7 C. x/4 ＞－1/2 D. －7x＞14
4. 已知－x＜－y，用“＜”或“＞”填空：
(1)－2x_____－2y； (2)2x_____2y； (3)2/3 x＋1_____2/3 2/3 y＋1.
5. 由ac＞bc得到a＜b的条件是：c_____0(填“＞”“＜”或“＝”).
6. 利用不等式的性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
(1) x－1＞2；　　　 (2)1－x＞3；
(3) 2x＞－3； (4) －1/2 x≤x＋3/2 .
参考答案
【自主学习】
(1) 一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫作不等式
(2) 等式两边加或减同一个数(或式子)，乘或除以同一个数(除数不为 0)，结果仍相等……
例：5＞3，3＜5 成立， (1) 正确；6＞4，4＞2，且 6＞4＞2， (2) 正确
【合作探究】
探究点一、不等式的性质 1
活动1 (1) ＞ ＞ ＞ (2) ＜ ＜ ＜ (3) ＞ ＞
问题1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
活动2 (1) ＞ ＞ ＞ (2) ＜ ＜ ＜ (3) ＞ （4）＜
问题2 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变
活动3 (1) ＞ ＜ ＜ (2) ＜ ＞ ＞
问题3 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变
不等式的性质2、3
【典型例题】例1解：(1) 因为 a＞b，所以 a + 3＞b + 3.
(2) 因为 a＞b，所以 －2a＜－2b.
例2 解：(1) 根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以x－7＋7＞26＋7，x＞33.用数轴上表示为
(2)根据不等式的性质1，不等式两边减 2x，不等号的方向不变，所以3x－2x＜2x＋1－2x，x＜1.用数轴上表示为
(3) 根据不等式的性质2，不等式两边乘 3/2，不等号的方向不变，所以3/2×2/3 x＞3/2×50，x＞75.用数轴上表示为
(4) 根据不等式的性质3，不等式两边除以－4，不等号的方向改变，所以 4x/ 4 ＜3/ 4，x＜－3/4.用数轴上表示为
【练一练】
1.D 2.解：∵m＜n，∴－2m＞－2n.∴－2m－1＞－2n－1.
探究点二、不等式的性质应用
问题1 “不低于”表示车速要保持在 60 km/h 或以上；“不高于”表示在 100 km/h 或以下. 用“≥”“≤”表示.
问题2 问题 2 中的“≥”“≤”表示不等式的范围包含边界值.而“＞”“＜”表示不等式的范围不包含边界值.
活动2 （1）1 不变 x＜－1
（2） 2 不变 x≤-3/2
（3） 3 -2 改变 x≥-3
【练一练】3. B
【典型例题】例3 解：因为“已有水的体积十新注入水的体积V≤鱼缸的容积”，所以10×3.5×1＋V≤10×3.5×7，解得 V≤210.又由于新注入水的体积 V 不能是负数，所以 V 的取值范围是 0≤V≤210.
在数轴上表示 V 的取值范围如图所示：
课堂检测
1. D 2.B 3. D 4. ＜ ＞ ＞ 5. ＜
6.解：(1) x＞3. (2) x ＜ －2
(3) 2x ＞－3； (4)－1/2 x≤x＋3/2 .

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